2024-2025学年北师大版数学九年级上册期末综合检测试卷（重庆适用）

2024-2025学年北师大版数学九年级上册期末综合检测试卷（重庆适用） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）的倒数是（　　） A． B．2025 C． D．﹣2025 2．（4分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，不相交的两条直线必平行． （2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行． （3）相等的角是对顶角． （4）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等． （5）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：3，△ABC的面积为2，则△A′B′C′的面积为（　　） A．32 B．18 C．6 D．4 5．（4分）估计1的运算结果应在（　　） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 6．（4分）有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，如图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，…，依此规律，图⑨中苯环的个数为（　　） A．45个 B．55个 C．60个 D．66个 7．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上，作AB⊥x轴于点B，已知点B，C关于原点对称，△ABC的面积为6，则比例系数k为（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．9 D．12 8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝2，，AC＝4，将△ABC绕点A旋转至△ADE使得A，B，E共线，则BC边扫过的部分（即阴影部分）面积为（　　） A． B．2π C． D． 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接AF，过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE＝2BF，∠BAF＝α，则∠EGF一定等于（　　） A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α 10．（4分）对于多项式：x﹣y+z﹣m+n，只选取两个字母，并交换它们的位置（符号不参与交换），称这种操作为一种“交换操作”．然后再进行运算，并将化简的结果记为M． 例如：x、y交换后M＝y﹣x+z﹣m+n；x、z交换后M＝z﹣y+x﹣m+n． 下列相关说法正确的个数是（　　） ①存在一种“交换操作”，使其运算结果为M＝x+y+z﹣m﹣n； ②共有五种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“交换操作”共有6种不同的运算结果． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 11．（5分）若x＝m是方程x2+3x﹣1＝0的根，则m2+3m+2024的值为 　 　． 12．（5分）如图，正五边形的一条边AB在正六边形的一条边AC上，则∠DAE＝　 　度． 13．（5分）有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，1．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则直线y＝mx+n不经过第三象限的概率为 　 　． 14．（5分）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　． 15．（5分）如图，∠MPN＝30°，点O在PM上，⊙O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B，C．作CD∥PN，与⊙O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F，CD＝8，则OA的长为 　 　，EF的长为 　 　． 16．（5分）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数M′．规定．例如：M＝2335，∵2+3＝5，3+5＝8，∴2335是“会意数”．则．那么“会意数”N＝4162，则F（N）＝ 　 　；已知四位自然数是“会意数”，（b≤4，d≤7，且a、b、c、d均为正整数），若F（S）恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 　 　． 三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分） 17．（10分）计算： （1）2x（x﹣3y）+（﹣x+y）（x+y）﹣（x+2y）2； （2）先化简，再求值：，其中m的值为方程x2﹣2x﹣4＝0的解． 