第10章 分式（单元复习 11个知识点+16类题型突破）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第10章 分式 01 思维导图 02 知识速记 一．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 二．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 三．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 四．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． （2）约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． （3）通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． （4）最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． （5）最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 六．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 七．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 八．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 九．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 十．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 十一．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 十二．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 十三．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 十四．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 十五．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 十六．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 03 题型归纳 题型一　分式的识别 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在，，，，中，分式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，即形如，其中，都是整式，且中含有字母，熟练掌握定义是解题的关键．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：在，，，，中，分式有，，共个， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在，，，，，中，分式有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期中）下列各式，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的判断，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母．根据判断一个式子是分式的条件：①分子、分母是整式；②分母中含有字母，且分母不等于0，据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：分母中不含有字母，不是分式； 分母中不含有字母，不是分式； 符合分式的定义，是分式； 分母中不含有字母，不是分式；即属于分式的有1个， 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列式子：，，，， ，，其中是分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式A和B，如果中分母B含有字母，那么叫分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，其中是分式的是，，，共3个， 故选：B． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式中，，，，，，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，根据定义逐个分析，即可求解． 【详解】解：在，，，，，中，，，是分式，共3个 故选：B． 题型二　分式有无意义的条件 例题：（24-25八年级上·北京延庆·期末）分式有意义，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解． 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式的值为零⇔分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意得，，解得：， 故选：A． 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：A．当时，即为任意实数时，分式有意义，故本选项符合题意； B．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； C．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； D．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】此题考查了分式无意义．解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件．分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 根据分母为0，分式无意义；分母不为零，分式有意义，逐一判断即得． 【详解】A、当时，分式有意义； B、当时，，分式有意义； C、当时，分式有意义； D、当时，，分式无意义． 故选：D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0． 根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由，得，故A不符合题意； B、由，得，故B符合题意； C、由，得，故C不符合题意； D、由，得，故D不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）x满足什么条件（    ），有意义 A． B． C．且 D．或 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件， 根据分式有意义的条件，即分母不等于0，可得，求出解即可． 【详解】因为有意义， 所以， 解得． 故选：B． 题型三　判断分式变形是否正确 例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【详解】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意； B、原变形错误，故本选项不符合题意； C、原变形错误，故本选项不符合题意； D、原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】A.，故选项错误，不符合题意； B. 当时，，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 2．（24-25八年级上·天津滨海新·期末）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意； ，则B不符合题意； 无法约分，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项不成立，不符合题意； B、，原选项不成立，不符合题意； C、，原选项成立，符合题意； D、，原选项不成立，不符合题意； 故选C． 4．（24-25八年级上·海南三亚·期末）下列分式的约分正确的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、分式中没有公因式，不能约分，故此选项错误，不符合题意； B、分式中没有公因式，不能约分，故此选项错误，不符合题意； C、分式中没有公因式，不能约分，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 题型四　利用分式的基本性质判断分式值的变化 例题：（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．不变 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据已知条件将都扩大3倍后化简是解题的关键． 根据已知条件将都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：把分式中和都扩大3倍， 即：， ∴分式的值不变． 故选：D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川广元·期末）若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的9倍 D．