7.4.2 二项式系数的性质及应用-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

15A解折：因为(+a宁）广-[(）]广所以(a+ )广ce(+）广+c(+子)）八xa*e(*)广八xa 1,2,…,n, h=c()）”c·(}） c()广'ac()八xa4c(）xa+cw, 第7项为常数项，n-9=0,∴n=9 c(+宁厂广的展开式的通项为cc(是广： ②知7=G(侵）”学0，l,2.要袋 为有理项，只需18,3张为整数，且0≤k≤9当k=02,46,8 CgCx,k=0,1,2,3,4,5,6,当k=2时为常数项，常数项 为Cc: 时，n为有理项，·(（） 52,7=Cg. ×a的展开式的通项为CCx ×a= CC×a,k=0,1,2,3,4,5,展开式没有常数项； 32 (宁广a的展开式的通项为cc C2Cx×a2,k=0,1,2,3,4,展开式没有常数项： 39 有理项为品巧，=，= 63 G(+宁)广x。的展开式的通项为cc xa= =2 CCx3×a3,k=0,1,2,3,当专=1时为常数项，常数项为 第3关（练思维宽度） CCixa: ×a的展开式的通项为C哈Cx2 xa= 21,90解折：当<宁时，有 =1-2x+4x2-+(-2x)"+…①. CC时x×a,k=0,1,2,展开式没有常数项； 当1c宁时，有1e@.又对E C()广x女的展开式设有常数项： c分都有a2“2 又C×a5为常数，所以常数项为Cg·C昭+Cg·C×a3+C略×a5= +8x+…,a1即为x"的系数，可取①中的(-2x)0,②中的 15+60a3+a=76.所以(a3+61)(a3-1)=0.又4>0，解得a=1.故 1;或①中(-2x)7,②中的x3;或①中的(-2x)4,②中的x:或①中 选A. 的(-2x),②中的x”,a1=(-2)0+(-2)7+(-2)4+(-2)=910, 16.A解析：因为(1+x)3的展开式的通项公式为T,1=C5x(0≤r≤ 故答案为910. 5,r=N),(1+2x)"的展开式的通项公式为T,=C(2x)'(0≤ 22.证明：因为neN”,n>2, t≤n,teN”),所以Cg+2C=11,得到5+2n=11,解得n=3,得到 所以3=(2+1)”展开式中至少有四项， 代x)=(1+x)5+(1+2x)’,故(x)的展开式中x的偶次幂项的系 而(2+1)”=Cg2"+C2-1+C22"-2++C>2+n·2-1=(n+2)· 数之和为Cg+C写+C+C3+C写·22=29，故选A 2-1,所以3>(n+2)2-1 17.165解析：由题意可得Am=C1,则A1.2+A23+A,4++Mg,0= C9+C+C+…+Co=C9+C+C++Cio=C+C呀+…+Cio=C号+ 第2课时 二项式系数的性质及应用 C号+…+C0=,=C10+C0=C唱=C品1=165.故答案为165 第1关（练速度） 18.(1.+x) 解析：因为 ） 的展开式中第3项、第4项、第 1.B解析：因为3 的展开式中第6项与第8项的二项式系 5项之和大于5，所以c(）广+c(）广+c2 数相等，所以C=C7,由组合数的性质可知C=C5,所以n-5=7, 12 即a=2,因此二项式(） 展开式的第r+1项为T1=C2 (广=5(+)20>25，即*宁>3所以( ·x2-5,令12-2zr=10,则 19.解：(1)因为二项式的展开式中共有10项，所以n=9,所以第5项 1,所以含项的系数是品·（号 =-4.故选B 的二项式系数为C4=126 (2)由(1)知n=9,记含的项为第(r+1)项，所以T-1= 2B解折：二项式()广 的展开式共有7项，则二项式系数最 C2（(-)'=C2(-)行，取乞=4，解得r=8,所以，= 大的是第4项故选B C2(-1)x7=18x,故展开式中含x的项为18x, 3C折：二项武数和为=6，则a=6所（）广的道项 易错提醒 为T1=C6r =C·(-1)·x宁，其中rN,r≤6，则 一个二项展开式的第(+1)项的二项式系戴是C,所有的二项式养 数是一组仅与二项式的次数n有关的(n+1)个组合数，与a,b的取 展开式中的有理项满足 (6)=Z,故=0，=3，=6，共3项 值无关，且是正数：而第(+1)项的果数则是二项式系数C与数字 故选GC 系数的积，可能为负数只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就 