第十九章 一次函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第十九章 一次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在球的体积公式中，下列说法正确的是（    ） A．是变量，是常量 B．V、r是变量，是常量 C．V、r是变量，是常量 D．以上都不对 2．下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，都在一次函数的图象上，则的值为（    ） A． B．4 C．8 D．10 5．若点，，在一次函数（为常数，且）的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．如图是某市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．当日最低气温是 B．从早上时开始气温逐渐升高，直到时到达当日最高气温 C．当日气温为的时间点有两个 D．当日气温在以下的时长超过个小时 7．如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（   ） A．B．C．D． 8．小鹿在研究一次函数时，作出了如下表所示的x与y的部分对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 4 1 … A． B．直线可由直线向上平移1个单位长度得到 C．若，则 D．直线过第一、二、四象限 9．如图，一次函数与的图象交于点，下列结论正确的是（） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解为 10．如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．函数中，自变量x的取值范围是 ． 12．一次函数的图象经过点，则 ． 13．已知点，都在直线上，则 （用“、、”填空）． 14．已知等腰三角形的周长为，设腰长为，底边为，试写出与的函数表达式 ． 15．若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是 ． 16．已知一次函数．若当时，函数有最小值，则k的值为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． 19．某机动车出发前油箱内有升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题：    (1)机动车行驶 小时后，在途中加油站加油 升． (2)求加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t的函数关系式； (3)如果加油站距目的地还有千米，车速为千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够？ 20．定义：在平面直角坐标系中，将直线中和的值都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“倍伴随线”，例如直线的“2倍伴随线”的函数解析式为． (1)求直线的“3倍伴随线”的函数表达式； (2)若点在直线的“2倍伴随线”上，求的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．已知M、N两地之间有一条公路．甲车从M地出发匀速开往N地．甲车出发两小时后，乙车从N地出发，以每小时90千米的速度匀速开往M地，两车同时到达各自的目的地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)甲车的速度为______千米/小时，a的值为______； (2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)甲车行驶______小时，两车相距120千米． 22．已知一次函数（a为常数，）的图象过点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点，都在该函数的图象上． ①当时，求的取值范围． ②请判断，的大小关系，并说明理由． 23．在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元／辆，紧凑型汽车的售价为20万元／辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，． (1)当点在轴正半轴上，且时， ①求解析式； ②求点坐标； (2)当点在轴上运动时，连接，求的最小值及此时点坐标． 25．如图， 直线与坐标轴分别交于点A， B， 过点A、B作直线，以为边在y轴的右侧作四边形， ．    (1)求点A， B的坐标； (2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，； ①若点 D 是线段的中点，求点 E 坐标； ②若点 D 是线段上任一点，如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由； ③若点， 另一动点H在直线上且满足，请求出点H的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 一次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在球的体积公式中，下列说法正确的是（    ） A．是变量，是常量 B．V、r是变量，是常量 C．V、r是变量，是常量 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】此题主要考查了常量和变量，根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案． 【详解】解：在球的体积公式中，V，r是变量， ，π是常量， 故选：C． 2．下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查一次函数的定义，理解和掌握一次函数的定义及表示形式是解题的关键． 一般地，形如是常数，且的函数，叫做一次函数，其中是自变量，当时，一次函数也叫正比例函数，仍是一次函数，由此即可求解． 【详解】解：根据一次函数的定义得，①是正比例函数；②，③，是一次函数， ④不是一次函数， 故一次函数共有3个， 故选：C． 3．已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求一次函数不等式，先设函数解析式为，然后将代入求出k的值，即可得出函数解析式． 【详解】解：设函数解析式为，将代入得： ， 解得：， ∴这个函数的表达式为， 故选：D． 4．已知点，都在一次函数的图象上，则的值为（    ） A． B．4 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征．用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 先用待定系数法求出次函数的解析式，再把代入解析式即可求解． 【详解】解：∵在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴解析式为：， ∵在一次函数的图象上 ∴， 故选：D． 5．若点，，在一次函数（为常数，且）的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】比较一次函数值的大小、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∵、在一次函数图象上，且， ∴， 故选：． 6．如图是某市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．当日最低气温是 B．从早上时开始气温逐渐升高，直到时到达当日最高气温 C．当日气温为的时间点有两个 D．当日气温在以下的时长超过个小时 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数的图象是解题的关键．根据函数图像可直接进行求解． 【详解】解：观察图像上的气温曲线图，可以得出： A. 当日最低气温低于，该选项错误； B. 从早上时开始气温逐渐下降，至时以后才逐渐升高，直到时到达当日最高气温，该选项错误； C. 当日气温为的时间点有四个，该选项错误； D. 当日气温在以下的时长超过个小时，该选项正确； 故选：D． 