不变 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分式中的x、y分别用替换，求出替换后的结果即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x、y分别用替换后得到的分式为， ∴分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如果分式中的、都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大为到原来的3倍 D．扩大到原来的4倍 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】 ∴x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值扩大到原来的3倍． 故选：C 4.（2025八年级下·全国·专题练习）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小 C．缩小 D．不变 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质．将x，y用，代入化简，与原式比较即可． 【详解】解：将x，y用，代入得， 故分式的值不变． 故选：D． 题型五　最简分式 例题：（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据定义判断即可． 【详解】解：A．，故不是最简分式； B．，是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式； 故选B． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，分式的分子和分母除以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，据此逐个判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、，分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、分子分母不含公因式，该分式是最简分式，符合题意； 、分子分母含公因数，该分式不是最简分式，不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式的基本性质，最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式，进行解答，即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B 、是最简分式，符合题意； C、不是最简分式，不符合题意； D、不是最简分式，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断． 【详解】A. ，分母，分子与分母没有公因式，不能再约分，所以它是最简分式，故本选项符合题意； B. ，不是最简分式，故本选项不符合题意； C. ，不是最简分式，故本选项不符合题意； D. ，不是最简分式，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式”，逐个进行判断即可． 本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不是最简分式，不符合题意； B、，故选项不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故选项不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 题型六　最简公分母 例题：（24-25八年级上·广东东莞·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题关键．最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 故选：A． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期末）分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 先变形得到，然后根据最简公分母的定义进行判断即可． 【详解】解：， 的最简公分母为， 故选：D ． 2．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键． 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可求解． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）分式与 的最简公分母是 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．观察两个分式的分母，利用公因式即可求解． 【详解】解：∵的分母为， 的分母为， ∴两个分式的最简公分母为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查最简公分母的求法，掌握确定最简公分母的方法是解答的关键． 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：对于分式和，3和6的最小公倍数是6，字母a，b，c的最高次幂的积为， 因此分式和的最简公分母是． 故答案为：． 题型七　已知分式恒等式，确定分子或分母 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若，则_________，_________． 【答案】 2 1 【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案． 【详解】解： ∴A=2，B=1 故答案为：2，1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则． 巩固训练 1．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则_________________． 【答案】7 【分析】根据题意可进行通分，即，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①+②得：； 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键． 2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若恒成立，则A-B=__________． 【答案】2 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求． 【详解】解：等式整理得， ∴ ∴A-B＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求解． 题型八　分式加减混合运算 例题：（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减混合运算 【详解】（1）原式． （2）原式 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】异分母分式加减法、分式加减混合运算 【分析】（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可； （2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】分式加减混合运算 【分析】（1）分式的分母相同，直接相减进行计算； （2）分式的公分母为，先通分，在进行计算； （3）直接进行通分，在进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】因式分解的应用、分式加减混合运算 【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减； （2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式； （3）通分，最简公分母为； （4）把看成是一项，为，再通分； （5）前两项先通分，再依次计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键． 题型九　分式乘除混合运算 例题：（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）分式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可； （2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解∶ 原式 ； （2）解：原式 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法、分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘法和除法运算，根据法则计算即可． （1）约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，再按乘法法则化简． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】分式乘法、分式除法、分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）按照分式的乘法法则进行计算即可； （2）按照分式的除法法则进行计算即可； （3）将除法变成乘法，然后按照分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】（1）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （3）先除法运算化为乘法运算，然后约分即可． （4）先除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，要注意运算顺序．