7.4.1 二项式定理-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

或3，下面分三种情况讨论： ①1x1l+1+l+x41++lx6=1,此时1x1【,31,1为1， 2C,所以当=0时，×2C=,当r=3时，(-2)× 1x4l,lx5l,x61中有一项为1，其余均为0，且，，，4,6 2C2x2=-80x,所以x项的系数为1-80=-79，故选B 的情况为一个1，或一个-1，故此时集合B中元素的个数为2× 重难点拔 C6=12; 二项式定理某一项的系数求法，由于表达式是由两个因式构成，所 ②1+x1+x31+x4|+x51+lx6I=2,此时111，|x21,131, 以解题时应该对前面因式中每一项进行拆分，采用分类讨论法，可 11,151,16中有两项为1其余均为0，且1,2,3，x4,5,6 简化运算难度， 的情况为两个1，或两个-1，或一个1和一个-1，故此时集合B中 元素的个数为C2+C6+A话=15+15+30=60： 6.C解折：(1）广可看作5个(1)相桑，展开式中 ③1x11+x21+l+1x41+131+x61=3,此时11,121，为， 1x41,15,1x6中有三项为1，其余均为0，且名1，南，名，x4,,6 x3可由2种情况获得：一种是从5个式子中取2个式子提供x3,余 的情况为三个1，或者两个1和个-1，或者一个1和两个-1，或 者三个-1，故此时集合B中元素的个数为C2+C哈C+C%C+Cg= 下3个试子提货兰周可得到c21.c(仁）厂'-0时， 20+60+60+20=160. 另一种是从5个式子中取1个式子提供，另外4个式子提供-1， 综上可得集合B中的元素的个数为12+60+160=232.故选A 则可得到C(x3)1·C4(-1)4=5x23, 22.解：(1)点的横、纵坐标均有4种可能，则n=4×4=16,所以所求线 段的条数为C1。=120. 所以(2，）广'的展开式中2的系数为10+5=15放选c (2)如图，在这n个点中，仅有4点共线的直线有9条，仅有3点 7.C解析：由(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)- 共线的直线有6条，所以这m个点能确定的直线的条数为C品。 1=(x+2-1)5=(x+1)5,得(ax+b)5=(x+1)5,所以a=b=1.所以 9C2-6C2+9+6=63 a-b=0.故选C. 8.40解析：(x+2y)5展开式的通项公式为T+1=C5x(2y)'=C5· 2'x-y,令5-r=3,则r=2,所以xy2的系数为C·22=40.故答案 为40. 93解断：（受）广展开式的通项为1=c心.（任）广： mC%x5-,令6-2k=4,得k=1,所以x‘项的系数为mC=6m=18, (3)从这n个点中选出3个点，共有C36=560(种)选法在同一条 所以m=3故答案为3 直线上的3个点不能构成三角形，所以三角形的个数为C6 9C1-6C-=518 7.4二项式定理 (广”=()广故答案为（停）月 第1课时二项式定理 11.-448解析：令2-x=1,即x=2-4,因此原等式为(1-2)8=a0+ a1t+a22+…+4s°，2项为C日(-2)3=-8×56d3=-448r3,所以 第1关（练速度）》 43=-448故答案为-448 1.D解析：在(x-2)5的展开式中，x的项为C:·x4×(-2)1= 第2关（练准确平） -10x,x的系数为-10.故选D. 12.A解析：(1-x)4+(1-x)3+(1-x)6+(1-x)7的展开式中，含x 2.B解析：根据二项式定理：T1=Cx ,第二项即r=1 的项为C(-x)3+C好(-x)3+C(-x)3+C号(-x)3=-69x,所以 含x3的项的系数是-69故选A =C(）广-42，第二项的系数为-4，散选 13.AD解析：设二项式（仁）广aeN”)展开式的适项公式为 3.C 解：二项式（G)展开式的适项为 C(侣)(r=Cx2*·r号，其中0≤1≤10且 时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误：令n=3,则 =1时，展开式中有x的一次项，故答案C错误，答案D正确故 reN”令-20+之=0，解得=8，所以展开式中常数项为7，= 选AD. 方法总结 C×22=180.故选C 方法总结 通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第 第k项：②求含x(或xy)的项：③求常数项：④求有理项其中求 一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定 有理项时，一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数 指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即m,「均为非 恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指 负整数，且n≥「，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)：第二步 数，根磐具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解，另 是根据所求的指数，再求所求解的项， 外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中 的错误」 4.AC解析：x+ 的展开式的二项式通项为T41=C%x· 14.C解析：二项式(1+a四)6展开式的通项公式为T1=C%×1一 （红宁)=C=0,12,345,678,令82为整数求得 (a)'=C6a'y,令r=3,可得二项式(1+四y)6展开式中y的系数 =0,2,4,6,8,所以对应第1,3,5,7,9项为有理项，故选AC 为C0（2)1o)°展开式中y的系数为-c0 5.B解析：因为(x+2)的展开式的通项公式为T+1=C5x×2= 160,可得a3=-8,解得a=-2,故选C 选择性必修第二册·SJ学霸36 15A解折：因为(+a宁）广-[(）]广所以(a+ )广ce(+）广+c(+子)）八xa*e(*)广八xa 1,2,…,n, h=c()）”c·(}） c()广'ac()八xa4c(）xa+cw, 第7项为常数项，n-9=0,∴n=9 c(+宁厂广的展开式的通项为cc(是广： ②知7=G(侵）”学0，l,2.要袋 为有理项，只需18,3张为整数，且0≤k≤9当k=02,46,8 CgCx,k=0,1,2,3,4,5,6,当k=2时为常数项，常数项 为Cc: 时，n为有理项，·(（） 52,7=Cg. ×a的展开式的通项为CCx ×a= CC×a,k=0,1,2,3,4,5,展开式没有常数项； 32 (宁广a的展开式的通项为cc C2Cx×a2,k=0,1,2,3,4,展开式没有常数项： 39 有理项为品巧，=，= 63 G(+宁)广x。的展开式的通项为cc xa= =2 CCx3×a3,k=0,1,2,3,当专=1时为常数项，常数项为 第3关（练思维宽度） CCixa: ×a的展开式的通项为C哈Cx2 xa= 21,90解折：当<宁时，有 =1-2x+4x2-+(-2x)"+…①. CC时x×a,k=0,1,2,展开式没有常数项； 当1c宁时，有1e@.又对E C()广x女的展开式设有常数项： c分都有a2“2 又C×a5为常数，所以常数项为Cg·C昭+Cg·C×a3+C略×a5= +8x+…,a1即为x"的系数，可取①中的(-2x)0,②中的 15+60a3+a=76.所以(a3+61)(a3-1)=0.又4>0，解得a=1.故 1;或①中(-2x)7,②中的x3;或①中的(-2x)4,②中的x:或①中 选A. 的(-2x),②中的x”,a1=(-2)0+(-2)7+(-2)4+(-2)=910, 16.A解析：因为(1+x)3的展开式的通项公式为T,1=C5x(0≤r≤ 故答案为910. 5,r=N),(1+2x)"的展开式的通项公式为T,=C(2x)'(0≤ 22.证明：因为neN”,n>2, t≤n,teN”),所以Cg+2C=11,得到5+2n=11,解得n=3,得到 所以3=(2+1)”展开式中至少有四项， 代x)=(1+x)5+(1+2x)’,故(x)的展开式中x的偶次幂项的系 而(2+1)”=Cg2"+C2-1+C22"-2++C>2+n·2-1=(n+2)· 数之和为Cg+C写+C+C3+C写·22=29，故选A 2-1,所以3>(n+2)2-1 17.165解析：由题意可得Am=C1,则A1.2+A23+A,4++Mg,0= C9+C+C+…+Co=C9+C+C++Cio=C+C呀+…+Cio=C号+ 第2课时 二项式系数的性质及应用 C号+…+C0=,=C10+C0=C唱=C品1=165.故答案为165 第1关（练速度） 18.(1.+x) 解析：因为 ） 的展开式中第3项、第4项、第 1.B解析：因为3 的展开式中第6项与第8项的二项式系 5项之和大于5，所以c(）广+c(）广+c2 数相等，所以C=C7,由组合数的性质可知C=C5,所以n-5=7, 12 即a=2,因此二项式(） 展开式的第r+1项为T1=C2 (广=5(+)20>25，即*宁>3所以( ·x2-5,令12-2zr=10,则 19.解：(1)因为二项式的展开式中共有10项，所以n=9,所以第5项 1,所以含项的系数是品·（号 =-4.