第18章 勾股定理（单元复习 6个知识点+10类题型突破）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪科版）

第18章 勾股定理 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 知识点03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 03 题型归纳 题型一　已知直角三角形的两边，求第三边长 例题：（24-25八年级上·江苏苏州·期末）在中，．若，，则 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为 ． 2．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，中，于点，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 题型二　以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，Rt中，，以、、三边为边长的三个正方形面积分别为．若，则的值等于 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为，，，，则正方形的面积是 ． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，以的三边为边长向外作等边三角形，已知10，6，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，若乙的面积是25，丙的面积是15，丁的面积是4，则 ． 题型三　利用等面积法求直接斜边上的高问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为 ． 2.（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求边上的高长＝ ． 3.（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    题型四　勾股树（数）的判断 例题：（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，11，13 巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．5，12，13 D．，， 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列各组数是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．，， C．1，1， D．2，12，14 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下面各组数中，是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．，，8 C．1，1，2 D．3，4，5 题型五　判断能否构成直角三角形 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知的三边为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）的三边分别为a、b、c，下列不能判定是直角三角形的条件是（   ） A．，， B． C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（    ） A． B． C． D．，， 3．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 题型六　在网格中判断直角三角形 例题：（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点均在格点上. (1)是直角三角形吗?请说明理由； (2)求四边形的面积. 巩固训练 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连结，试判断的形状，并说明理由． 3．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题． (1)________；________；________； (2)求的面积； (3)判断是什么形状，并说明理由． 题型七　利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 巩固训练 1.（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 2.（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，已知，，，，． (1)求线段的长； (2)求证：是直角三角形． 3.（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形中，，为对角线，于E，． (1)确定的度数； (2)求线段的长． 题型八　勾股定理逆定理的实际应用 例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，）在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．问是否为从村庄到河边最近的路？请说明理由．    巩固训练 1.（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 2.（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 3.（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 题型九　应用勾股定理解决汽车是否超速与受影响问题 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 4.（23-24八年级下·云南昭通·期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C受台风影响吗?为什么? (2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长? 题型十　应用勾股定理解决选扯距离相离问题 例题：（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 巩固训练 1.（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 2.（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 3.（23-24七年级上·山东淄博·期中）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 勾股定理 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 知识点03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 03 题型归纳 题型一　已知直角三角形的两边，求第三边长 例题：（24-25八年级上·江苏苏州·期末）在中，．若，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为 ． 【答案】13 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理，本题直接利用勾股定理即可解出斜边的长． 【详解】解：由题意得：斜边长， 故答案为：13． 2．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，中，于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，过作， 则， 利用含角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，根据等腰三角形的判定与性质求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过作， 则， 如图： 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二　以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，Rt中，，以、、三边为边长的三个正方形面积分别为．若，则的值等于 ． 【答案】20 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：20． 巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形的面积分别为，，，，则正方形的面积是 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，然后由勾股定理解答即可，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【详解】解：设中间两个正方形和正方形的面积分别为，，，如图， 由勾股定理得：，，， ∴； ∴正方形的面积， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，以的三边为边长向外作等边三角形，已知10，6，则 ． 【答案】4 【知识点】等边三角形的性质、以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等边三角形性质和勾股定理． 根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形面积由此即可解题． 【详解】解：过点D作，垂足为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵10，6， ∴， 故答案为4． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，若乙的面积是25，丙的面积是15，丁的面积是4，则 ． 【答案】6 【知识点】算术平方根的实际应用、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，连接，根据勾股定理，得到，进而得到甲与丁的面积之和等于乙和丙的面积之和，进而求出甲的面积，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴由勾股定理，得， ∴甲与丁的面积之和等于乙和丙的面积之和， ∴甲的面积， ∴， ∴． 故答案为：6． 题型三　利用等面积法求直接斜边上的高问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了网格图的问题，解题关键是正确应用勾股定理．用割补法求出的面积，用勾股定理求出的长，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：面积， 由勾股定理得， 设点A到直线的距离是d， 得， 解得． 故答案为：2． 巩固训练 1.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用勾股定理求出的长，利用网格求出的面积，再根据面积法即可求出的长，利用割补法求出的面积是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，， 由网格可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2.（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求边上的高长＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形面积公式，运用分割法求出的面积，运用勾股定理求出的长，再运用等积法即可求出边上的高 【详解】解：； 由勾股定理得， 所以，边上的高长， 故答案为：． 3.（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由图形可知，，边上的高为3， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得，， 故答案为：3 题型四　勾股树（数）的判断 例题：（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．5，11，13 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，是勾股数，故本选项符合题意； D、，不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．5，12，13 D．，， 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，2，3，不是勾股数，本选项不符合题意； B、不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意； C、∵， ∴5，12，13是勾股数，本选项符合题意； D、，，这三个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列各组数是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．，， C．1，1， D．2，12，14 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数满足的两个条件：较小两数的平方和等于较大数的平方，三个数均为正整数，进行判断即可． 【详解】解：A、，是勾股数，符合题意； B、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选A． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）下面各组数中，是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．