第8章 认识概率（单元复习 3个知识点+7类题型突破）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（苏科版）

第8章 认识概率 01 思维导图 02 知识速记 一、确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 二、初步认识概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 三、用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 03 题型归纳 题型一　确定事件和随机事件 例题：（24-25八年级上·四川成都·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有1张中奖 C．抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．任意一个三角形，其内角和为是必然事件 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列事件中，属于必然事件的是（） A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．明天太阳从西方升起 B．从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C．奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 题型二　可能性的大小 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次． (1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？ (2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？ (3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？ 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）一幅张的扑克牌（无大、小王），从中任意取出一张，共有种可能的结果． (1)说出抽到A的所有可能的结果； (2)求抽到梅花A的可能性的大小； (3)求抽到A的可能性大小； (4)求抽到梅花的可能性大小． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题： (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示） 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球 (1)摸到哪种颜色球的可能性大？ (2)请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同． 题型三　关于频率与概率关系说法的正误 例题：（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 巩固训练 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 2．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 3．（2023·山西吕梁·一模）生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 题型四　求某事件的频率 例题：（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为 ． 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 3．（2024·北京昌平·二模）年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 题型五　用频率估计概率 例题：（24-25九年级上·浙江衢州·期中）下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种苹果树苗的移植成活的概率为 ． 移植的棵数 100 200 500 1000 2000 成活的棵数 81 156 395 800 1600 成活的频率 0.81 0.78 0.79 0.80 0.80 巩固训练 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）对一批灯泡进行抽检，统计合格灯泡的只数，得到合格灯泡的频率见下表： 抽取只数/只 合格频率 估计从该批次灯泡中任抽一只灯泡是合格品的概率为 ． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是 ． 3．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示： 试验的麦粒数 100 200 500 1000 2000 发芽的麦粒数 91 178 450 900 1820 发芽的频率 0.91 0.89 0.90 0.90 0.91 通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为 ．（精确到0.1） 题型六　已知概率求数量 例题：（24-25九年级上·广东珠海·期中）袋子里装有红、黄两种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，如果袋中有红球有3个，则袋中的黄球有 个． 巩固训练 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）一个纸箱中混装有75颗白棋子和若干颗黑棋子，现将纸箱中棋子搅匀，并从中取出36颗棋子，数得黑棋子有9颗，据此估计该纸箱装有黑棋子约有 颗． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为 ． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外其余都相同．若每次摇匀后，从中随机摸出一球，记下颜色后放回袋中，大量重复上述实验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋子中白球有 个． 4．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 题型七　频率和概率的综合应用 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条作下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数 94 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.95 0.953 0.9496 (1)上表中的________，________． (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是________．（结果精确到0.01） (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多少粒种子进行发芽培育？ 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示： 射击次数 10 20 50 100 200 500 1000 2000 击中10环次数 8 19 44 93 178 453 899 1802 击中10环频率 (1)计算表中击中10环的各个频率； (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？ 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个，这些球除颜色不同外，其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）． (2)试估算口袋中白球的个数． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）阅读下列材料：模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试验．例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时，可以用12个编有号码、大小相同的球代替12种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同．因此可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码，放回去，……，直至摸到第6个球，记下第6个号码，到此为一次模拟试验．