7.1.1 条件概率-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019)

第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1条件概率 白题 出 限时：40min 题组1条件概率 事件B表示“李老师经过第二个红绿灯路口 1.(2024·广东湛江高二期中)已知P(AB) 时是绿灯”，则P(B1A)= ( ) 3 2 P(A)=5,则P(B1A) ( B.z c A8 B c D. 5.(多选)(2024·吉林长春高二月考)下列说 法正确的是 ( 2.(2024·辽宁鞍山高二期中)有一批灯泡寿命 A.P(BIA)<P(AB) 超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小 时的概率为0.8，在寿命超过500小时的灯泡 B.P(BIA) P(B)是可能的 P(A) 中寿命能超过800小时的概率为 ( C.0≤P(BIA)≤1 A.5 B.g D.a D.P(AIA)=1 3.(2024·天津河东区高二期中)某个班级有 6.(2024·河北张家口高二期中)元宵节是中国 45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人 的传统节日之一，“元宵”作为食品，在我国也 数如表所示： 由来已久.宋代，民间即流行一种元宵节吃的 团员 非团员 合计 新奇食品.这种食品，最早叫“浮元子”后称 男生 16 9 25 “元宵”元宵以白糖、玫瑰、芝麻、豆沙、黄桂、 女生 14 6 20 核桃仁、果仁、枣泥等为馅，用糯米粉包成圆 合计 30 15 45 形，可荤可素，风味各异，可汤煮、油炸、蒸食， 随机选择一人做代表，如果已知选到的是团 有团圆美满之意.某商店有6种馅的元宵，其 员，那么选到的是男生的概率是 中4种素的和2种荤的，美华随机取出两袋购 B哥 c号 D. 买，事件A“取到的两袋同为荤或素”，事件B “取到的两袋都是素的”，则P(B引A)=() 4.某天李老师驾车在大街上行驶，前方刚好有两 3 个红绿灯路口，李老师经过第一个红绿灯路口 B D.g 时是绿灯的概率为？，连续经过这两个红绿灯 7.(2024·江西抚州高二月考)袋中有10个外形 相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球， 路口时都是绿灯的概率为一用事件A表示 从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是 “李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯”， 黑球的概率是 选择性必修第三册：RJ黑白题22 8.(2024·广东茂名高二期中)从-2，-1,1,2,314.小明想在网上购买一款品牌手机，客服承诺 这5个数中任取2个不同的数，已知取到的两 该品牌手机从1m高的地方掉落时，屏幕第 数之积为正数，则取到的两数均为负数的概率 一次未碎的概率为0.5，当第一次未碎时第二 是 次也未碎的概率为0.3，小明想如果手机从 题组2条件概率与事件独立性的关系 1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎的概率 9.(2024·辽宁省实验中学高二期中)已知事 大于0.2就可以购买，否则放弃请你用所学 件A与事件B相互独立且P(B)=子，则 的概率知识帮小明做一下决策 P(BIA)= A B D 10.(多选)(2024·河南开封高二月考)已知事 件A,B满足0<P(A)<1,P(B)>0且 P(BIA)=P(B)=0.5,则一定有 ( A.P(B)=0.5 B.P(AB)=0.5 C.A,B相互独立 D.P(AIB)=P(A) 题组3乘法公式 重难聚焦 11,(2024·四川遂宁高二月考)经统计，某射击 题组4条件概率的综合应用 运动员进行两次射击时，第一次击中9环的 15.(2024·江苏宿迁高二期末)已知随机事 概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第 二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均 件A,B,P()= P()=P(B1M)=号 击中9环的概率为 ( 则P(AIB)= A.0.24B.0.36 C.0.48 D.0.75 12.