第18章 勾股定理与思想和折叠问题（单元复习 3大思想+6大模型）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪科版）

第18章 勾股定理与思想和折叠问题 01 思维导图 目录 【思想总结】 1 思想一　方程思想 1 思想二　分类讨论思想 10 思想三　转化思想 14 【模型总结】 19 模型一　长方形中折痕过对角线模型 19 模型二　长方形中折痕过一顶点模型 27 模型三　长方形中折痕过任意两点模型 36 模型四　直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 42 模型五　直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 50 模型六　直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 54 【思想总结】02 思想总结 思想一　方程思想 适用情况： 1. 直角三角形中两条边长未知，当两边长存在一定数量关系； 2. 直接三角形中存在公共边（或作高，构造公共边）； 3. 折叠问题； 4. 实际应用问题. 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查图形的翻折变换，勾股定理；解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．先根据勾股定理求出的长，然后利用折叠的性质求出的长，在中，设 ，则，根据勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴由勾股定理得：， 根据折叠的性质，，，， ∴， 在中，设 ，则， 根据勾股定理得：， 解得， ∴， ∴． 故答案为：5． 巩固训练 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知：如图，中，，，，平分交于D．求的长． 【答案】5 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各性质是解题的关键． 过D作于点E，根据勾股定理求得，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再利用“”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再设，则，在中，根据勾股定理求得的长即可． 【详解】解：过D作于点E． ∵中，，，， ∴， ∵，，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：． 故的长是5． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 【答案】4 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先设，可得，再根据勾股定理得，求出解即可． 【详解】解：根据题意可知， 设，则，根据勾股定理得 ， 解得． 所以折断处离地面的高度是4尺． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知某学校A与直线公路相距米（即米，），且与该公路上一个车站D相距米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市C与车站D的距离是多少米？ 【答案】该超市与车站D的距离是米 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键． 根据题意，，由的长易求，设米，则米，在中运用勾股定理得方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：． 在直角三角形中， ∵米，米，， ∴（米）， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 答：该超市与车站D的距离是米． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，一个长为15m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为， (1)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端也向后滑动吗？请通过计算解答． (2)梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？若有可能，请求出这个距离，没有可能请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)有可能，当梯子的顶端从处沿墙下滑时，点向外移动 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题是勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出、的长，即可求解； （2）设梯子顶端从处沿墙下滑的距离为，则，， 在，根据勾股定理列出方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端不是向后滑动，理由如下： 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端不是向后滑动； （2）解：梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等，理由如下： 由（1）可知，， 设梯子顶端从处沿墙下滑的距离为， 则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，（不符合题意，舍去）， 所以，当梯子的顶端从处沿墙下滑的距离是时，与点向外移动的距离有可能相等． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们设计的测步骤如下： ①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长，高，旗杆正好在底座的正中间（B是的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度恰好为的长； ②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面，测量出长为． 请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度． 【答案】该校操场上旗杆的高度为 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设旗杆分别求出，，，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 如图，， 设旗杆，则，，， 在中，， ∴ 解得， ∴， 即该校操场上旗杆的高度为． 6．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一点，连接，将沿直线翻折，点C恰好落在上的点F处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长； （2）根据折叠得到，，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，D是边的中点， ， ； （2）解：将沿翻折，点C落在上的点F处， ，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得， 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在和中，，点在上，的延长线恰好经过点． (1)若，判断的形状并说明理由； (2)已知，设． ①求关于的函数关系式；②若，求线段的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)①；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识： （1）证明，结合可证明是等边三角形； （2）①先证明是等腰三角形，再结合勾股定理可得结论；②过点作于，求出设，在和中，两种方式得出，求出，由求出，故可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：①， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ； ②过点作于， ， ∴， ， ， ∵， 由勾股定理得：； 设， 在中，， 在中，， ， 解得， ， 解得， ． 思想二　分类讨论思想 适用情况： 1. 高在三角形内，外不明确； 2. 直角边、斜边不明确； 3. 动态问题或存在性问题中，直角顶点的位置不明确. 例题：（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为 ． 【答案】或 【分析】了勾股定理，分当在线段上时，当在线段延长线上时，再由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】由题意得：， 如图，当在线段上时，    ∴， 在中由勾股定理得：， 如图，当在线段延长线上时，    ∴， 在中由勾股定理得：， 综上可知： 的长为或． 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，将沿所在直线翻折，点C的对应点为点，如果点在射线上，那么 ． 【答案】/6 【分析】本题考查勾股定理，翻折等知识，分两种情况：点在上和点在延长线上，并分别画出图形，在中利用勾股定理列方程解出即可，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在直角三角形中， 由勾股定理，得 点为射线上一点，分两种情况： ①点在上时， 如图， 设由翻折可知 ， 在中， 由勾股定理，得 即 ， 解得： ②点在的延长线上时，如图， 设由翻折可知 在中， 由勾股定理，得 即 解得：， 故答案为：或6． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知中，，，边上的高，求边的长． 