第10章 分式（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第10章 分式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右变形正确的是（　） A． B． C． D． 3．若把分式中的，的值都扩大倍，那么分式的值将（    ） A．缩小 B．缩小 C．扩大倍 D．不变 4．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 6．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D．且 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 8．当 时，分式的值为． 9．分式，，的最简公分母是 ． 10．写出一个使分式的值为负数的x的值 ． 11．在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 12．已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 13．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 14．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，根据题意，列方程为 ． 15．若关于x的不等式组有且只有三个偶数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 16．对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解分式方程： (1)； (2) 18．化简： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中． 20．已知均为非零的实数，且满足，求的值． 21．让我们来规定一种运算：，例如：，再如：．按照这种运算的规定，请解答下列问题： (1)求的值； (2)若 ，求的值． 22．为庆祝附中博才建校十五周年，各校区开展了以“辉煌十五载，共逐幸福梦”为主题的校园文化艺术节，学校决定购买附中熊和博才牛两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知附中熊比博才牛每个多10元，用600元购买附中熊的个数恰好与用500元购买博才牛的个数相同． (1)求附中熊和博才牛的单价； (2)学校决定购买附中熊、博才牛两种奖品共60个，实际购买时，附中熊的售价打九折，博才牛的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过3100元，最多可购买多少个附中熊？ 23．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 24．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 25．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 26．嘟嘟商店分别花费9000元、4800元一次性购买甲乙两种电纸书，已知购买甲电纸书的数量比乙电纸书的数量多，每台甲电纸书比每台乙电纸书的价格贵200元． (1)求甲、乙型号电纸书分别进价为多少元； (2)该店发现销售情况良好，第一批货卖完货，以相同进价再次购入电纸书，预计用不少于万元且不多于万元的资金购进这两种型号电纸书共20台， ①请问有多少种进货方案？ ②若甲型号电纸书的售价为1500元，乙型号电纸书的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号电纸书．返还顾客现金a元，甲型号电纸书售价不变，若①中购进的电纸书全部售完，且各方案获利相同，求a的值． 27．新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 分式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的定义，掌握分式的定义是解答本题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是分数，不是分式，故A选项不符合题意； B、是分式，故B选项符合题意； C、是整式，不是分式，故C选项不符合题意； D、是整式，不是分式，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．下列各式从左到右变形正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数（非零），分式的值不变． 据此即可求解． 【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意； B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：A． 3．若把分式中的，的值都扩大倍，那么分式的值将（    ） A．缩小 B．缩小 C．扩大倍 D．不变 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，解答本题的关键是正确运用分式的基本性质． 用、分别代替原分式中的、，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大倍， 则， ， 分式的值将缩小， 故选：B． 4．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握去分母法则是解题关键．将方程两边同时乘以去分母即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以去分母得：， 故选：A． 5．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分和两种情况分别求解即可． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 当时，整式方程无解； 当时，， 分式方程无解， 是方程的增根， ， 解得：； 综上所述，k的值为2或． 故选：A． 6．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可． 【详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， 且 故选：C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 8．当 时，分式的值为． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据分式的值为，分子等于分母不为，列式求解即可解答． 【详解】∵分式的值为， ∴且， ∴， 故答案为：． 9．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】/ 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：，，的分母分别是、、，故最简公分母为． 故答案是：． 10．写出一个使分式的值为负数的x的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式的值，根据两数相除同号得正，异号得负列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，， ∴， ∴， ∴x的值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 11．在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 【答案】/ 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：． 12．已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 【答案】5 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握解分式方程，先解，再将把代入，即可解答． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 关于的分式方程与的解相同， ∴将代入，得： ， 解得：， 故答案为：5． 13．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】/ 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，掌握分式方程的解法是解答本题的关键． 