第7章 专题探究04 计数原理与概率的综合应用-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

专题探究04计数原理与概率的综合应用 1.(2024·山东滨州高二月考)某人翻开电话本5.(2024·重庆巴蜀中学高二期中)某公司年会 给自己的一位朋友打电话时，发现电话号码 将安排7个节目的演出顺序表，则4个语言 的最后一位数字变得模糊不清了，因此决定 类中恰有1个安排在3个歌舞类节目之间的 随机拨号进行尝试，那么该人尝试两次但都 概率为 拔不对电话号码的概率为 6.(2023·湖北黄冈高二月考)用0,1,2,3,4,5 九测 D.2 组成无重复数字的四位数，求： 5 0. (1)能被5整除的概率； 2.(2024·山东青岛高二期中)5个人排成一 (2)是偶数的概率： 列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人相邻 (3)千位大于百位大于十位大于个位的概率. 的概率是 ( 号 c 3.(多选)(2024·江苏盐城高二期中)袋中有 6个大小相同的小球，4个红球，2个黑球，则 ( 7.(2024·四川成都高二期中)某校学生社团举 A.从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为2 办了“校园一隅”自然景观摄影比赛.经过初 赛的激烈角逐，有3名女生和2名男生的摄 B.从袋中随机一次摸出2个球，则2个球都 影作品（每人一件）闯入决赛.决赛采用抽签 是是球的概率为行 的方式决定顺序，由5名选手依次对自己的 摄影作品进行创作陈述，最终评出特等奖2件 C.从袋中随机一个一个不放回地摸出2个 (事先假定每件作品获奖的可能性相同)： 球，则2个球都是器球的概率为行 (1)求至少有1名男生的摄影作品最终获得 特等奖的概率； D.从袋中随机一个一个有放回地摸出2个 (2)求决赛时，恰好有2名女生相邻进行创作 球，则2个球都是黑球的概率为) 陈述的概率； (3)若当2名男生都陈述结束时，还有k名女 4.(2024·湖北恩施高二期中)某年春节期间， 生没有陈述的概率为0.2，求k 有A,B,C,D,E五部电影上映，小李准备和另 3名同学一行去随机观看这五部电影中的某 一部电影，则小李看A电影，且4人中恰有2 人看同一部电影的概率为 p.s .72 625 02 125 第7章学霸053 专题探究05计数原理与排列组合的综合应用 题组一数字排列问题 两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板 1.(2024·广东东莞高二月考)从1,2,3,4,5,6 不相邻，则不同的放置方式有 () 六个数字中，选出一个奇数和两个偶数，组成 A.192种 B.240种 一个没有重复数字的三位数，这样的三位数 C.120种 D.288种 共有 ( 6.(2024·山东济宁高二期中)某中学元旦晚会 A.9个 B.24个 共由7个节目组成，演出顺序有如下要求：节 C.36个 D.54个 目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一 2.(2024·江苏常州高二期末)在100,101,102， 位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有 …,999这些数中，各位数字按严格递增（如 种.（用数字作答） “145”)或严格递减（如“321”）顺序排列的数 7.(2024·天津和平区高二期中)从A,B,C等 的个数是 ) 7人中选5人排成一排（用数字作答） A.120 B.204 (1)若A必须在内，有多少种排法？ C.168 D.216 (2)若A,B都在内，且A,B之间只有一人，有 3.用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位 多少种排法？ 数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同， (3)若A,B,C都在内，且A,B必须相邻，C 且1和2相邻，则这样的六位数的个数为 与A,B都不相邻，有多少种排法？ ( A.20 B.40 C.60 D.80 题组口排队问题 4.(2024·浙江湖州高二月考)植树节这天，某 学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲 和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则 不同的浇水顺序的种数为 ( A.30 B.36 C.40 D.42 题组目“至多”“至少”问题 5.