7.4.1 二项分布-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019)

7.4二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布 白题 基础过关 限时：40min 题组1n重伯努利试验 在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为 1.n重伯努利试验应满足的条件： ( ①各次试验之间是相互独立的： A.0.384 B. ②每次试验只有两种结果 3 ③各次试验成功的概率是相同的： C.0.128 D.0.104 ④每次试验发生的事件是互斥的. 6.设随机变量~B(2,P),7~B(4,P),若P(≥ 其中正确的是 1D-则P2≥21 A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④ 81 06 1 2.(多选)(2024·海南海口高二期中)下列试验 7.(2024·福建南平高二月考)如图，在小地图 不是n重伯努利试验的是 中，一机器人从点A(0,0)出发，每秒向上或向 A.依次投掷四枚质地不同的硬币 右移动1格到达相应点，已知每次向上移动 B.某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连 1格的概率是子，向右移动1格的概率是？，则 续射击了10次 C.口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球， 该机器人6秒后到达点B(4,2)的概 依次从中抽取5个球 率为 D.小明做10道难度不同的数学单选题 题组2二项分布 3.(2024·山东青岛高二期中)在100件产品中 A0.0 有5件次品，采用有放回的方式从中任意抽取 题组3 二项分布的均值与方差 10件，设X表示这10件产品中的次品数.则 8.(多选)(2024·江苏淮安高二期中)若随机变 ( 量X~B4,2),则下列说法正确的是 A.X~B(100.0.05) B.X~B(10.0.05) ( C.X-B(100,0.95) D.X-B(10,0.95) 4.(2024·黑龙江哈尔滨高二期中)已知X~ A.P(X=1)= 4 B.E(X)=2 B4, ),则P(X=1)= C.D(X0=2 D.σ(X)=1 9.(2024·浙江杭州高二期中)抛掷一枚骰子， A. 1 81 .1 0.0 当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验 5.(2024·浙江绍兴高二期中)电灯泡使用时数 中成功的次数X的均值为 () 在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡 A.8 B.10 C.5 D.6 选择性必修第三册：RJ黑白题36 10.(2024·黑龙江大庆高二期末)从一个装有14.一出租车司机从某饭店到火车站途中有5个 4个白球和3个红球的不透明袋子中有放回 交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事 地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球 的次数，则D(X)= ( 件是相互独立的，并且概率是号 B. 00 (1)求这位司机遇到红灯数X的期望与 49 方差： 11.(2023·湖北武汉高二月考)随机变量X,Y (2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总 满足X+2Y=1,且Y~B(4,0.5),则E(X)与 共等待时间Y的期望与方差. D(X)的值分别为 ( A.-3,4 B.3,4 C.4,3 D.4,-3 12,(2023·河北石家庄高二月考)已知随机变 量X服从二项分布X~B(n,P),若E(X)= 00-1则p 5 A. B.3 C 3 D.5 4 13.(2023·河北唐山高二月考)某市医疗保险 实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管 理”的原则，参加保险人员可自主选择四家 医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人 就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参保人 员所在地区有A,B,C三家社区医院，并且他 们的选择相互独立设4名参保人员选择A社 区医院的人数为X,求X的分布列及数学 期望 重难聚焦 题组4二项分布中的最值问题 15.(2024·江苏扬州高二月考)若 X-B(10,写)，则P(X=)取得 最大值时，k= 16.(2023·江苏南京高二期中联考)某人投篮 命中的概率为0.6.投篮14次，最有可能命 中 次 第七章黑白题37 黑题 应用提优 限时：50mim 1.下列随机变量X不服从二项分布的是( 现“1"的概率为二，记X=a2+a,+a6+a+a1o,则 A.某同学投篮的命中率为0.6，X表示他 4 10次投篮中命中的次数 当程序运行一次时 ( B.