7．如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的图像，分和两种情况，讨论两个函数图像的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，直线经过第一、三、四象限，直线经过第一、三象限， 大致为： 当时，直线经过第一、二、三象限，直线经过第二、四象限，大致为： 综上，B选项符合题意． 故选：B 8．小鹿在研究一次函数时，作出了如下表所示的x与y的部分对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 4 1 … A． B．直线可由直线向上平移1个单位长度得到 C．若，则 D．直线过第一、二、四象限 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，根据表格信息先求解一次函数的解析式，再逐一分析即可． 【详解】解：根据上表中的数据值， 可得：， 解得：， ∴一次函数为：，图象过一、二、四象限，故A错误，不符合题意；D正确，符合题意； 直线可由直线向上平移1个单位长度得到，故B错误，不符合同意； ∵， ∴，，故C错误，不符合题意． 故选：D． 9．如图，一次函数与的图象交于点，下列结论正确的是（） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解为 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的关系，利用函数图象解不等式，数形结合是解题的关键． 根据图象可直接判断A，B，D，求出与轴的交点可判断C． 【详解】A．由图象可得直线与的图象交于点， ∴方程的解是，故A不符合题； B．由图象可知，不等式的解集是，不等 式的解集是，故B不符合题意； C．将代入得， 解得， ， 将代入得， 解得， ∴时，直线在轴下方且在直线上方， ∴的解集是，故C符合题意； D．方程组的解为，故D不符合题． 故选：C． 10．如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、利用菱形的性质求线段长、垂线段最短、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象，垂线段最短，勾股定理，连接，交于点，由菱形性质得，，，根据图可知，，，由勾股定理求出，当时，最小，即最小，最后由等面积法即可求解，读懂图象信息，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 根据图可知，，， ∴，， ∴， ∵同时运动， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：函数中，自变量x的取值范围是，即， 故答案为：． 12．一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解答本题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征，把代入，即可求出的值． 【详解】解：把代入得， 故答案为：． 13．已知点，都在直线上，则 （用“、、”填空）． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键．先根据一次函数解析式判断一次函数的增减性，据此即可解答． 【详解】解：∵直线中，， ∴对于，y随x增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴． 故答案为：． 14．已知等腰三角形的周长为，设腰长为，底边为，试写出与的函数表达式 ． 【答案】 【知识点】函数解析式、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，解题的关键：运用方程的思想列出关系式，再根据三角形三边关系求得的取值范围即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，设腰长为，底边为， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为． 故答案为：． 15．若点在直线上，且，都是正整数，则点坐标是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由点在直线上，则，然后根据题意求二元一次方程组的正整数解即可，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∵，都是正整数， ∴，， ∴点坐标是， 故答案为：． 16．已知一次函数．若当时，函数有最小值，则k的值为 ． 【答案】7或/或7 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得：； ∴k的值为7或． 故答案为：7或． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数及点在图象上的意义； （1）由由待定系数法设，即可求解； （2）将点代入关系式，即可求解； 会用待定系数法求解，并把看作整体是解题的关键． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， 故与之间的函数关系式为； （2）解：点在这个函数的图象上， ， 解得：， 故的值为． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)48 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题考查的是一次函数交点的坐标的特征，用待定系数法可对解析式进行求解． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）令可得点A的坐标，再由可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：令， 解得，此时， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即的面积为48． 19．某机动车出发前油箱内有升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示，回答下列问题：    (1)机动车行驶 小时后，在途中加油站加油 升． (2)求加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t的函数关系式； (3)如果加油站距目的地还有千米，车速为千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够？ 【答案】(1)5， (2) (3)够 【知识点】函数解析式、从函数的图象获取信息、有理数减法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查了函数图象的应用，函数关系式，有理数加、减、乘、除的应用等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）由图象可知，机动车行驶5小时后，在途中加油站加油升，计算求解即可； （2）由图可知，出发前油箱内余油量为升，行驶小时后余油量为升，共用去（升），则每小时耗油量为（升），进而可求函数关系式； （3）由题意知，加油后可行驶（小时），行驶路程为（千米），由，判断作答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，机动车行驶5小时后，在途中加油站加油（升）， 故答案为：5，． （2）解：出发前油箱内余油量为升，行驶小时后余油量为升，共用去（升）， ∴每小时耗油量为（升）， ∴； （3）解：由题意知，加油后可行驶（小时），行驶路程为（千米）， ∵， ∴油箱中的油够． 20．定义：在平面直角坐标系中，将直线中和的值都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“倍伴随线”，例如直线的“2倍伴随线”的函数解析式为． (1)求直线的“3倍伴随线”的函数表达式； (2)若点在直线的“2倍伴随线”上，求的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质． （1）根据“倍伴随线”的定义即可得到答案； （2）先根据“倍伴随线”的定义得到直线的“2倍伴随线”，再把代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：， 直线的“3倍伴随线”的函数表达式为． （2）直线的“2倍伴随线”的函数表达式为． 