第7章 计数原理 真题演练-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

12.CD解析：对于A,安排5人参加4项工作.若每人可任选一项工 重难点拨 作，每人有4种安排方式.则有4种安排方法，故A不正确：对于 捶列组合何题虽然种类繁多，但只要能把捏住最常见的原理和方 B,安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，则有1种方案.其余3人 法，即“分步用乘、分类用加，有序排列、无序组合”，留心客易出得 中任选2人分别从事导购，仓库管理工作，则有A行=3×2=6（种） 的地方就能够以不变应万变，把排列组金学好 方案，则共有1×6=6（种）方案，则B错误：对于C,若仓库管理工 作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有CA=60(种)不同 5.C解析：解法一：画出树状图，如图 的方案，故C正确：对于D,①从剩下的三人中选一个人从事翻译 工作，则有C=3(种)方案，则甲，乙和三人中剩下的2人从事其 余的三个工作共有、 ·A号=36（种）方案，则共有36×3= 108(种)方案，②从剩下的三人中选2个人从事翻译工作，则有 丙了 平5 C好=3（种）方案，则甲，乙和三人中剩下的1人从事其余的三个工 作共有A=6(种)方案.测共有6×3=18（种）方案.所以若每项工 作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲，乙不能从事翻 译工作，则有108+18=126（种）不同的方案，故D正确.故选CD 13.解：(1)所有的不同选法种数，就是从6名学生中选出3人的组合 6×5×4 乙丙甲丙甲 数.所以选法种数为Cg3x2x20 T乙丁甲乙甲两乙两甲乙甲 (2)从6人中任选4人分别参加数学，物理、化学，生物学科竞赛 由树状图可得，甲，乙、丙、丁四人出场顺序共有24种，其中丙不是 的安排方法有A:种方法，其中男生甲被安排到参加数学竞赛的 第一个出场，且甲或乙最后出场的顺序共有8种，故所求概率P= 安排方法有A:种，女生乙被安提到参加物理竞赛的安排方法 81 有A:种，男生甲参加数学竞赛且女生乙参加物理竞赛的安排方 243 法有A1种.所以满足要求的安排方法有A-2A+A好=252（种）. 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，内有2种排法，丁就1种， (3)从6名学生中选2名男生和2名女生的选法有CC= 共2种：当甲最后出场.乙排第二位或第三位.丙有1种排法.丁就 9(种).将所选四人安排参加三项活动的安排方法有C好A= 1种，共2种：于是甲最后出场共4种排法，同理，乙最后出场共 36(种)方法，根据分步计数原理得共有9×36=324（种）选法. 4种排法，于是共8种排法符合题意：基本事件总数显然是A= 14.C解析：由题意知，5与A.B.C,D任意一点均不同色.只用3种 24,根据古典概型的计算公式，丙不是第一个出场，甲或乙最后出 颜色，即B,D同色，且A,C问色，此时不同染色方法的种数 为A}=24:用4种颜色，此时可能B,D同色，而A,C不同色或A, 场的概率为员号故击C C同色，而B,D不同色.若B,D同色，面A,C不同色，此时不同染 6.64解析：当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有C!C!= 色方法的种数为A:=24:若A,C同色，而B,D不同色.此时不同 4×4=16(种). 染色方法的种数为A:=24.根据分类加法计数原理可得，不同染 当从8门课中选修3门时」 色方法的种数为24+24+24=72.故选C. ①若选修1门体育类选修课.则不同的选课方案共有CC:=4×6= 15.6120解析：假定涂色顺序为D-C-E-F-A-B. 若C.E涂相同颜色.则有6×5×1×4×4×3=1440（种）涂法：若C, 24(种)： E涂不同颜色，A,E涂相同颜色，则有6×5×4×3×1×4=1440（种） 2若选修2门体育类选修课，则不同的选课方案共有CC=6×4= 涂法：若C,E涂不同颜色，A.E涂不同颜色，则有6×5×4×3×3× 24(种). 3=3240(种)涂法：故由分类加法计数原理得不同的涂色方法共 综上所述.不同的选课方案共有16+24+24=64（种），故答案为64 有1440+1440+3240=6120（种）.故答案为6120 7 解析：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有。= 第7章真题演练 120(种)，设前两个球的号码为a,b.第三个球的号码为c,则 1.D解析：根据分层抽样的定义知，初中部共抽取60×0 a+b+c a+b 600 号“s故12-(a+6)1≤3.故-3≤2-(a+6)≤3，故 40(人)，高中部共抽取60 200 60020(人)，根据分步乘法计数原理， a+b-3≤2e≤a+b+3.若c=1.则a+b≤5，则(a.b)为(2.3)，(3.2). 得不同的抽样结果共有C”·C种.故选D, 故有2种，若c=2,则1≤a+b≤7，则(a.b)为(1,3)，(1,4)，(1,5). 2.D解析：依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基 (1.6).(3,4).(3,1),(4.1),(5,1).(6.1).(4,3),故有10种 本事件一共有C好=6（件），其中这2名学生来自不同年级的基本事 若e=3,则3≤a+b≤9.则(a.b)为(1.2)，(1,4)，(1.5)，(1.6) 件有CC时=4（件），所以这2名学生来自不同年级的概率为 (2,4),(2,5),(2,6).(4.5).(2.1),(4,1),(5,1),(6,1).(4 6 2),(5,2),(6,2),(5,4),故有16种，若c=4,则5≤a+b≤11，同理 子故选D 有16种.若c=5.则7≤a+b≤13.l同理有10种，若e=6.则9≤a+ 3.C解析：首先确定相同的读物，共有C种情况，然后确定两人各 6≤15.同理有2种，m与n的差的绝对值不大于时不同的抽取 自的另外一种读物，相当于在剩余的5种读物里选出两种进行排 列.共有A?种，根据分步乘法计数原理，得共有C·A=120(种)， 方法总数为2×(2+10+16)=56，放所求概率为0=7 12015放答案 故选C 4.B解析：不妨记五名志愿者分别为a,b,c,d,e,假设a连续参加了 两天公益活动，再从剩余的4人中抽取2人分别参加星期六与星；8.24112解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方 期日的公益话动，共有A=12(种)方法.同理，选b,e,d,e分别连续 格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可远，第 参加两天公益活动时，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了 三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选.所以共有4×3×2× 两天公益活动的选择种数有5×12=60（种）.故选 1=24(种)选法：每种选法可标记为(a,b.c,d),a,b,c,d分别表示 参考答案学霸41 第一，二三、四列的数字，则所有的可能结果为(11.22,33,44)， 这些项的系数之和为(-1)3=-1，故选B (11.22.34.43).(11,22.33.44),(11,22,34,42).(11,24,33 7.B解析：分三类：种两种花有A?种种法：种三种花有2}种种法： 43).(11.24,33.42),(12.21.33.44).(12.21.34.43).(12.22 种四种花有A种种法共有2A3+A+A=84(种)种法故选B 31.44).(12,22.34,40),(12.24,31,43).(12,24,33,40),(13, 8.B解析：由于132咖4=(1+12)24=C9m4+12Ca+122C324 21.33,44).(13.21.34.42).(13.22.31.44),(13.22.34.40). 12'c时e4+…+122C+12,所以a=122Ca4+12'Cm (13.24.31.42).(13.24.33.40),(15,21.33,43).(15,21,33 …+122四C写82+12204=1324-C9m4-12C4,由于4=1324 42),(15.22,31,43),(15,22.33,40),(15,22,31,42).(15,22 Cgm-12C4=(17-4)2e4-C8-12C4,所以(17-4)224= 33,40).所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为 Cm1724-4Cm4·172+4Ca4·172m-+42C 15+21+33+43=112.故答案为24：112 所以a=C9e4·1724-4C时m4·1723+42C4·1722-…- 9.A解析：(x-)的二项展开式的通项公式为T1=C5· 42心.C·17+420-Cg4-12C4,由于44=162 (~)'=C(-10=0.1,2.3,4,令4=3，解得r=2.故 (17-1)10m2=C9u·170-Ce·1701+C号a2·17100-- 所求即为C:(-1)2=6.故选A C8船·17+C8B,所以a=C9@4·172-4Cmt·1720+ 42C·17+C92·17m2-C02·17m1+…-C盟 10.20 ：因为（侵号】 的展开式的通项公式为T1= 17-12C2e4 (）广（号广=*c01.…6令6-3 因为-12C@=-17×1429+5,所以a被17除后余数为5，由a=b (md17),则正整数6的最小值为5.故选B. 0,可得r=3,所以常数项为30C=20.故答案为20 9.BC 解桥：三项式：店广的展开式的通项公式为 1.-28解折：因为(-)x)=(+)-士(). G(2(左广=G2（-0e≤5eN0.对 所以(（1-)+y)》的展开式申含的项为 于A,令102=5，得r=2,所以含的项的系数为C号·23· ,Cx=-282,所以(1-工）（x*)的展开式中子y的 (-1)2=80,所以A错误：对于B,二项式系数和为25=32，所以 系数为-28.故答案为-28 B正确：对于C,令10-子=0，得r=4,所以常数项为付·2 方法总结 对于儿个多项式积的展开式中的桥定项问题，一极都可以根据因式 =0,所以c正确：对于D,因为项式2厂的艇开 连来的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以 式共有6项.所以第3项和第4项的二项式系数最大，即C=C 免重复或遗漏：池可利用排列组合的知识求解」 10,所以D错误故选BC. 25每折：由题得限开式的通项公式为T,G(行）广女.0 10.ACD解析：对于A,没有空盒子的放法种数为A=24(种)， 故A正确：对于B,1号盒子为空盒子的放法种数为 r≤0且reZ,设展开式中第r+1项系数最大，侧 CCICI ·A}=36.故B错误：对于C,恰有1个空盒子的放法种数 29 4 9 33 C:CC 33 4 为C· ·A=144,故C正确：对于D,恰有2个空盒子的 A月 4 cic 又因为r∈Z,故F=8,所以展开式中系数最大的项是第9项，且 放法种数为C好· 号+CA好=4，放D正确放选ACD. 该项系数为品（仔 =5故答案为5. 11.AB解析：已知(2+x)(1-2x)产=+1x+a2x2+ax3+4x+x3+ ao”.令等式中的x=0,可得=2，a的值.即展开式中x的系 第7章章末检测 数，为2×(-2)3C+(-2)C=16.故A正确：在所给的等式中，今 x=1,得a0+1+a2+a+a4+m5+6=-3①，又因为0=2，所以 1,C解析：因为(+b)的展开式有(n+1)项.所以n+1=9,解得雅= ata2+3ta,+2sta6=-5,故B正确：在所给的等式中，令x=-1, 8.故选C. 得an-a1+a-a3+a4-a5+a6=243②.由①2得a1+a3+as= 2.B解析：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法 的种数是4故选B. -123,放C错误：(2+x)(1-2x)5=+a1x+22+x3+a4+ 3.C解析：A号1=(2+1)×(2)×(2-1)=2.故选C +6”,等式两边求导可得(1-2x)泸-10(2+x)(1-2x)=+ 2a2x+3ax2+4a4x3+5a5x+6a6x3,令x=1,则a1+2a2+3a+4n+ 4.B解析：先排东郊文社，有A!种，再从另外九景中选3景依次游 5n4+6a6=-1-30=-31.D错误.故选AB. 览，有A。种，所以共有A!A日=1512（种）游览的情况.故选B 12.324解析：由题意至少有1件次品的抽法有C2C!+CC1=324 5,B解析：从A出发沿者水平而的网格线爬行到B,需要走五段路， 故答案为324 其中三纵二横，最短路径有C=10(条)，由点B沿若长方体的棱 13.0解析：因为(x+y)·(y)5=x(xy)5+y(xy)泸.其中(xy) 爬行至顶点C处，点B处出发有3条路径.爬过一条校后又各有 展开式的通项为T1=C5x(-y)'(0≤r≤5，reN),所以(x+ 2条最短路径到G处，最短路径有3x2=6(条)，所以从A到C可以 y)·(xy)3的展开式含xy3的项为xC2(-y)3+ 爬行的不同最短路径条数有10x6=60(条).故选B Cx3(-y)2=-Cx2y2+Cx3y3=0.即(x+y)·(x-y)5的展开式 6.B解析：(x+2y-3:)2=【(2y-3:)+x]3展开式的通项公式为 中xy3的系数为0故答案为0. T1=C(2y-3)x,reN,r≤5，若展开式中的项不含x,则r=0, 14.C:解析：从编号为1,2.3，…，n+3个球中，取出6个球，记所 此时符合条件的项为(2y-3z)3展开式中的所有项，令y=:=1,得 选取的六个小球的编号分别为a1,42,…,a6,且a,<02<<a6, 选择性必修第二册·SJ学霸42第7章 真题演练 考点两个计数原理与排列组合的应用 这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修 1.(2023·新课标全国Ⅱ)某学校为了解学生参 课至少选修1门，则不同的选课方 加体育运动的情况，用比例分配的分层随机 案共有 种（用数字作答） 抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部 7.(2024·全国甲理)有6个相同的球，分别标 两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高 有数字1,2,3,4,5,6，从中无放回地随机取 中部分别有400名和200名学生，则不同的 3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球 抽样结果共有 ( 上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的 A.C5。·C5种 B.C0。·C8种 C.C9·C0种 D.C8·C0种 平均值，则m与n之差的绝对值不大于的 2.