18．（10分）在学习了平行四边形的相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填 空： （1）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E．用尺规作∠ADC的角平分线交AB点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F． 求证：四边形BEDF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，①　 　， ∴∠AFD＝∠CDF． ∵BE平分∠ABC， ∴， 同理可得： ∴②　 　， ∴∠AFD＝∠ABE， ∴③　 　． ∴四边形BEDF是平行四边形． 进一步思考，如果四边形ABCD是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④　 　． 19．（10分）“发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x＜100． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　 　，b＝ 　 　，β＝ 　 　度； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 20．（10分）忠县临江公园美化后的夜景引来众多游客观赏，拍照打卡者络绎不绝，也带来了商机．李师傅今年元旦节网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园为游客开展陪拍服务，已知购进1盒A型号相纸比购进一盒B型号相纸便宜13元，并且花费180元购进A型号相纸和花费232元购进B型号相纸盒数相等． （1）求购进A、B两型号相纸的单价分别是多少元？ （2）李师傅购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸，并把A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张进行陪拍服务，如果李师傅计划本次陪拍服务后的总利润不低于1890元，那么最多购进A型号相纸多少盒？ 21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，点D为AB的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线C→D→A方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（0＜x＜10），△ABC的面积与△PBC的面积之比为y1，△ACQ的面积为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22．（10分）某校开展了“寻根•行走的青春”研学活动．如图所示，国防教育B在劳动教育A正北方向，AB＝200米；科学研究C在国防教育B北偏东30°方向，BC＝260米；素质拓展D在科学研究C东南方向；德育实践E在素质拓展D正南方向，且在劳动教育A正东方向，AE＝300米．（参考数据：， （1）求C，D两处之间的距离（结果精确到个位）； （2）小沙和小坪从劳动教育A处出发，准备一起前往素质拓展D处，有两条路可选择：①A→B→C→D；②A→E→D，请通过计算说明选择哪一条路较近． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，且B（﹣2，0），AB＝6． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过P作PD⊥AC交AC于点D，过P作PG⊥x轴交x轴于点G、交AC于点E，点M为直线PG上一动点，当△DEP周长最大时，求的最小值及此时点M的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线BC方向平移个单位，得到新抛物线y′，点F是新抛物线y′上一点，点Q为点B关于y轴的对称点，当∠FQC＝45°时，请直接写出所有符合条件的F点的坐标． 24．（10分）△ABC中，AB＝AC，将AB绕点A逆时针旋转90°到AD，直线AD与直线BC交于点E，过点D作DF∥AB交AC延长线于点F． （1）如图1，当∠BAC＝60°时，连接CD，若，求AC的长度； （2）如图2，若点G为AF的中点，连接DG，请用等式表示线段AE、DF、DG之间的数量关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，AB＝AC＝8，DF＝6，连接BD，点P为BD边上一动点，连接AP，以AP为直角边在其右侧作等腰直角△APQ，AP＝QP，并将QA绕点Q旋转α°（0°＜α＜90°）至QM，连接GQ、ME，请直接写出当GQ和ME均取得最小值时△AME的面积． 2024-2025学年北师大版数学九年级上册期末综合检测试卷（重庆适用） 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A B B B B B B 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）的倒数是（　　） A． B．