在中，令， 得， 解得 ∴的值为1． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．已知M、N两地之间有一条公路．甲车从M地出发匀速开往N地．甲车出发两小时后，乙车从N地出发，以每小时90千米的速度匀速开往M地，两车同时到达各自的目的地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)甲车的速度为______千米/小时，a的值为______； (2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)甲车行驶______小时，两车相距120千米． 【答案】(1)60，6 (2) (3)或 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息等知识，读懂函数图象，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据函数图象可得甲车用2小时行驶了120千米，由此即可得甲车的速度；再根据函数图象可得两地之间的距离为360千米，用总路程除以甲车的速度即可得的值； （2）先根据两车相遇时，它们所行驶的总路程为两地之间的距离建立方程求出点的坐标为；再分和，利用待定系数法求解即可得； （3）结合函数图象可得当时，两车之间的距离不可能为120千米，再根据（2）的结果，令代入求解即可得． 【详解】（1）解：由函数图象可知，甲车的速度为（千米/小时）， 由函数图象可知，两地之间的距离为360千米， ∴（小时）， 故答案为：60，6． （2）解：当甲、乙两车相遇时，， 解得， ∴点的坐标为， 当时，设， 将点，代入得：，解得， ∴此时； 当时，设， 将点，代入得：，解得， ∴此时； 综上，乙车出发后，与之间的函数关系式为． （3）解：由函数图象可知，当时，两车之间的距离不可能为120千米， 当时，令得：，解得， 当时，令得：，解得， 所以甲车行驶小时或小时，两车相距120千米． 22．已知一次函数（a为常数，）的图象过点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点，都在该函数的图象上． ①当时，求的取值范围． ②请判断，的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数的性质． （1）利用待定系数法解答即可； （2）①由（1）知一次函数的表达式，根据一次函数的性质确定出当和时的函数值，即可解答； ②根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，将点代入一次函数中， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：①由（1）知一次函数的表达式为， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，则， 当时，则， ∴当时，的取值范围为； ②，理由如下： 由①知一次函数，随的增大而减小， ∵， ∴． 23．在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元／辆，紧凑型汽车的售价为20万元／辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元； (2)该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识： （1）设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为y万元，根据3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽辆，根据购中级型汽车的数量不低于25辆，得，再求出W关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元； （2）设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽辆， 由题意得：， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，． (1)当点在轴正半轴上，且时， ①求解析式； ②求点坐标； (2)当点在轴上运动时，连接，求的最小值及此时点坐标． 【答案】(1)①；② (2)， 【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①根据，，推出，所以；设直线的解析式为，将点的坐标代入即可求出解析式； ②过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、．则，所以，，即； （2）由可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，的最小值为的长度，此时，即可求出坐标． 【详解】（1）解：①，， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 解析式：； ②过点作轴的平行线，与分别过点、作轴的平行线交于、． 则， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ，， ； （2）解：由可知，在轴负半轴同理可说明） 点在直线上运动，设直线交轴于点M， 作点关于直线的对称点， ，， ． 当、C、在同一直线上时，的最小值为， ∵，，， ∴， ∴， 此时， ． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点的运动轨迹是关键． 25．如图， 直线与坐标轴分别交于点A， B， 过点A、B作直线，以为边在y轴的右侧作四边形， ．    (1)求点A， B的坐标； (2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，； ①若点 D 是线段的中点，求点 E 坐标； ②若点 D 是线段上任一点，如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由； ③若点， 另一动点H在直线上且满足，请求出点H的坐标． 【答案】(1)． (2)①；②点E在定直线上；③或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了一次函数函数与几何的综合、一次函数的应用、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）分别将代入，求得点B、A的坐标，则可用k表示出的长度，再根据求得k即可求解； （2）①由题意可得，，如图：过点E作轴，证明可得，进而得到即可确定点E的坐标； ②如图：过点E作轴，通过证明得到，设，则结合①得到得到即可求确定解析式； ③先说明四边形为正方形，可得，再分当在下方和上方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：分别将代入， 得， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴． （2）解：①∵点 D 是线段的中点， ∴， 如图：过点E作轴于点F，    由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点E在定直线上． 如图：过点E作轴于点F，    由题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）A、B两点的坐标知，， ∴， ∴， 设，则， 由题意可得：， ∴，即， ∴点E在定直线上． ③∵， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，； a．如图：当在下方时，且交于M，则，点H为直线与的交点，      ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线为，将、代入， 得，解得， ∴直线为， 联立，解得：， ∴； b．如图：当在上方时，作点M关于直线的对称点N， ∴，此时， ∴点H为直线与的交点， 设直线为，将、代入， 得，解得， ∴直线为， 联立，解得：， ∴． 综上，点H坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$