6.3.4 空间距离的计算-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

第3课时 空间距离的计算 第1关练速度 5min为准，你的时间： 5.(2023·江苏南京高二期中)如图，在正三棱 1.(2024·河南焦作高二期末)已知平面α的 柱ABC-A,B,C1中，若AB=√2BB1=2,则点C 个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平 到直线AB,的距离为 () 面a内，则点P(-2,1,4)到平面x的距离为 A.10 B.3 8 0. 2.(2024·湖北孝感高二期末)已知空间向量 A B.10 5 AB=(0,1,0),AC=(-1,1,-1),则点B到直 c D.30 线AC的距离为 ( ) 号 3 6.（2024·江苏扬州高二期中)在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底 C.2 D.3 面ABCD,AB=√3，BC=PA=1,E为PD的中 3.(2024·四川泸州高二月考)两平行平面a,B 点，点N在平面PAC内，且NE⊥平面PAC, 分别经过坐标原点0和点A(2,1,1),且两平 则点N到平面PAB的距离为 () 面的一个法向量=(-1,0,1)，则两平面间 1 B.8 的距离是 ( A名 2 .2 D.V7 7.(多选)(2024·山东泰安高二月考)已知正方 C.√3 D.32 体ABCD-AB,C,D1的棱长为1，点E,O分别 4.(2024·湖北十堰高二期中)如图，在棱长为1 是AB,A1C1的中点，点P在正方体内部且 的正方体ABCD-AB,C,D1中，E为线段DD 的中点，F为线段BB1的中点.直线FC,到平 满足亦而+号不，则下列说法正确 面ABE的距离为 的是 () A.BE与B,C所成角的正弦值是 5 B.点0到平面ABC,D,的距离是 5 30 A. 3 C平面A,D与平面B,CD,间的距离为 3 C. 3 D、点P到直线AB的距离为 第6章学霸023 8.(2024·辽宁葫芦岛高二期末)在空间直角坐13.(2023·河南安阳一中高二月考)如图，已知 标系中，0为坐标原点，已知空间中三点分别 PA为圆柱的母线，BC为圆柱的下底面直 为A(2,0,2),B(2,2,0),C(0,2,2),则点0 径，AB=1,PA=3,AC=2,F为线段AC的中 到平面ABC的距离为 点，则点C到平面PBF的距离为() 9.(2024·安微淮北一中高二月考)如图，在三 棱柱ABC-AB,C1中，所有棱长均为1，且 AA1⊥底面ABC,则点B,到平面ABC,的距 离为 B.v19 19 G.29 D.319 19 19 10.(2023·福建南平高二期中)在棱长为1 14.(多选)(2024·福建莆田高二期中)如图， 四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底 的正方体ABCD-A1B,C1D,中，平面AB,C与 面ABCD,l⊥平面PDC,垂足为P,Q为I上 平面A,C,D间的距离是 的点，PD=AD=1,以点D为坐标原点，分别 11.如图，在直四棱柱ABCD-A,B,C,D1中，底 面ABCD为直角梯形，AB∥CD且∠ADC= 以DA,DC,DP的方向为x轴，y轴，z轴的正 方向，并均以1为单位长度，建立空间直角 90°，AD=1,CD=√3，BC=2,A41=2,E是 坐标系，设PQ=m(m>0),则 () CC1的中点，则AB,到平面ABE的距 离是 A.Q(m,0,1) B.平面QCD的一个法向量为n=(1,0,-m)】 第2关练准确率 8题为准，你做对 题 C.当m=1时，点B到平面QCD的距离为2 12.(2024·江苏南京高二月考)四棱锥P D.当m=2时，点Q到直线AC的距离的平 ABCD中，AB=(2,-1,3),AD=(-2,1,0), AP=(3,-1,4),则这个四棱锥的高为 方为号 15.