第18章 勾股定理（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪科版）

第18章 勾股定理（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（） A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A．不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； В．，正确，是勾股数，符合题意； C．，错误，不是勾股数，不符合题意； D．，错误，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 2．如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（   ）    A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理，先得出字母A所代表的正方形的面积，再求出其边长即可． 【详解】解：由图可知，以长直角边为边长的正方形面积为225，则边长为15， 以斜边为边长的正方形面积为289，则斜边长为17， ∴字母A所代表的正方形的边长， 故选：B． 3．如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得，再求出，结合数轴即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 4．中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，据三角形内角和定理可得是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出是否是直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴是等边三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是锐角三角形，原选项不符合题意； 、由， 设，，， ∴， ∴是直角三角形，原选项符合题意； 、∵， ∴，即， ∴是直角，原选项不符合题意； 故选：． 5．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，连接，根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题． 【详解】解：如图，连接， 由题知，，，， ，， ，为直角三角形，即， ． 故选：C． 6．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了考查了勾股定理的应用；设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 在中，由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 7．如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，设，由折叠可知，，求出，由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，由折叠可知，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即线段的长为， 故选：C 8．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ） A．24或 B．24 C． D．或24 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】此题考查了解一元二次方程——因式分解法和三角形的三边关系及勾股定理逆定理的运用，解方程求出方程的解得到x的值，利用三角形的三边关系判断出符合条件的值，再判断出该三角形为直角三角形，即可得到结果． 【详解】解：， ∴或， 解得：， 当时， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合题意，舍去， 当时， ∵， ∴能构成三角形， 此时该三角形的三边长为：， ∵， ∴该三角形是直角三角，直角边为和， ∴该三角形的面积是， 故选：B． 9．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 10．如图（）是一把折叠椅实物图，支架与交于点，．如图（）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，，，那么折叠后椅子比完全打开时高（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，过点作于点，可得和是等边三角形，进而可求得，再根据勾股定理求得完全打开时的高度，相减即可求解，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即折叠后椅子比完全打开时高， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．在平面直角坐标系中，已知、，则 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查求两点间的距离，作轴，轴，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图作轴，轴，则：， ∵、， ∴， ∴； 故答案为：． 12．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为分米，小狗的高分米，小狗与小方的距离分米（绳子一直是直的）．求牵狗绳 分米． 【答案】26 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，过点D作于点E，可得分米，分米，分米，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 则分米，分米， ∴分米， ∴（分米）． 所以此时牵狗绳的长为26分米． 故答案为：26． 13．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为 ． 【答案】5 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积的最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积的最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 14．如图，在中，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】根据折叠的性质，分类讨论：如图所示，，是直角三角形，过点作与点，运用三线合一，直角三角形的性质，三角形外角的性质可得，，，，可得；如图所示，，是直角三角形，由等腰三角形的性质可得，，，，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，，是直角三角形，过点作与点，    ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，，是直角三角形，    由上述证明可得，，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴的长为； 综上所述，的长为或， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的计算是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．如图，在中，D为边上的一点，连接，过点A作交的延长线于点E．已知，，，． (1)求线段的长． (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】(1)25 (2)直角三角形，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理逆定理即可解答． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴是三角形． 16．如图，直线与轴、y轴分别相较于点、，M是上一点，若将沿折叠，则点B恰好落在轴上的点处，求： (1)点的坐标； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，然后求出，由此即可得； （2）先根据折叠的性质可得，再设，则，在中，利用勾股定理可得的值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：∵、， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：由折叠的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为 (2) 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 【答案】(1)；；5 (2)是直角，理由见解析 (3)图见解析，， ，（答案不唯一） 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，用坐标表示点的位置，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用勾股定理计算求解，即可解题； （2）利用勾股定理逆定理进行判断，即可解题； （3）结合图形建立平面直角坐标系，再根据坐标系写出，，三点的坐标，即可解题（答案不唯一）． 【详解】（1）解：正方形网格的每个小方格边长均为1， ，，． 故答案为：，，5； （2）解：是直角，理由如下： ， 为直角三角形， 是直角． （3）解：以为原点，建立如下所示的平面直角坐标系， 由图知，， ，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．