第18章 勾股定理（单元复习 4大易错+4大压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪科版）

第18章 勾股定理 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用勾股定理求解边长的多解问题 1 易错题型二　利用勾股定理求解折叠问题的多解问题 7 易错题型三　利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 18 易错题型四　勾股定理及逆定理与网格问题 20 【压轴题型】 25 压轴题型一　利用勾股定理证明线段平方关系 25 压轴题型二　勾股定理的证明方法 31 压轴题型三　勾股定理逆定理的拓展问题 38 压轴题型四　应用勾股定理解决几何图形中最短路径问题 44 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用勾股定理求解边长的多解问题 例题：（24-25九年级上·全国·假期作业）是直角三角形，，，则的长为 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，已知，，，在平面内有一点，，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 2．（24-25九年级上·北京通州·期末）小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是 ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知在中，，，边上的高线，则边的长为 ． 4．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，，，现将拓展为等腰，且使得点在射线上，则的长为 ． 易错题型二　利用勾股定理求解折叠问题的多解问题 例题：（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 2．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 3．（22-23九年级上·河南南阳·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2；当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ． 4．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）如图，在中，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角三角形时，的长为 ． 5．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． （1）的长为 ． （2）当是直角三角形时，的长为 ． 易错题型三　利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例题：（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 2.（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    3.（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    易错题型四　勾股定理及逆定理与网格问题 例题：（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图所示的方可格网格纸中，小正方形的边长为，有， 两个格点，试取格点，使得 是直角三角形，则的长为 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 2．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，于点D，则的长为 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，格点如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)在图1中，作出的高，并直接写出的长为　　； (2)在图2中，在边上找到点，使得； (3)在图3中，作，使和面积相等但不全等． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高　　． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　利用勾股定理证明线段平方关系 例题：（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 2．（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 3．（22-23八年级上·浙江·阶段练习）如图，已知和中，，，，连接．交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，，求证 压轴题型二　勾股定理的证明方法 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 压轴题型三　勾股定理逆定理的拓展问题 例题：（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 巩固训练 1.（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 2.阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 3.（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 压轴题型四　应用勾股定理解决几何图形中最短路径问题 例题：（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 巩固训练 1.（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 2.（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 3.（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 勾股定理 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用勾股定理求解边长的多解问题 1 易错题型二　利用勾股定理求解折叠问题的多解问题 7 易错题型三　利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 18 易错题型四　勾股定理及逆定理与网格问题 20 【压轴题型】 25 压轴题型一　利用勾股定理证明线段平方关系 25 压轴题型二　勾股定理的证明方法 31 压轴题型三　勾股定理逆定理的拓展问题 38 压轴题型四　应用勾股定理解决几何图形中最短路径问题 44 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用勾股定理求解边长的多解问题 例题：（24-25九年级上·全国·假期作业）是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，本题中只说明了是直角三角形、，并没有说明直角是哪个角，所以要分两种情况讨论．当、时，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出；当、时，设，则，根据勾股定理可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示， 若，， 在中，，， ； 如下图所示， 若，， 设， 则， 在中，， ， 解得：或(舍去)； 综上所述，的长为或． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，已知，，，在平面内有一点，，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或/或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，注意分类讨论的思想： 利用勾股定理求出，再分类讨论，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： ∵， ∴； ∵， ∴ 综上所述，当是直角三角形时，的长为或， 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·北京通州·期末）小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分为钝角和锐角，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴， ∴， 在中，； 当为钝角时，则：； 当为锐角时，则：； 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知在中，，，边上的高线，则边的长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是能够分两种情况考虑，不要遗漏．由勾股定理可分别在和中求出的长，然后分两种情况考虑：（1）当高落在内部时；（2）当高落在外部时；根据D点的不同位置可得三条线段不同的数量关系，从而得到的值． 