(2024·陕西西安高二月考)2024年龙年春 8.(2024·重庆南开中学高二月考)现有12张 晚西安分会场的节目《山河诗长安》引起巨大 不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色卡片各 反响，让观众感受到了传统文化的魅力.我校 4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是 新学期开学以来为了弘扬我国二十四节气文 同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取 化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏” 法种数为 () “芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六 A.84 B.172 个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰” C.160 D.230 选择性必修第二册·SJ学霸054数)单调减则≤。<=h,子故对任意的m≥ 4,故系数最大的项为T,=7x或T=7x 第3关（练思维宽度） 21.A解析：因为(1+)2=(1+x)“(门+x)”,在(1+x)2中x的系数 为C5,又因为(1+x)"(1+x)”=(C+Cx+C2x2+…+Cx)(C9 1,6-[}[g]一[学]2-=则 Cx+C22+…+Cx),这个式子中x的系数可由前一个括号中 一项乘后一个括号中的相应项得出，即CC+CC+CC2+ a)+（）的儿何意文为点(，）aN)到点( …+CC,两个式子中x”的系数应相等，所以CC+CC+…+ C"C=C.故选A 3-2)的距离的平方，最小值即点(。，）a∈N)到y= 22.(1)解：由题意知g(x)=(1+x)3+(1+x)++(1+x)0,所以g(x) 中含x项的系数为C+G+C写+…+Cn=C+C+C++C 32x的距离的平方，易得产(-)与y=32x的交点横坐标 C1=330. =-31,2,且点（1,0)到直线y=3-2x的距离4= (2)解以(x)=(1+)”=三C,两边求导得n(1+)= 2 三C.令=1，得到n…2=言C陈又因为C+C++C 2-3到=，点(2,1)到直线y=3-2x的距离4 14+1-31 √2+下5 2”-1,且所求式子的通项为(k+1)C=C+C,1≤k≤n,所以 √2+ 2C+3C2+4C+…+(n+1)C=n·2r1+2"-1. (a-)产(6，+0)产的最小值为写放答案为号 5 (3)证明：当n=1时.Cg=L,m+1)×1 m+2 ·C=1,左边=右边： 19.解：(1)依题意.C+C以+C以=56，即1+n+a,D=56.整理得2+ 当n≥2时，设h(x)=(1+)+2(1+x)1++(1+x)①. 2 则函数(x)中含x"项的系数为Cg+2xC+…+nCa n-110=0.而n意N”,所以n=10. 因为(1+x)h(x)=(1+x)1+2(1+x)2++n(1+x)m"②， (2)①由(1)知，二骥式(÷）广展开式的通项为1 ①-2.得-h(x》=(1+x)"+(1+x)1+(1+x)+2+…+(1+ )-n(1+x)…,即-h（x)=+)上1+)-n(1+ 1-(1+x) ),所以h()=1)"-(1+)+nr(1+r) 0得=8，因此C6=号即5号 x2 ,面a>0.所以a=了 所以函数h(x)中含x”项的系数为-C:+C= ②由①知，T1=30C”,r∈N,r≤10，依题意，得50 (m+n)! n(m+)！ =-(m-）+nm*2× 10 101 (m+2)！(n-2)1(m+1)！(n-1)1 m+2 C=65"c哈，蟬5·0-6·-11-则 (m+n)! (m+1)!(n-1)! (m+)atlc 5(11-k)=6k.解得k=5,所以k=5. m+2 的通项公式为T1=C(), 所以C+2C1+3C吧2++nC.1= m+1C m+2 (广G(日广G(任)上所以第项的 专题探究04计数原理与概率的综合应用 1.C解析：记“该人尝试两次但都拨不对电话号码”为事件A,则 系数为心（日） 1第项的系数为心（）厂1.