精品解析：山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高三上学期调研测试5（期末）数学试题

6学科网命组卷网 2022级高三调研测试5（期末） 数学试题 2025.01 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合A={x2-1>0以，B={x+2x-3<0,则AnB=《) A.(0,3) B.(0,) c（-3,+o) D.（-l,+o) 【答案】B 【解析】 【分析】通过解指数不等式求出集合A,通过解一元二次不等式求出集合B,利用交集的定义即可求出结 果 【详解】由2-1>0，得x>0,A=(0,+∞) 由x+2x-3<0得-3<x<1,:B=(-3,) 所以AnB=(O,)】 故选：B. =3 1 2.已知复数 2,2为z的共轭复数，则z的虚部为() 1 i A.2 B.2 D. 【答案】A 第1页/共29页 6学科网6组卷网 【解析】 =3- 【分析】根据虚数单位的性质可得 2,进而可得z以及z的虚部 23、 【详解】因为2=3-日 23 2,则2=3+21 所以2的虚部为2 故选：A. 3.下列说法正确的是() A若随机变量<，刀满足7=25+1，则D()=2D(5)+1 1 B.命题“xeR+,x+>l, x”的否定是“x∈R+,x+≤1 C.设x∈R,则K-1>1是x>3"的必要而不充分条件 D已如平有内两个单枪向量a,5的火角为8，若口-=5。则0-子 【答案】C 【解析】 【分析】利用方差的性质计算可判断A；根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断B:根据充分条件、 必要条件的定义判断C；利用向量的夹角公式求得日判断D. 【详解】因为随机变量，刀满足7=25+1，所以D()=4D() 故A错误； 命题"eR,x+>L 的否定是“x∈R*t+≤I,放B错误 由K->1,可得x>2或x<0,所以可得K-1>1是“x>3”的必要而不充分条件，故C正确： 因为日-=V5,所以d-2a6+6=3,又ā，6是单位向量， 第2页/共29页 6学科网 组卷网 所以a6=-1, 所以c0s0= ab ,2=-1 2 丽12又 ≤0≤π 2元 0= 所以3，故D错误 故选：C 4.2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射， 约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度v(单位：ks) 与燃料质量M(单位：kg)、火箭（除燃料外）的质量m(单位：kg)的函数关系为 m 若已知火箭的质量为3100kg,火箭的最大速度为11k/s,则火箭需要加注的燃料质量为()（参考数 f值：h2≈0.69,1h244.69≈5.50 0.01t,1t=1000, 结果精确到 kg) 890.23t 755.44t 244.69t 243.69t A. B. D 【答案】B 【解析】 【分析】根据己知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】根据题意，m=3100, =Ine!l 3100 所以 e”,则1+，e5 3100 M=e5-1≈eb2w0-1=24.69-1=243.69 即3100 M≈3100×243.69=755439kg=755.44t 所以 第3页/共29页 命学科网命组卷网 故选：B 知sin(a-P)-3,tana=3tamB,则sin(a+B)=() 5.已 2 1 A.6 B.3 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 sina cos B sin Bcosa 【分析】根据两角差的正弦公式同角关系将条件转化为关于 的方程组，解方程 sin a cos B cosasin B 求 再结合两角和正弦公式求结论. 【详解】因为 sin(a-B)F3,所以s sin a cosB-cosasinB1 sina=3sinB 因为tana=3tanB,所以cos a cos B, sin a cos B=3cosasin B 所以 所以sin= 2.cosasin B=1 6, 所以sin(a+B)=sin+n=l+}_2 263 故选：D 6.已知随机变量5-N(,o),且P(5≤-)=P(5≥a),则x+a-x 1+4（0<x<a的最小值为） 9 7 A.9 B.3 C.2 D.3 【答案】B 第4页/共29页 6学科网6组卷网 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性得4=3，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值 a-1=-1 【详解】根据正态分布的对称性及已知，有2，可得a=3,则0<x<3, 1.41 14 -=三·(x+3-x)+ 4)=6+3-+74)≥16+23=.4)=3 故x3-x3 x3-x3 x3-x3 Vx 3-x 3-x4x 当且仅当x3-x,则3-x=2x→x=1时取等号， 综上，目标式的最小值为3. 