先去分母解化为整式方程，再根据分母等于0求出的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：， 两边都乘以，得， 化简得， ∵分式方程无解， ， ， ， 故答案为：． 14．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，根据题意，列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 15．若关于x的不等式组有且只有三个偶数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】14 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值．先根据不等式组“有且只有三个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到且，综合后即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 原不等式有且只有三个偶数解， ， ， 解分式方程得：， 原分式方程有解， ∴且 ∴且， 综上，且，为整数， 或8， 所有满足条件的整数的和是． 故答案为：14． 16．对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、分式的求值 【分析】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是结合新运算法则转化为分式运算．已知等式利用题中的新定义化简，计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）方程两边同时乘以，然后再进行求解方程即可； （2）方程两边同时乘以，然后再进行求解方程即可 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得， ， ， ， ， ， 检验：当时，方程左右两边相等． 所以原分式方程的解为． （2）解：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ； 检验：当时，最简公分母，原方程中的分式无意义； 所以原方程无解． 18．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式除法、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把除法转化为乘法，然后约分化简即可； （2）先通分，再按同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．已知均为非零的实数，且满足，求的值． 【答案】8或 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查比例的性质，分式的化简，掌握分式的性质是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当时；当时；代入计算即可求解． 【详解】解：当时，利用比例的性质化简已知等式得： ，即，，，整理得：， ∴原式 ； 当时，可得：， ∴原式； 综上可知， 的值为8或． 21．让我们来规定一种运算：，例如：，再如：．按照这种运算的规定，请解答下列问题： (1)求的值； (2)若 ，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】负整数指数幂、已知分式恒等式，确定分子或分母、分式加减混合运算 【分析】此题考查了新定义运算．熟练掌握有理数的四则运算，分式的加减，恒等原理，是解题的关键． （1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可； （2）根据新运算的定义式将原式左边化简为，可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ 且 ∴， ∴， ∴． 22．为庆祝附中博才建校十五周年，各校区开展了以“辉煌十五载，共逐幸福梦”为主题的校园文化艺术节，学校决定购买附中熊和博才牛两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知附中熊比博才牛每个多10元，用600元购买附中熊的个数恰好与用500元购买博才牛的个数相同． (1)求附中熊和博才牛的单价； (2)学校决定购买附中熊、博才牛两种奖品共60个，实际购买时，附中熊的售价打九折，博才牛的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过3100元，最多可购买多少个附中熊？ 【答案】(1)附中熊的单价是60元/件，博才牛的单价是50元/件 (2)最多可以购买25个附中熊 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设附中熊的单价是x元/件，则博才牛的单价是元/件，依题意：列式，再解出，最后验根，即可作答． （2）设购买m件附中熊，则购买件博才牛，再结合题意得，最后解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设附中熊的单价是x元/件，则博才牛的单价是元/件， 根据题意得：， 解得 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴． 答：附中熊的单价是60元/件，博才牛的单价是50元/件； （2）解：设购买m件附中熊，则购买件博才牛，根据题意得： ， 解得， 答：最多可以购买25个附中熊． 23．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 24．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 25．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【知识点】分式的求值、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 26．嘟嘟商店分别花费9000元、4800元一次性购买甲乙两种电纸书，已知购买甲电纸书的数量比乙电纸书的数量多，每台甲电纸书比每台乙电纸书的价格贵200元． (1)求甲、乙型号电纸书分别进价为多少元； (2)该店发现销售情况良好，第一批货卖完货，以相同进价再次购入电纸书，预计用不少于万元且不多于万元的资金购进这两种型号电纸书共20台， ①请问有多少种进货方案？ ②若甲型号电纸书的售价为1500元，乙型号电纸书的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号电纸书．返还顾客现金a元，甲型号电纸书售价不变，若①中购进的电纸书全部售完，且各方案获利相同，求a的值． 【答案】(1)甲型号电纸书进价为每台元，乙型号电纸书进价为每台元 (2)①有种进货方案② 【知识点】整式加减中的无关型问题、分式方程的经济问题、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，整式混合运算的应用； （1）等量关系式：购买甲型号电纸书的台数购买乙型号电纸书的台数，列方程，即可求解； （2）①不等关系式：购买甲型号电纸书的费用购买乙型号电纸书的费，列不等式组，解不等式组，即可求解； ②总利润甲型号电纸书的利润乙型号电纸书的利润，对其进行化简，最终的利润与购买的方案无关，即可求解． 找出等量关系式和不等关系式，能将实际问题转化为多项式中的不含某一项问题是解题的关键， 【详解】（1）解：设甲型号电纸书进价为每台元，则乙型号电纸书进价为每台（）元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， （元／台）， 答：甲型号电纸书进价为每台元，乙型号电纸书进价为每台元． （2）解：①设购买甲型号电纸书台，则购买乙型号电纸书（）台，由题意得 ， 解得：， 为非负整数， 可取、、、、、、、， 故有种进货方案； ②设获得总利润为元， ， ①中购进的电纸书全部售完，且各方案获利相同， 的值与无关， ， 解得：， 故a的值为． 27．新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√； (2)； (3)或 【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可； 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，方程无解，故①的答案是×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案是√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$