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的 .5 b.6 3 1 概率为？，在刮台风的条件下，下大雨的概率 C.0 D.10 16.(2024·浙江杭州高二期中)已知事件A,B, 为，，则该地区七月份既刮台风又下大雨的 1 C,满足P(BIA)= 概率为 2P(C1A)= ( 3 7 B. C、9 0、3 P(BCIA)三6，则P(BUCIA)F 50 10 10 2 1 13.(2024·河南南阳高二期末)已知P(A)= 5 6 A.3 b.3 5 P(BIA)=2,则P(AB)F C. D. 6 第七章黑白题23 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2024·北京海淀区高二期末)已知一批产品 件A与B相互独立：命题乙：“A与B相互独 中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合 立”是“P(AIB)=P(AIB)”的充分不必要条 格的比例为90%，A,B两项指标都合格的比例 件：则命题 为60%，从这批产品中随机抽取一个产品， A.甲、乙都是真命题 若A项指标合格，则该产品的B项指标也合 B.甲是真命题，乙是假命题 格的概率是 ( C.甲是假命题，乙是真命题 A C.3 D D.甲、乙都是假命题 6.(多选)(2024·吉林长春高二期中)一个笼子 2.(2024·安徽安庆高二期中)质监部门对某种 里关着10只猫，其中有4只黑猫、6只白猫.把 建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件 笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只 实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通 猫猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出 过质检若第一次打击后该构件没有受损的概 了笼子，事件A表示“第k只出笼的猫是黑 率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打 猫”，k=1,2,…,10,则 ( ) 击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质 A.P(AA,)= 2 检的概率为 B.P(A+h2)= 2 A.0.4 B.0.16 C.0.68 D.0.17 3.(多选)(2024·福建莆田高二月考)已知 CP4M,)=号 D.PAeM)-=号 P(A)=5P(BIA) 4,若随机事件A,B相互 7.(2024·山东青岛高二月考)已知随机事件A, 独立，则 ( B,满足P(B1A)=P(A1B),P(A)= A.P(B)=3 B.P(AB) PBL团=则PAB= CP(A)-号 D.P(A+B) 8.现有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两 20 瓶，某同学从中随机抽取两瓶，若取出的两瓶 4.(2024·河北石家庄高二期中)在某电路上 中至少有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色 有M,N两个独立工作的元件，每次通电后，需 的概率为 要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件 9.(2024·天津北辰区高三月考)某位北京游客 的概率为0.2，则在某次通电后M,N有且只有 经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘 个需要更换的条件下，M需要更换的概率是 坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁 ( 和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则 他准点到达天津的概率是 (分数作 答).若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐 5.