第6章 空间向量与立体几何 真题演练-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

第6章 真题演练 考点■空间向量的运用 2.(2024·全国甲理)如图，在以A,B,C,D,E,F 1.(2024·天津)如图，已知四棱柱ABCD 为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边 A,B,C,D中，底面ABCD为梯形，AB∥ 形ADEF均为等腰梯形，EF∥AD,BC∥ CD,A,A⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB= AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=10,FB= AM,=2,AD=DC=1.N是BC1的中点，M是 2√3，M为AD的中点. DD,的中点 (1)求证：BM∥平面CDE: (1)求证D,N∥平面CB,M: (2)求二面角F-BM-E的正弦值. (2)求平面CB,M与平面BB,C,C的夹角余 弦值： (3)求点B到平面CB,M的距离. 选择性必修第二册·SJ学霸032 3.(2024·北京)如图，已知四棱锥P-ABCD,4.(2024·新课标全国Ⅱ)如图，平面 AD//BC,AB BC 1,AD=3,DE=PE =2. 四边形ABCD中，AB=8,CD= 、视疑讲解 E是AD上一点，PE⊥AD, 3,AD=53,∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E,F (1)若F是PE中点，求证：BF∥平面PCD: (2)若AB⊥平面PED,求平面PAB与平面 满足花=而，正-)应，将△AF沿F翻折 PCD夹角的余弦值， 至△PEF,使得PC=43. (1)求证：EF⊥PD: (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角 的正弦值 第6章学霸033【W3A √13 AGOBE=G,AG,BEC平面ABED,C,G⊥平面ABED.C,GC平 ,整理可得9A2=(A-1)2.因为0≤A≤1， V4(A-1)2+32 13 面BCE,,平面BC1E⊥平面ABED. 解得A=子，因此，线段PC上存在点M,使二面角M-B-C的余弦 值为觉 5.(1)证明：连接BD,设BD与AC交于点0，连接P0,如图①.因为 PA=PC=2.所以AC⊥PO (2)解：以G为坐标原点，，C,CC的方向分别为x,y,轴的正 方向，建立如图③所示空间直角坐标系， ①D 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，则AC⊥BD. 又PO门BD=O,PO,BDC平面PBD,所以AC⊥平面PBD.因为 PDC平面PBD,所以AC⊥PD. 3 (2)解：因为PB=PD,所以BD1P0,所以由(1)知P01平面 则B0.10),B(0-1,04(5,0.0).G(0.0,5),D( ABCD,以0为原点，O成，O元，币的方向分别为x轴、y轴，：轴正方 向，建立如图②所示空间直角坐标系， 0）…(是5）庙=0,2.0，G=(o1 5).设棱DC:上存在点P(x,y,)且D亦=ADC(0≤A≤1)满足题 -B3 2 2 221 意，即 33、解得 停 2 3A. :■√3A 则A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),D(-3,0.0),P(0,0, 同.s(5o号）所以正=020成-(5,1.0.正= 子5A)小（停号）设平面的法 向量n=(a,b,c),则 (只.1，受）设平面C的法向量a=().则 @a=(医)-（停）n5o, 3 0即2+22=0令x=1,则m=(1,0,1).又平 E市.n=2b=0 n.a花=0 y=0. 令a=2.则6=0e只a=(2.0,只）点G到平面P5 面4CD的法向量亦=(0,0，)，所以cs(a,0币=A·0市 3A-3 1m11O A 的距离d= IEC.nl 6 Inl ,解得A= 3n=(2, 2×32 ,所以二面角尽4C-D为子 (3)解：存在由(2)得C=(0,-1,5),武=(-5,1,0)，设C= 0,-2).又平面ABE的法向量m=(0,0,1),÷co8(m,n〉= aC-=(0,-A,3),Ae[0,1],则o=0元+C成=(0,1-A,5). ·程 二2。巨又二面角P-E-4为锐二面角，“二面角 1m1·1n222 所以点P到平面AC的距离4：l0”-。名，解将。 P一EA的大小为子 }成成，所以器 第6章真题演练 6.(1)证明：在图①中取CE的中点F,连接BF,AE, CE=2ED,CD=3,AB=2,.CF=1,EF=1.AD=3,DF=AB= 1.(1)证明：取CB1的中点P,连接NP,MP,由N是B,C,的中点，可 2,DF∥AB,∠D=90°，∴四边形ABFD为矩形，BF⊥CD,.BE= 得NP∥cG,且P=2cG,由M是D,的中点，得D, BC=√3+I=2.又CE=2,∴△BCE为等边三角形.又AE=√3+可= 2,△ABE为等边三角形在图②中，取BE的中点G,连接AG, 0,=G,且D,M/CG则有D,M/P,DN=P,故四边 C,G,△C,BE,△ABE为等边三角形，∴.C,G⊥BE,AG⊥BE, 形D,MPN是平行四边形，放D,N∥MP,又MPC平面CB,M, C1G=AG=3.又AC1=6,AC2+C,GC2=AC,CG⊥AG.又 D1NC平面CB1M,故D,N∥平面CB,M. 参考答案学霸27 (2)解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， 3.(1)证明：取PD的中点S,连接SF,SC,则sF∥ED,SF= 2D=1, 有A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),M(0,1,1),C(1,1,0),C(1,1 而ED∥BC,ED=2BC,故SF∥BC,SF=BC.故四边形SFBC为平行 2),则有CB=(1,-1,2).C7=(-1,0,1).BB=(0,0,2).设平面 四边形，故BF∥SC,而BFd平面PCD,SCC平面PCD,所以BF川 CB,M与平面BBC,C的法向量分别为m=(x,少，)，n=(少2， 平面PCD m·CB=名11+21=0，n,CB=2为+242=0 (2)解：连接EC,因为ED=2,所以AE=1,故AE∥BC,AE=BC,故 ),则有 分别取 四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB,所以CE⊥平面PAD,面 mC=-x1=0, (n·BB=2=0, PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED,而PE⊥ED,故建立如图 x1=2=1,则有为1=3,1=1,2=1,2=0，即m=(1,3,1),n=(1,1 所示的空间直角坐标系。 则A(0,-1,0),B(1.-1,0),C(1.0,0),D(0,2.0),P(0,0,2),则 m· 1+3 2w22 ,则m(,）严m:1m”:m,故平面 pi=(0,-1,-2).i=(1,-1,-2),P元=(1,0，-2).i=(0,2. CB,M与平面B,C,的夹角余弦值为2y三 -2),设平面PAB的法向量为m=(x,y,),则由 m·成=0·可得 m·P市=0 11 (3)解：由BB=(0,0,2),平面CB1M的法向量为m=(1,3,1),则 y2=0,故可取m=(0,-2,1),设平面PCD的法向量为m= x-y-2=0, 有丽·m1 (n·P元=0 m1一9，即点B到平面CB,M的距离 22 (a,b,c),则由 0可得{9-2c=0。放可取=(2,1,1)， n+P0=0 12b-2c=0, 为20 -1√30 故cos〈m,〉= 11 5x/6 =30,放平面PB与平面PCD夹角的余 2.(1)证明：因为BC∥AD,EF=2,AD=4,M为AD的中点，所以 弦值为30 30 BC∥MD,BC=MD,四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD,又 因为BM￠平面CDE,CDC平面CDE,所以BM∥平面CDE (2)解：如图所示，作B0⊥AD交AD于O,连接OF,因为四边形 ABCD为等腰梯形，BC∥AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,结合题 (1)中BCDM为平行四边形，可得BM=CD=2,又AM=2,所以 △ABM为等边三角形，0为AM中点，所以OB=√3，又因为四边 4(1)证明：由=8,0=5，店：号市，市：应，得极= 形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF=MD,EF∥MD,四边 23,AF=4,又∠BAD=30,在△AEF中，由余弦定理得EF 形EFMD为平行四边形，FM=ED=AF=√/I0,所以△AFM为等腰 三角形，△ABM与△AFM底边上中点O重合，OF⊥AM,OF= VA+MF-2E·AFL BAD=12+16-2·2w5·4.5 2=2 √AF-AO=3,因为0B2+0F=BFP,所以0B10F,所以0B,0D, 所以AE2+EF2=AF2,则AE⊥EF,即EF⊥AD,所以EF⊥PE,EF⊥ DE,又PE∩DE=E,PE,DEC平面PDE,所以EF⊥平面PDE,又 0F互相垂直，以0方向为x轴正方向，O成方向为y轴正方向，O PDC平面PDE,故EF⊥PD. 方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系0-，F(0,0,3),B(3 (2)解：连接CE,由LADC=90,ED=35,CD=3,得CE2=ED2+ 0.0).M(0,1,0),E(0,2,3),Bi=(-5,1,0),B=(-3,0,3), CD2=36,EC=6,在△PEC中，PC=45,PE=23,EC=6,得EC2+ PE2=PC,所以PE⊥EC,由(1)知PE⊥EF,又ECOEF=E,EC B成=(-5,2,3)，设平面BFM的法向量为m=(1,为，)，平面 EFC平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.又EDC平面ABCD,所以 (m·Bi=0, PE⊥ED,则PE,EF,ED两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系 EMB的法向量为N=（名，为，)，则 即 (m·=0, E-,则E(0,0,0),P(0,0,25),D(0,35,0),C(3,35,0) F(2.0,0),A(0,-25,0),由F是AB的中点，得B(4,25,0),所 30令1=3，得=3，=1，即m=(53,1),则 以P元=(3,35，-25)，Pi=(0,33,-25),i=(4,25. -51+31=0, -23),PF=(2.0,-23).设平面PCD和平面PBF的一个法向量 (n·BM=0,-5x2+2=0, 分别为n=(x1,1可)，m=(方西)， 即 m.B2=0,(-32+22+32=0 令=5，得归=3，=-1， 则-3+3-2w5a=0, 即m=(5,3,-1),故(m,)严m,m压，石3 m·月. 11 11 n.币=33y1-231=0. (m·P市=42+25y2-252=0 令为1=2,2=5，得1=0,1=3， 则血(m,)放二商角F-ME的正弦值为 m,币=2x2-252=0, 13 2=-1,2=1,所以n=(0,2,3),m=(5,-1,1),所以1c0s(m, 选择性必修第二册·SJ学霸28 )1=m·1 m1m5,后6，设平面PGD与平面8r所成的 √65 因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，AB=1,所以.】 02 二调角为，则血0：个0-8S,即子面0D与平有r 得08=1,0M=2,则a(m号m号0），即8（分号.0）月 所成的二面角的正弦值为8y6丽 65 E2s号，2m号，1即E1,5,1).c1(1,0,1),D(2.0,0), 成（月）G市1o,-1.21Gi,成. G：1+受x0+1x(-)=分所以m(成， 重难点拨 成.C,市22 利用空间向量计算二面角大小的两种方法： 成1G,i228 又异面直线所成角的范偶为(0，号]，故 (1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然 后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实 异面直线BE与C,D所成角的余弦值为二 故选B 际图形判断所求角的大小 (2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内我到与 日.A解桥：如图，以点A为原点，店，Ai,币分别作为x轴，y轴， 棱垂贞且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就 z轴正方向，建立空间直角坐标系，则B(3,0,0),C(3,3,0),D(0, 是二面角的大小 3,0),P(0,0,6),G(1,0,4).所以D元=(1，-3,4)，P元=(3,3，-6)， 第6章 章末检测 D=(3,0,0),设n=(x,y,)为直线PC和DC的公垂线的方向向 (n·D元=x-3+4z=0, 1.B解析：设A(x,y,),则A店=(3-x,-1-y,-)=(-2,-5,3),所以 量，则有 n.P元=3x+3y6c=0 可取n=(1,3,2),所以异面直线 (3-x=-2, (x=5, -1-y=-5,解得y=4,所以点A坐标为(5,4，-3).故选B. PC和DG的距离为DC,m。3-3Y压故选A =3, -3, 2.A解析：因为m=(1,-1,2),A▣(-L,1,-2),所以n=-A应，即 A店∥m,所以1⊥a故选A 3.B解析：因为a1c,所以2x-2+2=0-x=0,又b∥e,所以设b= 1=2A, ac,即-1=-2A,→ A=2所以+y1,故选B y=2A y=1, 4.B解析：如图，连接0N,N是BC的中点O成=i+O心 成2味成：子成成=成-0成：}i+成 1 9,AD解析：以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0, 0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0.10),D1(0,0,1),B1(1,1,1) C(0,1,1),对A:市=(-1,0,0)，B1C=(-1,0,0),故i=B1C, 故A正确：对B:8D=(-1,-1,1),Bi=(-1,-1,-1),则D· B,i=1+1-1=1,故B错误：对C:A=(0,1,0),Bd=(-1,-1,0), 则A应.Bi=0-1+0=-1,故C错误：对D:AC=(-1,1,1),B1D= (-1,-1,0),则AG·BD=1-1+0=0,故D正确故选AD. 5D解折：向量a在的量6上的投影狗量为之合-誓.（口， 0,5)=(3.03).故选D. 6.C解析：由二面角的平面角的定义知（励，A心=120，励. At=1Bi11Ad1cos(Bi,AC=2×2×cos120°=-2，由AC⊥l,BD1L, 得A.B=0,i·ai=0,又Dt=Di+ai+A花，D12= (D成+i+A)2=D+B+A心+2D成，B+2Di.A花+2B, At=22+22+22-2Bd.A元=12-2×(-2)=16，所以1D元1=4，即 10.BCD解析：对于A,若点P在直线A,D上，则x=0,则A=b+zc, CD=4.故选C. 由于A1,P,D三点共线，故y+z=1,A错误； 7.B解析：设上底面圆心为01，下底面圆心为0，连接001,0，B1, 对于B,若点P在直线AG上，则币=AAC,A∈R,而AC=a+ O1C1,0B,OC,在下底面作0F⊥0D,以0为原点，分别以0D,0F, O01所在直线为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系，如图： b+C,结合A币=xa+yb+c,得x=y==A,B正确；对于C,若点P在 平面A1BD内，即A1,B,D,P四点共面，则由A泸=a+b+C,可知 +y+=1,C正确，对于D,若点P在平面B,BDD,内，则A= mA店+nAi+sAB(m+n+s=1),则正=m店+nAi+s(A店+4)= (m+s)A店+mA+sd,又A市=a+yb+c,则x+y=m+s+n=1,D正 参考答案学霸29