重复多次这样的试验，即可估计6人中2人生肖相同的概率……； 小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验，他们重复了多次这样的模拟实验，根据实验结果制成的统计表如下： 实验总次数 50 100 200 300 500 1000 1500 “有2个小球号码相同”的次数 38 75 160 234 395 810 1185 “有2个小球号码相同”的频率 0 0.75 0.80 0.78 0.79 k (1)表格中的值为_____． (2)根据表格中的数据可估算6个人中有2个人生肖相同的概率大约是______．（精确到0.1） (3)若要估计“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模拟试验方法，则需要准备__________个球，一次模拟试验需要记录__________个号码． 4．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） (2)试估算口袋中白球有多少只？ (3)请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 认识概率 01 思维导图 02 知识速记 一、确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 二、初步认识概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 三、用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 03 题型归纳 题型一　确定事件和随机事件 例题：（24-25八年级上·四川成都·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有1张中奖 C．抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．任意一个三角形，其内角和为是必然事件 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此对各选项分析判断求解． 【详解】解：A、打开电视机，正在播放广告是随机事件，故本选项符合题意； B、某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票不一定会中奖，故本选项不符合题意； C、抛掷1枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故本选项不符合题意； D、任意一个三角形，其内角和为是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列事件中，属于必然事件的是（） A．小明买彩票中奖 B．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C．任意三角形的两边，其差小于第三边 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件，理解事件的分类是解题的关键．根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念求解． 【详解】解：A：小明买彩票中奖属于随机事件； B：任意抛掷一只纸杯，杯口朝下属于随机事件； C：任意三角形的两边之差都小于第三边，是必然事件； D：在一个没有红球的盒子里摸到红球是不可能事件． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．明天太阳从西方升起 B．从装有6个白球的袋中摸出一个红球 C．奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心 D．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是随机事件的分类，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、明天太阳从西方升起是不可能事件，不符合题意； B、从装有6个白球的袋中摸出一个红球是不可能事件，不符合题意； C、奥运射击冠军杨倩射击一次，命中靶心是随机事件，符合题意； D、掷一次骰子，朝上一面的点数大于0是必然事件，不符合题意； 故选：C． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件，根据事件发生的可能性大小判断即可求解，掌握不可能事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件，说法正确，符合题意； 故选：． 题型二　可能性的大小 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次． (1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？ (2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？ (3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？ 【答案】(1)这种说法不正确，理由见解析； (2)说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件； (3)不对，理由见解析． 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断即可； （2）根据事件发生的可能性进行判断即可； （3）根据事件发生的可能性进行判断即可； 【详解】（1）解：小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）解：小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件； （3）解：小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对，因为红球数、黄球数及白球数不相等时，他们的可能性就不一样． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）一幅张的扑克牌（无大、小王），从中任意取出一张，共有种可能的结果． (1)说出抽到A的所有可能的结果； (2)求抽到梅花A的可能性的大小； (3)求抽到A的可能性大小； (4)求抽到梅花的可能性大小． 【答案】(1)红桃A、方块A、梅花A、黑桃A (2) (3) (4) 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了简单事件发生的可能性的求解，即用“可能性所求情况数总情况数”去解答． （1）根据扑克牌的特点求解即可； （2）用梅花A的数量除以总数量即可求解； （3）用A的数量除以总数量即可求解； （4）用梅花的数量除以总数量即可求解． 【详解】（1）抽到A的所有可能的结果有：红桃A、方块A、梅花A、黑桃A； （2）∵有1张梅花A，共有52张牌， ∴抽到梅花A的可能性的大小为； （3）∵有4张A，共有52张牌， ∴抽到A的可能性的大小为； （4）∵有13张梅花，共有52张牌， ∴抽到梅花的可能性的大小为． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球观察它的颜色．下列事件：①摸出的球是红色；②摸出的球是白色；③摸出的球是黄色；④摸出的球不是白色；⑤摸出的球不是黄色，估计各事件发生的可能性大小，回答下列问题： (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．（用序号表示） 【答案】(1)可能性最大的是④，最小的是② (2)②③①⑤④ 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题主要考查可能性的大小； （1）分别用该事件中颜色球的个数除以球的总个数求得事件可能性大小，继而可得答案； （2）依据（1）中所得答案即可得． 【详解】（1）由题意知，①摸出的球是红色的可能性大小为； ②摸出的球是白色的可能性大小为； ③摸出的球是黄色的可能性大小为； ④摸出的球不是白色的可能性大小为； ⑤摸出的球不是黄色的可能性大小为； 所以可能性最大的是④，最小的是②； （2）由（1）知， ∴将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列是：②③①⑤④． 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球 (1)摸到哪种颜色球的可能性大？ (2)请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同． 【答案】(1)摸到黄球的可能性大 (2)放入两个红球 【知识点】根据概率公式计算概率、判断事件发生的可能性的大小 【分析】（1）分别利用概率公式求得摸到红球的概率和摸到黄球的概率，对比即可求解； （2）另外放入2个红球，那么共有10个球，每种球各有5个时，摸到红球和黄球的概率相等． 