(2024·四川凉山高二期末)如图，在棱长为 1的正方体ABCD-AB,C,D,中，P为AD, 5 B.1 的中点，Q为AB,上任意一点，E,F为CD 上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平 C.5 D26 5 面PEF的距离 选择性必修第二册·SJ学霸024 标系，若点M(x,y,0)到直线DC的距离等 于到直线PE的距离，则点M的轨迹方 程是 A等于号 B.和EF的长度有关 c等于号 19.(2024·重庆巴蜀中学高二期中)如图，正方 D.和点Q的位置有关 体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱B1C 16.(2024·广东江门高二期中)如图，在三棱 的中点，过ADE的平面与棱BB,相交于 柱ABC-A,B,C中，底面△ABC是边长为 点F 23的正三角形，AA1=√7，顶点A1在底面的 (1)求证：F是BB的中点； 射影为底面正三角形的中心，P,Q分别是异 (2)求点D到平面AD,E的距离. 面直线AC,AB上的动点，则P,Q两点间 距离的最小值是 B.2 2 C./6 06 17.(2024·陕西宝鸡高二期中)在空间直角坐 标系中，定义：平面α的一般方程为Ax+By+ Cz+D=0(A,B,C,DeR,A+B2+C≠0)，点 P(xo,o,0）到平面a的距离d= IAxo+Byo+Czo+D1 ,则在底面边长与高都 √A2+B2+C 为2的正四棱锥中，底面中心0到侧面的距 离等于 18.(2023·河北唐山一中高二期末)如图，在正 四棱锥P-ABCD中，高为1，底面边长为2，E 为BC的中点，建立如图所示的空间直角坐 第6章学霸025 20.(2024·江苏连云港高二期中)如图，在四棱 22.(2024·江苏盐城高二月考)如 锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥ 图，在四棱锥P-ABCD中，平面 视频讲解 AB,AD∥BC,AD=2BC=2,PA=AB,点E在 PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AB= PB上，且PE=2EB 1 (1)证明：PD∥平面AEC: CD=AD=1,M为棱PC的中点 (1)证明：BM∥平面PAD: (2②)当二面角B-4C-B的余弦值为时，求 (2)若PC=√5，PD=1, 点P到直线CD的距离. (1)求二面角P-DM-B的余弦值； (ⅱ)在线段PA上是否存在点Q,使得 点Q到平面BDM的距离是 9？若存 在，求出PQ的值；若不存在，请说明 理由. 第3关练思维宽度 ）难度级别：☆☆☆女☆ 21.(2024·山东烟台高二月考)如图，在边长为 1的正方体ABCD-A,B,C,D1中，点P在 B,C1上，点Q在平面ABB1A1内，设直线AA1 与直线PQ所成角为6.若直线PQ到平 面CD,的距离为，则n9的最小 值为 选择性必修第二册·SJ学霸026方法总结 利用空问肉量求平面与平面夹角的解题步豫： 第3课时空间距离的计算 第1关（练速度） (建坐标系 根据图形与己知条件，构建适当的 空间直角坐标系 1.C解析：由题得P=(1,2,-4).所以P(-2,1,4)到平面α的距离 8 准确求解相关点的坐标，并分别求 为m…-2-4-4110 1nl4+4可3，收送C】 (求法向量， 出两平面的法向量mn,设两平面 的夹角为日 2.A解析：A店=(0,1.0)，A元=(-1,1，-1)，故A在A元上的投影向量 0 利用求两向量美角余弦值的公式 的模为.成应_01.0：《-l-山故点8到直 用公式 coco(mn水m来夫角的 IACI √1+1+1 余孩值 线4C的距离为√佩都-子-，√弓放选人 第3关（蛛思雄宽度】 3.B解析：：两平行平面a《,B分别经过坐标原点0和点A(2,1, 21, 1),0A=(2.1,1),且两平面的一个法向量m=(-1,0,1)..两平面 15 解析：因为平面a的方程为3x+4y-5x=0,所以可得平面a 的法向量可以为n=(3,4,-5),又直线AB的方向向量为m=(1, 间的距离为“上-20-号放连 L,1),所以直线AB与平面a所成角的正弦值为1c0s〈m,n〉1= 4.D解析：，AE∥C1,FC1文平面AB1E,AEC平面ABE,∴.FC1∥ m·n2 1mI1mI52×√31 ,放答案为 平面AB,E,因此直线FC,到平面AB,E的距离等于点C1到平 5 面AB,E的距离，如图，以点D为坐标原点，DA所在的直线为x轴 DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为：轴，建立空间直角坐 22.(1)证明：因为AB=AC=2,BC=22,所以AB2+AC2=BC2,所以 标系. AB⊥AC,如图所示，以点A为原点建立空间直角坐标系， 则A1(0,0,2),B1(2,0,2),M(0,2,1),N(1,1,0).可得A= 则A1,0,0,B(1,1,),c1(0,1,),E(00,3)F(,1 AA,B=(2A,0,0),A市=Ad+41产=(0,0,2)+(2,0,0)=(2A,0, 2),即P(2A,0,2),所以P成=(1-2,1，-2)，又因为A=(0,2, )元-(1.0，）应=(1.0，)=0,10. 1),可得A·P=0,所以无论A取何值，AM⊥PN, CB=(1,0,0),设平面ABE的法向量为n=(x,y,),则 (2)解：由(1)可知，A=(0,2,1),A=(L,1,0),设平面AMW的 m应=+2=0 令z=2,则n=(1,-2,2) m·A=2y+z=0. 个法向量为m=(x,y,),则 n·AB=y+z=0, 取y=1,则x= m·A=xy=0, 1 -1,x=-2,可得m=(-1,1,-2),可得0=1cos(p,m)1= 设点G,到平面AB,E的距离为4，则4=n,G Inl ,故直线 1P成，m12(A+2) ,令t=入+2，t∈[2,3]，则in0= PG,到平面B,5的距离为宁放选D Pi11m16√/1-2a)2+5 5.D解析：由题意知，AC=AB=2,BB1=√2， 12 一，所以当t=2.即A=0时，8取 取AC的中点O.则BO⊥AC,BO=√3，建立 5V22-10+155 1510 +2 如图所示的空间直角坐标系0-，则 A(0.-1.0),B(3,0,2),C(0,1,0),所 得最小值，此时in0= 2 3 以AB=(3,1,2),C=(0,-2,0),所以 (3)解：存在，易知平面ABC的一个法向量为u=(0,0,1). C在AB上的投影的长度为 C·AB 因为M=(1,-1,-1),P=(1-2A,1,-2),设m=(a,b,c)是平面 IABI PMN的-一个法向量，则·=a-be=0, 令a=3,可 (m·PV=(1-2A)atb-2e=0, 后.所以点C到直线AB,的距离为d=。 n(T 得c=2-2A,b=1+2A,可得n=(3,1+2A,2-2A),则1c0s(,n)1= lu+nl 12-2A1 √6 放击D 1a11n9+(1+2A)+(2-2)产6 ,化简得8A2-22A+5=0, 6.B解析：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), 解得A=支A=弓，因为Ae0,,可得太=，房以存在点P 5 c1.0.P0,o..e号）花=(51.0=o. 使平面PMN与平面ABC所成二面角的正弦值为V 6,点P 0,1),由点N在平面PAC内，则可设成=xA花+y办=(3x,x), 为AB1上靠近A的四等分点 所以(5x,故武：(5子子），因为E1平面 选择性必修第二册·SJ学霸18 花-0， PAC,所以 解得 8 所以市= 直线AB的距离d,=,/前2- IABI √名故 y2. D正确.故选ACD. 8,2又因为平面PAB与平面比重合，所以点N到平面PAB 11 的距离为。故选品 83 3 解析：0(0,0,0)，4(2.0,2)，B(2,2,0),C(0,2,2).