第17章 一元二次方程 章末复习课件2024-2025学年沪科版数学八年级下册

第17章 一元二次方程 章末复习 沪科版八年级下册 没有实数根 整式 一 两个不相等 两个相等 - b2-4c 2 考点1 一元二次方程的有关概念及解法 1. (2024 合肥四十五中期中)下列方程中,一定是一元二次方程的是 ( D ) A. ax2+bx+c=0 B. x2-2y-3=0 C. =1 D. x2+1=0 D 2. 一元二次方程x2-3x=-6的二次项系数、一次项系数、常数项分别 是( C ) A. 1,3,6 B. 1,3,-6 C. 1,-3,6 D. 1,-3,-6 C 3. (2023 合肥三十八中期中)若一元二次方程(a-3)x2-2x+a2- 9=0的一个根是x=0,则a的值是( D ) A. 2 B. 3 C. 3或-3 D. -3 D 4. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0,其中 a,b,c是常数,且a+c=0.如果x=2是方程ax2+bx+c=0的一个 根,那么下列各数中,一定是方程cx2+bx+a=0的根的是( B ) A. 2 B. -2 C. 1 D. 1 B 5. (一题多问)已知方程(m+1) -(2n+1)x+n=0是关 于x的一元二次方程. (1)m的值为 . (2)若m=n,a是该方程的一个根,求6a-4a2的值. 解:(2)由(1),知n=m=1,∴方程为2x2-3x+1=0. ∵a是该方程的一个根,∴2a2-3a+1=0, ∴2a2-3a=-1, ∴6a-4a2=-2(2a2-3a)=2. 1 (3)在(2)的条件下,用下列方法求方程的根: ①公式法;②配方法;③因式分解法. 解:(3)①∵a=2,b=-3,c=1, ∴b2-4ac=(-3)2-4 2 1=1, ∴x= = ,∴x1=1,x2= . ②移项,得2x2-3x=-1. 二次项系数化为1,得x2- x=- . 配方,得x2- x+( )2=- +( )2, 即(x- )2= . 开平方,得x- = .∴x1=1,x2= . ③把方程左边分解因式,得(x-1)(2x-1)=0, ∴x1=1,x2= . 考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 6. (2024 上海)下列一元二次方程有两个相等的实数根的是 ( D ) A. x2-6x=0 B. x2-9=0 C. x2-6x+6=0 D. x2-6x+9=0 D 7. (2023 池州东至期末)若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一 个根为x=1,则这个一元二次方程的另一个根为 . x=-2 8. 已知x1,x2是关于x的方程2x2+kx-2=0的两个实数根,且 (x1-2)(x2-2)=10,则k的值为 . 7 9. (2023 合肥四十二中期中)已知关于x的一元二次方程x2-(m+ 2)x+m-1=0. (1)求证:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根; 解:(1)证明: =[-(m+2)]2-4(m-1)=m2+8. ∵m2≥0,∴m2+8>0, ∴无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根. (2)若a和 b是这个一元二次方程的两个根,且a2+b2=9,求m的值. 解:(2)由题意,得a+b=m+2,ab=m-1. ∵a2+b2=9, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=(m+2)2-2(m-1)=9,即m2+2m-3=0, 解得m1=1,m2=-3, ∴m的值为1或-3. 考点3 一元二次方程的应用 10. (2024 合肥庐阳区期末)某厂1月份生产某大型机器20台,计划2, 3月份共生产90台该大型机器,设2,3月份每月生产该大型机器数量的 平均增长率为x,根据题意可列方程为( C ) A. 20(1+x)2=90 B. 20(1-x)2=90 C. 20(1+x)+20(1+x)2=90 D. 20+20(1+x)+20(1+x)2=90 C 11. 某校八年级组织一场篮球赛,各班均组队参赛,赛制为单循环形式 (每两班之间都赛一场),共需安排15场比赛,则八年级的班级个数 为 . 6 12. 有一人患了流感,经过两轮传染后,共有49人患了流感.如果不及 时控制,那么第三轮被传染的人数为 .(三轮传染速度相同) 294 13. (2023 安庆大观区期末)某商品根据以往的销售经验,单价与每天 的销售量之间有如下关系: 单价/元 38 37 36 35 … 20 每天的销售量/ kg 50 52 54 56 … 86 设当单价从38元下调到x元时,每天的销售量为y kg,已知y与x之间满 足一次函数关系. (1)求y关于x的函数表达式; 解:(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0,0<x≤38). 