是项的系数 4.D1 的展开式中各项的二项式系数之和M=2" 参考答案学霸37 对于(2子）广，令x=1,则N=(2x1）广=1由M-N=2”- 9.6 15 解析：三项式(1+xcs20+yim20)“的展开式中各项系数 之和为64，则令x■y=1,得2”=64，解得n=6:所以三项式 1=63,解得n=6,所以(2x-子)） 的展开式的通项公式为T,1= (1+xcos20+yin20)的展开式中y项的系数为C以c0s20· c(2)(子)厂=(-1x2c,令6-3r0,则r=2,故 C sin20=30 cos20 sin2030 s0件im0.15,当且仅当 2 (2x)）的展开式中的常数项为=(-1)2×2×C=240故 c0w29=in20= 时等号成立，即可项系数的最大值为宁放答案 2 选D 5 为6：2 5B解：由已知可得，（）广 开式的通项公式为T1= 10.2187解析：根据题意，得(1-2x)7=ao+a1x+a2x2++a1x,则 (1+2x)7=1%l+1a1lx+la21x2+…+1a,lx?,令x=1,得11+ (层广(-2012所u 1a11+a21+…+1a21=37=2187,故答案为2187. 第5项的系数为(-2)4·C4=16C4,第3项的系数为(-2)2， 11.7解析：555=(56-1)5=C3·565-C5·56+…+C8·56 C2=4C2 C第=8×7x(C9·564-C·569+-C号·56+C)-1=8×7× 16C4_56 (C,·564-C5·563+-C8·56+C)-8+7,所以555被8除 由题意知 整理可得2-5n-50=0,解得n=10或n=-5 所得的余数是7，故答案为7 4C23 第2关（然准确率）】 (含去)，所以n=10,71=(-2少Ci。·子音 12.C解析：取x=1代人，得(1+2-1)=64，解得n=6,则原式=(14 设第(+1)项系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为1(-2)'· 2x-*2)6=C8(1+2x)6+C(1+2x)(-x2)+…+C0(-x2)6,其中只 C%1=2C0,则有2·Co≥2·C路， 有前两项包含x项 z·Co≥21.C6, (1+2x)6=Cg(2x)6+Cg(2x)5++C(2x)°，其中x3项的系数为 10! 101 Cg·23=160: 即 1(10)72 2 (s+1)1(9-s)1 整理可得 (1+2x)3=Cg(2x)5+C(2x)+…+Cg(2x)°，其中x项的系数为 10 210-2 10！ Cg·2=10. (-1)1(11-)1 枚原式展开式中的x3项的系数为C。×160+C×10x(-1)=100.故 3≥19所以9≤ .22 选C. 3s≤22. 3≤3 13.B解析：1,02=(1+0.02)6=1+C×0.02+C2×0.022+C2×0.023+ 又因为sEN,所以s=7,所以展开式中系数的绝对值最大的是第 +0.02=1+0.12+0.006=1.13.故选B. 8项.故选B 14C解析：由题意知，2”=512，n=9,T6=C2(ax)5,T5= 易错提醒 C2(ax),T=C$2(ax),第6项的系数最大， 注意“系数最大”“二项式系数最大”及“系数绝对值最大”的 Cg2a3≥C2a 区别， lc24a≥Cg2a5, 则2≤a≤3.故选C. 15.D解析：由题意可得x=Cn,y=C2+1或C1,放11C2=6C1 6.A解析：逆用二项式定理得C9+2C+22C2+2C+…+2"C= (1+2)=243,即3”=3，所以n=5,所以C+C2+C+…+C=25 →11x(2m)! =6×(2m+1)1 n！·n！ 6,-116x解得a=5故 1=31.故选A 选D. 7.BD解析：对A,令x=0,可得(-3)204=a0=3204,放A错误；对B 16.CD解析：对于A:C+C+…+Cg=Ct+C+Cg+…+Cg-C=Cg+ 和C,分别令x=1和x=-1,可得1=a+a1+a2+@++a224 C++C-C4=Cg+…+C号-C=C+C号-C4=Ci0-C=209 72@4=-a1+2-a3++a24,两式相加得1+72@4=2(ao+a2+ 故A错误：对于B:第2025行中的数为(x+1)2@的展开式的 @,即a妈a+aa72 2一，故B正确；两式相 二项式系数，则从左往右第1011个数为C肥，第1012个数为 减得1-72m4=2(a,+a3+a5t…+a2m）,即a1ta3ta5+…+a2m日 C然，C盟C以盟，故B错误；对于C:第m行的第i个数为a, 1-7224 ,放C错误：对D,令=宁可得4+号是宁+叶 a1,2,y c,则g3r1a-g3r1c1=3c2+31c+3c2++3rc- 2 (1+3)”=4“,故C正确：对于D:第20行中的数为(x+1)0的展开 器1，做2宁宁 2222+… +2161-320,故D正确故 式的二项式系数，则从左往右第12个数为C出，第13个数为C品， A 选BD. 方法总结 CCA 带-号分kD正稳故 “赋值法”是解决二项式系数常用的方法，根暑题目要求，灵活赋始 81 字母所取的不同值，一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关 选CD 系，令x=0可得常数项，令x=1可得所有项系数之和，令x■一1可 17.-12解析：对(2x-3)5=a6+a1x+a2x2+ax3+awx+ax3+6x5两 得奇次项系数之和与偶次项系数之和的差，而当二项展开式中含负 边求导，得12(2x-3)5=a1+2a2x+3ax2+4a4x3+5a5x+606x3,取 数时，令x=一1则可得各项系数绝对值之和 *=1,则-12=a+2a2+3a3+4a4+5a5+606,故答案为-12 8.10-120解析：由题意得C3是唯一的最大值.故m=10,而所 有项系数和为0，令x=1,得(a-1)0=0,得a=1,则T1= 18号 解令1,可得,=5-2学an(号)广，设 三气1)测/1f'(0得，当e1.。 x 4项的系数为C。·(-1)2=-120.故答案为10；-120. 时J(x)>0,函数f(x)单调递增；当xe(,+)时J'(x)<0,函 选择性必修第二册·SJ学霸38 数)单调递减，则≤。<=h6c山子，故对任意的n≥ e 2 4,故系数最大的项为刀=7x或T=7z 第3关（练思维宽度） 21.A解析：因为(1+x)m=(1+x)”(1+x)“,在(1+x)中x的系数 为C5a,又因为(1+)"(1+)"=(C8+C以x+C2x2+…+Cx")(C8+ 1=[倍][学]+[学]-2-=空则 C以x+C2x2+…+Cx”),这个式子中x的系数可由前一个括号中 一项乘后一个括号中的相应项得出，即CC+CC+CC2+ a-+6,+e的几何意文为点(2）aeN)到点， …+CCg,两个式子中x的系数应相等，所以CC+CCg1+…+ CC=C.故选A. 32)的距离的平方，最小值即点，）a∈N)到y 22.(1)解：由题意知g(x)=(1+x)3+(1+x)+…+(1+x)0,所以g(x) 中含x项的系数为C+C+C+…+C0=C+C+C}+…+Co= 3一2x的距离的平方易得y=宁(2-)与y=3-2z的交点横坐标 C1=330. 6-3。(1,2,且点（1,0)到直线y=3-2x的距离4- (2)解：f()=(1+x)=三c,两边求导得n(1+x) 2 C,令=1，得到a21=2C又因为C以+c++C 1 12-3升=，点（2,1)到直线y=3-2x的距离山，=441-3 2"-1,且所求式子的通项为(k+1)C=kC+C,1≤k≤n,所以 √22+1平5 V22+17 2Cg+3C+4C++(n+1)Cg=n·2l+2"-1 (a-)24(色，o的最小值为行故答案为了 2 (3)证明：当n=1时，Cg=1,m+1x1+1 m+2 C=1,左边=右边： 19.解：1)依题意，C2+C以+C2=56,即1+m+an,=56,整理得+ 当n≥2时，设h(x)=(1+x)m+2(1+x)1+…+n(1+x)+1①， 2 则函数h(x)中含x”项的系数为C+2×C%1++nC-1 n-110=0,而neN°，所以n=10. 因为(1+)h(x)=(1+x)m+1+2(1+x)m2+…+n(1+x)*a②. (2①由(1)知，二项式（仔F)展开式的通项为71 ①-②，得-h(x)=(1+x)+(1+x)1+(1+x)m2+…+(1+ m1-a（1+),即-h(x）=)-)】-n1+ c（2）(/=acor,reN,≤0，由子r-20= 1-(1+x) )n,所以h()=+)严-(1)“+(1+) 0,得7=8，因此c%=号即45g2=号而a>0,所a=宁 所以函数h(x)中含x项的系数为-Ca?