【答案】的长为或． 【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况讨论：①当为锐角三角形时，②当为钝角三角形时，根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为锐角三角形时，如图： ∵， ∴， ∵，， 在中，， 在中，， ∴； ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴， ∵，， 在中，， 在中，， ∴， 综上所述，的长为或． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)4或 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）利用勾股定理求解即可得； （2）先求出cm，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：在中，，， ∴由勾股定理得； （2）解：由题意知． ①当时，如图，点P与点C重合，， ∴； ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， ∴， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为或． 思想三　转化思想 适用情况： 1. 最短路径问题（未知转化为已知，化曲为直）； 2. 等线段转化（几何证明）. 例题：（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图，、两个村在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、俩村供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【答案】在河流上选择水厂的位置见解析，总费用是万元． 【分析】先作点的对称点，连接点和点，交于点，即所求作的点，过作，延长交于点，根据轴对称的性质可知：，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，水厂的位置即在点处，     过作，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由对称性质可知：， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴水管的费用最节省为（万元）， 答：水管的费用最节省为万元． 【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键． 巩固训练 1．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，取，再连接，与交于点E即可； （2）作出以为斜边的直角，求出直角边，利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置； （2）如图，作出以为斜边的直角， 由（1）可知：， 由题意可得：，，， ∴，，， ∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于的对称点是确定建水厂位置的关键． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 【模型总结】03 模型总结 模型一　长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 例题：（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在长方形中，，，，以BD为折痕，将长方形ABCD折叠，使AD交BC于点E，点A落在点F处． (1)求证：； (2)若，，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）由折叠可得：，再由平行线的性质得，从而得到，根据等角对等边即可得出结论； （2）先根据平行线的性质与垂直定义求得，再由折叠的性质得由折叠可得：，，，然后设，则，最后在中 ，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠可得：，， 由（1）知： 设，则， 在中 ，由勾股定理，得 解得：， 即BE的长为． 【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握等角对等边、勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值. 【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD, 由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD 又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm 在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm， 故选择A. 【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度. 2．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．    (1)当点落在边上时， (2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长． 【答案】(1)45 (2) 【分析】（1）由知，结合点落在边上知，从而得出答案； （2）由折叠得出，再由得出，从而得知，可得，设，则，在中，由得到关于的方程，解之可得． 【详解】（1）解：由题意知， ， 点落在边上时，， ， 故答案为：45； （2）如图2，由题意知， 四边形是长方形， ， ， ， ， 设，则， 在中，由得： ， 解得，即． 【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，和勾股定理是解决问题的关键． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) (3)点P的坐标为或 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵将沿折叠，点C落在点处 ∴，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴点P的坐标为； （2）∵ ∴ ∵沿将折叠得， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴的面积； （3）如图所示，过点C作交于点E，交于点F， ∵， ∴ ∴四边形是长方形 ∴ 当时， ∴， 由折叠得， ∴ ∴ ∴设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴点P的坐标为； 当时， ∴， 由折叠得， ∴ ∴ ∴设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 模型二　长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； （2）∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 2．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，，， 连接，设， 可得方程：， 代入数值可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）长方形纸片中，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处． (1)求点的坐标； (2)求点的坐标； 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由折叠可得，利用勾股可得，即得，得到点的坐标是； （2）设，则，在中由勾股定理得，解方程可得，即得点的坐标 【详解】（1）解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形， ， ， ， ∴点的坐标是； （2）解：设，则， 在中，， ， 解得：， ， ∴点的坐标是． 4．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键． （1）根据长方形的性质和折叠性质得到，，在中，利用勾股定理求解即可； （2）设，则在中，，，，由勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， 故． 5．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)折叠后纸片重叠部分的面积为10 (3) 【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． （1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答； （3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为长方形， ∴， ， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴折叠后纸片重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可得， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为． 6．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 模型三　长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 例题：（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端在边上且时，求的长 (2)如图（2），当折痕的另一端在边上且时， ①求证：．②求的长． 