故选：B 7.己知(：，)，（少）是函数y=2的图象上两个不同的点，则() A1g,+h<古+5 2 2 B1og,4+、当+3 2 2 cg,<+5 2 D1g,45>x+5 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题登不纺设<，因为西数'=2是增品数。所以0<25<2”，即0<%<⅓， 2+2 对于选项AB:可得2>V22*=2? ,4+业2>22>0 + ，即2 根影西数0，是地意，所似6e,当生>e,2登。当5 2，故B正确，A错误 对于选项D:例如x=0,=1,则片=山少=2 第5页/共29页 命学科网命组卷网 s:”=le@),用8，”生少2c1=+名我心限 3 可得 ,即 11 对于选项C:例如x=-山x=-2,则少=2片=4， 1og22 可 +2三10g,21og,3-3e-2,-nlog2%+2>-3=x+x,故C 2 故选：B. 8.飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机 往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须 往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投 掬骰子的次数为X,则E(X)=() odoo A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】 分 析】分 析出 从 而得到 欧=名22名3×得)名++得×名+，货位m洗和来用，得指关 6 第6页/共29页 6学科网列组卷网 【详解】X=1,即投掷1次到达终点，故第一次投掷的点数为3， Px=-=6. X=2,即投掷2次到达终点，故第一次投掷的点数不为3， 第二次投掷的点数可根据第一次投掷的点数来唯一确定， 两次投掷的点数有以下的情况，（山，2），(2，)，(4,1)，(5,2)，(6,3) 放P(x=2)=x} 66 X=3 ，即投掷3次到达终点，前两次投掷均没有到达终点， PK=)--686(*8 X=”,即投挪n次到达终点，前n-)次投掬均没有到达终点， 666 =l。2jn n@名x石哈哈+*哈+ 15) 1 lim 6（6 6=lim n→too 6 故EX=6. 第7页/共29页 命学科网命组卷网 故选：B 【点睛】关键点点睛：分析得到X=n,即投掷”次到达终点，前n-)次投掷均没有到达终点，得到 P(X=n)= 6 6 再根据求期望公式和错位相减法进行求解。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9已蜘语数f)=n(ar+po>0,<到引 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是() 12 2 A.函数(x)的图象可由y=si血2t的图象向左平移3个单位得到 11π B.直线=-12是f()图象的一条对称轴 2 C若f(x)f(:=2,则s,-的最小值为2 。10π 0, D.直线y=2与函数y=f(x)在 3上的图象有7个交点 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图象求出函数儿：)的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项：利用正弦型函数的对称 第8页/共29页 6学科网列组卷网 性可判断B选顾利用正弦型函数的周期性可划断c选顾，求了)=)在x0,?时2x+ +3的可 能取值，可判断D选项 2元=2 【样解1对1A进底，由图可知，商最付的成小正闲期为了=4合+君引二不，则0 又因为 2 63, +8-则p-管质闲=m2+}- 故函数f(x的图象可由y=sin2x的图象向左平移6个单位得到，A错： 对于B选项， f设m(g+引m(} 11π 所以，直线=-2是f(y图象的一条对称轴。B对， 对于c选项，因为f(G)-(,川=2=(-f(x)m， Tπ 所以，x,-x的最小值为22，C对： 当0≤xs10n Ts2x+Ts7元 对于D选项，当3“时，3 3 5π13π17π25π29π37π41π 2知2x+的可能取值张合为666766670 10π 所以，直线y=2与函数y=f()在3]上的图象有7个交点，D对 0 故选：BCD. 第9页/共29页 6学科网6组卷网 10.在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E,F,M分别为BC,CD,BE的中点，分别沿AE,AF 及EF所在直线把△AEB,△AFD和△EFC折起，使B,C,D三点重合于点P,得到三棱锥P-AEF, 如图2所示，则下列结论中正确的是() D M B M E 图1 图2 A.PA⊥EF B.三棱锥M-AEF的体积为4 C.三棱锥P-AEF外接球的表面积为24π D.过点M的平面截三棱锥P-AEF π，6π] 的外接球所得截面的面积的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，对A:由AP⊥平面PEF即可判断：对B:由 VM-ANE2 =二V即可求解：对C:三棱锥P一EF外接球即为补形后长方体的外接球，从而即可求解， 对D:由最大截面为过球心O的大圆，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆即可求解. 