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 题型十　含乘方的分式乘除混合运算 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算： 【答案】 【分析】先计算乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除法，解本题的关键在熟练掌握其运算法则． 巩固训练 1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再约分即可得出答案； （2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算： （1）； （2）； （3）•÷； （4）． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4） 【分析】（1）先计算乘方，同时将除法化为乘法，再计算乘法； （2）先计算乘方，将除法化为乘法，再计算乘法； （3）先将除法化为乘法，将分子与分母分解因式，再计算乘法； （4）将分子与分母分解因式，除法化为乘法，计算乘法即可． 【详解】解：（1）原式=）=； （2）原式==1； （3）原式==； （4）原式==． 【点睛】此题考查分式的计算，掌握分式的乘方计算法则，乘除法计算法则，因式分解的方法是解题的关键． 题型十一　分式化简求值 例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法，最后将代入计算即可，掌握分式的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 巩固训练 1．（24-25八年级上·青海西宁·期末）先化简，再求值：，其中m从0，2，3，4中取一个合适的数代入求值． 【答案】，1 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴当时，原式． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 当时， 原式， ． 3．（24-25九年级上·江西·期末）化简求值：，再从，0，1，2中选取一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 要使分式有意义， ∴，， ∴当时，原式； 4．（24-25八年级上·四川广安·期末）先化简：，再从，0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，3 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号，再算除法，最后根据分式分母不为0选取代入求值即可． 【详解】解： ． ，且， 当时，原式． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）先化简，再求值：，其中是不大于3的正整数． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值问题．注意，取合适的值即可求解； 【详解】解：原式 ∵， ∴且且， ∵是不大于3的正整数． ∴， ∴原式 题型十二　分式方程的定义 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程， D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A.是分式方程，不符合题意； B. 不是分式方程，符合题意； C. 是分式方程，不符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 题型十三　解分式方程 例题：（24-25八年级上·海南海口·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． （1）分式方程两边同时乘以去分母，将分式方程转化为一元一次方程，解一元一次方程，检验根，即可求解； （2）分式方程两边同时乘以去分母，将分式方程转化为一元一次方程，解一元一次方程，检验根，即可求解． 【详解】（1）解： 分式方程变形得， 分式方程两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解： 分式方程变形得，， 分式方程两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得， 检验，当时，，原分式方程无意义， ∴原分式方程无解． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)原方程无解． 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，其步骤为：先将方程去分母，再解整式方程，最后检验，得到原方程的解． （1）先将方程去分母，再解整式方程，解得：，经检验，是原分式方程的解， （2）先将方程去分母，再解整式方程，解得：，经检验不是原分式方程的解，原方程无解． 【详解】（1）解：， 去分母，两边同乘，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ； （2）解：， 即：， 去分母，两边同乘，得：， 解得：， 检验：把代入，得：， 不是原分式方程的解， 原方程无解． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，正确的计算，注意，最后要进行检验． （1）将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得， 检验：时， ∴原分式方程的解为； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得， 检验：时，， ∴原分式方程无解． 3．（24-25八年级上·山东东营·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)方程无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）解：，即， 两边都乘以，得， 解得． 检验：当时，， ∴原方程的解为； （2）解：， 两边都乘以，得 ，即， 解得． 检验：当时，， ∴是原方程的增根，即原方程无解． 4．（24-25八年级上·江西南昌·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）先把原方程化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案； （2）先把原方程化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程增根， ∴原方程无解． 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法与步骤是解题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 经检验，使得分母无意义，故是原方程的增根， ∴原分式方程无解． 6．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）解分式方程． (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解： 原方程去分母得：, 解得：， 检验：将代入得， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：， ， 原方程去分母得：, 解得：， 检验：将代入， 故原方程的解为 7．（2025八年级下·全国·专题练习）解分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是去分母，把分式方程化为整式方程，最后注意检验是否为增根． （1）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案； （2）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案； （3）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案； （4）去分母化成整式方程，解方程，最后检验即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为； （3）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为； （4）解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入得， ∴分式方程的解为． 题型十四　解分式方程错解复原问题 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… (1)第二步的解题依据是______； A．分式的性质    B．等式的性质    C．单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； (3)请写出该分式方程的正确解答过程． 【答案】(1)B (2)三；去括号时，括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号 (3)见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程．解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算． （1）根据去分母的基本原理进行解答即可； （2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可； （3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可． 