7.3.2 离散型随机变量的方差导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 一、提出问题 问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示： X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平？ 二、新知探究 1.离散型随机变量的方差概念：一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. 期望： 方差： 标准差： 思考：方差为什么这样定义？ 2.离散型随机变量的方差的深层理解 离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，①越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；②越小，的取值越集中在附近. 3.方差的计算方法： (1)定义法 (2)期望法： 4.方差的性质： 期望的性质： 证明：. 三、典例解析 【典例1】已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 求和. 【练习巩固1】随机变量的分布列如下表，则 ； . 0 1 2 【典例2】已知随机变量的分布列如表： 0 1 2 m n 若，则 ． 【练习巩固】随机变量X的分布列如表所示，若，则 . X 0 1 P a b 【典例3】投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示：（左侧为A，右侧为B） 收益Y元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 收益X/元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 (1) 投资哪种股票的期望收益大？ (2) 投资哪种股票的风险较高？ 【练习巩固】甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y (单位：s)，其分布列为 Y 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 甲品牌的走时误差分布列 乙品牌的走时误差分布列 X 0 1 P 0.1 0.8 0.1 试比较甲、乙两种品牌手表的性能. 【典例4】若随机变量X满足，其中为常数，求，. 【典例5】若随机变量X服从两点分布，求，. 【练习巩固】已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$