(2023·全国甲文)某校文艺部有4名学生 概率为 其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中 8.(2024·新课标全国Ⅱ)在如图的4×4的方格 随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生 表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一 来自不同年级的概率为 个方格被选中，则共有 种选法，在所 A石 B号 c 有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个 数之和的最大值是 3.(2023·全国乙理)甲、乙两位同学从6种课 外读物中各自选读2种，则这两人选读的课 11213140 12223342 外读物中恰有1种相同的选法共有( 13223343 A.30种B.60种C.120种D.240种 15243444 4.(2023·全国甲理)现有5名志愿者报名参加 考点二二项式定理 公益活动，在某一星期的星期六、星期日两 9.(2024·北京)在(x-) 的展开 天，每天从这5人中安排2人参加公益活动 式中，x3的系数为 ( 则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式 A.6 B.-6 C.12 D.-12 共有 ( A.120种B.60种C.30种 D.20种 10.(2024·天津)在 的展开式中，常 5.(2024·全国甲文)某独唱比赛的 数项为 决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参 加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确 11.(2022·新高考全国)(1)(x+y)的展开 定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场 式中xy的系数为 .(用数字作答) 的概率是 ( A.G 12.(2024全国甲理)（写+）”的 6.(2023·新课标全国I)某学校开设了4门体 展开式中，各项系数中的最大 育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从 值为 选择性必修第二册·SJ学霸058 第7章 章末检测 (时间：120分钟 总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共5.(2024·江苏苏州高二期中)一只蚂蚁从点A 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 出发沿着水平面的网格线爬行到点B,再由点 符合题目要求的， B沿着长方体的棱爬行至顶点C处，则它可 1.(2024·江苏盐城高二期中)已知(a+b)"的 以爬行的不同最短路径条数为 () 展开式共有9项，则n= ( A.6 B.7 C.8 D.9 2.(2024·江苏苏州高二月考)现有3位游客来 黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览， A.40 B.60 不同选法的种数是 ( C.80 D.120 A.34 B.4 6.(2024·江苏徐州高二期中)(x+2y-3z)的 C.24 D.12 展开式中所有不含x的项的系数之和为 3.(2024·江苏南通高二月考)规定Am=x(x- ( 1)·…·(x-m+1),其中x∈R,m∈N”, A.-32 B.-1 且A=1,这是排列数A(n,meN”,且m≤ C.1 D.243 n)的一种推广，则A= ( 7.(2024·江苏扬州高二月考)如图，一环形花 坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供 A受 B.1 选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块 C.√2 D.2 种不同的花，则不同的种法总数为() 4.(2024·江苏南通海安中学高二月考)江苏海 安是江海文明的发源地，物华天宝，人杰地灵 海安曾有名胜“三塘十景”，可惜时光变迁，战 火摧残，多数已面目全非.随着海安城市人文 A.96 B.84 建设的深化，“三塘十景”逐一复原重建海中 C.60 D.48 高二年级几名同学打算利用周末时间寻访 8.(2024·江苏泰州高二期中)设m为正整数，a “十景”：东郊文社、南城桃坞、西寺晚钟、北园 和b均为整数，若a和b被m除后余数相同， 菊圃、凤山早霞、三里风帆、镜虹水阁、韩阡翠 则称a和b模m同余，记为a=b(modm).已 柏、双桥曲径、桂岭秋香.因时间有限，计划从 知a=122C号m4+12C4+…+122mC号+ 中随机选取4个依次游览，若选中东郊文社， 1224,a≡b(mod17),则正整数b的最小值为 则东郊文社不是第一个游览的情况有( () A.2016种 B.1512种 A.4 B.5 C.1426种 D.1362种 C.12 D.13 第7章学霸057