(2024·重庆第一中学高二月考)已知A,B为 高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高 同一次试验中的两个随机事件，且P(A)>0, （分数作答)： P(B)>0,命题甲：若P(B1A)+P(B)=1,则事 进阶突破拔高练PO7 选择性必修第三册·RJ黑白题24120(种)，设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则 s分故2-(ub1≤3，故-3≤2-a+61≤.故 10.20 atbte atb 帮桥：因为（已号）广的展开式的适项公式为， a+b-3≤2c≤+b+3.若e=1.则a+b≤5，则(a.b)为(2,3).(3.2). g(信)广（厂=c0.1-6.令6-3）=0. 故有2种：若e=2.则1≤a+b≤7，则(a.b)为(1.3).(1.4).(1.5). (1.6,(3.4).(3,1).(4.1),(51),(6,1),(4,3),放有10种： 可得r=3.所以常数项为3C2=20.故答案为20 若c=3,则3≤a+6≤9，则(a,b)为1,2)，(1.4)，(1.5)，(1,6)，(2. 4),(2,5),(2,6).(4.5),(2,1),(4,1).(5,1),(6,1),(4,2) 1.-8解折：因为-子)水*产=()八-子严 (5,2),(6,2).(5,4).,故有16种：若c=4,则5≤a+b11,同理有 16种，若c=5,则7≤+b≤13，同理有10种，若c=6.则9≤a+b≤15， 所以(1-工)+y)的展开式中含的项为2 同理有2种，m与n的差的绝对值不大于？时不同的抽取方法总数 y-2,所以()()产的展开式中y的系 为2x(2+10+16)=56,故所求概率为需放答案为 7 数为-28.故答案为-28 8.24112解析：由题意知.选4个方格，每行和每列均恰有一个方格 四方法总结 被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列 有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1= 对千几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式 24(种)选法：每种选法可标记为(a,b.C,d),a,b,c,d分别表示第一， 连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适岩地运用分类方法，以 二三，四列的数字，则所有的可能结果为(11,22.33.44)，(11,22， 免重复或遗漏：也可利用排列组合的知识求解」 34.43).(11.22.33.44),(11,22.34.42),(11,24.33.43),(11,24, 33.42).(12.21,33.44).(12,21.34.43),(12,22.31.44).(12,22, 34.40).(12.24,31.43),(12,24.33.40),(13,21.33,44),(13,21, 125解折：由题得展开武的酒项公式为，=C(行）广女，0≤ 34.42).(13,22,31.44),(13.22,34.40),(13,24.31.42),(13,24. r≤10且rEZ,设展开式中第(t+1)项系数最大，则 33.40).(15,21.33.43),(15,21.33.42),(15,22.31.43),(15,22. 29 33.40),(15,22,31.42),(15,22,33,40),所以选中的方格中， (15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.故答案 4 即9 为24：112. 33 4 9A解析：(x-)'的二项展开式的通项公式为T1=Cx· 4 （-'=C(-1(=0,12.3,4),令47=3，解得r=2.故所 又因为rEZ,故r=8,所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项 求即为C(-1)2=6.故选A 系数为c(行)》 =5.故答案为5 第七章 随机变量及其分布 7.1条件概率与全概率公式 6.C解析：由题意可知：P(A)= +c.7 C5,(AB)= 7.1.1条件概率 白题 其出过关 P(BIA)=P(AB)15 3 P(A)7 P(AB)1115 15 1.C解析：P(B1A)= P4)222故选C 四方法总结 5 本题考查的是条件概率，条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法： 2.A解析：记灯泡寿命超过500小时为事件A,灯泡寿命超过800小 时为事件B,则P(A)=Q9,P(AB)=Q8,所以P(B1A)=PCAB) P(A) 老求和.