2025 C． D．﹣2025 【解答】解：的倒数是﹣2025． 故选：D． 2．（4分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意； B．是轴对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（4分）下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，不相交的两条直线必平行． （2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行． （3）相等的角是对顶角． （4）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等． （5）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：（1）在同一平面内，不相交的两条直线必平行，正确． （2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行，错误． （3）相等的角是对顶角，错误． （4）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等，错误． （5）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行，正确． 所以正确的是（1）（5），故选B． 4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：3，△ABC的面积为2，则△A′B′C′的面积为（　　） A．32 B．18 C．6 D．4 【解答】解：∵OA：AA′＝1：3， ∴OA：OA′＝1：4， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：4， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1：16． ∵△ABC的面积为2， ∴△A′B′C′的面积为32． 故选：A． 5．（4分）估计1的运算结果应在（　　） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【解答】解：∵49＜55＜64， ∴78， ∴61＜7， ∴估计1的运算结果应在6到7之间， 故选：B． 6．（4分）有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，如图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，…，依此规律，图⑨中苯环的个数为（　　） A．45个 B．55个 C．60个 D．66个 【解答】解：图①是由1+2＝3个苯环组成， 图②是由1+2+3＝6个苯环组成， …， 依此规律，图n是由1+2+3+…+n+1个苯环组成， ∴图⑨中苯环的个数为55， 故选：B． 7．（4分）如图，点A在反比例函数的图象上，作AB⊥x轴于点B，已知点B，C关于原点对称，△ABC的面积为6，则比例系数k为（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．9 D．12 【解答】解：∵点B，C关于原点对称，△ABC的面积为6， ∴S△ABOS△ABC＝3， ∵|k|＝2S△ABO＝6，且反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣6． 故选：B． 8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝2，，AC＝4，将△ABC绕点A旋转至△ADE使得A，B，E共线，则BC边扫过的部分（即阴影部分）面积为（　　） A． B．2π C． D． 【解答】解：∵AB＝2，BC＝2，AC＝4， ∴AB2+BC2＝4+12＝16＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°， ∵sin∠BAC， ∴∠BAC＝60°，由旋转的性质可知，∠BAC＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝2， ∴S阴影部分＝S扇形ACE+S△ADE﹣S△ABC﹣S扇形ABD ＝S扇形ACE﹣S扇形ABD ＝2π． 故选：B． 