【详解】，，边上的高线， ∴在 中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， 分类讨论： ①当高落在内部时， ， ②当高落在外部时， ， 综上所述：边的长为 9 或 21． 故答案为：9或21． 4．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，，，现将拓展为等腰，且使得点在射线上，则的长为 ． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】是直角三角形，要把拓展成等腰，因为等腰三角形是有两条边相等的三角形，所以本题需要分三种情况考虑：当时，当时，当时． 【详解】解：在中，，，， ， 若将拓展为等腰， 当时，如下图所示， 则有， 又， ； 当时，如下图所示， 在和中 ， ， ； 当时，如下图所示， ， ， ， 两边同时平方得：， 解得：． 故答案为：或或 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键. 易错题型二　利用勾股定理求解折叠问题的多解问题 例题：（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】勾股定理与折叠问题、坐标与图形综合 【分析】本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用，分两种情况①当点在线段上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案．②当点在线段的延长线上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案． 【详解】解：①当点在线段上时， 四边形是长方形， ，，， 由折叠得可知：， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 解得， 点的坐标为， ②当点在线段的延长线上时， ， 设，则， ∵， ∴， 解得， 点． 综上所述，或 故答案为：或． 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据折叠的性质，分类讨论：如图所示，时，是直角三角形，可得是等边三角形；如图所示，，是直角三角形，，；由等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在，，，，， ∴，， ∴， 如图所示，时，是直角三角形， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图所示，，是直角三角形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或 ． 2．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理等知识点，根据勾股定理得到，分类讨论，如图1，当点落在轴的正半轴上时，如图2，当点落在轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论，熟练掌握其性质并能正确的作出图形是解决此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ，， ， ， 如图1，当点落在轴的正半轴上时， 设点的坐标为， 将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时， ， ， ， ； 如图2，当点落在轴的负半轴上时， 设点的坐标为， 将沿所在的直线折叠， 当点落在轴上时， ， ， ， ， 综上所述，当点落在轴上时，点的坐标为或， 故答案为：或. 3．（22-23九年级上·河南南阳·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2；当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、勾股定理与折叠问题 【分析】分两种情形解答：①点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：，则，为等边三角形，得；②点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：≌，则，，作于点，设，可得，求出的值，再根据得结论． 【详解】解：①点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图， 由题意：≌， 则，， ∴为等边三角形， ． ②点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图， 由题意：，； 则，，， 作于点，设， ∴， ∴， ， ． 综上，线段的长为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了翻折问题，含角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键．分类讨论点恰好落在直角三角形纸片的不同边上． 4．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）如图，在中，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 分三种情况：①在中，由勾股定理可求得，由翻折的性质可知：，，则，在中，依据勾股定理列方程求解即可；②当时，由翻折的性质可知：，，然后证明是等腰直角三角形，从而求得；③当时，说明此情况不存在． 【详解】解：分三种情况：①当时，则，此时点与点重合，如图1所示， 在中，， 由翻折的性质可知；，，则， 设，则． 在中，，即． 解得：． ． ②当时，如图2所示：． 由翻折的性质可知：，，． ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ③若时，如图， ∵，则 ， ∴之间的距离为， ∴ 而， 所以矛盾，故不存的情形， 综上，的长为3或6． 故答案为：3或6．． 5．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． （1）的长为 ． （2）当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】 或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题)，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据等角对等边可得，进而根据折叠的性质，即可求解． （2）分两种情况：当时，当；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ， 由折叠性质得：， 故答案为：； （2）当时，如图 ， 设， ，， ， ， ∵折叠 ∴，， ， 在中，， ， 解得：， ； 当，如图 过点C作，垂足为H， ， ，， ， ， ， ∵折叠， ∴，，， ， ， ， ， ， 是一个外角，， ， ， ， ， ， ， 综上所述的长为或， 故答案为：或 易错题型三　利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例题：（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 【答案】2 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 巩固训练 1.（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 2.（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    【答案】8 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 3.（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 易错题型四　勾股定理及逆定理与网格问题 例题：（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图所示的方可格网格纸中，小正方形的边长为，有， 两个格点，试取格点，使得 是直角三角形，则的长为 ． 【答案】或或或或 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是确定点的位置．先确定点的位置，分四种情况：当，且时，当，且时，当时，当时，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，点的位置如下，使得 是直角三角形， 当，且时，； 当，且时，； 当时，或； 当时，点在的垂直平分线上，且， ，即， ； 综上所述，的长为或或或或， 故答案为：或或或或． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、格点图中画等腰三角形、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，得到，推出，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，于点D，则的长为 【答案】2 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理得逆定理和直角三角形斜边高的求法，掌握勾股定理及其逆定理是本题关键．根据勾股定理计算的长，再利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】由勾股定理得：，，， ，，，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：2． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，格点如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)在图1中，作出的高，并直接写出的长为　　； (2)在图2中，在边上找到点，使得； (3)在图3中，作，使和面积相等但不全等． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、无刻度直尺作图、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题是三角形综合题，考查了作图的应用与设计、勾股定理、三角形面积公式、网格线的特点、等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形面积是解题的关键，属于中考常考题型． （1）取格点，连接交于点，线段即为所求，再由三角形面积求出的长即可； （2）以为直角边作一个等腰直角三角形，即可解决问题； （3）根据等底同高的三角形面积相等，即可作出． 【详解】（1）解：如图1，取格点，连接交于点， 线段即为所求， ，，， ， 解得：， 故答案为：3.2； （2）解：如图2，以为直角边作一个等腰直角三角形，交于点， 则，即为所求； （3）解：如图3， 即为所求（答案不唯一）． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出　　，　　，　　； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高　　． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 (3)2 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用面积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，，， ，，； （2）解：是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）解：设边上的高为， 的面积， ， ， ． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　利用勾股定理证明线段平方关系 例题：（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 2．（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2)14 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 3．（22-23八年级上·浙江·阶段练习）如图，已知和中，，，，连接．交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，，求证 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）根据证明即可． （2）设交于点．利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）连接，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】（1）解：证明：， ， ，， ． （2）设交于点． ， ， ，， ， ， ． （3）证明：连接． ， ，， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 压轴题型二　勾股定理的证明方法 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【详解】（1）解：， 另一方面， 即， ； （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 【答案】(1)5； (2)见详解 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）根据梯形的面积等于三个直角三角形面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴该直角三角形的面积为； 故答案为5；； （2）解：由图可知： ， 整理得：． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________； （2）图2是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）2 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了整式的运算，与几何图形有关的乘法公式；解题的关键是利用等积法得到相关公式并正确运用． （1）运用两个小正方形的面积之和等于大正方形面积减去两个长方形面积即可； （2）根据梯形的面积等于或，建立等式整理即可； （3）根据题意表示出，在中，由勾股定理得，化简整理即可求出． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积：， ， ， ． （3）周长为2， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 长方形的面积为：． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【答案】(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析； (2)①3，②结论； (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股树（数）问题、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用． （1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； ②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立； （2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案； ②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，． 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简． （2）解：①根据题意，如下图所示： 在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则 由勾股定理，得， ∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则 ，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则 ，，， ∵，， ∴， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； ②结论； ， ； （3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：， ∴，，， ∴ 故答案为： 压轴题型三　勾股定理逆定理的拓展问题 例题：（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 巩固训练 1.（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 2.阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 3.（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 压轴题型四　应用勾股定理解决几何图形中最短路径问题 例题：（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 巩固训练 1.（23-24八年级下·江西新余·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒器爬行的最短路径的长 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、平面展开－最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．将容器侧面展开，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， ， ， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是． 2.（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 【答案】把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿展开，把长方体沿展开，把长方体沿展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案． 【详解】解：如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； ∵， ∴把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 3.（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$