7.4.2 超几何分布-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019)

7.4.2 超几何分布 白题 时：25min 题组1超几何分布 5.(多选)(2024·江西抚州高二月考)在等差数 1.(多选)(2024·四川宜宾高二月考)下列随机 列{an}中，a2=-8,a3=-4.现从数列{an}的前 事件中的随机变量X不服从超几何分布的是 10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数 ( 为正数的个数为X则下列结论正确的是 A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X ( B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中 A.X服从二项分布 B.X服从超几何分布 选出5名优秀学生干部，选出女生的人数 CP(X=2)=号 为X DB(0=号 C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次， 6.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有 记命中目标的次数为X 数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上 D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸 的数字和为X,则D(X)= 出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时 重难聚焦 的总次数 题组3 二项分布和超几何分布的综合应用 2.(2023·山西朔州高二期末)在15个村庄中有 7.（2024·湖南邵阳高三月考)某高校设计了 7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村 一个实验学科的考查方案：考生从6道备选 庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村 题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独 庄数，则下列概率中等于C的是 立完成全部实验操作，规定至少正确完成其 C9 中2题才可提交通过.已知6道备选题中考 A.P(X=2) B.P(X≤2) 生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成： C.P(X=4) D.P(X≤4) 考生乙每题正确完成的概率都是了，且每 3.(2024·陕西咸阳高二月考)某党支部有10名 题正确完成与否互不影响， 党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若 (1)求考生甲正确完成实验操作的题数的分 X表示选中的女党员数，则P(X<2)= 布列，并计算均值； (2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作 题组2超几何分布的均值与方差 的题数的均值、方差及至少正确完成 4.(2024·河南信阳高二期末)2024年5月中国 2题的概率方面比较两位考生的实验操 邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继 作能力 《太湖》(5枚)、《鄱阳湖》(3枚)、《洞庭湖》 (4枚)后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖 现从这15枚特种邮票中随机抽取2枚，记抽取 邮票《巢湖》的枚数为X,则E(X)= ( 0. C.1 选择性必修第三册·RJ黑白题40 黑题 应用提优 很时：30min 1.(2024·辽宁沈阳高二月考)盒中有10个灯5.(2024·陕西咸阳高二月考)有30件产品，其 泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取 中有10件次品，从中不放回地抽取10件产 4个，那么概率是品的事件为 品，最可能抽到的次品数是 6.(2024·广东湛江高二月考)某大学的武术协 A.恰有1个是坏的 会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部 B.4个全是好的 分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机 C.恰有2个是坏的 抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率 D.至多有2个是坏的 2 为 2.(2024·广东江门高三二模)一箱苹果共有 5 12个苹果，其中有n(2<n<7)个是烂果，从这 性别 中文 数学 英语 体育 箱苹果中随机抽取3个.恰有2个烂果的概率 男 b 为铝则a= 女 1 A.3 B.4 C.5 D.6 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该 3.(多选)(2024·江苏南通高三月考)袋中有 市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相 10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球， 等) 现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球 (1)求a,b的值； 的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取 (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的 出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随 男生的概率； 机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论 (3)设Y为选出的3名同学中是女生或专业 中正确的是 ( 为数学的人数，求随机变量Y的分布列、 A.P(1Z-61≤1)=97 均值及方差。 105 B.E(X)>E(Y) C.D(X)=D(Y) D2-学 4.(2024·黑龙江大庆高二期中)某商场推出一 种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共 10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中 1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户 甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天) 下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果， 估计盒子中的有奖券有 ( A.1张 B.2张 C.3张 D.4张 进阶突破拔高练P13 第七章黑白题41所以随机变量X的分布列为 1 4567 了，所以专的分布列为 42832 123 9278181 2 所以E(X)=4x 5×27+6 +7x3248 9 8 8181 压轴挑战 所以E(9=1×5+2x5+3x=2 ABD解析：对于A,三)=三P八5=)=1，所以A正确：对于B,因为 (2)设考生乙正确完成实验操作的题数为刀，易知刀~B3,号）， 2c=B(到=2.所以B正确：对于C,当=1p=时，三2 所以P(=0)=G(-号)'=P(==G(）广 高2-)=子.所以C错误；对于D,因为(2+1)p=12n,所以当 I2时)最大，所以D正确证明如下：若6-B(,p),则P=) P(E=-1) Cp(1-p)4 G(居广 ,1)},若P(专=k)>P(=-1,则 所以？的分布列为 a-+1卫1，解得<(a+1)p,故当k<(+1)p时，P氏=)单调递增 0 2 3 k(1-p) 1248 当>(n+1)p时，P(E=k)单调递减，即当(n+1)p为整数时，k=(u+1)p 279927 或k=(n+1)r-1时，P(5=k)取得最大值，当(+1)p不为整数，k为(n+ 1)P的整数部分时，P(E=)取得最大值.故选ABD. 2 所以E()=3× 7.4.2超几何分布 =2则E)=B()=2.n)=1-22x号 白题基础过关 （2-2x(3-22 5,D(7)=3x2 12 1.ACD解析：对于A中，将一枚硬币连抛3次，每次正而向上的概率 4.820 均为，记正面向上的次数为X,服从二项分布：对于B中，从7名 所以E()=E(n).D()<D(n),P(≥2)>P(n≥2)， 男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，记选出 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析.两人水平相当：从正 女生的人数为X,服从超儿何分布：对于C中，某射手的命中率为 确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定：从至少正 0.8,现对目标射击1次，记命中日标的次数为X,服从二项分布：对于 确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大，因此甲的实验操 D中，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回。 作能力较强 首次摸出黑球时的总次数X的取值为1,2,3,4,5，而超几何分布定 义为从N个物件中抽出n个物件（不效回），成功抽出指定种类的物 黑题应用提优 件的次数，故不服从超几何分布.故选ACD. 1.C解析：盒子中有0个灯泡，现从盒子中随机抽取4个的总数为 2.C解析：X服从超儿何分布，PT==CC兰 C世，故=4，故选C C=20A:盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个，拾有1个是 坏的，概率为 34 解析：由题意可知X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2。 6,号，故A销误：B:盒子中有10个灯泡，现从盒子中随 C 所以P(X<2)=1-P(X=2)■1 -=1 14故答案为 款4个，个金是好做度率为密行故B猫头，C金于中有 C。 1515 5 32 4。A解析：依题意.（服从超儿何分布，则E(X)=2×5亏故选A 0个灯泡，现从盒子中随机辅取4个.恰有2个是坏的，概率为C 5.BD解析：依题意，等差数列：a。1的公差d=41-a1=-4-(-8)=4, 放C正确：D:盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个，至多 3 则通项为4。=42+(n-2)·d=-8+(n-2)×4=4m-16.由4。>0得n> 4,即等差数列a。前10项中有6个正数，X的可能取值为0.1,2。 有2个是坏的概率为 CC+CC+CC 29 3,X=(k∈N,k≤3)的事件表示取出的3个数中有：个正数，(3-k) C 故D错误故选C 个非正数，因此，P=).CC (n-1)(12-n】 -(但N,3),X不服从二项分布 2 2.B解析：依题意可得 C品 12×11×10 密能理用 CC 1 K服从超几何分布，A不正确，B正确：P(X=2)= C02,C锦误： 6 n2-13m+36=0.解得n=4或9，因为2cn<7,所以n=4.故选B. 由题可知B(0=3x合号，D正确放选D 3,ACD)解析：由题意知X,Y均服从于超几何分布，且X+Y=4,Z=2X+ 6.3.36解析：由题意得.随机变量X的可能取值为6,9.12. y放P(K==CGC -(k=0、1.2,3,4).