第 怎：年，则该人尝试两次但都拔不对电话号码的概率为 P(A)= A 三的系数为配（- ,由于前三项的系数成等差数列， 专故话C 2 所以2· =1+ ,解得a=2或=14（含去），所以二项式 2A解桥：5个人排成一列，甲排在乙的前面，基本事件有 ()广学，根据题意，得 60(种).其中甲，乙两人相邻的情况有A1=24(种)，故所求概率为 通项公式为T=C 16-3r1 7 4 4 ,解得r=5,因此，展开式中含的项为T= 3.BCD解析：对于A选项：设A=“从袋中随机摸出一个球是黑 ()≥c(） 球”，则P(A)= C52.1 63,所以A选项错误；对于B选项：设 (2)设第。项的系数最大，故 B▣“从袋中随机一次摸出2个球，2个球都是黑球”，则P(B)= ()c.() 意5所以B选项正确：对于C选项：设C=“从袋中随机一个 C 1 即 CC 8 (日月 一个不放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，则P(C)= (-1)(9-6) CC 81 (k-1)！(9-k)! 后×兮站所以C法项正确：对于D法疏：设0：从袋中随机 C 一个一个有放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，则P(D)= 9-2k 解得3≤k≤4.因为kEN”,所以k=3或k= 2(k-1)10-k 忌=子×兮：g所以D法项正确故选CD 参考答案学霸39 4.C解析：依题意每位问学均有5种选择.侧四位同学一共有54种 取出2个，三个数只能排出严格递或顺序的三位数，共有C好 方案，若小李看A电影，且4人中恰有两人看同一部电影.有两人 36(个)，根据分类加法计数原理，所以共有168+36=204（个）.故 看A电影，则有C时A好种方案，行一人看A电影，则有CA好种方案 选B 即满足小李看A电影，且4人中恰有两人看同一部电影一共有 3.B解析：依题意分三步完成.第一步：将3,5排列，共有A号种排 (CA+CA好)种方案，所以所求概率P= CA+C号A_72 法：第二步：将4.6插空排列，共有2A号种排法：第三步：将1.2放 54 625 到3,5,4,6形成的空中，共有C!种排法.由分步乘法计数原理得共 选C 有A号·2A号·C=40(种).故选B 解析：先把3个歌舞类节目全排列，中间形成2个空，从这 4.C解析：若丙在第一或第五位，则将甲、乙进行捆绑，内部可以全 排列，耳将甲，乙看作一一个整体，和剩余的两名学生进行全排列.故 2个空中选一个位置安排一个语言类节目，然后将这4个节目捆绑 不同的浇水颗序有2A子A号=24（种），若丙在第二位或第四位，则将 在一起，与剩余的3个语言类节日全排列，共有ACC!A种情况 甲、乙进行绑.内部可以全排列，且甲、乙只能有两个位置可以选 又因为7个节目全挂列有A种情况，所以所求概率为ACCN 择，再将剩余的两名同学进行排列，则不同的浇水顺序有2× 2A号A号=16（种），则不同的饶水顺序共有24+16=40（种）.故选C. 云放答案为器 5.A解析：依题意，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用围绑法得到 有AA?=240(种)排法，当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时 6.解：(1)用0.1.2.34,5组成无重复数字的四位数的个数是AA= 5×5×4×3■300】 只有2种排法，即“惊”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再 能敲5整除的四位数有两种：个位数字是0的四位数有A:个，个 用然绑法，将三者捆在一起，即有2A=48(种)排法，所以最终满 位数字是5的四位数有A!A好个， 足题意的排法为240-48=192（种）.故选A 6.2160解析：因为丙不能排在最后一位，所以编排方案共有 因此能被5整除的四位数的总个数是A2+A!A2=5×4×3+4×4×3= AA=4320(种)，又因为甲，乙处于对称位置，即节目甲排在乙的 108,所以能被5整除的概率是P-08-9 30025 前面与节目乙排在甲的前面数量相等，所以该晚会节日演出顺序 (2)组成的四位数偶数中，个位数字是0的有A:个，个位数字是2 的编排方案共有4320 或4的有AAA号个，因此组成的四位数偶数的总个数是A号+ 2 =2160(种).故答案为2160 7.解：(1)根据题意，若A必须在内，则在其余6人中选出4人，再与A 4A!A=5×4×3+2×4×4×3=156.