9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接AF，过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE＝2BF，∠BAF＝α，则∠EGF一定等于（　　） A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α 【解答】解：过点D作DH∥EG交AB于点H，连接AG，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠CDA＝90°，AB∥CD， ∴∠BAF+∠FAD＝90°， ∵EG⊥AF，DH∥EG， DH⊥AF， ∴∠ADH+∠FAD＝90°， ∴∠BAF＝∠ADH＝α， 在△ABF和△DAH中， ， ∴△ABF≌△DAH（ASA）， ∴AH＝BF，AF＝DH， ∴AE＝AH+HE＝BF+HE， ∵AE＝2BF， ∴BF+HE＝2BF， ∴HE＝BF， ∴AH＝HE＝BF， ∵AB∥CD，DH∥EG， ∴四边形DGEH是平行四边形， ∴HE＝DG， ∴AH＝DG， 在△AHD和△DGA中， ， ∴△AHD≌△DGA（SAS）， ∴∠ADH＝∠DAG＝α，DH＝AG， ∴∠FAG＝∠BAD﹣（∠BAF+∠DAG）＝90°﹣2α， ∵AF＝DH，DH＝AG， ∴AF＝AG， ∴∠AFG＝∠AGF（180°﹣∠FAG）＝45°+α， ∵EG⊥AF， ∴∠AGE＝90°﹣∠FAG＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α， ∴∠EGF＝∠AGF﹣∠AGE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α． 故选：B． 10．（4分）对于多项式：x﹣y+z﹣m+n，只选取两个字母，并交换它们的位置（符号不参与交换），称这种操作为一种“交换操作”．然后再进行运算，并将化简的结果记为M． 例如：x、y交换后M＝y﹣x+z﹣m+n；x、z交换后M＝z﹣y+x﹣m+n． 下列相关说法正确的个数是（　　） ①存在一种“交换操作”，使其运算结果为M＝x+y+z﹣m﹣n； ②共有五种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“交换操作”共有6种不同的运算结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵多项式：x﹣y+z﹣m+n， ∴x、y交换后M＝y﹣x+z﹣m+n＝﹣x+y+z﹣m+n， x、z交换后M＝z﹣y+x﹣m+n＝x﹣y+z﹣m+n， x、m交换后M＝m﹣y+z﹣x+n＝﹣x﹣y+z+m+n， x、n交换后M＝n﹣y+z﹣m+x＝x﹣y+z﹣m+n， y、z交换后M＝x﹣z+y﹣m+n＝x+y﹣z﹣m+n， y、m交换后M＝x﹣m+z﹣y+n＝x﹣y+z﹣m+n， y、n交换后M＝x﹣n+z﹣m+y＝x+y+z﹣m﹣n， z、m交换后M＝x﹣y+m﹣z+n＝x﹣y﹣z+m+n， z、n交换后M＝x﹣y+n﹣m+z＝x﹣y+z﹣m+n， m、n交换后M＝x﹣y+z﹣n+m＝x﹣y+z+m﹣n， 共有10种“交换操作”， ∴当y，n交换后，得到M＝x﹣n+z﹣m+y＝x+y+z﹣m﹣n，故说法①正确，符合题意； 当x、z交换后，x、n交换后，y、m交换后，z、n交换后，这四种“交换操作”其运算结果与原多项式相等；故说法②错误，不符合题意； 所有的“交换操作”共有7种不同的结果，故说法③错误，不符合题意， 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 11．（5分）若x＝m是方程x2+3x﹣1＝0的根，则m2+3m+2024的值为 　2025　． 【解答】解：∵x＝m是方程x2+3x﹣1＝0的根， ∴m2+3m﹣1＝0， ∴m2+3m＝1， ∴m2+3m+2024＝1+2024＝2025， 故答案为：2025． 12．（5分）如图，正五边形的一条边AB在正六边形的一条边AC上，则∠DAE＝　12　度． 【解答】解：正五边形的内角∠DAB108°， 正六边形的内角是∠EAB120°， ∵∠DAE＝∠EAB﹣∠DAB＝120°﹣108°＝12°， 故答案为：12． 13．（5分）有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，1．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则直线y＝mx+n不经过第三象限的概率为 　　． 【解答】解：列表如下： ﹣2 ﹣1 1 ﹣2 （﹣2，﹣2） （﹣2，﹣1） （﹣2，1） ﹣1 （﹣1，﹣2） （﹣1，﹣1） （﹣1，1） 1 （1，﹣2） （1，﹣1） （1，1） 共有9种等可能的结果，其中直线y＝mx+n不经过第三象限的结果有：（﹣2，1），（﹣1，1），共2种， ∴直线y＝mx+n不经过第三象限的概率为． 故答案为：． 14．（5分）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 　6　． 【解答】解：解不等式组，得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴14， 解得：1≤a＜7， ∴整数a为：1，2，3，4，5，6， 解分式方程，得y， ∵分式方程有整数解， ∴是整数，且1， ∴整数a为：1，5， ∴所有满足条件的整数a的值之和是1+5＝6． 故答案为：6． 15．（5分）如图，∠MPN＝30°，点O在PM上，⊙O与PN相切于点A，与PM的交点分别为B，C．作CD∥PN，与⊙O交于点D，作CE⊥PN，垂足为E，连接EO并延长，交CD于点F，CD＝8，则OA的长为 　　，EF的长为 　2　． 