得电P(B-把表P代BAW.(2)#本车 08.8故选人 件法：借助吉奥概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数(A), 0.99 得求事件AB所包含的基本率件数a(AB).得P(BA)=n(AB2 3.A解析：设事件A表示选到团员，事件B表示选到男生，则 n(A) r4-培名放入 23 解析：用A表示事件“从中任意取出一球，它不是白球”，用B表 4D解折张题意，P代A=,P代=子所以PB4)= 示率件~从中任意取出一球，它是黑球则P氏4)=0P()=高 3 P(A) 25故选D 所以P(BLA)=PAB)3 PA》5故答案为之 36 5 解析：从-2，-1,1,2,3这5个数中任取2个不同的数有C= 5.BCD解析：A选项，由P(B1A)=P及0<P(A)≤1知 10(种)取法，其中满足两数之积为正数的有C号+C=4(种)取法，满 P(A) P(BIA)≥P(AB),A选项错误： 足两数之积为正数且两数均为负数的有C好=1（种）取法，记“两数之 B选项，当事件A包含事件B时.有P(AB)=P(B),此时P(BIA)= 积为正数“为事件A,“两数均为负数为事件B,所以P(A)=年 贸得放帮港项正商 C选项，由概率的性质可知0≤P(B1A)≤1，C正确： 所以P份4)=子所以E知取到的两数之积 P(AB)=I D法级代4-代什1，DE商放击D 为正数。则取到的两数均为负数的概率是片故答案为子 参考答案黑白题11 9B解折：因P()子期P代=，周事件A与事件B相互验 +P-PP(国=1）子D结误 立.放P(AB)=P(A)P(B),于是P(B1A)=PBA_P(BPA 故选BC P(A) P(A) 4,A解析：记申件A为在某次通电后M,N有且只有一个需要更换，申 P=子敏选B 件B为M需要更换，则P(A)=0.3×(1-0.2)+(1-0.3)×0.2=0.38. P(AB)=0.3×(1-0.2)=0.24.由条件概率公式可得P(B1A)= 10.ACD解析：因为P(B)=0,5,所以P(B)=1-P(B)=05.A正确： P氏A6)_024-12赦选X P(BIA)=A,且P(B1A)=P(B).所以P(A P(A)0.3819 5,B解析：因为P(B1A)+P(B)=1.所以P(BIA)=1-P(B)=P(B), P(A)P(B).即A.B相互独立，C正确：因为P(AB)=P(A)P(B)= 0.5P代A).又0<P(A)<1.所以0<P(AB)<0.5.B错误：由条件概率 所以ABP代)，故P(AB)=P(A)P(B).所以事件A与B相互 P(A) 公式可得P(A1B)=PAB.P)PB。P(),D正确，故 独立，命题甲正确： P(B) P(B) 若A与B相互独立，则A与B相互独立，A与B相互独立，P(AIB)= 选ACD. 11.C解析：设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A,“第二次击 ()((((-(AB)(A)()() 中9环”为事件B,则由题意得P(A)=0.6.P(B1A)=0,8,所以她两 P(B)P(B) P(B)P(B) 次均击中9环的概率为P(AB)=P(A)×P(B1A)=0.6×0.8=0.48.故 所以P(AIB)=P(AIB). 送C. 12.B解析：设该地区每年七月份刮台风为事件A,设该地区每年七月 若PB=P(1B,所以P.PB,所以P(B)P(B) 份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB。 P(B)P(B) 由题得P(A)=3 P(B1A)=品所以P(B1A)=品-0 P(AB)P(B),所以P(AB)(1-P(B))=P(AB)P(B),所以P(AB)= P(A) P(AB)P(B)+P(AB)P(B).P(AB)=P(AB)+P(AB)]P(B). PAB,所以P氏AB=9x2-二放选B 3 10550 P(AB)=P(A)P(B),故事件A与事件B相互独立，所以事件A与事 件B相互独立，所以“A与B相互独立”是“P(AIB)=P(A1B)”的充 13立解折：P团)=1-P代)=名，P()=P()P(81)= 分必要条件，所以命题乙为假命题，故选B. 6 、 8D解所：商图意，可得)-式号对于A中，事件有 AiA 2 14.解：设A为“第i次掉落后，手机屏幕没有碎”，=1,2，则由已知可 得P(A,)=0.5.P(A2IA)=03,故P(A2A,)=P(A,)·P(A21A)= 表示第1,2只出笼的猫都是黑箱，测P4)=行·所以A错 0.5×0.3=0.15.