【详解】（1）∵摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为：， ∴摸到黄球的可能性大； （2）∵要使得“摸出红球” 和“摸出黄球”的可能性大小相同， ∴使得两种球的数量相同， ∴放入2个红球即可． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 题型三　关于频率与概率关系说法的正误 例题：（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 【答案】D 【知识点】事件的分类、关于频率与概率关系说法的正误、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了随机事件，利用频率估计概率等知识点，正确理解随机事件的概念是解题的关键． 根据随机事件的概念，利用频率估计概率的原理分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，不是不可能事件，故选项不符合题意； B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，不是必然事件，故选项不符合题意； C. 投掷一枚图钉，由于“钉尖朝上”和“钉尖朝下”的可能性不是均等的，因此要获得“钉尖朝上”的概率不可以用列举法求得，可以利用实验的方法，故选项不符合题意； D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，故选项符合题意； 故选：． 2．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 3．（2023·山西吕梁·一模）生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 【答案】B 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值即可判断C、D；根据随着试验次数的增加，频率都会稳定在一个值附近即可判断A、B． 【详解】解：A、增加试验的次数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率不一定就更加接近于，原说法错误，不符合题意； B、随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于，原说法正确，符合题意； C、培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为，原说法错误，不符合题意； D、培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，频率的意义，正确理解题意是解题的关键． 题型四　求某事件的频率 例题：（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意； C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； 故选：C． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为 ． 【答案】 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率=频数÷总次数，进行计算，得到答案． 【详解】解：∵8个数字中2出现了5次， ∴这组数字中2出现的频率， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 【答案】 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为， 故答案为：． 3．（2024·北京昌平·二模）年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 题型五　用频率估计概率 例题：（24-25九年级上·浙江衢州·期中）下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种苹果树苗的移植成活的概率为 ． 移植的棵数 100 200 500 1000 2000 成活的棵数 81 156 395 800 1600 成活的频率 0.81 0.78 0.79 0.80 0.80 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了由频率估计概率，解题的关键是熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值． 【详解】解：由表格的数据可知，随着试验次数的增加，该苹果树苗的成活的频率稳定在左右， 估计这种苹果树苗的移植成活的概率为， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）对一批灯泡进行抽检，统计合格灯泡的只数，得到合格灯泡的频率见下表： 抽取只数/只 合格频率 估计从该批次灯泡中任抽一只灯泡是合格品的概率为 ． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到灯泡合格的概率即可． 【详解】解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于， 估计从该批次口罩中任抽一只灯泡是合格品的概率为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是 ． 【答案】白球 【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，概率的计算，熟练掌握概率计算方法是解题的关键． 观察统计图得该球得频率稳定在0.20左右，进而计算抽到每种颜色球的概率即可判断． 【详解】解：观察统计图可知，该球得频率稳定在0.20左右， ∴抽到该球的概率为0.20， ∵抽到黄球概率为，抽到白球概率为，抽到红球概率为， ∴该球最有可能是白球， 故答案为：白球． 3．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示： 试验的麦粒数 100 200 500 1000 2000 发芽的麦粒数 91 178 450 900 1820 发芽的频率 0.91 0.89 0.90 0.90 0.91 通过试验，估计在这批麦粒中任取1粒能发芽的概率为 ．（精确到0.1） 【答案】0.9 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据表格可知：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.9左右，据此解答． 【详解】解：由表格可知，随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.9左右， 故答案为：0.9． 题型六　已知概率求数量 例题：（24-25九年级上·广东珠海·期中）袋子里装有红、黄两种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，如果袋中有红球有3个，则袋中的黄球有 个． 【答案】12 【知识点】分式方程的实际应用、已知概率求数量 【分析】本题考查了概率公式的应用．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 设黄球共个，利用概率公式列式求得的值即可． 【详解】解：设黄球共个，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 所以黄球共有12个， 故答案为：12． 巩固训练 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）一个纸箱中混装有75颗白棋子和若干颗黑棋子，现将纸箱中棋子搅匀，并从中取出36颗棋子，数得黑棋子有9颗，据此估计该纸箱装有黑棋子约有 颗． 【答案】25 【知识点】分式方程的实际应用、由样本所占百分比估计总体的数量、已知概率求数量 【分析】设有颗黑棋子，根据样本估计总体得到方程，再解方程即可求解； 本题主要考查用样本估计总体的统计思想、频率的意义与作用、分式方程的解法． 【详解】解：设有颗黑棋子，依题意得： 解得 经检验：是原方程的解． 故答案为：25． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在一个不透明的箱子里装有个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出的值为 ． 【答案】 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴， ∴．经检验符合题意； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外其余都相同．若每次摇匀后，从中随机摸出一球，记下颜色后放回袋中，大量重复上述实验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋子中白球有 个． 