从而P(1Z-61≤1)=1- P(X=6)= 隔5(X=9)= CC 7 ch5P(X=12)= P2-Z==1-P(=)-P=0)=器故适项A正确： 7 5+12x 78.0=36-78P3o 1 7 E(X)=6× E0=40亏En=4-B0-号.D=4-n=n. 48 78)户+占×12-78)2=336枚答案为36 放选项B错误，C正确： 重难聚焦 E(Z)=2xB(0+B(门-袋，放选项D正确放选ACD 7,解：(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为专，则的可能取值为 4,B解析：设中奖的概率为P,30天中奖的天数为X,则X~B(30,P), 、12,3.P()=C时=5P(=2)=3 CC Cg5,P5=3)= 若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为=二。 C5,E(x)=30x 选择性必修第三册·RJ黑白题20 了=6，若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为p= g·C+C -)=PX=2)=,P(Y=1)=(x=1)=号，P(Y=3)=PX=0)= Cio 45,E(X)=30x17-34 53,若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率 )=6号，D(n=×（4号）广号 2 7 C·C+C好 为P= 5,E()=30×15=16,若盒子中的有奖券有 （-号）》号-号)广-罗成cDE商结m 4张，则中奖的概率为p= $·c+e.2 =0x子20.银 6.ACD解析：设A=“向右下落”，A=“向左下落”，则P(A)=P(A)= 题意，盒子中的有奖券有2张.更有可能30天中奖11天，故选B. 子，因为小球最后落人格子的号码X等于事件4发生的次数，而小 5.3解析：由题意，有30件产品.其中有10件次品，从中不放可地抽 取10件产品.侧抽出的次品数X服从超儿何分布，设最可能抽到的 球下落的过程中共碰撞小木钉5次，所以水~B(5,?),对于A (ChoC Co'C 次品数为，则 Cc8C'c对 整理得到8 ,故k=3, k3 r=0=(）广=动放A正确：对于BP(《=5) 32 C” ()广故错误：对于C)=5亭放C正确：对 2 故最可能抽到的次品数是3故答案为3 6解：(D由断意日号解得6= 于D.D()=5x×(-）子，放D正疏放选ACD, 7.8.75解析：由题意可得该销售商销售每件零件获利的期望是10× 由a+3+1+1+1+1+1+1=10.解得0=1. 95%-15×(1-95%)=875(元)，则该销售商销售该零件10000件. (2)所求的概率为P-CC+C9+11 获利的期望为8.75×10000=87500（元）.即8.75万元.故答案为 12012 8.75. (3)由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的 4 C I 3 解析：因为随机变量X服从两点分布，P(X=1)=2P(X= 可能取值为0,1,2.3.P(Y=0)= %120P(Y1)= c3_21 C%120 40P(y=2)= CC6321 35_7 0).故P(X=)+PX=0=1,即=0)=1PX=0)=则 12040P(=3)= 12024 所以Y的分布列为 随机变量-B(4写），故队=4x了于故答案为行子 33 ￥0123 9. 25 解析：1,2,3,4等可能的各种排列共有A1=24种，满足X≤2的 17217 72 P20404024 41,42,a4的排列有1,2,3,4：2,1.3,4：1,2,4,3；1,3,2.4，共4种. 201 1 41 均值为E(Y)=0 40+2x40 n行内-Cn3名莞分k答案为2 10.解：(1)当N=20时.男性员工有8人，女性员工有12人 方差为D(Y)= X服从超儿何分布，X=0,1,2,3, P(X=0) C11407PK=1) C.220.11 CC252844 C114095 7.3≈7.4阶段综合 P(X=2)= C6Ch33628 C5614 C2114095 P(X=3)= C1140285 黑题 阶段强化 X的分布列为 1D保新全部化二等品的餐率为受故至少有1个是一等品的餐 X0123 11442814 放进n C P57959528 率为1- 数学期望为E(X)=0x 44 57*1 +2 3x146 28 95 95 2853 2.AC解析：由分布列的基本性质知6a+0.4=1,解得a=0.1,故A正 确：放E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.3+5×0.2=2,D(X)=0.1×22+0.4× ( 12+0.3×02+0.2×32=2.6,故B错误，C正确：由离散型随机变量期望 (2)P,= 的性质可得.E(2X+6)=2E(X)+6=10.故D错误，故选AC. N-1)(N-2) 25(N-0(N-2A= 3.C解析：由题意知￡=0,1,2,3，当￡=0时.表示前三次都没射中， 6 第四次还要射击.但结果不计，“，P(6=0)=043:,当6=1时，表示 3 36 号=028，由于B,-B≤0001，则· 前两次都没射中，第三次射中，，P(专=【)=06×042：，当=2时， 125 表示第一次没射中.第二次射中，∴，P(=2)=0.6×0.4:当6=3时 表示第一次射中，∴.P(=3)=0.6,E(6)=2376.故送C (g-) 4.D解析：由题意知X-B(1000.0.9),故P(X=k)=Cm0.9× (N-1)(N-2) 028≤Q001.即 5(1)(-2≤02w=20 1000 0.110-,P(X=1000-6)=C需*0.9-x0.1',由P氏X=k)>P(X= 1000-6)得Cwm0.g少x×0.11+>C需*0.9m-x0.1',即0.92-10 (号 28925289 0.1-1m,即924-10>1.则2k-1000>0六k>500.由于keN°， (N-)(-25100X8720由题意易知(N-1)·(N-2)>0,从而 故k≥501，故远D. 5.BCD解析：由题意知，X=0,1,2.P(X=0)= CgC_10_2 】≤289(N-1)(N-2),化简得2-147N+578≥0，又N>0 C写357，P( cc号_20.4 ≥1机由于两数y在x=5丽一204处有极小值.从 于是N,578 C月357，P(X=2)= 1)= 35 而y=N当N≥25时单调递增，又12， 今，PX41)=三放A错误，B正确：由题意知，-1.13P( 4R460<147,143 143 147.04>147.因此当N≥143时，符合题意 参考答案黑白题21