【详解】解：由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，如图所示： 对A:因为AP L PE,APLPF PEOPF=P 所以AP上平面PEF,所以PALEF,故选项A 第10页/共29页 6学科网命组卷网 正确： 对品因为%的丰点，所。mm写2x2x4= 111 2 3,故选项B错误： 对C:三棱锥P-AEF外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径(2R)=2+22+42=24 所以三棱锥P-AEF S=4πR2=24π 外接球的表面积为 ,故选项C正确： 对D:过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时 截面圆的面积为πR2=π(V6)=6元，最小截面为过点M垂直于球心0与M连线的圆，此时截面圆半径 r=VR2-OM2=V6-5=L,截面圆的面积为r2=π，所以过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接 [π，6π] 球所得截面的面积的取值范围为 ,故选项D正确。 故选：ACD, 11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺 术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作 由抛物线C:少=2r(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、270°后所得三条曲线与C围成的 (如图阴影区域)，A,B为C与其中两条曲线的交点，若P=1, ,则() A开口向上的抛物线的方程为'=2 B.4B=4 第11页/共29页 学科网命组卷网 3 C.直线x+y=t截第一象限花瓣的弦长最大值为4D.阴影区域的面积大于4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程： A,B 对于B,联立抛物线方程，求出点的坐标，即得： M,N 对于C,将直点线与抛物线方程联立求出 的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的 图象即可求得弦长最大值： 对于D,利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为C:y=2x，顶点在原点，焦点为 (5,0) (0, 将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为 则其方程为=2，日广弓女 ,故 A正确； [y2=2x 对于B,根据A项分析，由x2=2y可解得，x=0或x=2即x=2,代入可得y4=2: 由图象对称性，可得A2,2),B(2,-2),故MB=4,即B正确： 对于C, x+y=t M,N 如图，设直线 与第一象限花瓣分别交于点 第12页/共29页 学科网命组卷网 y=-x+t xw=1+l-V21+1,y=-x+t∫ xw=V2t+1-1 由y=2x解得{w=21+1-1,由2=2y解得， yw=t+1-V2t+1, 即得M+1-V21+1,V21+1-),N(21+1-1,1+1-V21+i） 则3弦长为：1MWFV2(t+2-2W21+1)2=V21t+2-22t+1. 由图知，直线x+y=1经过点A时t取最大值4，经过点O时t取最小值0， 在第一象限部分满足0<t<4,不妨设u=√2t+1,则1<u<3.日1-~ 2, w=2j4+2-2w上2Iu-2)-1川，( 2 2 由此函数的图象知，当W=2时，MN取得最大值为2，即C错误： 对于D,根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求8部分面积的近似值 如图， 军班物线广=)3c之0)上取一点P,使过点P的现线与直线O4 1 百x=1可得切点坐标为P习，因，一y三0，则点p到直线O4的离为d三2Y V24 第13页/供29页 6学科网命组卷网 于是=x2+2×2-1 42,由图知，半个花瓣的面积必大于2， 1 8× =4 故原图中的阴影部分面积必大于2，故D正确 故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知函数f(x)=x2 x的图象在点f)处的切线过点(3,0)，则a= 【答案】5 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线方程，再由点在切线上求参数即可 【g1出段了0-1a,且()=2x-是，则r0=2-a, 所以切线方程为'-0+a)=2-x-D过点(3,0）， 所 0-1+a)=(2-3-D,则a=5 故答案为：5 13.