乒乓球比赛中甲每一局获胜的概率均为P, A.X服从二项分布 设每场比赛是相互独立的，X表示从开始 比赛到甲第一次获胜的比赛场数 B.P(X=1)=1024 C.有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种 c-0-号 子做发芽试验，X表示试验中发芽的种子 的个数 D.C0-5 D.一周内，每次下载某网站数据被病毒感染 5.(2024·吉林白山高二期末)已知随机变量 的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被 X-B(n,0.5),当且仅当k=4时，P(X=k)取得 病毒感染的次数 最大值，则n= 2.(2024·江苏淮安高二期末)已知随机变量 ( A.7 B.8 C.9 D.10 X~B(4,P),若P(X=2)= 7则p ( 6.(2024·辽宁葫芦岛高二期末)一个盒子里有 1个红1个绿2个黄共四个相同的球，每次拿 A. 4 B. 4 一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄 C.3 D. 球的次数为专，则P(=0)= E(E)= 3.(2024·四川绵阳高二期末)某市政道路两旁 7.(2024·安微淮南高二期中)有一枚质地不均 需要进行绿化，计划从甲、乙、丙三种树木中选 匀的游戏币，若随机抛掷它两次均得到正面的 择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽 概率是均得到反面的概率的4倍，则随机抛掷 种乙树木的概率为，，若从该地市民中随机选 它两次得到正面、反面各一次的概 率为 取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树 8.(2024·福建福州高二月考)已知随机变量 木的概率为 ( 5 4 20 b.1 X84p.若0+00=则Pr≥I C.8 81 9.(2024·江苏镇江高二期末)三分损益法是古 4.(多选)(2024·黑龙江哈尔滨高二期末)某计 代中国发明制定音律时所用的生律法.三分损 算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进 益包含“三分损一”“三分益一”"两层含义，三 制数A=a1a2a3…ao(例如：若a1,a3,a5,a6,a1o= 分损一是指将原有长度作3等分而减去其 0,a2,a4,a,ag,ag=1,则A=0101001110).已 1份，即原有长度×号-生得长度：而三分益 知a(k=1,2,10)出现0"的概率为4，出 则是指将原有长度作3等分而增添其1份， 选择性必修第三册：RJ黑白题38 即原有长度×3背=生得长度，两种方法可以 11.(2024·江苏南通高二月考)中国男子篮球 职业联赛总决赛采用七场四胜制（即先胜四 交替运用、连续运用，各音律就得以辗转相生， 场者获胜)，进人总决赛的甲、乙两队中，若 假设能发出第一个基准音的乐器的长度 每一场比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜 为243，每次损益的概率各为)，则经过5次三 分损益得到的乐器的长度为128的概率为 的概率为}，假设每场比赛的结果互相独立， 现已赛完两场，乙队以2：0暂时领先 10.(2024·山东聊城高二月考)甲、乙两名同学 (1)求甲队获得这次比赛胜利的概率： 玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局 (2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变 抛一次硬币，甲、乙双方各猜一个结果，要求 量X,求随机变量X的分布列和数学期望 双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进 E(X). 2步，猜错的一方后退1步，游戏共进行 n(n∈N")局，规定游戏开始时甲、乙初始位 置一样 (1)当n=3时，设游戏结束时甲与乙的步数 差为X,求随机变量X的分布列： (2)游戏结束时，设甲与乙的步数差为Y.求 E(Y),D(Y)(结果用n表示). 压轴挑战 (多选)(2024·湖南长沙长郡中学高三月考)已 知随机变量专-B(2n,p),neN°，n≥2,0<p<L, 记f(t)=P(=t),其中t∈N,1≤2n,则() A.} 02四 B. 2培2-) C. D.若p=6,则ft)≤f12) 进阶突破拔高练P10 第七章黑白题39（0-4号 =0-g==-(号广-cx(号)）×（行）贵 6.解：(1)E(Y,)=5×0.6+10x0.15+(-2)×0,25=4. 故选B。 E(Y2)=4×0.2+6×0.5+12×0.1+(-2.5)×0.2=4.5」 20 于是D(Y1)=(5-4)2×0.6+(10-4)2×0.15+(-2-4)2×0.25=15. 1. 解析：由题意，可得6秒内向右移动4次，向上移动2次，则所 D(y3)=(4-4.5)2×02+(6-4.5)2×0.5+(12-4.5)2×0.1+(-2.5 4.5)2×0.2=16.6 求瓶*为（兮广（仔）'品放答案为器 2)题意可知=n(高n() 根据方差性质可 8.ABD 解析：对于A,因为X-B(,子人所以P(X=D=C× 得x)= 200-￥ (兮)×（兮）广=放A正确：对于B因为~公(4子）所 200-x 100 =31.6(0） -4×16.6× 100 +4×16.6 以B(0=4x2,放B正确：对于C,因为X~B(,号）所以 由二次函数性质可得，当023 4×16.6 8.3 即79×100-105时，) ()=4(）1,故C错误：对于D,由C项得D()= 收得最小值.因此投资甲项目105万元，投资乙项目95万元时，代x) 1.则σ(X)=√D(X)=√T=1.故D正确.故选ABD 有最小值 9.C解析：一枚最子，出现6点的概率为行，则在30次试验中成功的 压轴桃战 D解析：随机变量ξ满足P(E=0)=1-p,P(E=1)=p,其中0<p<1.则 次数X服从X-B30,） .故均值E(X)=30× =5,故选C 6 随机变量的分布列为 10.D解析：由题意得，从一个装有4个白球和3个红球的不透明袋子 中取出一个球，是红球的概率为，：三，因为是有放回地取球，所 以号）以以0=5x(-）故选n 3 所以E()=P,D()=p(1-P). 因为随机变量n=E-E()1, 11.A解析：因为Y-B4,0.5).所以E()=4×0.5=2.D(Y)=4×0.5× 所以当=0时，)=传-E()1=p,当=1时，n=1-E(5)1=1-p, 0.5=1.又K+2y=1,所以X=1-2Y,所以E(X)=E(1-2Y)= 所以随机变量n=15-E()1的分布列如下表所示（当P=Q.5时，）只有 -2E(0+1=-3,D(X)=D(1-2Y)=(-2)2D(】Y)=4.故选A 一个情况，概率为1)： P 4 12.A解析：由题意得 ,15解得Ps 4'故选A 1-p p(1-p)=16 m=5 则E(n)=p(1-p)+(1-P)p=2p1-p), D()=[p-2p(1-p)]2·(1-p)+[1-p-2p(1-p)]2·p=p(1-p)· 13.解：由已知得，每位参保人员选择A社区医院的概率为}，则X一 (-1),当)=队，即p=1p)时，解得p=子所以AB错误 a(,写)x的可能取值为012.3,4.所以P(x=0)=× D()-D(n)=p(1-p)-p(1-p)(2p-1)2=4p2(1-p)2>0恒成立.所以 32 C错误，D正确.故选D. 7.4 二项分布与超几何分布 12 81Px=3)=Cx(3 1,P(X 8 3 7.4.1二项分布 白题 基础过关 4=Cx(兮）广所以x的分布列为 1.C解析：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努 2 利试验独立地重复进行：次所组成的随机试验称为n重伯努利试 16 32 24 8 验，故重伯努利试验应满足的条件：①各次试验之间是相互独立 81 81 818181 的：②每次试验只有两种结果：③3各次试验成功的概率是相问的，故 选G. 14 所以E(X)=4x 2,ACD解析：对于A:由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不 33 是：重伯努利试验.对于B:某人射击，击中目标的概率是稳定的，因 14.解：(1)由题意得这位司机遇到红灯数X服从二项分布X-B5。 此是n重伯努利试验对于C:每次轴取，每种颜色出现的可能性不 相等，因此不是n重伯努利试验，对于D:I0道题难度不同.每道题做 对的概率也不同.因此不是n重伯努利试验.故选ACD ）所0=时-0=宁） 3 3.B解析：有放回抽取，每次取到次品的概率都是0.05，相当于10闵 独立重复的伯努利试验.所以服从二项分布X-B(10,0.05).故选B. （2)曲整意释：0，曲()得E(=多D():9所以 EB=30E(X)=30×号=50，D()=302·D(X)=90×0 5 1 1000 32 放选B 重难聚焦 5.A解析：电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8.1个灯泡 15.3解析：由于P(X=k)=C· 在使用1000小时内坏了的概率为1-0.8=0.2，则3个灯泡在使用 1000小时内恰好坏了一个的概率为C×0.2×0.82=0.384.放选A 6.B解析：因为随机变量-B(2,P),所以P(1)=1-P八=0)=1 P(X=k+I) 10-k310- 1p=号解得p=，所以-(4,）则P(≥2)=1 P(X=k) 八（居） +122h+2 选择性必修第三册，RJ黑白题18 所以当2智1当≥， ®6？解析：因为每次拿到黄球的概率p=子：弓，所以5~ 故所求的k■3.故答案为3 四方法总结 a,号）所以P(=0=x(）广店B=4x-2 二项分布中的概率求最值： 答案为。2 一般地，者随机变量X服从二项分布，即X-B(n,P),其中0<印<1，则 P(X=)(n-1)21(ntD)p-k 解析：设一枚质地不均匀的游戏币随机抛掷一次，得到正面的 有p=- 1≤k≤n), 1 k(1-p) 所以P(X=k)≥P(X=k-I)当且仅当k发(n+I)P,即P(X=k)在< 2 概率为P,则p广=4(1-p)户，由0≤≤1，得p=子随机抛拽它两次 (n+1)p时严整递增，在k>(n+1)p时严格境减. 