精品解析：山东省临沂第一中学2024-2025学年高三上学期1月阶段性监测数学试题

临沂一中北校区高三上学期1月阶段性监测 数学试题 2025.1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）. A B. C. D. 2. 设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（ ）. A B. C. D. 3. 已知，，，则等于（ ）. A. B. C. D. 4. 下列四组函数中，两个函数表示是同一个函数的是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色为止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 6. 已知，则的值是（ ）. A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ）. A. B. C. D. 8. 已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）. A. 4 B. C. D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 10. 已知函数是定义在上奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）. A 当时， B. 函数有五个零点 C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是 D. ，恒成立 11. 如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）. A. B. 数列是等比数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的二项展开式中含有常数项，则的最小值是______. 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为______. 14. 如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的菱形，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的大小． 17. 已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，． （Ⅰ）求直线MF的斜率； （Ⅱ）已知动圆E的圆心E在抛物线C上，点在圆E上，且圆E与y轴交于A，B两点，令，，求最大值． 18. 武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒，某药物研究所为筛查该新型冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次；②混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因此这k份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为. （1）假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为. （i）试运用概率统计知识，若，试求P关于k的函数关系式； （ii）若，采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值. 参考数据：，，，， 19. 已知函数，. （1）讨论极值点的个数； （2）若恰有三个零点和两个极值点. （i）证明：； （ii）若，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临沂一中北校区高三上学期1月阶段性监测 数学试题 2025.1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的运算求解. 【详解】∵，， ∴. 故选：B. 2. 设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义得，利用复数的除法化简复数可得结果. 【详解】因，所以，所以， 故选：C. 3. 已知，，，则等于（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 则. 故选：A. 4. 下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】对两函数的定义域、值域、对应关系分别进行逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知定义域为，而的定义域为， 两函数定义域不同，可知A错误； 对于B，显然的定义域为， 而函数的定义域为，两函数定义域不同，可知B错误； 对于C，两函数定义域均为，但的值域为， 而的值域为，两函数值域不同，即C错误； 对于D，易知与的定义域、值域、对应关系均相同，即D正确. 故选：D 5. 一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色为止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，前三次摸出的球有2种不同的颜色，计算情况数，第四次摸出的球可以有1种颜色选择，结合分步乘法计数原理计算即可. 【详解】若小明第4次摸球后终止摸球，则前三次摸出的球有2种不同的颜色，再将其排列，共有情况， 第四次摸出的球可以有1种颜色选择， 所以他摸球的情形有种， 故选：C 6. 已知，则的值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式计算可得，再由诱导公式计算可得结果. 【详解】由可得： ， 即， 因此. 故选：D 7. 设，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别与0和1比较大小即可. 【详解】因为函数在单调递减，， 所以，即； 因函数在单调递增，， 所以，即； 因为函数在单调递增，， 所以，即， 所以. 故选：A. 8. 已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）. A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的面积可得，设，过点作于，过点作于，利用抛物线定义得，根据梯形中位线可知，利用均值不等式即可求出最大值. 【详解】根据题意，， ∴， 设，过点作于，过点作于， 由抛物线定义，得，在梯形中， ∴， 由题意可得，则，即， ∵， 所以（当且仅当时，等号成立）， 所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据抛物线的定义及梯形的性质得出是解决本题的关键. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；求出平面和平面的法向量，不存在实数λ使得．可判断B；求出三棱锥的体积可判断C；求出三棱锥的外接球的表面积可判断D. 【详解】解：以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 因为，所以与不垂直．故A错误． ，， 设平面的一个法向量为， 则由得所以 不妨取，则，所以． 设平面的一个法向量为， ，， 则由得所以 不妨取，则，所以． 故不存在实数λ使得． 故平面与平面不平行，故B错误． 在长方体中，⊥平面， 故是三棱锥的高，所以 ．故C正确． 三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的半径． 所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确． 故选：CD． 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 函数有五个零点 C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是 D. ，恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断B，C，D. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 设，则，所以， 所以当时，，故A正确； 当时，，所以， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数取得极小值， 当时，，又， 由零点存在定理知函数在仅有一个零点1； 当时，，所以函数在没有零点， 所以函数在上仅有一个零点， 又因为函数是定义在上的奇函数， 故函数在上仅有一个零点，又， 所以函数在定义域上有3个零点，故B错误； 作出函数的大致图象，如图： 若关于的方程有解，则实数的取值范围是，故C错误； 由图可知，对，，故D正确． 