若”为一组从小到大排列的数1,1,3,5,7,9,11,13的第六十百分位数，则(2x-y+)少”的展 开式中 的系数为 【答案】-840 【解析】 【分析】利用第P百分位数的定义求出n,再利用组合的应用列式计算作答 第14页/共29页 学科网命组卷网 【详解】由8×60%=4.8，得n=7, 于是(2x-y+1)'展开式中含xy的项为C(2x2.C(-y)°=-840r2y3, 所以(2x-y+1) 的展开式中 的系数为840 故答案为：-840 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:疗=(@>06>0的左、右焦点分别是，E,过 直线I与C的左、右两支分别交于4B两点，点T在x轴上，满足BT=4A,且BS,经过△BFT的内 切圆圆心，则C的离心率为 33133 【答案】3拼3 【解析】 FA FF AF1 【分析】由BT=4AE可得FBFT BT4,又BE,经过△BET的内切圆圆心可得BE,为 BT FT3 ∠FBT的角平分线，则由角平分线定理EB区E1，令E4=1,结合比例与双曲线的定义可得 将FB,BF,BT用参数a表达，在三角形BT中cos∠B,5+cos∠BF,T=0,结合余弦定理构 建a,c齐次方程即可求解离心率。 【详解】因为BT=4A.所以BT=4A,BT11A」 RA FF AF1 所以EB FTBT4· 第15页/供29页 6学科网6组卷网 设lE4=4,B=4,FE=2c且t>0, 由双曲线的定义可得4=1+2a,BF=4-2a,则BT=41+8a,FI=6c BE 因为 经过4B7 的内切圆圆心，所以 B邵为FB7 的角平分线， BT ET 3 41+8a_3 所以由角平分线定理FBFE1,则4t一=i,可得1=a: 所以FB=4a,BE=2a|BT=12a 在前彩T4∠S+∠B7=180所s∠BF+s∠BS7-0 loEf tiref-eE,8f +lET-T-0 即 2BFFF 2·BFFT 4d2+4c2-16d+4d2+36c2-144a=0 可得2×2a·2c 2×2a.6c 化简可得12c2-4d=0,解得e--3图 √33 故答案为： 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. s在A4BC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且ABC的商积S三口+C-bnB 第16页/供29页 命学科网命组卷网 (1)求角B: (2)若∠ABC的平分线交AC于点D,a=3,C=4,求BD的长 π 【答案】(1)3 123 (2)7· 【解析】 【分析】(4少由三角形面积公式可得“+〔-b=ac,即可由余弦定理求解， (2)利用等面积法即可求解， 【小问1详解】 三万ac sin B=5（2+e一6s1nB,而0<B sinB>0,所ua+c2-=ac 由余弦定理得0sB=口+2-b1 2ac2,所以B= 3 【小问2详解】 在△1BC中，由等面积法得c=Sa0+S,D, BC.BA-sin B=BA-BD.sinBC.BD.sin 即2 22 2， 即8x4这B4xBDX+k3xBDX 22 22 所以BD=125 7· 第17页/供29页 6学科网命组卷网 D B 16.如图，在三棱柱 BC-4BG中，平面4BG'平面ABC,4G1平面BCCB A B BC⊥BC (1)求证： 5 (2)若二面角A-AC-B的正弦值为3，且AB=2BC=2,求AC 【答案】()证明：过S作GE上AB于点E, A B C 因为平面 BG平面4BC,所以GEL面BC, 因为BCC面ABC 所以SE1BC 又因为 G平面BCC,所以 AC⊥BC 第18页/供29页 6学科网6组卷网 AC1∩CE=C,AC,C,ECABC 而 面 所以BCL面ABC 因 BCC面ABG 所以 BC⊥BC 4v5 (2)5 【解析】 【分析】(1)过G作CB⊥A 于点E,然后根据面面垂直的性质定理 CB上面MBC, 然后再利用 线面垂直的性质定理得GE LBC,同理4G1BC 然后再利用线面垂直的判定定理得BCL面MBC BC⊥BC 然后用线面垂直的性质定理得 (2②)以B为原点，BA,BC分别为，'轴建立空间直角坐标系，然后利用坐标计算院定C位置，计算 AC的长度即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以B为原点，BA,BC分别为x,y轴建立空间直角坐标系， ZA A B 长 第19页/共29页 6学科网列组卷网 二面角 4G-8的平面角与=面角G-4C-B的 ”的平面角互补，记为“， i设∠C4B=6,有4(2,00），C(2-2cos20,0,2cos6sin0）.C(01,0), AC=(-21,0）.AC=（-2cos20,0,2 cosOsin0) m·AC=0 设面4CC的法向量为m=(x,y,2)有mAG=0 即-2os0x+2 n0z=0,令x-10m-（2m9） -2x+y=0 ”sin0 又面1BC的法向量为i=(00,)】 cos0 所以lcos4=cosm,列= m.n sin 2 m同 cos0 2 3, 5+ sine 解得an0 2,所以1C=2cos0=4 5 17已知数列a,}的各项均为正数.记S,为{a,}的前m项和，且数列{S}是等差数列，4，=34. 