【解答】解：延长AO交CD于点H， ∵⊙O与PN相切于点A， ∴PN⊥OA， ∵CD∥PN，∠MPN＝30°， ∴∠OHC＝∠OAP＝90°，∠OCD＝∠MPN＝30°， ∵CD＝8，OH⊥CD于点H， ∴CH＝DHCD＝4， ∵OHOC， ∴CHOC＝4， ∴OA＝OC； ∵CE⊥PN于点E， ∴∠AEC＝∠EAH＝∠AHC＝90°， ∴四边形AECH是矩形， ∴AE＝CH＝4， ∴OE， ∵HF∥AE，OHOCOA， ∴△HOF∽△AOE， ∴， ∴OFOE， ∴EF＝OE+OF2， 故答案为：，2． 16．（5分）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数M′．规定．例如：M＝2335，∵2+3＝5，3+5＝8，∴2335是“会意数”．则．那么“会意数”N＝4162，则F（N）＝ 　21　；已知四位自然数是“会意数”，（b≤4，d≤7，且a、b、c、d均为正整数），若F（S）恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 　4117　． 【解答】解：由“会意数”N＝4162得N′＝6241， ∴； ∵四位自然数是“会意数”， ∴S＝1000a+100b+10c+d，S′＝1000c+100d+10a+b， ∴10a﹣b+10c+d， ∵a+b＝5，c+d＝8， ∴a＝5﹣b，c＝8﹣d， ∴F（S）＝﹣10（5﹣b）﹣b+10（8﹣d）+d＝9b﹣9d+30， ∵F（S）恰好能被8整除， ∴是整数， ∴b﹣d+6是8的倍数， ∵b≤4，d≤7，且b、d均为正整数， ∴要使S取最大值，则千位上的数字a取最大，则b取最小，则b＝1，a＝4， ∴d＝7满足b﹣d+6是8的倍数，此时c＝1， ∴满足条件的数S的最大值是4117， 故答案为：21，4117． 三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分） 17．（10分）计算： （1）2x（x﹣3y）+（﹣x+y）（x+y）﹣（x+2y）2； （2）先化简，再求值：，其中m的值为方程x2﹣2x﹣4＝0的解． 【解答】解：（1）原式＝2x2﹣6xy+y2﹣x2﹣x2﹣4xy﹣4y2 ＝﹣10xy﹣3y2； （2）原式 ． ∵m的值为方程x2﹣2x﹣4＝0的解， ∴m2﹣2m﹣4＝0， ∴m2﹣4＝2m， ∴原式＝1． 18．（10分）在学习了平行四边形的相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填 空： （1）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E．用尺规作∠ADC的角平分线交AB点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F． 求证：四边形BEDF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，①　∠ADC＝∠ABC　， ∴∠AFD＝∠CDF． ∵BE平分∠ABC， ∴， 同理可得： ∴②　∠CDF＝∠ABE　， ∴∠AFD＝∠ABE， ∴③　DF∥BE　． ∴四边形BEDF是平行四边形． 进一步思考，如果四边形ABCD是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④　四边形BEDF是平行四边形　． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，①∠ADC＝∠ABC， ∴∠AFD＝∠CDF． ∵BE平分∠ABC， ∴， 同理可得： ∴②∠CDF＝∠ABE， ∴∠AFD＝∠ABE， ∴③DF∥BE． ∴四边形BEDF是平行四边形． 如果四边形ABCD是矩形，同法可证DF∥BE， ∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 故答案为：∠ADC＝∠ABC，∠CDF＝∠ABE，DF∥BE，四边形BEDF是平行四边形． 19．（10分）“发展科学技术，迎接美好未来”，重庆实验外国语学校在校开展了科技文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x＜100． 下面给出了部分信息： 抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96； 抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88． 两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 86 85 b 八年级 86 a 88 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　86　，b＝ 　84　，β＝ 　108　度； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） （3）若八年级共有500名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数． 