7.3.2 离散型随机变量的方差-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019)

4321 a0)=(-15)x-425.所以2y-10)=2Dy)=4x45 36 4 所以随机变量X的分布列如下表所示： 425.故答案为425. 23456 789 7.A解析：由已知E()=48×0.1+49×0.1+50×0,6+51×0.1+52×0.1= 50,E(7)=48×0.2+49×0.2+50×0.2+51×0.2+52×0.2=50,所以 11111 1 D(6)=(48-50)2×0.1+(49-50)2×0.1+(50-50)2×0.6+(51-50)2× 10101010101010105 01+(52-50)2×0.1=1,D(7）=(48-50)2×0.2+(49-50)2×0.2+ 1 1 27 (50-50)2×0.2+(51-50)2×0.2+(52-50)2×0.2=2,所以D()=1. 所以E(0=10X(1+2*3+4+5+6+7+8)+ 5 D(n)=2,所以甲方法测量的结果比乙方法测量的结果被动小，放 由题意可知，随机变量y可能取值为2.3,45，则P(Y=2)=1×5 选A Py=3)=1x号×5Py=4)=1 1 1 431 1 8.16 解折砖的可能取值为54,32.P(g=5=子×号6P八 4×3 5 4322 4=×（）6P==（）6P=2 P(Y=5)=1×5×4*3=5 所以随机变量Y的分布列如下表所示： (）(-）6则0=5x64xGxG2x6 3 y2345 P 1112 5555 1 219 所以E(0=52+3+4)+5x55, 黑题 应用提优 则E(X)>E(),所以方案乙更好. 压轴挑战 1.C解析：由题可知，m+2m+m=1,解得m=手，则E()=0xm+ (0,）解桥：由题意，可得(KI)=p.P(X=2)=(1-p)·p 40m+40m=80m=20:故D(0=子×(0-20)2+×(20-20)2+ P(X=3)=(1-P)2·p+(1-p)3=(1-p)2,所以E(X)=1×p+2(1- ×(40-20)2=100+0+100=200.放选C p)·p+3(1-p)2=2-3+3,令p2-3p+3>1.75.即4p2-12+5>0.解 得<宁或p>号.又由0<1，可得pe(0,）,即p的取值范 5 2D解折：由感意，随机变量x服从两点分布，其中PX=0)=号 厮以P以X=D子则E()=0x+1×子=子，D( 为(0了)故答案为(07） 7.3.2离散型随机变量的方差 0号)x兮(-号)）广x号号对于A.3+2)=3· 白题 基础过关 0(0=9x号2.所以A不正确.D正确：对于B,由于D)=号 1.A解析：方差反映了随机变量偏离于期银的平均程度，方差越大， 随机变量越不稳定，故A错误，C正确：常数的方差为0，故B正确： 所以B不正确：对于C.南P(X==子E()=子.所以P(X= 标准差等于方差的算术平方根，故随机变量的方差和标准差越小，则 1)=E(X),所以C正确.故选CD. 偏离变量的平均程度越小，故D正确.故选A. 2.D解析：由分布列的性质得04+0.1+x=1.解得x=0.5,,E(6)=1× 三A解折：根据随机变鼓的分布列得E0D=(-1)+0x(号）片 0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,.D()=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+ (5-32)2×0.5=356.∴.￡的标准差为√0()=√/3.56.故选D. 1￥3 3 -,则n()=【()] a+ 3号解析：由题意知m+m=1-年子=子 99号，由E(€)=1得0xm+1× [-(仔)门·（号）小-(3)]x号- 4 2 2×g+3n=1,解得n=27m=27,放D()=(0-1)2×27 含号-(-名)厂，云由于故D0的国象为关于：的开口 33 (1-02x4+(2-1)x2 2 2 方向向下的抛物线，且0<a<了，函数的对称轴为直线a=亏，故当。 4D解析：由X的分布列得E(X)=(-1)×,+0×+1义 = 6 3" 在(0.子）内蜡大时，()地大放选入 4,C解析：因为一共有3个盒子，所以X+Y=3,因此E(X)=E(3-= 3-E(y).D(X)=D(3-Y)=(-1)2×D()=D(Y). 为=号2.则0n=0=云放选D A号62 A 由题意可知X=01,2,P(X=0)=3x3x327号，P氏X=2)严3x3 5.AC解析：E(2X+1)=2E(X)+1=5,则E(X)=2,故A正确.B错误： D(3X-1)=9D(X)=9.则D(X)=1.故C正确.D错误故选AC 79P(X=10=1-P(X=0)-PX=2)=1-21.2 993 6 80=号0寸2+号x1=号所以E(0=3-B0=3 9 3动=a5(X0*3=石t3=子解得a=-15又D0=（1石)广× 放选C 合(）广(-g)品所以n=m3 解折：根据感意，()=2含，=兰所以D)=含n 参考答案黑白题17 （0-4号 =0-g==-(号广-cx(号)）×（行）贵 6.