数学活动课上，小慧同学用剪刀剪出一个纸片，如图（1）所示，用直尺测量得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)小慧同学将三角形纸片折叠，使点与点重合，如图（2）所示，折痕交于点，交于点，求的长度． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、折叠问题 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）由折叠的性质可知，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：结论：是直角三角形． 理由：∵， ， ∴是直角三角形； （2）解：由折叠的性质可知， 设， 在中，， ， ， ． 20．某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由： (2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 【答案】(1)，理由见解析 (2)路线更短 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，，即可得到结论； （2）利用勾股定理求出，分别计算两条路线的长度，即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意可知，米，米，点在点的正东方米处，即米 ∵， ∴是直角三角形，， 即； （2）由题意可知，， ∴（米）， ∴（米） 而（米） ∵， ∴路线更短 六、（本题满分12分） 21．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． (1)求的长； (2)当时，求的长； (3)若点在的平分线上，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用股定理即可求解； （2）根据点的运动路径及速度表示出，再利用勾股定理即可解答； （3）过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用股定理解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：如图， 由（2） 得 点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，， 当时，， ∵，， ∴； （3）解：当点在的角平分线上时，过点作于，如图所示， 平分，，， ．， 又， ． ，则． ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，， ， ∴， 在中，即， 解得． 点在的平分线上时，． 七、（本题满分12分） 22．【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 【答案】(1)不是，不是 (2)或或 (3)，证明见解析 (4)是，理由见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）直接判断三边比是否为即可； （2）分类讨论，根据比的性质进行求解； （3）根据长方形的性质结合折叠的性质证明即可证明； （4）由折叠知，，设，则，，则在中，由勾股定理得，，解得：，则，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴三边长为的三角形不是型三角形，三边长为的三角形不是型三角形， 故答案为：不是，不是； （2）解：①是最短边，则设最长边为， 由题意得：， 解得：； ②是中等长度边，则设最长边为， 由题意得， 解得：； ③最长边为， ∴综上所述：最长边为或或． （3）解：数量关系：． 证明：∵四边形是长方形， ∴，， 连接，由折叠性质得到：，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （4）解：是型三角形，理由如下： 如图：由折叠知，， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴是型三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 8、 （本题满分 14 分） 23．综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)千米 (4) 【知识点】勾股定理的证明方法、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、轴对称中的光线反射问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案； （2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离； （3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离； （4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：依题意得：，，，， ， ， 四边形为直角梯形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理，得：， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （4）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 勾股定理（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（） A．1，，2 B．5，12，13 C．6，7，8 D．8，24，25 2．如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（   ）    A．4 B．8 C．16 D．64 3．如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 4．中，，，的对边分别为，，，下列判断正确的是（    ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果，则是直角三角形 D．如果，则是直角 5．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 由题知，，，， ，， ，为直角三角形，即， ． 6．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 8．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ） A．24或 B．24 C． D．或24 9．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．如图（）是一把折叠椅实物图，支架与交于点，．如图（）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面与地面水平线平行，，，，那么折叠后椅子比完全打开时高（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．在平面直角坐标系中，已知、，则 ． 12．如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为分米，小狗的高分米，小狗与小方的距离分米（绳子一直是直的）．求牵狗绳 分米． 13．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为 ． 14．如图，在中，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当是直角三角形时，的长为 ．    三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．如图，在中，D为边上的一点，连接，过点A作交的延长线于点E．已知，，，． (1)求线段的长． (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 16．如图，直线与轴、y轴分别相较于点、，M是上一点，若将沿折叠，则点B恰好落在轴上的点处，求： (1)点的坐标； (2)的面积． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 18．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．数学活动课上，小慧同学用剪刀剪出一个纸片，如图（1）所示，用直尺测量得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)小慧同学将三角形纸片折叠，使点与点重合，如图（2）所示，折痕交于点，交于点，求的长度． 20．某公园是人们健身散步的好去处，小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，点在点的正东方米处，点在点的正北方米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由： (2)通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 六、（本题满分12分） 21．如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． (1)求的长； (2)当时，求的长； (3)若点在的平分线上，求的值． 七、（本题满分12分） 22．【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 8、 （本题满分 14 分） 23．综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$