即这款手机从1m高的地方掉落两次后，屏幕仍未 误：对于B中，事件A,+A2表示第1只或第2只出笼的猫是黑循则 碎的概率为0.15，因为015<0,2，所以小明应该放弃购买， A+=)+P-代=号号是号所以B正 重难聚焦 2 3 1 15,A解析：因为P()=0P(B)=2,P(BA)子，则P(AB) 确：对于C中，P(A1A,)= P(A A2)15 1 P(A 工3，所以C正确：对于D 5 P(BIA)×P(A)= AiA P(B)1 中.A,A表示第1只和第10只猫是黑猫，可得P(A,An)= 2 2 选A, 16.A解析：依题意，P(BUCIA)=P(BIA)+P(C1A)-P(BCIA)= 5,所以PAnl4) P(A4o)_15_I P(A) 2=3,所以D正确，故选BCD 黑题应用提优 1.0或0 解新：因为P(1)=P14.即兴骨兴则 1.C解析：记事件A为“A项指标合格”，事件B为“B项指标合格”， 则P(A)=80%,PB)=90%,P(AB)=60%,所以PB1A=PLAB) P=0度{2.当P(B)=0时：由P()=三 P(A)=P(B). P(A) 60%.3故选C P(BIA)=1 ，所以PB)=P(B)=P不P(B= 20满足P(B)+ 80%4 2.C解析：设A表示第次打击后该构件设有受损，=1,2，则由已知 P1,符合要求：当代代时.因为P(=P国 可得P(A1)=0.85,P(A1A,)=0.8,所以由乘法公式可得P(A,A2)= PBM0=×子0P=子，又图为B=(A)U(B,且B 33 P(A1)P(A21A,)=Q85×0.8=Q.68,即该构件通过质检的概率是0.68， 故选C. 3BC解析：对B,P(B1A)=PAB》P(AB).1 与AB互斥.故P(B)=P(AB)+P(AB),则P(AB)=P(B)-P(AB)= P(A) 所以P(AB)=20 P氏A)-PA)=1-PA-P(B)=1}3=所以P(A)=0 5 或品故答案为0或 1 B正确：对A.P(AB)=P(A)P氏B)=专P(),所以P(B)= 4,A 四易错提醒 误：对C,P(AB)=P(A)P(B)= 解决条件概率问题时要注意区分P(A1B)和P(B1A),其中P(A1B) 表示已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(BIA)表示已 PB)了，C正确：对D,PA+B)=PA)+P(B)-P氏AB) P(AB)5 4 知市件A发生的条件下，事件B发生的概率。 解析：设事件A为“取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色”，事件B 选择性必修第三册·RJ黑白题12 为“取出的两瓶中另一瓶是红色”，事件C为“取出的两瓶中另一瓶：8.C解析：设A,表示该汽车是货车，A2表示该汽车是客车，则 是黑色”，事件D为“取出的两瓶中另一瓶是红色或黑色”，则D= BUC,且B与C互床.由题意得，P(A)=CC+C_ P山，》=子，P,)=号设品表示货车中途停车修现品，表示客车 C 10,P(AB)= 中途停车修理，B表示汽车中途停车修理，则P(B,)=0.2,P(B,)= CC 1 5P(AC)= CC 2 0.01.由全概率公式得P(B)=P(A)P(B,IA1)+P(A:)P(B,A2)= =5,所以P(D1A)=P(BUC1A)= 12 a+了xam-a则所求幸PB.剑 2 P(8) PBIA)+P(CA)=PA)PAC).三，5.6 P4)P()777,故取出的两瓶中 30.02 1010 Q05=5=08放选C 4 3 至少有一瓶是蓝色，另一瓶是红色或黑色的餐率为号故答案为号 9,B解析：从学生甲，乙、丙，丁中选择一名回答问题，每人被选到的 9.431 概率都为0.25，甲、乙，丙，丁答对该题的概率分别为0.8,0.6.0.4. 5043 解析：设事件A为他准点到达天津，事件B为他乘坐高铁 0.2.则答错该题的概率分别为02,0.4.0.6.0.8. 到达天律，事件G为他乘坐大巴到达天律，若他乘坐高铁，且正点到 设事件A:此题答结，事件B:由乙回答此题，所以P(B1A)=P) 达天津的率为P(AB)=06×0.9=0.54: P(A) 若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为P(AC)=0.4×0.8=0.32. 0.25x×0.4 则4)=Q5+Q2=06-8且P氏B1A)=4.Q42 025x0.2+0,25×04+0.25x0.6+025×08=0.2,故选B. P(A)0.8643 6*03 八G)=号8器-指所以来华高铁准点到达比乘坐大巴准 10.0.25解析：由题意知，所求概率P= 2*01 3*0,3 603 点达的丰器后-品故答案为号 0.25.故答案为0.25 7.1.2全慨率公式 19 解析：设B,=“使用的枪校准过”，B,=“使用的枪未校 白题础过关 准”，4“射击时中肥”，则P(B,)= 1.AD解析：应用全概率公式P(B)=立P(A)·P(BIA)要求满足 8P(B)=3 ,P(A1B)= 0.8P(A1B2)=03.由贝叶斯公式，得P(B,IA)= 3个条件：①A1,A2,…,A。是一组两两互斥的事件：②A,UA2U UA.=2:③BC2只有选项AD满足，故选AD. P(AIB)P(B:) 08*8 40 2.A解析：设A,B分别代表事件“第1球投进”和“第2球投进”，则由 P(AIB)P(B)+P(AIB)P(B2) 已知条件知P(B1A)=3 ,P(B1A)=1 4P(4)三，所以P(A)=1 0.8x 5 +03x 49所以射 8 21 3 手用的枪校准过的瓶率为智故答案为号 P(A)=1- 子=3放P(B)=P(BA)P(A)+P(BIA)P(M)= 12.解：(1)记事件B:“小明获胜”，记事件A,:“小明与第(i=1,2,3) 2117 类铁手相图”，由题可得，P(,)-0=25,P( 20=035. 3.B解析：令A,=“每天玩手机超过1小时的学生”，A,="每天玩手 8 机不超过1小时的学生”，B=“任意调查一人，此人近视”，则 P(A=20=04,P(B1A)=Q6.P(B1A)=Q5.P(B1A)=Q4 2=4UA2,且A1,A,互斥，P(A1)=02,P(A2)=08,P(B1A1)=0.6, 由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B1A,)+P(A)P(B1A2)+ P(B)=03依题意.P(B)=P(A,)P(B1A,)+P(A,)P(B1A)=0.2× P(41)P(B14)=0.25×0.6+0.35×0.5+0.4x0.4=0.485. 9 0.6+0.8xP(BA)=Q.3,解得P(B1A:)严0所以所求近视的概率 (2)由条件概率公式可得P(A,1B)= P(A:B)P(A )P(BIA) P(B) P(B) 为滑放选 0.25×0.630 一即小明获胜，对手为一类棋手的概率为 高解折：)=宁PBA=子P(B)=名放P(= 13.解：(1)设事件B1,B2,B分别表示取出的通讯器材是第1.2,3个 车间生产的A表示“取到的是优等品”.易知B,B,B,两两互斥， 了=-=I名，PA=PPA 12 根据全概率公式，可得P(A)=P(B,)P(AIB,)+P(B)P(AB2)+ P(B3)P(A1B3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525 所以从仓库中任取一个该通讯器材.取到优等品的概率是0.0525 5.0.175解析：设B,=“他是谨慎的”，B2=“他是一般的”，B,=“他是 (2)P(B,1A)=PA) 4B)P八B)PA1B).025×0.06.2.如果取 P(A) 0.0525 冒失的”，则B,,B2,B构成了2的一个划分.设事件A=”一年内出 事放”，由全概率公式得.P(A)=上P(B,)P(A1B,)(i=1,2,3)= 到的道讯器材是优等品，它是第1个车间生产的气华为子 0.05×20%+0.15×50%+0.30×30%=0.175,故答案为0.175. A03x05.2,如果取到的 P(BIA)= 6.解：(1)设A=“两本书中至少有一本是文学小说”，B=“两本书中有 P(A) P(A) 一本是散文集”，P(B1A)=n(AB）。CC。6 通讯器材是优等品，它是第2个车间生产的概率为弓： n(A0)C号+CC7 (2)设C=“取到的书来自甲箱”，D=“取到一本文学小说”， =）P(B)P(A1B）0.45×0.05_3如果取到 P(B1A)= P(A) P(A) 0.0525 P(D)=P(C)P(DIC)+P(C)P(DIC)2*52*5 的通讯器材是优等品，它是第3个车问生产的概率为 3 7.A解析：此人是癌症患者的概率为 0.004×0.95 0004×0.95+(1-0.004)x0.02 黑题应用提优 0.16.故选A. 1,B解析：设A1,42分别表示取得的这块芯片是由甲，乙生产的，B表 参考答案黑白题13