4)证明：数列a,}是等差数列。 9 (2)若数列{a人、{b.}满足a=l,么=3，令a.h.=anbn1,求证： 【答案】(1) 设VS,=am+b(a>0）,则S,=(am+b, 当n=l时，a=S=(a+b: 当n≥2时，a,=S。-S1=(am+b}2-(am-a+b)}=a(2am-a+2b)】 第20页/共29页 6学科网6组卷网 b=、4a 因为4，=3a,所以a(3a+2b)=3(a+b,解得b=0或6=-3： 当b=0时，a=a,a.=a2(2n-) 当n≥2时，0，-0=20满足等差数列的定义，此时{a.}为等差数列； 当6s、4 3时，VS,m+b=amaS=0不合思意，金天 综上可知{a}为等差数列. (2) 由已知可得4=1，d=2,所以a,=2n-1(neN) ba 2n-1 所以(2n-1)b,=(2n+3)bn1,即b。2n+3, 利用累乘法可得： =26久6=2n-32n-53.3 0当m22时、么=66：香 2n+12n-175 91_1 (2n-10(2n+)22n-12n+1 账德的当=1用包特价超色，所么-引2) =4+++60-兮+2对号 【解析】 【分析】(1)依题意利用等差数列定义即可证明得出结论： 第21页/供29页 6学科网命组卷网 (2②)求出数列0，}.也，}的通项公式，再利用累乘法以及裂项相消求和即可得出结论 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 区如O标原点，K是C名+是a>b>0的左、有作，C心平.现 是C上一点， M的最小值为 (1)求椭圆C的方程： (2y已知4,8是精网C的左、有现点，不与”轴有威重合的直线'交辅题C于P0两点，记直线4 A,B 的斜率为，直线B吧的斜率为5，且=2k ①证明：直线过定点： △AP ②设 的面积为S,求S的最大值 x2,y2 【答案】(1)43 =1 (2)①证明如下： 证明：设直线的方程为=y+n(n≠士2).P(Cx,y),0(x,2) x2 y2 =1 x-+n0(6r+4yr2+6+3r-4)=0 由 43 △=(6m}2-4(32+4）×3(n2-4）>0,即32-72+4>0， 第22页/供29页 6学科网6组卷网 6nt 3n2-4 .片+h=3+44=32+4, :P(x,)在椭圆C上 子答14 :2 3(4-x2）3 4 x+2x-2x2-4x2-44’ k2=2k=2k期，即km-3 2, P(,),)在直线上. .x1=y+n,x2=y2+n 6kw=为.5 yiy2 yiy2 x3-2x-2(%2+n-2)(y+n-2）t2yy2+1(n-2)(y+y2)+(n-2)2 3(n2-4 312+4 3(n+2) 3n2-4)f6nn-2r+0a-29 4n-2): 3t2+4 32+4 3(n+2)3 2 :40m-2）-2,即m=3, 32-m2+4=302+32 0 此时 91 2 “直线1的方程为x=少+ (2,0 3,即直线1过定点3’ 第23页/共29页 6学科网命组卷网 16v6 ②9· 【解析】 【分析】(1)应用离心率公式及焦点到椭圆距离的最值列方程组求解4=2，b=V5 即可求出椭圆方程； 3 (2)①设直线方程联立方程组得出韦达定理再应用斜率公式得出 2,再结合韦达定理计算求出 2 n= 专即可得出定点：回无表示面积SN计红化简结合对勾函数得出最值 【小问1详解】 es. 。1 由题可知， a2,a-c=1解得a=2,c=1, :b=Va-c2=3 x2,y2 =1 :.椭圆C的方程为43· 【小问2详解】 ①略 ②记直线1过定点 .A(-2,0) 第24页/共29页 6学科网6组卷网 5=4wy-w-+为F-4 4 321 片+%=32+4%= 332+4， 5=2%-为=10+⅓r-4-165,27+2 27t2+36 1 =16V3. V27t2+32+ 4 √272+32 S=16V3 令m=27P+32∈[4N2,+)则°m+ m m+在 [4W2,+o0)上单调递增， 16V3166 当 2时，、有最大值42+，4 9 m=4V2 V2 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造对勾函数形式应用函数的单调性得出函数的最值进而求出面积 的最大值 19.帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，， 函数f(x)在x=0处的[m,n阶帕德近似定义为： R(x)=toax+.+axm 1+bx+…+bx”，且满足： f0)=R(0).f0)=R'(o),f(O)=R(o).,f(O)=Re(o),注： 第25页/共29页 6学科网6组卷网 f()=[rf()-[/(,f9()-[/(,9(-[f(可，…已知数 f(x)=In(x+1) 4)求函数f()=血(x+)在x=0处的，阶帕德近似R(). (2)在(1)的条件下： R(<1 ①求证：n(x+); O者(-m行+刊R()s1-cos柜底立，求实数m的服维范国. 【答案】)R()=2x x+2 (2) 0吟-=年2hx+.x(e10u0+. 因为F()= 41-x2 +2x+1x+10x+2<0, 所以F()在x∈(-l,0)及(0，+o)上均单调递减. 