【详解】（1）解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确； 故选：B． （2）解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号． （3）解：， 整理得：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 巩固训练 1．（2024·宁夏银川·二模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：去分母，得   …………第一步 去括号，得   …………第二步 移项、合并同类项，得   …………第三步 解得， …………第四步 则原分式方程的解为…………第五步 (1)第一步的依据是________________________________； (2)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)五，没有对分式方程的根进行检验 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）根据题意可知，第一步的依据是等式的性质； （2）观察可知，分式方程的解为原方程的增根，即在第五步错误，没有对分式方程的解进行检验． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，第一步的依据是等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； （2）解：观察可知，上面的解题过程从第五步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的根进行检验， 故答案为：五；没有对分式方程的根进行检验． 2．（23-24九年级下·江西宜春·期中）以下是小明同学解分式方程的过程： 解：……第一步， ……第二步， ……第三步， ，……第四步， 经检验：，是原方程的解． (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是（    ） A．不等式的基本性质   B．等式的基本性质   C．分式的基本性质 (2)从第＿＿＿＿步开始出现错误，这一步错误的原因是＿＿＿＿； (3)请求出该方程的正确解． 【答案】(1)B (2)一；去分母时，第二项没有乘以 (3) 【分析】（1）在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， （2）第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以， （3）根据解分式方程的方法，即可求解， 本题考查了，解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法． 【详解】（1）解：在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， 故答案为：B， （2）解：第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以， 故答案为：一；去分母时，第二项没有乘以， （3）解： ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 3．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】问题一：①A；②二，去括号时第二项没有乘以2；问题二：该方程的正确解是；问题三：除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法． 问题一：①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 问题二：根据解分式方程的方法解方程即可； 问题三：根据解分式方程时常见的错误解答即可． 【详解】解：问题一： ①在等式两边同时乘以，等式不变，依据是等式的基本性质， 故答案为：A； ②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2； 故答案为：二；去括号时第二项没有乘以2 问题二： 方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项并合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为： 问题三： 除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验． 题型十五　列分式方程 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了列分式方程，设这批椽的数量为株，根据“这批椽的价钱为文”、“每株椽的运费为文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设这批椽的数量为株，根据题意得，， 故选A. 2．（24-25八年级上·云南昆明·期末）2024年11月6日8时许，今年首批大约300多只进城的红嘴鸥“先遣部队”飞临翠湖公园，随后，陆续抵达昆明过冬的红嘴鸥将逐渐增多．为保护好这些远道而来的小精灵，小红、小丽两名同学动手折纸红嘴鸥，准备周末到翠湖公园送给游客，并倡导大家“爱鸥护鸥，文明观赏”．已知小红每小时比小丽多折6只红嘴鸥，小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等，求小红、小丽每小时各折红嘴鸥多少只？如果设小丽每小时折只红嘴鸥，那么列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的分式方程． 根据“小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等”可以列出方程 ，本题得以解决． 【详解】解：设小丽每小时折只红嘴鸥，则小红每小时折只红嘴鸥 又小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等 ∴ 故选：D 3．（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为千米/时，根据题意列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．根据等量关系：轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，列方程即可． 【详解】解：依题意有：， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】设规定时间为x天， 根据题意得，． 故答案为：． 题型十六　分式方程的实际应用 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·期中）生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了20%，生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱． (1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ (2)经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共2784人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 【答案】(1)上周生物老师购买洋葱的单价为0.5元/斤 (2)生物老师至少要再购买26斤洋葱 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为元/斤，根据“生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱葱”列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设生物老师还需再购买洋葱m斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设上周生物老师购买洋葱的单价为元斤，则本周所买洋葱的单价为元斤， 根据题意可列方程：， 解得， 经检验：是原方程的根且符合题意． 答：上周生物老师购买洋葱的单价为0.5元斤； （2）解：设生物老师还需再购买洋葱斤， 则有， 解得， 答：生物老师至少要再购买26斤洋葱． 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款窗花各多少个？ (2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 【答案】(1)答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个 (2)答：每个窗花的售价至少为元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，根据题意列出方程，，解出，进行解答，即可； （2）根据利润等于售价减去单价，根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， ∵某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花，第二次购进的数量是第一次的倍， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴第一次购进窗花是数量为：个，第一次购进窗花是数量为：个， 答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个． （2）解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元， 设每个窗花的售价为元， ∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于元， ∴， ∴， 答：每个窗花的售价至少为元． 