解：(1)E(Y,)=5×0.6+10x0.15+(-2)×0,25=4. 故选B。 E(Y2)=4×0.2+6×0.5+12×0.1+(-2.5)×0.2=4.5」 20 于是D(Y1)=(5-4)2×0.6+(10-4)2×0.15+(-2-4)2×0.25=15. 1. 解析：由题意，可得6秒内向右移动4次，向上移动2次，则所 D(y3)=(4-4.5)2×02+(6-4.5)2×0.5+(12-4.5)2×0.1+(-2.5 4.5)2×0.2=16.6 求瓶*为（兮广（仔）'品放答案为器 2)题意可知=n(高n() 根据方差性质可 8.ABD 解析：对于A,因为X-B(,子人所以P(X=D=C× 得x)= 200-￥ (兮)×（兮）广=放A正确：对于B因为~公(4子）所 200-x 100 =31.6(0） -4×16.6× 100 +4×16.6 以B(0=4x2,放B正确：对于C,因为X~B(,号）所以 由二次函数性质可得，当023 4×16.6 8.3 即79×100-105时，) ()=4(）1,故C错误：对于D,由C项得D()= 收得最小值.因此投资甲项目105万元，投资乙项目95万元时，代x) 1.则σ(X)=√D(X)=√T=1.故D正确.故选ABD 有最小值 9.C解析：一枚最子，出现6点的概率为行，则在30次试验中成功的 压轴桃战 D解析：随机变量ξ满足P(E=0)=1-p,P(E=1)=p,其中0<p<1.则 次数X服从X-B30,） .故均值E(X)=30× =5,故选C 6 随机变量的分布列为 10.D解析：由题意得，从一个装有4个白球和3个红球的不透明袋子 中取出一个球，是红球的概率为，：三，因为是有放回地取球，所 以号）以以0=5x(-）故选n 3 所以E()=P,D()=p(1-P). 因为随机变量n=E-E()1, 11.A解析：因为Y-B4,0.5).所以E()=4×0.5=2.D(Y)=4×0.5× 所以当=0时，)=传-E()1=p,当=1时，n=1-E(5)1=1-p, 0.5=1.又K+2y=1,所以X=1-2Y,所以E(X)=E(1-2Y)= 所以随机变量n=15-E()1的分布列如下表所示（当P=Q.5时，）只有 -2E(0+1=-3,D(X)=D(1-2Y)=(-2)2D(】Y)=4.故选A 一个情况，概率为1)： P 4 12.A解析：由题意得 ,15解得Ps 4'故选A 1-p p(1-p)=16 m=5 则E(n)=p(1-p)+(1-P)p=2p1-p), D()=[p-2p(1-p)]2·(1-p)+[1-p-2p(1-p)]2·p=p(1-p)· 13.解：由已知得，每位参保人员选择A社区医院的概率为}，则X一 (-1),当)=队，即p=1p)时，解得p=子所以AB错误 a(,写)x的可能取值为012.3,4.所以P(x=0)=× D()-D(n)=p(1-p)-p(1-p)(2p-1)2=4p2(1-p)2>0恒成立.所以 32 C错误，D正确.故选D. 7.4 二项分布与超几何分布 12 81Px=3)=Cx(3 1,P(X 8 3 7.4.1二项分布 白题 基础过关 4=Cx(兮）广所以x的分布列为 1.C解析：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努 2 利试验独立地重复进行：次所组成的随机试验称为n重伯努利试 16 32 24 8 验，故重伯努利试验应满足的条件：①各次试验之间是相互独立 81 81 818181 的：②每次试验只有两种结果：③3各次试验成功的概率是相问的，故 选G. 14 所以E(X)=4x 2,ACD解析：对于A:由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不 33 是：重伯努利试验.对于B:某人射击，击中目标的概率是稳定的，因 14.解：(1)由题意得这位司机遇到红灯数X服从二项分布X-B5。 此是n重伯努利试验对于C:每次轴取，每种颜色出现的可能性不 相等，因此不是n重伯努利试验，对于D:I0道题难度不同.每道题做 对的概率也不同.因此不是n重伯努利试验.故选ACD ）所0=时-0=宁） 3 3.B解析：有放回抽取，每次取到次品的概率都是0.05，相当于10闵 独立重复的伯努利试验.所以服从二项分布X-B(10,0.05).故选B. （2)曲整意释：0，曲()得E(=多D():9所以 EB=30E(X)=30×号=50，D()=302·D(X)=90×0 5 1 1000 32 放选B 重难聚焦 5.A解析：电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8.1个灯泡 15.3解析：由于P(X=k)=C· 在使用1000小时内坏了的概率为1-0.8=0.2，则3个灯泡在使用 1000小时内恰好坏了一个的概率为C×0.2×0.82=0.384.放选A 6.B解析：因为随机变量-B(2,P),所以P(1)=1-P八=0)=1 P(X=k+I) 10-k310- 1p=号解得p=，所以-(4,）则P(≥2)=1 P(X=k) 八（居） +122h+2 选择性必修第三册，RJ黑白题187.3.2离散型随机变量的方差 白题 时：25min 题组1离散型随机变量的方差与标准差 列说法正确的是 ( 1.下列说法不正确的是 ( A.E(X)=2 A.离散型随机变量的方差越大，随机变量越 BB以x=号 稳定 C.D(X)=1 D.D(X)=3 B.若a是常数，则D(a)=0 6.已知X的分布列为 C.离散型随机变量的方差反映了随机变量偏 X 0 离于均值的平均程度 D.随机变量的方差和标准差越小，则偏离变 量的平均程度越小 2.已知随机变量专的分布列如表，则专的标准 设Y=aX+3,且E(Y)=2,则D(2Y-10)的 差为 值为 3 5 题组3离散型随机变量的方差的应用 0.4 0.1 7.在同样条件下，用甲、乙两种方法测量某零件的 B.3.2 长度（单位：mm)分别为专和n,分布列如下表： A.3.56 C.3.2 D.√3.56 3.(2024·湖北武汉高二期末)已知离散型随机 48 49 50 51 52 变量专的分布列为 P 0.1 0.1 0.60.1 0.1 0 2 3 48 49 50 51 52 2 P 0.20.20.20.20.2 m 9 9 则下列说法正确的是 ( 若E()=1,则D()= A.甲方法测量的结果比乙方法测量的结果波动小 题组2离散型随机变量的方差的性质 B.甲方法测量的结果比乙方法测量的结果波 4.(2024·吉林长春高二期末)已知离散型随机 动大 变量X的分布列为 C.甲方法测量的结果与乙方法测量的结果波 动相当 D.无法比较甲、乙两种方法测量结果的波动 大小 8.学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其 且Y= 2+2,则D()= ( ) 规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜 A.1 c 0.36 利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利 5.(多选)(2024·河北邯郸高二期中)已知随机 的概率为}，设他参加一次答题活动得分为， 变量X满足E(2X+1)=5,D(3X-1)=9,则下 则D()= 选择性必修第三册·RJ黑白题34 黑题 应用提忧 限时：30min 1.(2024·河北石家庄高二期中)已知某随机变5.若随机变量X的分布列为P(X=k)=P4,k= 量X的分布列如下表，则随机变量X的方差 14 D(X)= 1,2,3,且p+2p+3p=2,+4p+9p,=3,则 D(X)= 0 20 40 6.已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年 m 2m m 利润率分别为Y,和Y2,利润率为负表示亏损， A.120 B.160 C.200 D.260 根据往年的统计数据得到Y,和Y2的分布列： 2.(多选)(2024·山西长治高二月考)若随机变 5 10 -2 4 12 -2.5 量X服从两点分布，其中P(X=0)=3 P 0.60.150.25 P 0.20.50.10.2 E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方 现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险 差，则下列结论正确的是 理财项目一年 A.D(3X+2)=4 B.D(X0=9 (1)在甲、乙两个项目上各投资100万元，Y 和Y,分别表示投资项目甲和乙所获得 C.P(X=1)=E(X) D.D(3X+2)=2 的年利润，求D(Y1)和D(Y2). 2 3.(2024·湖北武汉高二月考)设0<a<3,随机 (2)项目甲投资x万元，项目乙投资(200 x)万元，其中0≤x≤200且x∈N,用f(x) 变量X的分布列是 表示投资甲项目的年利润方差与投资 0 乙项目的年利润方差之和，问该如何分配 这200万元资金，能使f代x)的数值最小？ 39 则当a在o,号)内增大时 A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大 压轴挑战 4.将3个小球放入3个盒子中，盒子的容量不 (2024·浙江宁波高二期中)已知随机变量5满 限，且每个小球落入盒子的概率相等.记X为 足P(5=0)=1-p,P(5=1)=p,其中0<p<1.令随 分配后所剩空盒子的个数，Y为分配后不空 机变量n=传-E()1,则 盒子的个数，则 ( A.E(n)>E() A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y) B.E(n)<E() B.E(X)=E(Y),D(X)D(Y) C.D(n)>D() C.E(X)E(Y),D(X)=D(Y) D.D(n)<D(5) D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y) 进阶突破拔高练P10 第七章黑白题35