2x 当x∈(-l,0),F(x)>F(O)=0,即x+2 >In(x+1) 2x R(x) x+2∠1，即n(x+1 而n(x+1)<0:所以n(x+ 2x2<ln(x+0 当x∈(0，+o),F()<F(0)=0,即x+2 第26页/共29页 6学科网列组卷网 2x R(x) 1,n+<1, 而n(x+1)>0:所以n(x+ R(x) <1 所以不等式ln(x+1)恒成立： ②m=1 【解析】 分析】(1)根据帕德近似定义对函数求导即可得出R)从 x+2: (2)①构造函数 P2h+ 并求导得出其在x∈(-1,0)U(0,+∞)上的单调性，即可得出结 论： ②根据函数解析式求导再结合函数单调性以及极值、最值的综合应用即可求得实数的取值范围， 【小问1详解】 由愿可知函数f()=血(x+)在x=0处的L,阶铂德近似， 则R(x)=马+ax r到-本r国+ x+1 由1间=0a0:R=,勇因0+4， 知r0-04-小-a益. 南了0)=r004=克. R(x)=-x2x 1 所以 1+xx+2 2 第27页/供29页 6学科网列组卷网 【小问2详解】 ①略 @白f(-m经+R(s1-cos得n(x+l）-m+os-1s0在(-1+四)上恒宽立. 令h()=h(x+l)-m+cosx-1,且h(0)=0,所以x=0是h(的极大值点， 女4m血，数0=1-m=0,则m 当m=l时，h)=ln(x+l）-x+cosx-1 所)4mx1- x+1, 当xe(0)时.-smx>0,x+>0,则h)>0, 故（在（-1,0）上单调递暗，所以当x(L,0)时，h()<h(0)=0, 当x∈(0，+o)时，h(x)=[n(x+)-x]+(cosx-). 令叫树=h(e+-,因为1k0,两（国n@+四上单定就 所以p(x)<p(0)=0 又因为在(0，+o)上cosx-1s0, 故当xe(0,+o)时，h(x)=[ln(x+l)-x]+(cosx-l)<0 综上，当m=1时，f-5+刊R(国s1-ecos产恒成立 【点睛】关键点点睛：理解帕德近似的定义并求得R(的解析式，是求解本题第二问的关键，再结合导 第28页/共29页 命学科网组卷网 。 数求得单调性可解. 第29页/共29页 2022级高三调研测试5（期末） 数学试题 2025．01 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量ξ，η满足，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. 设，则“”是“”的必要而不充分条件 D. 已知平面内两个单位向量，的夹角为θ，若，则 4. 2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到kg） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 7. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 若，则的最小值为 D. 直线与函数在上的图象有7个交点 10. 在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把，和折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为4 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象在点处的切线过点，则________． 13. 若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________. 14. 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与的左、右两支分别交于两点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则的离心率为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积. （1）求角B； （2）若的平分线交于点D，，，求的长. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面. （1）求证：； （2）若二面角的正弦值为，且，求. 17. 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且数列是等差数列，． （1）证明：数列是等差数列． （2）若数列、满足，，令，求证：． 18. 已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. ①证明：直线过定点； ②设的面积为，求的最大值. 19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，……，，注：，，，，……已知函数． （1）求函数在处的阶帕德近似． （2）在（1）的条件下： ①求证：； ②若恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $