第7章 计数原理 章末检测-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

第7章 章末检测 (时间：120分钟 总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共5.(2024·江苏苏州高二期中)一只蚂蚁从点A 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 出发沿着水平面的网格线爬行到点B,再由点 符合题目要求的， B沿着长方体的棱爬行至顶点C处，则它可 1.(2024·江苏盐城高二期中)已知(a+b)"的 以爬行的不同最短路径条数为 () 展开式共有9项，则n= ( A.6 B.7 C.8 D.9 2.(2024·江苏苏州高二月考)现有3位游客来 黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览， A.40 B.60 不同选法的种数是 ( C.80 D.120 A.34 B.4 6.(2024·江苏徐州高二期中)(x+2y-3z)的 C.24 D.12 展开式中所有不含x的项的系数之和为 3.(2024·江苏南通高二月考)规定Am=x(x- ( 1)·…·(x-m+1),其中x∈R,m∈N”, A.-32 B.-1 且A=1,这是排列数A(n,meN”,且m≤ C.1 D.243 n)的一种推广，则A= ( 7.(2024·江苏扬州高二月考)如图，一环形花 坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供 A受 B.1 选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块 C.√2 D.2 种不同的花，则不同的种法总数为() 4.(2024·江苏南通海安中学高二月考)江苏海 安是江海文明的发源地，物华天宝，人杰地灵 海安曾有名胜“三塘十景”，可惜时光变迁，战 火摧残，多数已面目全非.随着海安城市人文 A.96 B.84 建设的深化，“三塘十景”逐一复原重建海中 C.60 D.48 高二年级几名同学打算利用周末时间寻访 8.(2024·江苏泰州高二期中)设m为正整数，a “十景”：东郊文社、南城桃坞、西寺晚钟、北园 和b均为整数，若a和b被m除后余数相同， 菊圃、凤山早霞、三里风帆、镜虹水阁、韩阡翠 则称a和b模m同余，记为a=b(modm).已 柏、双桥曲径、桂岭秋香.因时间有限，计划从 知a=122C号m4+12C4+…+122mC号+ 中随机选取4个依次游览，若选中东郊文社， 1224,a≡b(mod17),则正整数b的最小值为 则东郊文社不是第一个游览的情况有( () A.2016种 B.1512种 A.4 B.5 C.1426种 D.1362种 C.12 D.13 第7章学霸057 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共14.(2024·江苏常州一中高二期末)我们常常 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 运用对同一个量算两次的方法来证明组合 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 恒等式，如：从装有编号为1,2,3，…，n+1的 有选错的得0分. n+1个球的口袋中取出m个球(0<m≤n,m, 9.(2024·江苏泰州中学高二期中)关于二项式 n∈N),共有Cm,种取法.在Cm,种取法中， (2x21 的展开式，下列说法正确的有 不取1号球有C种取法；取1号球有C 种取法，所以C+C=C试运用此方法， 写出如下等式的结果：C2+C·C,+C4· A.含x的项的系数为-80 C22t…+C2-2·C好+C2= B.二项式系数和为32 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 C.常数项为10 文字说明、证明过程或演算步骤， D.只有第3项的二项式系数最大 15.(13分)(2024·江苏扬州高二月考)(1)计 10.(2024·江苏南京高二期中)将4个不同的 2A+7A8 小球全部放入编号分别为1,2,3,4的4个 算 A-A 盒子中，下列正确的是 A.没有空盒子的放法种数为24 (2)若An=10A,求正整数n. B.1号盒子为空盒子的放法种数为64 C.恰有1个空盒子的放法种数为144 D.恰有2个空盒子的放法种数为84 11.(2024·江苏南通高二月考)已知(2+x)· (1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x+a5x3+ a6x,则 A.a5的值为16 B.a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为-5 C.a,+a3+a5的值为120 D.a1+2a2+3a3+4a4+5a,+6a6=14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.(2024·江苏南京师大附中高二期中)在 20件产品中，有18件合格品，2件次品.现从 这20件产品中任意抽出3件，至少有1件 次品的抽法有 种（请用具体数字 作答) 13.(2024·江苏无锡高二期中)(x+y)· (xy)5的展开式中xy3的系数 为 .(用数字作答) 选择性必修第二册·SJ学霸058 16.(15分)(2024·江苏连云港高二期中)有17.(15分)(2024·江苏常州一中高二期末)已 3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求 不同的排列方法总数 知二项式版法广aeN (1)选5人排成一排； (1)当n=5时，求二项式展开式中各系数 (2)全体排成一排，女生必须站在一起； 的和： (3)全体排成一排，男生互不相邻. (2)若二项式展开式中第9项，第10项，第 11项的二项式系数和成等差数列，且 二项展开式中存在常数项，求n的值 第7章学霸059 18.(17分)(2024·江苏苏州高二月考)用0,19.(17分)(2024·江苏淮安高二期中)某同学 1,2,3,4,5,6这七个数字，完成下面三个 在研究二项式定理的时候发现：f(x)= 小题 (1+x)"=1+Cx+C2x2+…+Cx-1+Cx,其 (1)用以上七个数字能组成多少个三位偶数 中C为x的系数，它具有好多性质，如： (允许有重复数字)？ ①1+C+C2+…+C+C=2”;②Cw=Cm; (2)用以上七个数字能组成多少个无重复数 ③kC=nC1,请借助于该同学的研究方法或 字的能被5整除的四位数？ 者研究成果解决下列问题： 3)已知椭圆方程。+1，其中a,be0 (1)计算：C+2C号+3C+…+7C:(请用数字 作答)》 1,2,3,4,5,6},则满足焦距不小于8的 不同椭圆方程有多少个？ (2)若neN°，且n≥3，证明：立C=n(n+ 1)·2-2; (3)设数列ao,a1,a2,…,a.是公差不为0的 等差数列，证明：对任意的neN·,函数 p(x)=aoCo (1-x)"+a Cix (1-x)-+ a2C2x2(1-x)-2+…+a.C%x是关于x的 一次函数 选择性必修第二册·SJ学霸060第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为(11,22,33,44)， 这些项的系数之和为(-1)3=-1.故选B. (11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33 7.B解析：分三类：种两种花有A好种种法；种三种花有2A?种种法： 43),(11,24.33,42),(12,21.33,44),(12,21,34.43),(12,22 种四种花有A种种法共有2A+A2+A:=84(种)种法故选B. 31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),(13, 8.B解析：由于1324=(1+12)24=C94+12C4+12C3m+ 21,33,44).（13.21.34.42),(13.22,31.44),(13,22,34,40), 123C4++1220mC号器+1224，所以a=122C号4+12Cm4+ (13,24,31,42),(13,24,33,40).(15,21,33,43),(15,21.33 +1223C好8盟+122024=13224-Cgm4-12Cm4.由于a=132o4- 42),(15,22,31,43),(15,22.33,40),(15,22,31,42),(15,22 C94-12C4=(17-4)20@-C9m4-12Cm4,所以(17-4)2@= 33,40),所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为 C9a4·172a-4Cm4·1723+42C号m4·172m-…+424Cg 15+21+33+43=112故答案为24：112. 所以a=C9m4·172m4-4Cm4·17202+42Cm4·1720-…- 9.A解析：(x-)的二项展开式的通项公式为T1=Cx+· 42@,C号·17+42-C号e4-12C4,由于42m4=16o= （一)'=C(-10(=0,123,4),令4=3，解得r=2,故 (17-1)1o2=C2·17102-Coe·17o1+Cou2·17100-… 所求即为C2(-1)2=6故选A C48船17+C8船，所以a=C94·172m4-4Cm4·172+…- 40C照·17+Ce·171o2-C02·1711+…-C8盟· 10.20 解析：因为 ) 的展开式的通项公式为T41= 17-12C5m4 c(信)广（传厂c-n0.,6令6- 因为-12C以m4=-17×1429+5,所以a被17除后余数为5，由a=b (mod17),则正整数b的最小值为5.故选B 0,可得r=3,所以常数项为3°C=20.故答案为20 3C解折二项式(2：-店）广的展开式的通项公式为1 11.-28 解：因为（）=()() g(22(左广=g230≤≤5.eN.对 所以(1-是)(x+y)'的展开式中含少的项为Cy 于A,令10 2=5,得=2，所以含x的项的系数为Cg·2, 5 xcxy-28,所以（-兰)(x+)'的展开式中沙的 (-1)2=80,所以A错误：对于B,二项式系数和为2=32，所以 系数为-28.故答案为-28. B正确：对于C,令10-之=0，得r=4,所以常数项为C时·2· 方法总结 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一校都可以根据因式 1)=0,所以c正确：对于D,因为三项式22的展开 连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以 式共有6项，所以第3项和第4项的二项式系数最大，即C?=C 免重复或遭漏：也可利用排列组合的知识求解， 10,所以D错误故选BC 12.5解桥：由题得展开式的通项公式为T1=c。(行）￥，0了 10.ACD解析：对于A,没有空盒子的放法种数为A好=24（种）， 故A正确：对于B,1号盒子为空盒子的放法种数为 r≤10且r∈Z,设展开式中第r+1项系数最大，则 CiCC ·A号=36，故B错误：对于C.恰有1个空盒子的放法种数 29 即 29 33 33 4 为c4.ccc ·A=144,故C正确：对于D,恰有2个空盒子的 A CiC 又因为r∈Z,故r=8,所以展开式中系数最大的项是第9项，且 放法种数为C好· A+C:·A好=84，故D正确故选ACD 该项系数为品（ =5.故答案为5. 11.AB解析：已知(2+x)(1-2x)3=aota1xta2x2+a3x3+a4x+a5x3+ a6°，令等式中的x=0,可得a。=2,4,的值，即展开式中x的系 第7章章末检测 数，为2×(-2)5C+(-2)+C=16,故A正确：在所给的等式中，令 x=1,得a6+a1+a2+a+a4+a+a6=-3①，又因为a0=2,所以 1.C解析：因为(a+b)的展开式有(n+1)项，所以n+1=9,解得n= 8.故选C. a1+a2ta3+a4*a5+a6=-5,故B正确；在所给的等式中，令x=-l, 得a-a1+a2-a+a4-a5+a6=243②，由①②得a1+a+a5= 2.B解析：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法 的种数是43.故选B. -123,做C错误；(2+x)(1-2x)3=ao+a1x+a2x2+a3x3+ax+ a5x3+a6x6,等式两边求导可得(1-2)3-10(2+x)(1-2x)‘=a1t 3.C解析：A1=(2+1)x(√2)×（万-1）=V2故选C 2a2x+3a32+4ax3+5a5x+6a6x3,令x=1,则a1+2a+3a3+4au+ 4.B解析：先排东郊文社，有A种，再从另外九景中选3景依次游 5a+6a6=-1-30=-31.D错误故选AB. 览，有A种，所以共有A4A&=1512(种)游览的情况.故选B 12.324解析：由题意至少有1件次品的抽法有CC+C号Cg=324 5.B解析：从A出发沿着水平面的网格线爬行到B,需要走五段路。 故答案为324. 其中三纵二横，最短路径有C?=10(条)，由点B沿着长方体的棱 130解析：因为(x+y)·(xy)3=x(x-y)5+y(xy)5,其中(xy) 爬行至顶点C处，点B处出发有3条路径，爬过一条棱后又各有 展开式的通项为T+1=C5x(-y)(0≤r≤5，reN),所以(x+ 2条最短路径到C处，最短路径有3×2=6（条），所以从A到C可以 y)·(xy)5的展开式含xy2的项为xCgx2(-y)3+ 爬行的不同最短路径条数有10x6=60(条).故选B. yC号x3(y)2=-Cgx3y2+Cx3y2=0,即(x+y）·(xy)5的展开式 6.B解析：(x+2y-3z)3=[(2y-3:)+x]3展开式的通项公式为 中xy的系数为0.故答案为0. T1=C(2y3z)x,reN,r≤5，若展开式中的项不含x,则r=0, 14.C:解析：从编号为1,2,3，…，+3个球中，取出6个球，记所 此时符合条件的项为(2y-3x)3展开式中的所有项，令y=z=1.得 选取的六个小球的编号分别为41，，，a6,且a1<a2<<6 选择性必修第二册·SJ学霸42 当1=3时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为1,2的球中 选取2个：第二步，选取编号为3的球：第三步，从剩下的n个球 2 )广，所以不C,是常数，符合：当a=23时，若 中任选3个，故选取的方法数为C·C·C=C:当=4时，分 三步完成本次选取：第一步，从编号为1,2,3的球中选取2个：第 ()C学是常数，则，空eN,不符，舍去，所以a=1 23 二步，选取编号为4的球：第三步，从剩下的n-1个球中任选 18.解：(1)七个数字0,1,2,3,4,5.6中.偶数字为0,2,4,6，奇数字为 3个，故选取的方法数为C好·C吲·C,=C时·C21: 1,3,5,允许有重复数字的.百位数字是0的三位数偶数有4×7= 当3=m时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为1,2,3，… 28(个)，所以允许有重复数字的三位数偶数有4×72-4×7 n-1的球中选取2个；第二步，选取编号为n的球：第三步，从剩 168(个)， 下的3个球中选3个，故选取的方法数为C2,·C·C=C21: (2)无重复数字的能被5整除的四位数，个位数字只能为0或5 至此，完成了从编号为1.2,3，…，n+3个球中，选取6个球，第 当个位数字为0时，有A号=6×5×4=120（个），当个位数字为5 3个球的编号确定时的全部情况，另外，从编号为1,2,3，“，n+ 时，有5A?