2．（24-25九年级上·重庆·期末）2024年11月11日，重庆“梁平柚”被列入第二批国家农产品地理标志，是全国三大名柚之一，特点是浓烈蜜香、纯甜嫩脆，深受消费者的喜爱．某超市按大小把“梁平柚”分成大果和小果出售． (1)某公司为员工发福利，预计花费3050元购买大果和小果共400千克，此时大果售价为每千克8元，小果售价为每千克7元．求购买大果和小果各多少千克？ (2)由于春节临近，超市下调柚子价格，现该公司一次性购买大果、小果若干，其中大果共花费1920元，小果花费720元，已知购买大果的数量是小果的2倍，下调价格后大果比小果每千克贵1.5元．分别求大果和小果价格下调后每千克的售价？ 【答案】(1)购买大果千克，小果各千克； (2)小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用． （1）设购买大果千克，小果各千克，利用总价=单价数量，结合花费3050元购买大果和小果共400千克，列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到结论； （2）设小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元，利用数量=总价单价，结合购买大果的数量是小果的2倍，列出关于的分式方程，据此求解即可得到结论． 【详解】（1）解：设购买大果千克，小果各千克， 由题意得， 解得， 答：购买大果千克，小果各千克； （2）解：设小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 解：小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）为培养学生的动手实验能力，某校初二年级购进光学和电学两种实验器材，花费分别是35000元和70000元，已知电学器材的订购单价是光学器材订购单价的1.4倍，并且订购的电学器材的数量比光学器材的数量多150套．设购买光学器材的单价为x元． (1)根据题意，用含x的式子填写下表： 单价（元） 数量（套） 总费用（元） 光学 x 35000 电学 70000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的两种实验器材的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种器材共10套来备用，其中电学器材订购数量不低于3套，且两种器材总费用不超过1240元，这个班订购这两种器材有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)电学器材的订购单价是每套元，光学器材的单价是每套100元 (3)1120元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）利用数量总价单价填表即可； （2）利用订购的电学器材的数量比光学器材的数量多150套建立方程，求解即可； （3）设电学器材的订购套，则光学器材订购套，建立不等式组，求出的情况，再分类讨论计算比较即可． 【详解】（1）解：光学器材的单价为x元，则购买数量为， ∵电学器材的订购单价是光学器材订购单价的1.4倍， ∴电学器材的单价为元，则购买数量为， 则填表如下： 单价（元） 数量（套） 总费用（元） 光学 x 35000 电学 70000 （2）解：由题意得，， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验：，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：电学器材的订购单价是每套元，光学器材的单价是每套100元； （3）解：设电学器材的订购套，则光学器材订购套， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴可取， ∴有4种方案， 方案一：电学器材的订购3套，则光学器材订购7套，费用为元； 方案二：电学器材的订购4套，则光学器材订购6套，费用为元； 方案一：电学器材的订购5套，则光学器材订购5套，费用为元； 方案二：电学器材的订购6套，则光学器材订购4套，费用为元， ∵， ∴按照这些方案订购最低总费用为1120元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 分式 01 思维导图 02 知识速记 一．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 二．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 三．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 四．分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． （2）约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． （3）通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． （4）最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． （5）最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 六．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 七．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 八．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 九．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 十．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 十一．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 十二．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 十三．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 十四．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 十五．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 十六．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 03 题型归纳 题型一　分式的识别 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在，，，，中，分式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在，，，，，中，分式有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·山东淄博·期中）下列各式，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列式子：，，，， ，，其中是分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式中，，，，，，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二　分式有无意义的条件 例题：（24-25八年级上·北京延庆·期末）分式有意义，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）x满足什么条件（    ），有意义 A． B． C．且 D．或 题型三　判断分式变形是否正确 例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·天津滨海新·期末）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·海南三亚·期末）下列分式的约分正确的是(      ) A． B． C． D． 题型四　利用分式的基本性质判断分式值的变化 例题：（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．不变 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川广元·期末）若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的9倍 D．不变 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 3．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如果分式中的、都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大为到原来的3倍 D．扩大到原来的4倍 4.（2025八年级下·全国·专题练习）如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小 C．缩小 D．不变 题型五　最简分式 例题：（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 题型六　最简公分母 例题：（24-25八年级上·广东东莞·期末）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期末）分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）分式与的最简公分母是 ． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）分式与 的最简公分母是 4．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）分式与的最简公分母是 ． 题型七　已知分式恒等式，确定分子或分母 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若，则_________，_________． 巩固训练 1．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，则_________________． 2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若恒成立，则A-B=__________． 题型八　分式加减混合运算 例题：（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 题型九　分式乘除混合运算 例题：（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）分式计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3)； (4)． 题型十　含乘方的分式乘除混合运算 例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算： 巩固训练 1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算： (1)； (2)． 2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算： （1）； （2）； （3）•÷； （4）． 题型十一　分式化简求值 例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 巩固训练 1．（24-25八年级上·青海西宁·期末）先化简，再求值：，其中m从0，2，3，4中取一个合适的数代入求值． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（24-25九年级上·江西·期末）化简求值：，再从，0，1，2中选取一个合适的数代入求值． 4．（24-25八年级上·四川广安·期末）先化简：，再从，0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 5．（24-25八年级上·广东广州·期末）先化简，再求值：，其中是不大于3的正整数． 题型十二　分式方程的定义 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型十三　解分式方程 例题：（24-25八年级上·海南海口·期末）解方程 (1)； (2)． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解方程： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）解分式方程： (1) (2) 3．（24-25八年级上·山东东营·期末）解方程 (1) (2) 4．（24-25八年级上·江西南昌·期末）解方程： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）解分式方程： (1) (2) 6．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期末）解分式方程． (1)； (2)． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）解分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十四　解分式方程错解复原问题 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… (1)第二步的解题依据是______； A．分式的性质    B．等式的性质    C．单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； (3)请写出该分式方程的正确解答过程． 巩固训练 1．（2024·宁夏银川·二模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：去分母，得   …………第一步 去括号，得   …………第二步 移项、合并同类项，得   …………第三步 解得， …………第四步 则原分式方程的解为…………第五步 (1)第一步的依据是________________________________； (2)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． 2．（23-24九年级下·江西宜春·期中）以下是小明同学解分式方程的过程： 解：……第一步， ……第二步， ……第三步， ，……第四步， 经检验：，是原方程的解． (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是（    ） A．不等式的基本性质   B．等式的基本性质   C．分式的基本性质 (2)从第＿＿＿＿步开始出现错误，这一步错误的原因是＿＿＿＿； (3)请求出该方程的正确解． 3．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 检验：当时， 所以，是原方程的根． 问题一： ①以上解题过程中，第一步是依据　　　进行变形的； A．等式的基本性质    B．不等式的基本性质    C．分式的基本性质 ②从第　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　； 问题二：该方程的正确解是　　　； 问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 题型十五　列分式方程 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期末）2024年11月6日8时许，今年首批大约300多只进城的红嘴鸥“先遣部队”飞临翠湖公园，随后，陆续抵达昆明过冬的红嘴鸥将逐渐增多．为保护好这些远道而来的小精灵，小红、小丽两名同学动手折纸红嘴鸥，准备周末到翠湖公园送给游客，并倡导大家“爱鸥护鸥，文明观赏”．已知小红每小时比小丽多折6只红嘴鸥，小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等，求小红、小丽每小时各折红嘴鸥多少只？如果设小丽每小时折只红嘴鸥，那么列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为千米/时，根据题意列方程为 ． 4．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为 ． 题型十六　分式方程的实际应用 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·期中）生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了20%，生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱． (1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ (2)经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共2784人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 巩固训练 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款窗花各多少个？ (2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？ 2．（24-25九年级上·重庆·期末）2024年11月11日，重庆“梁平柚”被列入第二批国家农产品地理标志，是全国三大名柚之一，特点是浓烈蜜香、纯甜嫩脆，深受消费者的喜爱．某超市按大小把“梁平柚”分成大果和小果出售． (1)某公司为员工发福利，预计花费3050元购买大果和小果共400千克，此时大果售价为每千克8元，小果售价为每千克7元．求购买大果和小果各多少千克？ (2)由于春节临近，超市下调柚子价格，现该公司一次性购买大果、小果若干，其中大果共花费1920元，小果花费720元，已知购买大果的数量是小果的2倍，下调价格后大果比小果每千克贵1.5元．分别求大果和小果价格下调后每千克的售价？ 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）为培养学生的动手实验能力，某校初二年级购进光学和电学两种实验器材，花费分别是35000元和70000元，已知电学器材的订购单价是光学器材订购单价的1.4倍，并且订购的电学器材的数量比光学器材的数量多150套．设购买光学器材的单价为x元． (1)根据题意，用含x的式子填写下表： 单价（元） 数量（套） 总费用（元） 光学 x 35000 电学 70000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的两种实验器材的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种器材共10套来备用，其中电学器材订购数量不低于3套，且两种器材总费用不超过1240元，这个班订购这两种器材有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$