【解答】解：（1）把八年级10名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是84，88，故中位数a86， 在抽取的七年级10名学生的竞赛成绩中，出现次数最多的是84， ∴众数b＝84， 由扇形统计图可得，八年级A等级的有10×20%＝2（人）， β＝360°108°， 故答案为：86；84；108； （2）八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数与众数高于七年级，所以八年级的成绩更好； （3）500150（人）， 答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数是150人． 20．（10分）忠县临江公园美化后的夜景引来众多游客观赏，拍照打卡者络绎不绝，也带来了商机．李师傅今年元旦节网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园为游客开展陪拍服务，已知购进1盒A型号相纸比购进一盒B型号相纸便宜13元，并且花费180元购进A型号相纸和花费232元购进B型号相纸盒数相等． （1）求购进A、B两型号相纸的单价分别是多少元？ （2）李师傅购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸，并把A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张进行陪拍服务，如果李师傅计划本次陪拍服务后的总利润不低于1890元，那么最多购进A型号相纸多少盒？ 【解答】解：（1）设A型号相纸的单价是x元，则B型号相纸的单价是（x+13）元， 根据题意得：， 解得：x＝45， 经检验，x＝45是所列方程的解，且符合题意， ∴x+13＝45+13＝58（元）． 答：A型号相纸的单价是45元，B型号相纸的单价是58元； （2）设购进A型号相纸y盒，则购进B型号相纸（50﹣y）盒， 根据题意得：（8×10﹣45）y+（10×10﹣58）（50﹣y）≥1890， 解得：y≤30， ∴y的最大值为30． 答：最多购进A型号相纸30盒． 21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，点D为AB的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线C→D→A方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（0＜x＜10），△ABC的面积与△PBC的面积之比为y1，△ACQ的面积为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【解答】解：（1）如图1， 作CE⊥AB于E，作AF⊥CD， ∵∠ABC＝∠AEC＝90°， ∴sinB， ∴， ∴CE， ∵点D是AB的中点， ∴CD＝AD5， ∵S△ACD， ∴AF＝CE， ∴， ∴（0＜x＜10）， 当0＜x≤5时， ∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴CD＝AD， ∵S△ACD， ∴AF＝CE， ∴y2CF•AF， 当5＜x＜10时， ， ∴； （2）如图， 答案不唯一，例如：函数y2最大值＝12； （3）当时， x2.0或x（舍去）， 当得， x9.6或x（舍去）， ∴当2.0＜x＜9.6时，y1＜y2． 22．（10分）某校开展了“寻根•行走的青春”研学活动．如图所示，国防教育B在劳动教育A正北方向，AB＝200米；科学研究C在国防教育B北偏东30°方向，BC＝260米；素质拓展D在科学研究C东南方向；德育实践E在素质拓展D正南方向，且在劳动教育A正东方向，AE＝300米．（参考数据：， （1）求C，D两处之间的距离（结果精确到个位）； （2）小沙和小坪从劳动教育A处出发，准备一起前往素质拓展D处，有两条路可选择：①A→B→C→D；②A→E→D，请通过计算说明选择哪一条路较近． 【解答】解：（1）过点C 作CF⊥AB于F，过C作CG∥AB，过点D 作DG⊥CG于G， ∵∠CBF＝30°， ∴CFBC260＝130（米）， ∴DG＝AE﹣CF＝300﹣130＝170（米）， 在Rt△ACG中，∠DCG＝45°， ∴∠CDG＝45°＝∠DCG，∴CG＝DG＝170米， ∴CD170238（米）， 答：C，D两处之间的距离约为238米； （2）选择①：AB+BC+CD＝200+260+238＝698（米）； 选择②：在Rt△BCF中，BF＝BC•cos30°＝260130221（米）， ∴DE＝AB+BF﹣CG＝251米，AE+DE＝300+251＝551（米）， ∵698＞551， ∴选择②较近． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，且B（﹣2，0），AB＝6． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过P作PD⊥AC交AC于点D，过P作PG⊥x轴交x轴于点G、交AC于点E，点M为直线PG上一动点，当△DEP周长最大时，求的最小值及此时点M的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线BC方向平移个单位，得到新抛物线y′，点F是新抛物线y′上一点，点Q为点B关于y轴的对称点，当∠FQC＝45°时，请直接写出所有符合条件的F点的坐标． 