故选：AD. 11. 如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）. A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面向量基本定理和向量共线可得到，由此可确定递推关系式，得到可判断B；利用等比数列通项公式求得的通项，进而得到，可判断A和C；利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得，可判断D. 【详解】为中点，，即， 三点共线，， 又， 由平面向量基本定理得， 化简得：，， 是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，，故C错误； 则，故A正确； ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用平面向量基本定理和向量共线得到，转化为数列求通项公式以及求和的问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的二项展开式中含有常数项，则的最小值是______. 【答案】10 【解析】 【分析】由二项展开式的通项计算可得，易知时取得最小值为10. 【详解】易知， 显然展开式中的第项为， 若展开式中含有常数项可知有解，即， 显然当时，取得最小值为10. 故答案为：10 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】. 【解析】 【分析】根据函数是奇函数，求得，以及当时的解析式，再根据导数的几何意义，去求切线方程即可. 【详解】是定义在上的奇函数，故可得，即， 当时，； 设，则，故， 即，则，即当时，； 则，，， 故曲线在点处的切线方程为：， 也即，整理得：. 故答案为：. 14. 如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设左焦点为，连接， 依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称， 结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以， 设，则， ， 由， 即， 整理得，. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案； （2）由余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式可得出答案. 【小问1详解】 因为，，且， 则.， 由正弦定理得， 因为，所以， 可得，即. 且，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得，或（舍）， 所以的面积. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的菱形，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）60° 【解析】 【分析】（1）连接，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面； （2）由（1）可知，平面，进而可得是二面角的平面角．解即可得到二面角的大小． 【小问1详解】 如图，连接，由是菱形且知，△BCD是等边三角形． 因为 是的中点，所以, 因为，所以 ． 因为 平面，所以 ． 因为 , 平面, 所以平面． 又平面，所以 平面平面． 【小问2详解】 由（1）可知 平面，所以， 又，所以 为二面角的平面角, 在中，，，，所以． 所以 二面角的平面角为． 17. 已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，． （Ⅰ）求直线MF的斜率； （Ⅱ）已知动圆E的圆心E在抛物线C上，点在圆E上，且圆E与y轴交于A，B两点，令，，求最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用点到焦点距离等于到准线的距离解出点的横坐标，继而得到纵坐标，然后计算直线的斜率； （2）设出动圆的圆心，表示出圆的标准方程，解出圆与的交点坐标，得出和，然后求其最大值. 【详解】（Ⅰ）设，∵， ∴，∴ 且， 所以直线MF的斜率为； （Ⅱ）设圆心，圆E的方程为， 化解得， 令得， 即， 所以或， 不妨设， ， 当且仅当，即时，取“=”， 所以的最大值为． 【点睛】本题考查抛物线的定义、圆的方程及有关线段长度比值的最值问题，题目较难.解答时，抛物线的焦点弦长问题紧扣抛物线定义求解；第二问的解答关键在于写出圆的方程并表示目标式，难点在于利用基本不等式求解的最大值. 18. 武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒，某药物研究所为筛查该新型冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次；②混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因此这k份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为. （1）假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为. （i）试运用概率统计知识，若，试求P关于k的函数关系式； （ii）若，采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值. 参考数据：，，，， 【答案】(1) ;(2) （i）,;（ii）4 【解析】 【分析】 (1)根据排列的方法列式求概率即可. (2) （i）分别求解,再化简求时的解析式即可. （ii）由题,化简可得,再构造函数求导分析函数的单调性,再根据零点存在性定理求区间端点的正负判断即可. 【详解】(1)设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的事件为,则,故恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的概率为 (2) （i）由已知可得,所有可能的取值为. 所以,, 所以. 若,则,所以. 故. 所以P关于k的函数关系式, （ii）由题意可知,即,化简得. 因为,所以,即. 设函数. 又,故当时, ,即在上单调递减. 又,. 故的最大值为4. 【点睛】本题主要考查了排列在概率中的运用,同时也考查了构造函数数学期望的求解以及构造函数分析不等式的方法.属于中档题.. 19. 已知函数，. （1）讨论极值点的个数； （2）若恰有三个零点和两个极值点. （i）证明：； （ii）若，且，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据极值点定义对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，即可得出极值点的个数； （2）（i）由（1）可知且即可得出结论； （ii）构造函数通过求导可得其单调性，再利用分析法可得证明即可，构造函数并根据其单调性结合可证明得出结论. 【小问1详解】 由题知， 设函数， 当时，开口向上，， 所以，在上单调递减，无极值点； 当时，上有两个解，， 又因为， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 所以有两个极值点. 综上：当时，无极值点； 当时，所以有两个极值点. 【小问2详解】 （i）由（1）知：，且， 又因为， 所以. （ii）由（i）知：，，， 所以，所以 令，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为时，；时，. 所以. 所以，要证明：， 只需证：， 只需证：， 只需证：， 只需证：， 又因为在上单调递增， 所以只需证：. 令，所以， 所以函数在上单调递减； 所以，即. 所以，要证：，只需证：，即证明：. 因为，所以，所以. 又因为， 所以，所以. 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以成立. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用要证明的不等式结构，通过合理变形再利用同构思想构造函数得出其单调性即可证明得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$