故选B 的二项式系数为C4=126 (2)由(1)知n=9,记含的项为第(r+1)项，所以T-1= 2B解折：二项式()广 的展开式共有7项，则二项式系数最 C2（(-)'=C2(-)行，取乞=4，解得r=8,所以，= 大的是第4项故选B C2(-1)x7=18x,故展开式中含x的项为18x, 3C折：二项武数和为=6，则a=6所（）广的道项 易错提醒 为T1=C6r =C·(-1)·x宁，其中rN,r≤6，则 一个二项展开式的第(+1)项的二项式系戴是C,所有的二项式养 数是一组仅与二项式的次数n有关的(n+1)个组合数，与a,b的取 展开式中的有理项满足 (6)=Z,故=0，=3，=6，共3项 值无关，且是正数：而第(+1)项的果数则是二项式系数C与数字 故选GC 系数的积，可能为负数只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就 是项的系数 4.D1 的展开式中各项的二项式系数之和M=2" 参考答案学霸377.4二项式定理 第1课时 二项式定理 第1关练速度 15min为准，你的时间： 8.(2024·浙江丽水高二期中)(x+2y)3的展开 式中x3y2的系数为 1.在(x-2)5的展开式中，x4的系数为( A.5 B.-5 9.(2024·江苏盐城高三月考)已知(x+)）的 C.10 D.-10 二项展开式中，x项的系数是18，则m的 2.(2024·浙江嘉兴高二月考)二项式(k-》】 值为 10已知n是正整数，化简：1-CCC 1 的展开式中，第2项的系数为 ( A.4 B.-4 C.6 D.-6 0 3.(224·广东广州中学高二期中)在（民+G) …+7)广c= 11.(2024·广东深圳高二月考)已知(2x-3)8= 的二项展开式中，常数项是 ( a+a1(2-x)+a2(2-x)2+…+ag(2-x)3,则 A.132 B.160 C.180 D.196 a3= 4.(多选)(203：山司音中离二月考)62广 第2关练准确率 8题为准，你做对晒 的展开式中，以下为有理项的是 12.(2024·山东泰安高二期中)在(1-x)4+ A.第3项 B.第4项 (1-x)3+(1-x)6+(1-x)7的展开式中，含x C.第5项 D.第6项 的项的系数是 A.-69 B.-70 C.69 D.70 5.(2024·河北石家庄高二期中)(2）· 13.（多选)(2024·江苏宿迁高二月考)对于二项 (x+2)的展开式中，x4项的系数为（ 式(+x)(neN),以下判断正确的有 A.-75 B.-79 C.-39 D.-35 6.(2023·河北衡水中学高三月考)(x+1 A.存在n∈N·,展开式中有常数项 1)）°的展开式中，x的系数为 B.对任意n∈N·,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N”,展开式中没有x的一次项 A.5 B.-5 D.存在n∈N”,展开式中有x的一次项 C.15 D.-15 7.(2024·陕西西安铁一中学高二月考)若对 14.(2023·山西音中高二月考)(2-)(1+ HxeR,(a+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+ ay)展开式中x2y2项的系数为160，则a= 10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立， 其中a,b∈R,则a-b= A.2 B.4 A.3 B.2 C.0 D.-1 C.-2 D.-22 选择性必修第二册·SJ学霸048 15.已知(x+a+是)”(a>0)展开式的常数项为 20.(2024·天津大学附中高二月考)已知二项 76,则a= 式宁)广(aeN)的展开式中，第7项为 A.1 B.61 常数项。 C.2 D.6 (1)求n的值； 16.(2024·浙江嘉兴高二期中)已知f(x)= (2)求展开式中所有有理项. (1+x)5+(1+2x)"(neN)的展开式中x的 系数为11，则f(x)的展开式中x的偶次幂项 的系数之和为 A.29 B.30 C.58 D.60 17.（2024·山西晋城高二期末)将(1+x) (neN)的展开式中第m项的系数记作Am., 则A12tA2.3+A34++A,10= .(用数字 作答) 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ 18.已知(x-1)的展开式中第3项、第4项、 21.(2024·湖北武汉高二期中)已 第5项之和大于25，则(x-)°的取值范 知当11<兮时，有21-2 围是 4x2-…+(-2x)”+…,根据以上信息，若对任 19.(2024·山东聊城高二月考)已知二项式 (2-√？)"的展开式中共有10项 意1x1<2都有(1-)(1+2x) =do+ax+ (1)求展开式的第5项的二项式系数： a2x2+…+anx+…,则a1= (2)求展开式中含x的项. 22.(2023·山西运城高二月考)证明：3”> (n+2)2-(neN°，n>2). 第7章学霸049