17.5 一元二次方程的应用 第3课时 课件 2024--2025学年沪科版八年级数学下册

第17章 一元二次方程 17.5 一元二次方程的应用 沪科版八年级下册 第3课时 可化为一元二次方程的分式方程的应用 1.解分式方程的基本思路是什么？ 2.解分式方程有哪几个步骤？ 3.验根有哪几种方法？ 分式方程 整式方程 转化 去分母 一化二解三检验 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法. 复习导入 例1 解分式方程： 解：设 则原方程化为 整理，得y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1. 当y=-3，即 得3x2+2x+3=0，因为∆﹤0，所以方程无实数根. 当y=1，即 时，得x2-2x+1=0，解得x1=x2=1. 经检验x=1是原方程的根.所以原方程的根为x1=x2=1. 例题 用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法.换元后的方程一定不含有原未知数，如本题，方程左边的第一部分设为y，第二部分也能变形为关于y的代数式. 方法点拨 例2 一组学生组织春游，预计共需费用120元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元.问原来这组学生的人数是多少? 分析：设原来这组学生的人数是x人，则把体重信息整理成下表： 总费用/元 人数/人 每人费用/元 原来 现在 例题 解：设原来这组学生的人数是x人，由题意得， 两边同乘x(x+2)，整理，得， x2+2x－80=0. 解这个方程，得， x1=-10，x2=8. 经检验x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不符合题意，所以取x=8. 答：原来这组学生是8人. 解分式方程应用题时，所得根不仅要检验根是否为增根，还要考虑它是否符合题意. 方法点拨 知识点1　解可化为一元二次方程的分式方程 1. 将分式方程2－ ＝ 去分母，整理后可得（　D　） A. 5x－1＝0 B. 5x＋3＝0 C. 2x2＋3x＋1＝0 D. 2x2－3x－1＝0 D [变式] 用换元法解方程 － ＝5，设 ＝y，则得到关于y的整 式方程为 ⁠. y2－5y－3＝0　 巩固练习 2. 当x＝ 时，分式 与 的值相等. 2　 3.若关于x的方程 有增根x=—1，则a的值为（ ） A.0或—1 B.0 C.3 D.3或—1 C 4. 解方程： ＋ ＝ . 解：方程两边同乘（x＋3）（x－3），得x－3＋6＝x2＋3x. 整理，得（x＋3）（x－1）＝0，解得x1＝－3，x2＝1. 当x＝－3时，（x＋3）（x－3）＝0， 所以x＝－3不是原方程的根. 当x＝1时，（x＋3）（x－3）≠0，所以x＝1是原方程的根. 所以原方程的根为x＝1. 5. 解方程： － ＝1. 解：整理，得 － ＝1. 方程两边同乘（x－3）（x＋1），得2x－x－1＝x2－2x－3. 移项、合并同类项，得x2－3x－2＝0， 解得x1＝ ，x2＝ ， 经检验，x1＝ ，x2＝ 是原方程的根. 6.解方程： ＋ ＝7. 解：设 ＝y，那么 ＝ ，所以原方程可变形为2y＋ ＝7. 方程的两边都乘y，得2y2－7y＋6＝0.解这个方程，得y1＝2，y2＝ . 当y＝2时， ＝2，整理，得x2－2x－1＝0.所以x＝ ＝1± . 当y＝ 时， ＝ ，整理，得2x2－3x－1＝0.所以x＝ . 检验：把x＝1± ，x＝ 分别代入原方程的分母， 各分母都不等于0， 所以它们都是原方程的根. 综上，原方程的根是x1＝1＋ ，x2＝1－ ，x3＝ ，x4＝ . 知识点2　可化为一元二次方程的分式方程的应用 7. 在新农村建设中需要挖一条长480 m的渠道，开工后，每天比原计划 多挖20 m，结果提前4天完成任务.设原计划每天挖x m，那么可列方程 为 ⁠. － ＝4　 8.学校计划将120名学生平均分成若干个读书小组，若每个小组比原计划多1人，则要比原计划少分出6个小组，那么原计划要分成的小组数是　 　． 30 9.某农场开挖一条长960米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？ 解：设原计划每天挖x米，则后来每天挖（x+20）米。 根据题意，得 解这个方程，得x1=60,x2=-80（不合题意，舍去）. 经检验，x=60是原分式方程的根. 所以原计划每天挖60米. 10. 甲、乙两辆货车分别从A，B两地同时匀速沿高速公路向C地运送货 物.已知A，C两地相距450千米，B，C两地相距440千米，甲车比乙车 的速度快10千米/时，且甲车比乙车早半小时到达C地.求两车的速度. 解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x＋10）千米/时. 根据题意，得 ＋ ＝ ，解得x1＝80，x2＝－110. 经检验，x1＝80，x2＝－110都是原方程的根，但x2＝－110 不合题意， 舍去， ∴x＝80，∴x＋10＝90. 答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时. 11. （教材P43例5变式）某校组织八年级一班的学生春游，预计需要车 费540元，后来5名二班的学生也加入进来，车费不变，这样每人可以少 分摊1.5元.问：一班有多少名学生？每人实际分摊的车费为多少元？ 解：设一班有x名学生. 由题意，得 －1.5＝ . 整理，得x2＋5x－1 800＝0，解得x1＝－45，x2＝40. 经检验，x1＝－45，x2＝40都是原分式方程的根，但x1＝－45不符合题 意，所以取x＝40.每人实际分摊的车费为 ＝ ＝12（元）. 答：一班有40名学生，每人实际分摊的车费为12元. $$