【解答】解：（1）B（﹣2，0），AB＝6，则点A（4，0）， 则y（x+2）（x﹣4）x2﹣x﹣4； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），则OB＝OC＝4，即∠OAC＝45°＝∠DPE， 则DP＝DEPE，则△DEP周长＝（1）PE， 故PE最大时，△DEP周长， 由点A、C的坐标得，直线CA的表达式为：y＝x﹣4， 设E（x，x﹣4），则点P（x，x2﹣x﹣4）， 则PE＝x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）x2+2x， ∴当x＝2时，PE最大，此时，点P（2，﹣4）； 过点P作PT使∠MPT＝45°交x轴于点T，过点Q作OH⊥PT交x＝2于点M，则点M为所求点， 理由：MHPM，则OM+MH＝OH为最小， ∵直线PT和x轴负半轴的交角为45°，则直线PT的表达式为：y＝x﹣2﹣4＝x﹣6，则点T（6，0），则OT＝6， 则OHOT＝3， ∵直线PT的表达式为：y＝x﹣6，OH⊥PT， 则直线OH的表达式为：y＝﹣x，则点M（2，﹣2）； （3）抛物线沿射线BC方向平移个单位，则相当于向右平移2个单位，向下平移4个单位， 则y′（x﹣2）2﹣（x﹣2）﹣4﹣4x2﹣3x﹣4， 设OF交y轴于点H，过点H作HN⊥QC， 在△CHQ中，∠HQN＝45°，tan∠OCQ，CQ， 故设HN＝QN＝x，则CN＝2x，则CHx， 则CQ＝x+2x，则x，则CHx， 则点H（0，）， 由点Q、H的坐标得，直线QH的表达式为：yx， 当点F（F′）在CQ的右侧时， ∵∠FQC＝∠F′QC＝45°，则QF′⊥QF， 则直线QF′的表达式为：y＝﹣3（x﹣2）， 联立QF（F′）和新抛物线的表达式得：xx2﹣3x﹣4或﹣3（x﹣2）x2﹣3x﹣4， 解得：x或2（不合题意的值已舍去）， 即点F（，）或（2，6﹣6）． 24．（10分）△ABC中，AB＝AC，将AB绕点A逆时针旋转90°到AD，直线AD与直线BC交于点E，过点D作DF∥AB交AC延长线于点F． （1）如图1，当∠BAC＝60°时，连接CD，若，求AC的长度； （2）如图2，若点G为AF的中点，连接DG，请用等式表示线段AE、DF、DG之间的数量关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，AB＝AC＝8，DF＝6，连接BD，点P为BD边上一动点，连接AP，以AP为直角边在其右侧作等腰直角△APQ，AP＝QP，并将QA绕点Q旋转α°（0°＜α＜90°）至QM，连接GQ、ME，请直接写出当GQ和ME均取得最小值时△AME的面积． 【解答】解：（1）如图1， 作CG⊥AD于G， ∵AB绕点A逆时针旋转90°到AD， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴AC＝AD，∠CAD＝30°， 设CD＝a，则AD＝AC＝2CD＝x，AGCG， ∴DG＝AD﹣AG＝2a， 在Rt△CDG中，由勾股定理得， CG2+DG2＝CD2， ∴， ∴a或a（舍去）， ∴AC＝3； （2）如图2， 2DG＝DF+AE； 作AH⊥BC于R，交FD的延长线于点H， ∴∠ARB＝90°， ∴∠B+∠BAR＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠DAH+∠BAR＝90°， ∴∠B＝∠DAH， ∵∠ADH＝∠BAE＝90°，AB＝AD， ∴△ABE≌△AHD（ASA）， ∴DH＝AE，∠H＝∠AEB， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B， ∴∠DAH＝∠ACB， ∴∠AEB＝∠ACB+∠DAC，∠DAH+∠DAC＝∠HAF， ∴∠H＝∠HAF， ∴AF＝HF， ∵DG是直角三角形ADF的斜边上中线， ∴AF＝2DG， ∴2DG＝DF+DH＝DF+AE； （3）如图3﹣1， 作AW⊥BD于W，则△ADW是等腰直角三角形， ∴∠AWD＝90°，ADAWDW，∠DAW＝45°， ∵以AP为直角边在其右侧作等腰直角△APQ，AP＝QP， ∴∠APQ＝90°，∠PAQ＝45°， ∴∠PAQ＝∠DAW， ∴∠PAQ﹣∠WAQ＝∠DAW﹣∠WAQ， ∴∠PAW＝∠DAQ， ∵， ∴△PAW∽△QAD， ∴∠ADQ＝∠AWP＝90°， ∴点Q在直线DF上运动， ∴当GQ⊥DF于Q时，GQ最小， 如图3﹣2， ∵∠ADF＝90°，AD＝8，DF＝6， ∴AF＝10， ∵QM＝AQ， ∴点M在以Q为圆心，AQ为半径的圆上运动，作射线QE，交⊙Q于点M，此时ME最小， 作EV⊥AD，交AF于V， ∵tan∠DAF， ∴设EV＝3a，AV＝4a，则CV＝8﹣4a，AE＝5a， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴tan∠ABC＝tan∠ACB， ∴， ∴， ∴a， ∴AE＝4， ∵AD＝AB＝8， ∴AE＝DE， ∵GQ⊥DF，AD⊥DF， ∴GQ∥AD， ∴， ∵点G是AC的中点， ∴AG＝FG， ∴FQ＝DQ， ∴EQ， ∵MQ＝AQ， ∴EM＝MQ﹣EQ， 作QX⊥AF于X， ∴CQ＝FQ•sinF＝FQ•3， ∴S△AME． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$