【答案】(1) (2)①详见解析；②6 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、平行线的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，然后利用表示，最后利用勾股定理列出方程求解即可； （2）①由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，即可得出，从而得证；②由折叠的性质可得，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1， 纸片折叠后顶点落在边上的点处， ， ， ， 在中，，即， 解得； （2）证明：如图， 纸片折叠后顶点落在边上的点处， ， 长方形纸片的边， ， ， ； 解：纸片折叠后顶点落在边上的点处， ， ， 在中，， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，点E在长方形纸片的边上，已知，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折叠后的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据等角对等边证明边相等、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，根据等角对等边即可得出结论； （2）在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：在长方形中，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； （2）解：在长方形中，，由折叠知， 设，那么， 在中，， 即． 解得，即， ∴． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，长方形纸片的长，宽，将它折叠，使点与点重合．（注：该长方形的性质：两组对边平行且相等，每个内角都是 (1)求证：是等腰三角形； (2)求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，由折叠得，则，所以，则是等腰三角形； （2）作于点，由，，，，得，且，则，求得，则，，所以，，则，求得． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得， ， ， 是等腰三角形． （2）解：作于点，则， ，，，， ，且， ， 解得， ，， ，， ，， ， ， 折痕的长为． 3．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点与重合，与重合．若长方形的长为，宽为．    (1)求的长； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于，在 中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 【详解】（1）解：由折叠可知． 设，则 在中，， ，                  解得：， ； （2）过点作于，则， 在 中， ，由勾股定理：，即 ． ， ，         ，    （3）过点作于， ， ，，         ， ，         ． 【点睛】本题主要考查了折的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 模型四　直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长. 由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 2．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 3．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点． (1)求，两点的坐标； (2)点为轴上一点，若的面积为10，求点的坐标； (3)点是上的一点，若将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为、的坐标为 (2)或 (3)点的坐标为 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查图形与函数和方程的综合运用，勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理一次函数的图象与性质、一元一次方程的解法是解题关键． （1）分别令和，即可得到、两点的坐标； （2）设点，则由的面积可得关于的方程，解方程即可得到点的坐标； （3）由（1）可得、，再由勾股定理可得，由折叠可知，，设点的坐标为，再由勾股定理可得关于的方程，解得可得点的坐标． 【详解】（1）解：对于， 令，即，解得， 令，即， ∴点的坐标为、的坐标为； （2）∵点的坐标为、的坐标为， ∴ 设点，则， 则的面积，解得或， 故点P的坐标为或； （3）由点、的坐标知，，，则， 由折叠可知，， 则， 设点的坐标为，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， 故点的坐标为． 4．（24-25八年级上·浙江·期中）如图1，在中，，，点D在边上运动，沿着折叠得到，直线与直线相交于点． (1)如图2，若，，求的长度； (2)当为等腰直角三角形时，求的值； (3)若，为钝角三角形，直接写出长度的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)长度的取值范围为或或或 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据等面积法即可求解． （2）当为等腰直角三角形时，分为当点在的右侧时和当点在的左侧时分别画出图形，根据解直角三角形和等腰直角三角形的性质即可求解． （3）如图，当时，当时，是直角三角形，当时，当时，当点D运动到点A时，的长为5时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据翻折可得， 当为等腰直角三角形时， 如图，当点在的右侧时， 则或， ∴或； 当点在的左侧时， 则或， ∴或； 综上所述，或． （3）解：如图，当时，过点C作，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，为钝角三角形． 如图，当时，是直角三角形， 则，，， 设，则， ∴， 解得：，即； 如图，当时，点重合，翻折后不能构成三角形，即不存在， 如图，当时，， ∴， ∴，不存在点E，交点E不存在， 在此之间，为钝角三角形，即或． 如图，当点D运动到点A时，的长为5，为钝角三角形． ∴为钝角三角形时，长度的取值范围为或或或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、平行线判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及动点问题，熟练掌握动点带来的图形变化和角边之间的代换是解题的关键． 模型五　直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例题：（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，点A与点B重合． (1)若，则的度数为 ______； (2)若，求的长； 【答案】(1) (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． （1）设，由折叠的性质得出，根据直角三角形的性质可得出答案； （2）由勾股定理求出AC=8，设，则，然后在中由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设，把沿直线折叠，点A与点B重合， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）把沿直线折叠， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的折叠问题，设，由折叠可知，，在中，根据列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设，则， 由折叠可知，， 在中，，即：， 解得：，即， ∴点坐标是， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，，设，则在中，由 即可求出x的值，故可得出结论． 【详解】解：在中由于，，， 由勾股定理得：， ∵由折叠可知， ， 设，则． 在中，， 即，解得， ∴． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1），（2）， 理由见解析． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解． （2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到． 【详解】（1）解：在中， ， 由翻折的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）， 理由如下： 过点作交延长线于点，连接，如图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 模型六　直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【答案】的长度为或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 【变式训练】 1．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键． 设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设， 由翻折的性质可知， ∵D是的中点， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点为的中点， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ， 故选：D． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值．（　　） A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．当落在上，点B与E重合时，长度的值最小，根据勾股定理得到，由折叠的性质得到结论． 【详解】解：当落在上，点B与E重合时，长度的值最小， ∵，，， ∴， 由折叠的性质知，， ∴． 故选：B． 4．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 勾股定理与思想和折叠问题 01 思维导图 目录 【思想总结】 1 思想一　方程思想 1 思想二　分类讨论思想 10 思想三　转化思想 14 【模型总结】 19 模型一　长方形中折痕过对角线模型 19 模型二　长方形中折痕过一顶点模型 27 模型三　长方形中折痕过任意两点模型 36 模型四　直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 42 模型五　直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 50 模型六　直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 54 【思想总结】02 思想总结 思想一　方程思想 适用情况： 1. 直角三角形中两条边长未知，当两边长存在一定数量关系； 2. 直接三角形中存在公共边（或作高，构造公共边）； 3. 折叠问题； 4. 实际应用问题. 例题：（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知：如图，中，，，，平分交于D．求的长． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知某学校A与直线公路相距米（即米，），且与该公路上一个车站D相距米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市C与车站D的距离是多少米？ 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，一个长为15m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为， (1)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端也向后滑动吗？请通过计算解答． (2)梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？若有可能，请求出这个距离，没有可能请说明理由． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们设计的测步骤如下： ①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长，高，旗杆正好在底座的正中间（B是的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度恰好为的长； ②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面，测量出长为． 请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度． 6．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一点，连接，将沿直线翻折，点C恰好落在上的点F处． (1)求的长； (2)求的长． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在和中，，点在上，的延长线恰好经过点． (1)若，判断的形状并说明理由； (2)已知，设． ①求关于的函数关系式；②若，求线段的长． 思想二　分类讨论思想 适用情况： 1. 高在三角形内，外不明确； 2. 直角边、斜边不明确； 3. 动态问题或存在性问题中，直角顶点的位置不明确. 例题：（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，将沿所在直线翻折，点C的对应点为点，如果点在射线上，那么 ． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知中，，，边上的高，求边的长． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)求边的长； (2)当为直角三角形时，求的值． 思想三　转化思想 适用情况： 1. 最短路径问题（未知转化为已知，化曲为直）； 2. 等线段转化（几何证明）. 例题：（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图，、两个村在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、俩村供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 巩固训练 1．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【模型总结】03 模型总结 模型一　长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 例题：（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在长方形中，，，，以BD为折痕，将长方形ABCD折叠，使AD交BC于点E，点A落在点F处． (1)求证：； (2)若，，求BE的长． 【变式训练】 1．如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．    (1)当点落在边上时， (2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 4．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 模型二　长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 2．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）长方形纸片中，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处． (1)求点的坐标； (2)求点的坐标； 4．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 5．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 6．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 模型三　长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 例题：（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端在边上且时，求的长 (2)如图（2），当折痕的另一端在边上且时， ①求证：．②求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，点E在长方形纸片的边上，已知，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折叠后的长． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，长方形纸片的长，宽，将它折叠，使点与点重合．（注：该长方形的性质：两组对边平行且相等，每个内角都是 (1)求证：是等腰三角形； (2)求折痕的长． 3．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点与重合，与重合．若长方形的长为，宽为．    (1)求的长； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 模型四　直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 3．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点． (1)求，两点的坐标； (2)点为轴上一点，若的面积为10，求点的坐标； (3)点是上的一点，若将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，求点的坐标． 4．（24-25八年级上·浙江·期中）如图1，在中，，，点D在边上运动，沿着折叠得到，直线与直线相交于点． (1)如图2，若，，求的长度； (2)当为等腰直角三角形时，求的值； (3)若，为钝角三角形，直接写出长度的取值范围． 模型五　直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例题：（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，点A与点B重合． (1)若，则的度数为 ______； (2)若，求的长； 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ． 2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 模型六　直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【变式训练】 1．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 2．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值．（　　） A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在 4．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$