根据题意,得 解得 ∴y关于x的函数表达式为y=-2x+126(0<x≤38). (2)如果该商品的成本价是每千克20元,为使某一天的利润为780元, 那么这一天的商品单价应为多少元? 解:(2)根据题意,得(x-20)(-2x+126)=780. 整理,得x2-83x+1 650=0, 解得x1=33,x2=50(不合题意,舍去). 答:这一天的商品单价应为33元. 14. 【新趋势 阅读理解】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程, 其实配方法还有其他重要的应用. 例如,已知x可取任意实数,试求二次三项式x2+6x-1的最小值. 解:x2+6x-1=x2+2 3x+32-32-1=(x+3)2-10. ∵无论x取何实数,总有(x+3)2≥0, ∴(x+3)2-10≥-10,即x2+6x-1的最小值是-10. [问题] (1)已知y=x2-4x+3,求y的最小值. 解:(1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-4+3=(x-2)2-1. ∵(x-2)2≥0,∴y≥-1, ∴y 的最小值是-1. (2)已知y=-x2-10x+3,求y的最值. 解:(2)y=-x2-10x+3=-(x2+10x)+3=-(x2+10x+25-25)+3=-(x+5)2+25+3=-(x+5)2+28. ∵(x+5)2≥0,∴-(x+5)2≤0,∴-(x+5)2+28≤28, ∴y 有最大值28. (3)如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=6 cm,BC=4 cm,点 P在边AC上以2 cm/s的速度从点A向点C移动,点Q在边CB上以1 cm/s 的速度从点C向点B移动.若点P,Q同时出发,且当一点移动到终点 时,另一点也随之停止运动,设 PCQ的面积为S cm2,运动时间为 t s,求S的最大值. [知识迁移] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解:(3)由题意,得AP=2t cm,CQ=t cm,PC=(6-2t)cm,且 0≤t≤3, ∴S= PC CQ= (6-2t) t=-t2+3t =- + . ∵ ≥0,∴- ≤0,∴- + ≤ , ∴S 的最大值为 . 15. (2024 合肥五十中三模)若关于x的方程kx2-4x-4=0有实数 根,则实数k的取值范围是( C ) A. k=0 B. k>-1 C. k≥-1 D. k≥-1且k≠0 C 16. 【降次转化】若a是方程x2-x-1=0的一个根,则-a3+2a+ 2 023的值为( A ) A. 2 022 B. -2 022 C. 2 023 D. -2 023 A 17. 【整体思想】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 是x1=m-3,x2=1-m,那么方程a(x-m)2+bx+c=mb的根是 ( B ) A. x1=-3,x2=1 B. x1=2m-3,x2=1 C. x1=2m-3,x2=1-2m D. x1=-3,x2=1-2m B 18. 一元二次方程2x2+3x-1=0和x2-5x+7=0的所有实数根的和 为 . - 19. 【整体思想】若(a2+b2)(a2+b2+4)=12,则a2+b2的值 为 . 2 20. 已知x=2是方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个 根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则 ABC的周长为 . 14 21. 已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个 不相等的实数根x1,x2. (1)若a为正整数,求a的值; 解:(1)由题意,得 =[-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,解得 a<3.∵a为正整数,∴a=1或a=2. (2)若x1,x2满足 + -x1x2=16,求a的值. 解:(2)∵x1+x2=2(a-1),x1x2=a2-a-2, + -x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=16, ∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16, 解得a1=-1,a2=6.∵a<3,∴a=-1. $$