故有：(1)如采(m+1)>H,则k取n时，P(X=k)最大： 得到正商反商各一次的概率P=心×号×(-子）-÷故答米 (2)如采(m+1)P是不超过n的正整数，则当k取(n+1)p-1和 (n+1)p时，P(X=k)却达到最大值； (3)如果(n+1)P是不超过n的非整数，由于k≤(n+1)p当且仅 当≤[(n+1)P],故k取[(n+I)p]时，P(X=)最大 65 解析：因为E(X)+D(X)= 20 ,所以4p+4p(1-p）= 20 注：[(n+1)P]表示不挺过(n+1)p的最大整数。 8. ,解得n 16.8或9解析：投篮命中次数X~B(14,0.6),P(X=)=C·Q6 号或=营合制.所以roi=1-PK=0=1-(1p- 0.44,设最有可能命中m次 则{=m)≥P(X=m-1), 放答案为警 P(X=m)≥P(X=m+1) 5 =i0604≥C营10604 9. 16 解折：设5次三分损益中有上次三分提一，所以2以（号）广 C0·0.6·0.44-m≥C1,0.6m*1,0.45-m =128,解得k=3.故所求概率为C2× →8≤m≤9.m∈Z,∴m=8或m=9.即最有可能合中8或9次.故 答案为8或9. 黑题应用提优 都案为后 1,B解析：选项A,试验出现的结果只有两种：命中和末命中，且命中的概 10.解：(1)当m=3时，随机变量X所有可能取值为-9，-3,3,9. 率在每一次试验中都为Q6,每一次试验都是相互独立的.故随机变量X x-9=x(）gP(x=-3)=x(） 服从二项分布：选项B,虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种 每一次试验事件相互独立且概率不发生改变.但随机变量的取值不确定， 故不服从二项分布：选项C,发芽率不变，任取10颗种子做发芽试验，相当 于进行了10次独立重复试验，做X服从二项分布：选项D,由二项分布的 所以陆机变量X的分布列为 定义，可知被感染次数X-B(n,03),故X服从二项分布. -9 -33 四方法总结 判斯随机变量是否服从二项分布的条件： 88 8 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的： (2)各次试验中的事件是相互独立的： (2)设在a厨游戏结来时，甲共猜对了5次.则专-(.了)》 (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生： 因为甲与乙的步数差Y=[2-(n-)]-[2(n-)-5]=6砖-3m, (4)随机变量是n重伯努利试脸中事件发生的次数 所以E(Y)=6E(E)-3n=6n× 2.D解析：因为X-B(4.p),则P(X=2)=Cp2(1-P)2=6p2 2-3n=0,D(=36D(5)=36n× (p)=分且0<1.整理可得71-p解得p=支号故 11 2*2=9m, 选D. 11.解：(1)解法一：设甲队获胜为事件A,则甲队获胜包括甲队以4：2 3D解析：贷成我种乙树木的人数设为无则不-B(4,号）根据 获胜和甲队以4：3获胜两种情况， 设甲队以4：2获胜为事件A1,则P(A,)= 二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为P= (居)广 (传)（传）小兮）广名数选D 设甲队以4：3医能为率件北周P代)=Cx了（仔）广号 4.AC解析：由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0.1 且每个数位上的数学互不影响，故X中1出现次数的可能取值有0。 器=P)-第器 1,2,3,4,5,则X的可能取值情况与之相同.由二项分布的定义可得 解法二：采用七场四胜制.不妨设赛满剩余五场，用X表示五场比 B)放AE商：故P==(任广点 赛中甲胜的场数，则X~B(,号）甲最终我得胜利的感率 放B销腿：所以D=5x子5.D(=5 3.115 px=4+=5=cx(）广xgx(）' 确，D错误故选AC (2)随机变量X可能的取值为4,5,6,7， 5B解：由题得P(X=)=心（）广4=0,1，由知在 P(X=4)= 21 2.14 心(：)广.c(行)广-，c(行)广中，最大值只有c(位)八 6=exgx(号)广（号）广-P(x=7=cxg 即在C9,C,,C中，最大值只有C,由二项式系数的对称性可知 n=8.故选B. 参考答案黑白题19 所以随机变量X的分布列为 1 4567 了，所以专的分布列为 42832 123 9278181 2 所以E(X)=4x 5×27+6 +7x3248 9 8 8181 压轴挑战 所以E(9=1×5+2x5+3x=2 ABD解析：对于A,三)=三P八5=)=1，所以A正确：对于B,因为 (2)设考生乙正确完成实验操作的题数为刀，易知刀~B3,号）， 2c=B(到=2.所以B正确：对于C,当=1p=时，三2 所以P(=0)=G(-号)'=P(==G(）广 高2-)=子.