，，8 C．1，1，2 D．3，4，5 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意． B、，不是勾股数，故本选项不符合题意． C、，不是勾股数，故本选项不符合题意． D、，是勾股数，故本选项符合题意． 故选：D． 题型五　判断能否构成直角三角形 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知的三边为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种，勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于；根据上面两种情况进行判断即可． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 、∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ， ∴为锐角三角形，故本选项不符合题意． 故选：D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）的三边分别为a、b、c，下列不能判定是直角三角形的条件是（   ） A．，， B． C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理和三角形内角和定理逐项分析即可得解． 【详解】解：A、∵， ∴不能判定是直角三角形，故符合题意； B、∵， ∴，故能判定是直角三角形，故不符合题意； C、∵， ∴能判定是直角三角形，故不符合题意； D、∵， ∴能判定是直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（    ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查直角三角形的判定及勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据三角形内角和及勾股定理逆定理可进行求解． 【详解】解：A、由且可得，所以是直角三角形，故不符合题意； B、由可得，所以不是直角三角形，故符合题意； C、由可设，可得，所以是直角三角形，故不符合题意 D、由，，可得，符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的知识，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴A可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵，， ∴， ∴B不能判定是直角三角形，符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴C可以判定是直角三角，不符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴D可以判定是直角三角；不符合题意． 故选：B． 题型六　在网格中判断直角三角形 例题：（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点均在格点上. (1)是直角三角形吗?请说明理由； (2)求四边形的面积. 【答案】(1)是，见解析 (2) 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出，，,再根据勾股定理的逆定理，即可得到结论； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， ， , ， ， ， 是直角三角形； （2）解：四边形的面积 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 【答案】(1)；；5 (2)是直角，理由见解析 (3)图见解析，， ，（答案不唯一） 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，用坐标表示点的位置，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用勾股定理计算求解，即可解题； （2）利用勾股定理逆定理进行判断，即可解题； （3）结合图形建立平面直角坐标系，再根据坐标系写出，，三点的坐标，即可解题（答案不唯一）． 【详解】（1）解：正方形网格的每个小方格边长均为1， ，，． 故答案为：，，5； （2）解：是直角，理由如下： ， 为直角三角形， 是直角． （3）解：以为原点，建立如下所示的平面直角坐标系， 由图知，， ，． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连结，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正确计算是解题的关键． （）利用网格和勾股定理求出四边形的各边长即可求解； （）利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义可得是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：，，，， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，． 3．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解决下列问题． (1)________；________；________； (2)求的面积； (3)判断是什么形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)直角三角形，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，割补法求三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）用割补法求解即可； （3）根据勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1），， 故答案为： （2）的面积 故答案为：5 （3）∵ ∴是直角三角形． 题型七　利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析. (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质． （1）连接，根据，，得出是等边三角形即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，从而求得． 【详解】（1）解：是等边三角形． ，， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ，， 在中，，， ， ， ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． （2）是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 2.（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，已知，，，，． (1)求线段的长； (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理： （1）先根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理得出答案即可； （2）得出，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形． 3.（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形中，，为对角线，于E，． (1)确定的度数； (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断； （2）利用等面积法即可求解． 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握等积法是关键． 【详解】（1）证明：在直角中，，，， ． ，， ， 是直角三角形，且． （2）解：， ． 题型八　勾股定理逆定理的实际应用 例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，）在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．问是否为从村庄到河边最近的路？请说明理由．    【答案】是，理由见解析 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； 【详解】解：是，理由如下： 在中，∵， 即， ∴为直角三角形，且， ∴， 由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路； 巩固训练 1.（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 【答案】11400元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：解：如图，连接， 在中，， 在中，，， 而， 即， 为直角三角形， ， ， 所以需费用 (元)． 2.（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形，进而得解； （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】（1）解：证明：∵，，，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 答：修建的公路的长是． 3.（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)这块空地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 题型九　应用勾股定理解决汽车是否超速与受影响问题 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)新路长度是120米 (2)该车没有超速，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、根据三线合一证明 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 2．（23-24八年级下·广西玉林·期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)这辆小汽车不超速，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．（1）由勾股定理求出的长即可；（2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ， 答：的长为； （2）解：这辆小汽车不超速，理由如下： 该小汽车的速度为， 这辆小汽车不超速． 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 (1)求的长． (2)这辆汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1)的长为 (2)超速了，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）根据勾股定理即可解答； （2）求出汽车的速度即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这里汽车超速了． 4.（23-24八年级下·云南昭通·期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C受台风影响吗?为什么? (2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长? 【答案】(1)会受到影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为20千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为10小时． 题型十　应用勾股定理解决选扯距离相离问题 例题：（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 巩固训练 1.（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 【答案】E到C的距离为千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设千米，则千米，由根据勾股定理可得关于的方程，解方程即得结果． 【详解】如图，设千米，则千米， 在中，根据勾股定理，， 在中，根据勾股定理，， ∵， ∴，即， 解得：， 即E到C的距离为千米． 2.（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【答案】(1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得； （2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间． 【详解】（1）解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 3.（23-24七年级上·山东淄博·期中）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【答案】(1)千米 (2)600万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案； （2）根据面积相等得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米； （2）解：∵， ∴， ∴千米 ∴修建公路的费用为（万元）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$