所以是偶数的概率P 15613 30025 全排列，共有C4A:=1800(种)排法， (3)千位大于百位大于十位大于个位的四位数有C=x5x4 (2)先选出一人，将A,此人、B看作一个整体进行棚绑，再与另外 4×3×2×1 两人一起排列，共有CAC好A号=360（种）排法，所以一共有360种 15(个)，所以干位大于百位大于十位大于个位的概率P30020 151 排法 (3)根据题意，先在其他4人中选出2人，有C=6(种)选法，将A 7.解：(1)方法1：设事件A:“2名女生的摄影作品获得特等奖”，则 B看成一个整体，与选出的2人全排列，有AA好=12（种）选法，排 33 P(A)= G0=03因为事件A的对立事件A为“至少有1名男 好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C,有2种情况，所以 共有6×12×2=144（种）排法. 生的摄影作品获得特等奖”，则P(A)=1-P(A)=1-0,3=0.7.所以 8.C解析：根据题意，不考虑限制，从12张卡片中任取3张，共有 至少有1名男生的摄影作品获得特等奖的概率为0.7.方法2：设事 C种取法，如果取出的3张为同一种颜色.则有3C种情况.如果 cic 取出的3张有2张红色卡片，则有CC:种情况，故所求的取法共 件A:“恰有1名男生的摄影作品获得特等奖”，期P八(A)= 有C-3C-CC=160(种).故选C. 2×3 =0.6设事件B:“有2名男生的摄影作品获得特等奖”，则 9.AD解析：选取的4名学生都是女生的不同选法共有C=5(种)， 10 故A正确：恰有2名女生的不同选法共有CC=100(种)，故B错 PB)=号 G0=01.因为事件A与B为互斥事件，所以至少有 误：至少有1名女生的不同选法共有C。-C=205(种)，故C错误： 选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有CC+C!C+ 1名男生的摄彬作品获得特等奖的概率为P(A+B)=P(A)+ CC=155(种)，故D正确.故选AD, PB)=0.6+0.1=0.7. 10.70解析：讲义类图书与试卷类图书至少各选1本的选择方法种 (2)设事件2：“5名同学依次进行创作陈述”，则n(2)=A?=120 数为CC!+CC=30+40=70.故答案为70. 设事件C:“恰好有2名女生相邻进行创作陈述”，则m(C)= 11.D解析：将5位工作人员分成三组，有两种类型.即1,1.3与1 AAA号=6×2×6=72，所以决赛时.恰好有2名女生相邻进行创作附 2.2,其中分成1.1,3三组的方法有C=10(种).分成1,2.2三组 陈述的概率P(C)=20=0.6 cc 的方法有 =15(种)，一共有10+15=25（种）分组方法，将分 (3)设事件D:“在2名男生都陈述结束时，还有(=0,1,2,3)名 A 女生没有陈述”，则n(D)=C,A号A=(4-4)×2×6=12(4-4).由已 好的三组全排列有A=6(种)方法，则不同的分派方法有25×6= 知，得2(4-2=0,2，解得k=2.所以4的值为2 150(种).故选D 120 易错提醒 专题探究05计数原理与排列组合的综合应用 1,对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是 一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复 1.D解析：从1,2.3,4,5,6六个数学中，选出一个奇数和两个偶数 计数， 共有CC=9(种)选法，所以组成一个没有重复数字的三位数，共 2,对于部分均分，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数。 有9×A3=54(个).放选D. 即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m!,分组过程中有几个 2.B解析：分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意 这样的均句分组，就要除以几个这样的全排列数， 取出3个，都可以得到严格递增或严格递减顺序排列的三位数，共 3,对于不等分组，尺霄先分组，后排列，注意分组时任何组中元素 有2C=168(个)：第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意 的个数都不相等，所以不臂要除以全排列数 选择性必修第二册·SJ学霸40