=5×5×4=100(个)，所以无重复数学的能被5整除的 3个球中，取出6个球，有C,种取法，所以C2+C好·C21+C好· 四位数有120+100=220（个）. C2++C22·C经+C21=C故答案为C原 2A2+7A82×8×7×6×5×4+7×8x7×6×5 (3)由椭圆方程后卡=1，其中a,6e10.1,23,45.6.知0 15.解：(1) A-A8x7x6x5×4x3x2x1-9x8x7x6X5=1 b≠0， (2)A3n=10A,.2n(2n-1)(2m-2)=10n(n-1)(n-2),又n 当a>b时，由2c≥8，得2√a-b≥8整理得b2≤a2-16.所以a= 3,化简得4n-2=5n-10,解得n=8. 5或6，若a=5,则6=1,2,3，此时满足条件的椭圆方程有3个，若 16.解：(1)从3名男生、4名女生中选5人排成一排，有A号= a=6,则b=1,2,3,4,此时满足条件的椭圆方程有4个，所以满足 2520(种)不同的排列方法 条件的椭圆方程有3+4=7（个），同理，当a<b时，满足条件的椭 (2)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A:种方法， 圆方程也有T个. 再将女生全排列.有A:种方法，所以共有A×A=24×24= 综上，焦距不小于8的不同椭圆方程有7+7=14（个）. 576(种)方法. 19.(1)解：方法一：记S=C+2C号+3C号+…+7C,则S=7C+6C+ (3)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾共5个空位中 5C+…+C=7C9+6C+5C号++C9,两式相加，得2S=7(C9+C+ 任选3个空位安排男生，有A}种方法，所以共有A1×A:=24× …+C吗)=7×27，所以S=7×64=448 60=1440(种)方法 方法二：原式=C时+6C9+2C子+5C3+3C+4C+7C7=7(C9+C+C号+ 17.解：()当=5时，令=1，得二项式(52法) 的展开式中各 C号)=7×(1+7+21+35)=7×64=448. (2)证明：显然2C=k·kC=k·nC,而kC{=(k-1)C{+ 系数和为32 C{=(n-1)C3+C,因此k2Cg=n(n-1)C3+nC1,则 (2)二项式（证广(aeN)展开式的通项为， 含Pc=a(a-ac*n宫c=a(a-):2+a21 n(n+1)·22.所以原命题成立 ()” 】,由题意得2C=C+ (3)证明：设等差数列a6,a1,a2,,a.的公差为d,d≠0，则 p(x)=C9(1-x)"+a1Cx(1-x)r1+2Cx2(1-x)-2+…+ n! n! n! 2 aC"=aoCo (1-x)+(ao+d)Cix (1-x)++(ap+nd)Cmx"= c”2×g1m-9781(m-8)*101(-10' 即 9(n-9) ao[Co (1-x)+Clx (1-x)1++Cmx]+d[clz (1-x)1+ (n-8)(n-9)90 →n2-37n+322=0→n=14或n=23:当n=14 2C2x2(1-x)-2+…+nC%x]=ao[(1-x)+x]*+dnx[C9· (1-x)1+C1x(1-x)2+…+Cx1]=a0+dm· 14-2 时，二项式诉 展开式的通项为T1=C:x了 [x+(1-x)]l=ao+dnr,所以对任意的n∈N*,p(x)是关于x的 2 一次函数 第8章 概率 8.1 条件概率 n(AB) 安 n()c+C7放选R】 第1关（练速度） 1.C解析：由题意知，事件AB为甲骰子的点数大于4，且甲、乙两骰 3.BCD解析：A选项，由P(BIA)=P)及0<P(A)≤1知 子的点数之和等于8，则事件AB包含的基本事件为(5,3)，(6,2)， P(BIA)≥P(AB),A错误：B选项，当事件A包含事件B时，有 而抛掷甲、乙两颗质地均匀的股子共有36种情况，所以P(AB)= P(B) P(AB)=P(B),此时P(BA)-P六，B正确：C选项，由概率的性 号=又因为甲骰子的点数大于4有5,6两种情况，所以P(4)月 质可知0≤P(B1A)≤1，C正确：D选项，P(A1A)=PAnM P(A) P(A) 6 ,所以P氏BA)= 1 P(AB)18 .故选C 1,D正确.故选BCD P(A) 6 P(A) 3 4.C解析：记“甲地下雨”为事件A,“乙地下雨”为事件B,由题意可 方法总结 3 公式P(AIB) P(B)是求条件械率最基本的方法，共关健是求出 知P(A)=2 ,P(B)= 7.P(AB)= 6,则P(BA)=PC4B).6 P(A)2 P(B) 3 P(B)和P(AB),要注意结合题目的具体情况进行分析 2.B解析：由题意可得，n(A)=C+C,n(AB)=C,所以P(BIA)= 所以在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的率为吕故选C 5 参考答案学霸43