+nC= ②由①阳，T1=50Co*70,reNr≤10，依题意，得50 (m+n)1 n(m+n)! 101 101 (m+2)！(a-2)1(m+1)！(n-1)1 ==(n-1)tn(m+2)x m+2 c=6:5"c哈，即5‘0-6=1n则 (m+nl三m+1)c, 5(11-k)=6k,解得k=5,所以k=5. (m+1)1(n-1) m+2 20,解：1)二项武（店 的通项公式为T1=C()。 所以Cg+2C%+3C+…+aG1-（m+)mcg m+2 (左厂（）广：c(日)广学所以第-项的 专题探究04计数原理与概率的综合应用 1.C解析：记“该人尝试两次但都拨不对电话号码”为事件A,则 系数为c() =1,第二项的系数为4（日广>1，第 A号4 P()怎了，则该人会试两次但都按不对电话号码的概率为 ,由于前三项的系数成等差数列， 子散选C 所以2 28 解得a=2或a=14(含去)，所以二项式 2A解析5个人排成一列，甲排在乙的前面，基本事件有 60(种)，其中甲、乙两人相邻的情况有A:=24(种)，故所求概率为 通项公式为T1=C (（行)广学，根据题意，得 4 ，解得=5，因此，展开式中含的项为子 16-3r1 3.BCD解析：对于A选项：设A=“从袋中随机摸出一个球是黑 (）广( C21 球，则P(4=行了所以A选项蟹误：对于B选项：设 (2)设第k项的系数最大，故 B=“从袋中随机一次摸出2个球，2个球都是黑球”，则P(B)= c 5所以B选项正确；对于C选项：设C=“从袋中随机一个 1 即 8 CC 一个不放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，则P(C)= (k-1)！(9-6)11 侵 cc 8 (k-1)！(9-6)川' 亏×了5所以C选项正确：对于D选项：设D=“从袋中随机 211 1 一个一个有放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，则P(D)= 9-k22k C* 解得3≤k≤4.因为keN”,所以k=3或k= C111 2(k-1)10-k C了×了g,所以D选项正确故选BCD, 参考答案学霸39第2课时 二项式系数的性质及应用 第1关练速度 5min为准，你的时间： 最大的是 A.第6项 B.第8项 1.(204.江苏无锡高二期中)已知k)厂的 C.第9项 D.第11项 展开式中第6项与第8项的二项式系数相 6.(2024·河南郑州高二期中)已知C+ 等，则含x"项的系数是 2C+22C2+2C3+…+2"C=243,则C+C2+ A.4 B.-4 C2+…+Cg= () A.31 B.32 D.91 C.15 D.16 2.(2024·辽宁朝阳高三月考)在二项式 7.(多选)(2024·河北张家口高二期中)若 (-2 (4x-3)224=a+a1x+a22+a3x3+…+a2m4x20 的展开式中，二项式系数最大的是 (x∈R),则 A.a0=-3202☒ A.第3项 B.第4项 1+7224 B.a0+a2+au+…+a224= C.第5项 D.第3项和第4项 2 72024-1 3(2024·灵龙江丝开江高二期中)广保 C.a1+a3+a5++a2023 2 a1.a2,a3,a224 开式的二项式系数和为64，则展开式中的有 D. 2222 2224=1-3202✉ 理项个数为 8.（2024·天津滨海新区高二月考)在 A.1 B.2 的展开式中，只有第6项的二项式 C.3 D.4 4.(2024·福建莆田一中高二期中)已知 系数最大，则n= :并且所有项的系 数之和为0，则含x4项的系数为 (2x-3 的展开式中各项的二项式系数之 (用数字作答)： 和为M,各项的系数之和为N,若M-N=63, 9.(2024·重庆一中高二月考)若关于x,y的 则展开式中的常数项为 三项式(1+xcos20+ysin20)"的展开式中各项 A.180 B.60 系数之和为64.则n= :其中xy项系 数的最大值为 C.280 D.240 10.(2024·山东青岛高二期中)已知(1-2x)7= 5.(2023·江苏淮安高二期中)已知在(x- ao+a1x+a2x2+…+ax',则lan|+|a1l+|a2|+ 2 的展开式中，第5项的系数与第3项的 …+|a2|= .(用数字作答) 11.