10.3.1频率的稳定性课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.3.1 频率的稳定性 高中数学 【学习目标】 通过做重复试验，探究频率的稳定性规律. 理解频率与概率的联系与区别. 理解频率估计概率的应用实例. 【重点∙难点】 重点: 频率与概率的联系与区别，用频率估计概率. 难点: 频率的稳定性规律的理解. 高中数学 【知识回顾】 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性 越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率 越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频 率一般也越小. 在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通 过大量重复试验，用频率去估计概率. 那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的 大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？ 高中数学 正面朝上 反面朝上 1 P A = 2 . 把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0， 则这个试验的样本空间 Ω = {(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}， A = {(1，0)，(0，1)}，所以 ( ) 高中数学 【重复试验】 下面我们分步实施试验，考察随着试验次数的增加，事件A 的频率的变化情况，以及频率与概率的关系. 第一步：每人重复做25次试验，记录事件A发生的次数， 计算频率； 第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果； 第三步：各组统计试验事件A发生的次数，计算事件A发生 的频率，将结果填入表10.3 − 1中. 暂停播放 高中数学 实验组： [100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100]. 频数：[49, 51, 52, 51, 56, 48, 44, 53, 54, 48]. 频率： 高中数学 小组序号 试验总次数 事件A发生的次数 事件A发生的频率 1 100 49 0.49 2 100 51 0.51 3 100 52 0.52 4 100 51 0.51 5 100 56 0.56 6 100 48 0.48 7 100 44 0.44 8 100 53 0.53 9 100 54 0.54 10 100 48 0.48 合计 1000 506 0.506 高中数学 每人做25次试验，相当于在试验次数较少时重复几十次试 验，通过比较事件A发生的频率，会发现频率不会完全相同，而 且波动较大. 小组合作100次试验，再比较各组得到的事件A的 频率会发现频率也不会完全相同，但波动变小. 高中数学 汇总全班的试验结果，至少有1000次试验. 经过多次试验会 发现频率非常接近A的概率0.5. 结论：发现频率具有不稳定性，但随着试验次数的增加，频 率的波动幅度变小，逐渐稳定到一个常数. 下面看利用计算机模拟掷两枚硬币的实验，在重复试验次 数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A =“一个正面 朝上，一个反面朝上”发生的频数nÆ和频率ƒn(A) ( 表 10.3 − 2). 高中数学 高中数学 用折线图表示频率的波动情况（图10.3 − 1） 高中数学 我们发现： 试验次数n相同，频率ƒn(A)可能不同，这说明随机事 件发生的频率具有随机性. 从整体来看，频率在概率0.5附近波动，当试验次数较 少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小. 但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动 幅度小的可能性更大. 高中数学 大量试验表明，在任何确定次数的 随机试验中，一个随机事件A发生的频 率具有随机性，一般地，随着试验次数 n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小， 即事件A发生的频率ƒn(A)会逐渐稳定 于事件A发生的概率P(A).我们称频率的 这个性质为频率的稳定性. 因此我们可 以用频率ƒn(A) 估计概率P(A). 高中数学 【应用实例】 例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数.通过抽 样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为 115.88和113.51. 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生 儿中男婴的比率，精确到0.001）； 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的” 这个判断可靠吗？ 分析：根据“性别比”的定义和抽样调查结果，可以计 算男婴出生的频率；由频率的稳定性，可以估计男婴的出生 率. 暂停播放 高中数学 2015年男婴出生的频率为 115.88 ≈ 0.537 100 + 115.88 113.51 100 + 113.51 ≈ 0.532 解： （1）2014年男婴出生的频率为 由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男 婴出生率约为0.532. （2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性， 上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度. 因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论. 高中数学 例2 一个游戏包含了两个随机事件A和B，规定事件A发生 则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事 件A和B发生的概率是否相等. 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩 到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次. 据此甲认为 游戏不公平，但乙认为游戏是公平的. 你更支持谁的结论？为什 么？ 暂停播放 高中数学 解： 当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的概率都为0.5；当游 戏玩了1000次时，甲获胜的概率为0.3，乙获胜的概率为0.7. 根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大 的可能性会越来越小. 相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大， 因此，我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近. 而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的概率分别是0.3和0.7， 存在很大差距. 所以有理由认为游戏是不公平的. 因此，应该支持甲对游戏 公平性的判断. 高中数学 降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得 到的. 对“降水的概率为90%”比较合理的解释是:大量观察发现， 在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨. 高中数学 【结论】 只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性. 如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里， 大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真 实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预 报不太准确. 高中数学 练习： 1. 人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型 为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型 的基因类型为ab. 其中a和b是显性基因，i是隐性基因. 一对夫妻 的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们子女的血型O，A， B或AB型的概率，并填写下表： 父母血型的基因类型 组合 子女血型的概率 O A B AB ai× bi A ai× bb B A aa× bi B aa× bb 高中数学 解：当父母血型的基因类型组合为ai× bi时，子女的基因 为ii，ai，bi，ab是等可能的，概率各是0.25． 同理可以分析 其他的父母基因类型组合． 结果如下表： 父母血型的基因类型 组合 子女血型的概率 O A B AB ai× bi 0.25 0.25 0.25 0.25 ai× bb 0 0 0.5 0.5 aa× bi 0 0.5 0 0.5 aa× bb 0 0 0 1 高中数学 2.“用事件A发生的频率ƒn(A)估计概率P(A), 重复试验次数n越 大，估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明. 解：说法不确切. 确切的说法是: 当试验次数较少时，频率与概率差异较小的可能性小， 当试验次数足够多时，频率与概率差异较小的可能性大． 反例: 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5. 抛掷两次硬币, 可能得到频率为0.5， 抛掷99次硬币，频率可能不为0.5． 高中数学 【课堂小结】 本节课我们在经历重复试验，收集整理试验数据， 利用图表表示试验数据，通过观察比较发现频率的特征. 即 频率具有随机性和稳定性. 利用频率估计概率是获得随机事件概率的方法之一， 也是一种重要的概率思想. 我们要深刻理解频率和概率的关 系，才能更好地理解概率的意义. 高中数学 【课后作业】 人教A版必修二P254 练习 高中数学 谢 谢 观 看 $$