所以C错误；对于D,因为(2+1)p=12n,所以当 I2时)最大，所以D正确证明如下：若6-B(,p),则P=) P(E=-1) Cp(1-p)4 G(居广 ,1)},若P(专=k)>P(=-1,则 所以？的分布列为 a-+1卫1，解得<(a+1)p,故当k<(+1)p时，P氏=)单调递增 0 2 3 k(1-p) 1248 当>(n+1)p时，P(E=k)单调递减，即当(n+1)p为整数时，k=(u+1)p 279927 或k=(n+1)r-1时，P(5=k)取得最大值，当(+1)p不为整数，k为(n+ 1)P的整数部分时，P(E=)取得最大值.故选ABD. 2 所以E()=3× 7.4.2超几何分布 =2则E)=B()=2.n)=1-22x号 白题基础过关 （2-2x(3-22 5,D(7)=3x2 12 1.ACD解析：对于A中，将一枚硬币连抛3次，每次正而向上的概率 4.820 均为，记正面向上的次数为X,服从二项分布：对于B中，从7名 所以E()=E(n).D()<D(n),P(≥2)>P(n≥2)， 男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，记选出 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析.两人水平相当：从正 女生的人数为X,服从超儿何分布：对于C中，某射手的命中率为 确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定：从至少正 0.8,现对目标射击1次，记命中日标的次数为X,服从二项分布：对于 确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大，因此甲的实验操 D中，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回。 作能力较强 首次摸出黑球时的总次数X的取值为1,2,3,4,5，而超几何分布定 义为从N个物件中抽出n个物件（不效回），成功抽出指定种类的物 黑题应用提优 件的次数，故不服从超几何分布.故选ACD. 1.C解析：盒子中有0个灯泡，现从盒子中随机抽取4个的总数为 2.C解析：X服从超儿何分布，PT==CC兰 C世，故=4，故选C C=20A:盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个，拾有1个是 坏的，概率为 34 解析：由题意可知X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2。 6,号，故A销误：B:盒子中有10个灯泡，现从盒子中随 C 所以P(X<2)=1-P(X=2)■1 -=1 14故答案为 款4个，个金是好做度率为密行故B猫头，C金于中有 C。 1515 5 32 4。A解析：依题意.（服从超儿何分布，则E(X)=2×5亏故选A 0个灯泡，现从盒子中随机辅取4个.恰有2个是坏的，概率为C 5.BD解析：依题意，等差数列：a。1的公差d=41-a1=-4-(-8)=4, 放C正确：D:盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个，至多 3 则通项为4。=42+(n-2)·d=-8+(n-2)×4=4m-16.由4。>0得n> 4,即等差数列a。前10项中有6个正数，X的可能取值为0.1,2。 有2个是坏的概率为 CC+CC+CC 29 3,X=(k∈N,k≤3)的事件表示取出的3个数中有：个正数，(3-k) C 故D错误故选C 个非正数，因此，P=).CC (n-1)(12-n】 -(但N,3),X不服从二项分布 2 2.B解析：依题意可得 C品 12×11×10 密能理用 CC 1 K服从超几何分布，A不正确，B正确：P(X=2)= C02,C锦误： 6 n2-13m+36=0.解得n=4或9，因为2cn<7,所以n=4.故选B. 由题可知B(0=3x合号，D正确放选D 3,ACD)解析：由题意知X,Y均服从于超几何分布，且X+Y=4,Z=2X+ 6.3.36解析：由题意得.随机变量X的可能取值为6,9.12. y放P(K==CGC -(k=0、1.2,3,4).从而P(1Z-61≤1)=1- P(X=6)= 隔5(X=9)= CC 7 ch5P(X=12)= P2-Z==1-P(=)-P=0)=器故适项A正确： 7 5+12x 78.0=36-78P3o 1 7 E(X)=6× E0=40亏En=4-B0-号.D=4-n=n. 48 78)户+占×12-78)2=336枚答案为36 放选项B错误，C正确： 重难聚焦 E(Z)=2xB(0+B(门-袋，放选项D正确放选ACD 7,解：(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为专，则的可能取值为 4,B解析：设中奖的概率为P,30天中奖的天数为X,则X~B(30,P), 、12,3.P()=C时=5P(=2)=3 CC Cg5,P5=3)= 若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为=二。 C5,E(x)=30x 选择性必修第三册·RJ黑白题20