【答案】 【知识点】解分式方程、根据概率公式计算概率、已知概率求数量 【分析】本题考查了分式方程，频率估算概率，概率的计算，根据题意，设白球有个，则袋子中的球有个，根据摸到黑球的频率稳定在，列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设白球有个，则袋子中的球有个， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为， ∴是原分式方程的解， ∴袋子中白球有个， 故答案为： ． 4．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 【答案】35 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题主要考查了已知频率求相关数量，正确列出方程是解题的关键． 设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【详解】设袋中红色幸运星有颗， 根据题意，得：， 解得：． 故答案为：35． 题型七　频率和概率的综合应用 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条作下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数 94 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.95 0.953 0.9496 (1)上表中的________，________． (2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是________．（结果精确到0.01） (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多少粒种子进行发芽培育？ 【答案】(1)191， (2) (3)需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决本题的关键． （1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可； （2）根据概率与频率的关系解答即可． （3）用9500除以发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：191，； （2）解：∵随着实验种子数的增加，频率稳定在， ∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是． 故答案为：； （3）解：， 答：需要准备10000粒种子进行发芽培育． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示： 射击次数 10 20 50 100 200 500 1000 2000 击中10环次数 8 19 44 93 178 453 899 1802 击中10环频率 (1)计算表中击中10环的各个频率； (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9 【知识点】有理数的除法运算、由频率估计概率 【分析】本题考查有理数除法，由频率估计概率等． （1）按表格中所给数据计算即可； （2）在大次数的试验中，某一事件发生的频率逐渐接近该事件发生的概率，并围绕概率作小幅波动，结合（1）中计算所得数据可以估计出这么运动员射击一次，击中10环的概率． 【详解】（1）解：计算结果如下表： 射击次数n 10 20 50 100 500 1000 2000 击中10环次数m 8 19 44 93 178 453 899 1802 击中10环频率 （2）解：∵由（1）中的计算结果可知，这名运动员的频率随着射击次数的增加，击中10环的频率逐渐稳定在附近，并围绕作小幅波动， ∴由此估计这名运动员射击一次，击中10环的概率为． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个，这些球除颜色不同外，其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）． (2)试估算口袋中白球的个数． 【答案】(1)0.6 (2)估算口袋中白球的个数为3 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，解题的关键是明确频率和概率之间的关系． （1）观察表格可知，摸到白球的频率在0.6附近，据此即可解答； （2）用球的总数乘以摸到白球的概率即可确定白球的个数． 【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6． 故答案为：0.6； （2）解：由（1），可估计摸到白球的概率为0.6， （个）． 答：估算口袋中白球的个数为3． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）阅读下列材料：模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试验．例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时，可以用12个编有号码、大小相同的球代替12种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同．因此可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码，放回去，……，直至摸到第6个球，记下第6个号码，到此为一次模拟试验．重复多次这样的试验，即可估计6人中2人生肖相同的概率……； 小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验，他们重复了多次这样的模拟实验，根据实验结果制成的统计表如下： 实验总次数 50 100 200 300 500 1000 1500 “有2个小球号码相同”的次数 38 75 160 234 395 810 1185 “有2个小球号码相同”的频率 0 0.75 0.80 0.78 0.79 k (1)表格中的值为_____． (2)根据表格中的数据可估算6个人中有2个人生肖相同的概率大约是______．（精确到0.1） (3)若要估计“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模拟试验方法，则需要准备__________个球，一次模拟试验需要记录__________个号码． 【答案】(1) (2) (3)12；5 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率总在某个固定值附近摆动，这个固定值就是概率，理解这一核心思想是解题的关键． （1）根据频率等于频数与试验总次数的比，即可求得k的值； （2）根据不同试验次数的频率，除了试验次数为50次的除外，其余的频率都在及以上，基本稳定在，按精度要求为，即可求解； （3）由于有12种不同的生肖，要有12个大小形状一样且编有号码的球，每个人的生肖都对应着一个号码，每次取一个球，记下号码后再放入，共取5次即为一次实验，不断重复这样的试验即可进行模拟． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：试验次数为50次时频率为0，其余的频率都在及以上，基本稳定在， 而； 故答案为：； （3）解： 12种不同的生肖，对应12个大小形状一样且有编号的球，每个人的生肖都对应着一个号码，每次取一个球，记下号码后再放入，共取5次即为一次试验，多次重复此试验即可进行模拟；因此要准备12个球，一次模拟记录5个球； 故答案为：12；5． 4．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） (2)试估算口袋中白球有多少只？ (3)请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 【答案】(1)0.6 (2)3 (3)再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一） 【知识点】根据概率作判断、已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率； （1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近0.6，据此可得答案； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算即可； （3）只要黄球的个数大于白球的个数时即可，答案不唯一． 【详解】（1）当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （2）可估计摸到白球的概率为0.6， （只， 答：估算口袋中白球有3只； （3）由（2）可知白球有3只，黄球有2只， 再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$