(2024·安微阜阳高二月考)利用二项式定 系数之比是56：3，则展开式中系数的绝对值 理，求555被8除所得的余数为 选择性必修第二册·SJ学霸050 第2关练准确率8为准，你做对 题 《详解九章算法》一书中“杨辉三角”揭示了 12.(2023·安微六安高二期中)(1+2x-x2)"展 二项式系数在三角形数表中的一种几何排 开式中各项系数的和为64，则该展开式中的 列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的 x3项的系数为 结论正确的是 () A.-60 B.-30 杨汉三两 第0行 第1行 11 C.100 D.160 第2行 121 第3行 1331 13.(2024·湖北武汉高二月考)1.02的近似值 第4行 14641 第5行 15101051 (精确到0.01)为 第6行 1615201561 第7行172135352171 第8行18285670562881 A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20 A.C+C3+…+Cg=210 B.第2025行中从左往右第1011个数与第 14.若(2+ax)"(a≠0)的展开式中各项的二项式 1012个数相等 系数之和为512，且第6项的系数最大，则a 的取值范围为 C.记第n行的第i个数为a,则公3a,=4 D.第20行中第12个数与第13个数之比为 A.(-,0)U[2,3] 4:3 B(-.ou[62】 17.(2023·江苏南京高二月考)已知(1+x)"= C.[2,3] 1+Cx+C2x2+C2x3+…+Cx”,对等式两边求 导，可得n(1+x)-=C+2C2x+3Cx2+…+ D. nCx-,类比上面的方法，若有(2x-3)6= 15.(2024·江苏盐城中学高二期中)设n∈N" ao+ax+azx+ax+ax+asx+ax (a+b)"展开式中二项式系数的最大值为x, a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6= (a+b)2m展开式中二项式系数的最大值为 18.(2024·福建福州八中高二期中)设neN°， y,若11x=6y,则n= a.为(2x+3)"-(x+1)”的展开式的各项系 A.2 B.3 数之和，c=2-3,teR,6=[g]+g]+ C.4 D.5 16.(多选)(2024·河南郑州高二期中)“杨辉 +[学]([]表示不超过实数x的最大整 三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最 数)，则(n-t)2+(bn+c)2的最小 早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的 值为 第7章学霸051 19.(2024·江苏南京高二期中)已知（侣+G)） 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ 21.(2024·广东东莞高二月考)组 (a>0,neN)的展开式中，前3项的二项式 合恒等式C,=C+C,可以利 系数之和等于56. 用“算两次”的方法证明：分别求(1+x)*1和 (1)求n的值 (1+x)(1+x)”的展开式中x"的系数.前者 (1+x)+的展开式中x"的系数为C1:后者 (2)若展开式中的常数项为 (1+x)(1+x)"的展开式(1+x)(C+Cx+…+ ①求a的值： Cx-1+Cx"+…+Cx)中x"的系数为1× ②第k+1项的系数是第k项系数的 Cm+1×C-.因为(1+x)m1=(1+x)(1+x)”, 6倍，求k的值. 所以两个展开式中x的系数相等，即C,= C"+Cm-.请用“算两次”的方法化简式子 CC+CCg-+…+CC8= ( A.C? B.Ca C.C2 D.C 22.(2023·江苏扬州高二期中)已知f(x）= (1+x)"(x≠0且x≠-1，n∈N) (1)设g(x)=f(x)+f(x)+…+fo(x),求 g(x)中含x项的系数： (2)化简：2C.+3C2+4C2+…+(n+1)C: (3)证明：Cm+2Cm1+3Cm2+…+nCa-1= 20.(2024·江苏连云港高二期中)在 (m+1)n+1 m+2 + 的展开式中，前三项的系数成 ayx 等差数列，且第二项的系数大于1. 料 (1)求展开式中含x的项： (2)求展开式中系数最大的项 选择性必修第二册·SJ学霸052