店 (0,2,-2),A花=(-2,2,0)，0i=(2,0,2),设平面ABC的-个法向 方法总结 (n·A=2y-2z=0, 利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤： 量为n=(x,y,2), 取x=1,则y=1.z=1, (1)建立适当的空问直角坐标系： n·A花=-2x+2y=0. (2)求出线段端点的坐标： (3)利用两点阿的距离公式求出线段的长， 六n=（1,1,),点0到平面ABC的距离为4=可：m.242 7.ACD解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0), 4赦答案为 D(0,1,0),A1(0.01).C(1,1,0),C(1,1,1),B(1.0,1),D1(0, 3 1,),(分01）所以成-（子0,1）ad=01.-1.对 9② 解析：以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 于A,设BE与B,C所成角为0，则eos0=1co(BC,B正1 IB C.BEI 则4（停号0）a0.10.ao.G00.所uG 一西如小o可，放A正确， x5 (停，G=(0.1-1).C公=0,1.o),设平商8c 对于B,易知G:G不：（分，），因为B1平 n·C,=0,(51 的法向量为n=(x,y,),则 0即2+20令x 面A1ADD1,ADC平面AADD1,所以AB⊥A,D,又AD⊥AD, nC=0,y-=0, AD OAB=A,AD1,ABC平面ABC,D,所以AD⊥平面ABCD,所 1,则y=z=√3，故n=(1,3,3),所以点B,到平面ABC,的距离 以平面ABC,D的一个法向量DA=(0,-1,1),则点0到平 为d= 8:5散答案为 √1+3+37 7 而ABC,D1的距离d= ·G0工正故B错误对于C DA A,i=(1,0,-1).A1市=(0,1，-1)，A1D=(0,1,0).设平面A1BD的 m·AB=0 法向量为n=(x,y,),则 。所以/0 令=1，所以 n·Ai= (y-=0, N=(1,1,1),所以点D,到平面A,BD的距离d1= MD·n 方法总结 点到直线的距离求法： 方=学因为A1D∥BC,A,D,=BC,所以四边形ABCD1为平行四 (1)设过点P的直线1的单位方向向量为n,A为直线！外一点，点A 到直线1的距离d=√P2-(P·m)2 边形，所以A1B∥CD1,因为CD,C平面B,CD1,A,B￠平面BCD1, 所以A1B∥平面B,CD1,同理可证BD∥平面B,CD1,A,BnBD= (2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点问距离公 式求距离， B,A,B,BDC平面ABD,所以平面ABD∥平面B1CD,所以平 面A,BD与平面B,CD1间的距离等于点D,到平面A,BD的距离， 解析：以点A为坐标原点，AB,AD,A41所在直线分别为x轴、 即为9故C正确：对于D,因为：号办号可所以 y轴、。轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B1(1, 产（分号）100. 子，所以点P到 市.店3 0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C(1,1,1),设平面 AB,C的一个法向量为m=(名11西)，AB=(1,0,1),A花=(1,1， 参考答案学霸19 m·丽=1书1=0， 平面PDC.因为I⊥平面PDC,所以I∥AD.因为PD=AD=1,则 0),由 取1=1，可得m m·A花=1y1=0. D(00,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1).因为Q (1,-1,-1).设平面A1C,D的一个法向量为 为1上的点，PQ=m(m>0),所以Q(m,0,1),故A正确：对于B, n=(),DA=(0,-1,1),DC=(1, 因为D元=(0,1,0)，Dd=(m,0,1),设平面0CD的法向量为n= n…DM=-2+2=0, (,),则 01).由 取x2=1,可 元-0即0，令=1，则=m所以平面 m,D=0,m+=0, (n…DC=2+=0, QCD的一个法向量为n=(1,0,-m),故B正确：对于C,当m= 得n=(1,-1,-1).因为m=,平面AB,C与平面AC,D不重合 1时，n=(1,0,-1),D=(1,1,0),所以点B到平面0CD的距离 所以平面ABC∥平面A,GD,A=(0,1,0),所以平面AB,C与平 m个-厅之，故C错误：对于D,当m=2时， 1 、面A,CD间的距离为dA0m==3故答案为 1m万3 0t=(-2,1,-1),A花=(-1,1,0)，所以Ad.0t=3,Md=2. 11.2解析：A1B1∥AB,A1B1￠平面 1Qt1=6,所以点Q到直线AC的距离的平方d=Q心2- ABE,ABC平而ABE,AB,∥平而 ABE,A,B,到平面ABE的距离等于点A 到平面ABE的距离 15.A解析：取B,C,的中点G,连接PC,CG,DP,则PG∥CD,所以点 以点D为坐标原点，以DA,DC,DD,所在 Q到平面PEF的距离即点Q到平面PCCD的距离，与EF的长度 直线分别为x轴，y轴，：轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 无关，B错.又A,B,∥平面PCCD,所以点A,到平面PGCD的距离 则A(1,0,0),B(1,23,0),E(0,3,1),41(1,0,2),则A=(0, 即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q 23,0),A=(-1,5,1),A4=(0,0,2).设平面ABE的一个法 的位置无关，D辑如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则 n·=0,23y=0, 向量为n=(x,y,),则 即 令x=1,则 c01.0,000.0)41.0),P(分0.1）所以d=(01 n.应=0，(-x+3y+=0 y=0,2=1.故n=(1,0,1).故AB,到平面ABE的距离d= 0.-1,0).成-（分0.1）设a=,)是平面P00 dn2=反 n·D=0, 1 x+z=0, 的一个法向量，则由 得2 =0,=0, 令=1，则￥=-2， 第2关（练准痛率） 12.A解析：设平面ABCD的法向量为n=（x,y,z),则 y=0,所以n=(-2.0,1).设点Q到平面PEF的距离为d,则d= (n1AB. (2x-y+3z=0 nLA市. '令x=1,可得y=2,=0,即n=(1,2, 1DA·nl1-2+115 【-2x+y=0, 5 ，A对，C解放选人 0)cs(n,=n…市 1 设AP与平面ABCD所成 1m1215×26 1 角为a,则sina= ,于是点P到平面ABCD的距离为 5×√26 了故选 1·na5即四棱锥P-ABCD的商为5 13.D解析：因为BC为圆柱的下底面直径，所以： 16D解析：如图，设0是底面正三角形ABC的中心，连接A10, BA⊥AC.以点A为原点，以AC,AB,AP所在直 则A0⊥平面ABC,A0C平面ABC,则A10⊥A0,因为AB=23, 线分别为x轴，y轴，：轴建立如图所示的空间直 所以A0=2x3 角坐标系，则A(0.0.0),B(0,1,0),C(2,0,0), 亏×225=2，又4，=万，所以4,0=√-40。 P(0,0,3),F(1,0,0),所以P元=(2,0，-3)， √3，连接C0,则C0⊥AB,设直线C0交AB于点D,则0D=1,以 P克=(0,1，-3)，P市=(1,0，-3)，设平面PBF的 直线C0为x轴，041为z轴，过点0平行于AB的直线为y轴建 =0m3=0取l,则 立空间直角坐标系，则A(0,0,3),A(1,-√3,0)，B(1,3,0) 一个法向量为n=(x,y,),则 n.P亦=0，x-3z=0, C(-2,0,0),=(-1,5,5),A花=(-3,5,0)，AB=(1,5 x=3,y=3,即m=(3,3,1).则点C到平面PBF的距离为 -3).AG=A+A花=(-4,25，)，设n=(x,y,)与A市和AC Ptl33故选D. 1n919 n·AC=-4x+25y+3z=0, 都垂直，则 取x=3,则y=1,2=2, 14.ABD解析：对于A,因为PD⊥底面ABCD,ADC平面ABCD,所以 n…Ai=x+3y-3x=0, PD⊥AD.又AD⊥CD,CDC平面PDC,PDC平面PDC,所以AD⊥ 则n=(5,1,2),则P,Q两点间距离的最小值即为异面直线AC1 选择性必修第二册·SJ学霸20 与AB间的距离，等于n·,55+25放选D D1(0,0,2),E(1,2,2),设平面AD1E的法向量为m=(x,y,),则 Inl √3+1+4 2 m-(）(-20,2)-220,令1，得=1， m·M2=(x,y,）·(-1,2,2)=-x+2y+2z=0, 1726 解析：如图，以底面中心0为原点建立空间直角坐标系0- ,则0(0,0,0)，A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2),设平面PAB 的方程为A红+y+C+D=0,将A,B,P的坐标代入并计算，得 所以点D到平面AD,E的距离为d:可·m 「A=0 A+B+D=0. (2,0,0)· B=-D. 1 2 4 -A+B+D=0,解得 -0y2压+D=0,即2y+-2 =2X 33 2C+D=0, =-2D, 1+ 方法总结 0,4=12x0+0-225 点到平面的距离求法： √/4+1 5 答案为2 5 如图，已知平面x的法向量为，A是平面《内的定点，P是平面a 外一点.过点P作平面a的垂线l,交平面a于点Q,则n是直线1的 方向向量，且点P到平面α的距离就是市在直线！上的投影向量 Q币的长度，因此PQ= 18.(y-1)2=4x+2解析：易得P(0,0,1),E(0,1,0),C(-1,1,0), D(-1,-1,0).C=(0,-2,0),成=(0,1，-1)，Pi=(x,y -1),C=(x+1,y-1,0)点M到直线PE的距离d1=1PM1· P.P尼 12 20.(1)证明：连接BD,交AC于点F,连接EF,因为AD∥BC,所以 ,点M到直线DC的距离42=1C1· 部光票，所部部所以m/E,周为C CM CD P,P屁1 1- 平面AEC,PDt平面AEC,所以PD∥平面AEC ICMI.ICDI 1 P·Pi (2)解：以点A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、 c·1- c.c品12 :轴建立如图所示的空间直角坐标系。 ICMI.1c1 即√星+y+1·,/1- y+1 =√(x+1)2+(y1)7· 迈√+y+1 1- 1-y ,整理可得(y1)2=4x+2,即点M √x+1)+(1) 的轨迹方程为(y1)2=4x+2故答案为(y-1)2=4x+2 重难点拨 设P0.0m）.m>0,则Ba,0.0),c(m1.0),E(g0,号） 两平行平面的距离等于其中一平面上任意一点到另一平面的距离， 所以两平行平面的更离可转化为点到平面的距离来解决 002.0).则d=(m1.0).店=（号0，兮）设平面4c的 19.(1)证明：如图，连接BC1,因为平面ADDA1∥平面BCC,B1,平 n·A花=0.(m+y=0, 面AD,EFn平面ADD,A1=AD,平面AD,EFn平面BCC,B,=EF, 法向量为n=(x,y,),则 令x=1, 所以AD1∥EF,又AB=C,D1,AB∥CD,所以四边形ABCD,为 平行四边形，故AD1∥BC1,故EF∥BC,又E是棱B,C1的中点， 则y=-m,=-2,放可取n=(L,-m,-2),平面ABC的法向量可 所以F是BB1的中点 取m=(00,),所以1cs《m,n)1=m:m5+m× 2 得m=1.因为-0,2，).元-1，-10，与的的单 位向量：= (停，-受0），所以点P到直线cD的距离为4： (2)解：如图，以点D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为 x轴y轴、：轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,0), √-（币.）2-3. 参考答案学霸21 第3关（蛛思雄宽度） 21. 3 解析：因为直线Q到平面ACD,的距离为，所以必有 P0/平面ACD,即点P到平面AGD,的距离为，如图，建立空 间直角坐标系，设P(p,1,1),又A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0, M为棱PC的中点，M(0,1),B(1,1,0). 1),则A元=(-1,1,0)，A可=(-1,0,1)，本=(p,0,1),设平 (i)成=(0,1，子)，成=(1,1.0)，设平面B0N的-个法向 面ACD,的法向最为n=(x,y,),则 花a=-y0取x=1 AD,·n=-x松=0， 8…1.测”-岩-停宁脚P(行 量为n=(x,y,),则 令=2，则y=-1,x=1, m.D成=x+y=0, 1),过点P作平面ACD,的平行平面，与正方体ABCD-A:B,C,D n=(1,-1,2),平面PDM的一个法向量为D=(1,0,0), 的截面为PMN,M,N分别为线段A,B1和线段BB1的中点，则 o(a,i:n…。16 a1Dx6名，根据图形得二面角p ,宁）(，1，子）所以点Q在直线w上，设成： DM-B为饨角，则二面角P-DM-B的余弦值为-后 成动-成a(}0小a(,号号)（侵 (ⅱ)存在假设在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的 ，）又=(0.0,1，则m0= IAA POI 距离是2)5设戒=h成，0≤A≤1，则0(A,01-A).成(a-1, LAA IIPOI -1,1-A),由(2)知平而BDM的一个法向量为#=(1，-1,2)， 2 B成，n=A-1+1+2(1-A)=2-A,.点Q到平面BDM的距离是 ,当A=0时，c0s0=0,当入≠ 公( 692 18d·m2-A26. 1 专题探究01利用空间向量解决折叠问题 0时，cos0= 11 1.C解析：因为AB∥CD,∠ABD=120°，所以∠BDC=120°，因为 Art=A+B丽+D元，所以1A心12=A++D+2A方.B励+ 3 ,则m9的最小值为 6 2i.D元+2Bi.D元所以27=9+4+1+2×3×2×c0s60+2×1× 2m60+2x3x1Xm(应，d,即m(,=名所以异面 直线A'B与CD所成角的余弦值为。枚选C 6 D↑ 2.(1)证明：△ABC中，AC=BC=5,AB=3,由余弦定理得， 00s LACB-ACBC-AB3+3-9 1 24C·BC23x52,且∠ACB为三角形内 角，∴.∠ACB=120°，.∠A=∠ABC=30°.AD=CD,∠ACD= ∠A=30°，∴∠DCB=90°，即BC⊥CD.又：△PBC中，PC=BC= 22.(1)证明：取PD的中点N,连接AN,MN,如图所示 √3，PB=V6,.PC2+BC2=PB2,PC⊥BC.,PC,CDC平面PCD. PCnCD=C,.BC⊥平面PCD.又PDC平面PCD,:BC⊥PD. (2)解：以点C为原点，直线CB,CD分别为x轴y轴，过点C且垂 直于平面BCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C-) :M为棱PC的中点，MN∥CD,MN=2CD.AB/CD,AB= 2CD,AB∥MN,AB=MN,四边形ABMN是平行四边形， BM∥AN,又BM文平面PAD,MNC平面PAD.,BM∥平 而PAD. (2)解：PC=5,PD=1,CD=2,.PC2=PD2+CD2,∴PD1 ,∠ACD=∠A=30°.AC=√3，∠ADC=∠PDC=120°，.由正弦定 DC.平面PDC⊥平面ABCD,平面PDCn平面ABCD=DC,PDC 平面PDC,,PD⊥平面ABCD,又AD,CDC平面ABCD 理得 CD AC -=1.BC⊥ PD⊥AD,而PD⊥CD,AD⊥DC,以点D为坐标原点，DA,DC, sin A sin ZADC万 DP所在直线分别为x轴y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.则 2 P(00.1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2.0) 平面PCD,.点P在平面Cy内.由PD=AD=CD=1,∠PDC= 选择性必修第二册·SJ学霸22