6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量&6.3.2 空间线面关系的判定-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

6.3空间向量的应用 第1课时直线的方向向量、平面的法向量及空间线面关系的判定 第1关练速度 5min为准，你的时间： 方向向量为b=(2,1,2),则1与m垂直 1.若点A(0,1,2),B(2,5,8)在直线1上，则直 C.直线1的方向向量为a=(0,1,-1),平面ax 线1的一个方向向量为 ( 的法向量为n=(1,-1,-1),则l∥a A.(3,2,1) B.(1,3,2) D.平面a经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0), C.(2,1,3 D.(1,2,3) C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面a的 2.(2024·山西朔州高二期末)已知直线1的方 法向量，则u+t=1 向向量是a=(3,2,1),平面a的一个法向量 6.(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平 是u=(-1,2,-1),则1与x的位置关系是 面ABC,∠ABC=90°，∠BAC=60°，PA= A.l⊥a B.l∥a AB=2,以B为原点，分别以BC,B,AP的方向 C.相交但不垂直 D.l∥a或lCa 为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标 3.(2024·江苏南京高二月考)已知平面α内有 系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分 一点A(2,-1,2),平面x的一个法向量为n= 别为m,n,则下列结论中错误的是( A.点P的坐标为(0,0,2) (兮，石号)，则下列四个点中在平面a内的是 B.P元=(4,0，-2) C.cos(m,n)>0 A.P(1,-1,1) D.n=(0,-2,2) 7.在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AB=AC=AM1, cB1,3) D.P13,》 AB⊥AC,E是BC的中点，则A,E与平面 AB,C1的位置关系是 () 4.(2024·四川宜宾高二月考)已知直线1过点 A.相交但不垂直 B.AE∥平面ABC P(1,0,-1),平行于向量s=(2,1,1),平面T C.A,E⊥平面AB,C1D.AEC平面AB,C 经过直线1和点A(1,2,3),则平面T的一个 8.已知1，y2分别是直线1,2的方向向量，那 法向量n的坐标为 么“v1,v2不平行”是“11，l2异面”的 A(分，-21 B(（分1，-2) 条件（填“必要不充分”“充分不必要”“充 要”或“既不充分也不必要”) C.（1,0,-2) D.(1,-2,0) 5.(多选)(2024·福建莆田高二期中)以下命 9.(2023·山东菏泽高二期末)已知平面a与平 面ABC是不重合的两个平面，若平面a的法 题正确的是 A.平面a,B的法向量分别为n1=(0,1,3), 向量为m=(2,-1,4),且AB=(2,0,-1), n2=(1,2,6),则a∥β AC=(1,6,1),则平面a与平面ABC的位置 B.直线1的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的 关系是 选择性必修第二册·SJ学霸016 10.(2024·河南信阳高二期末)已知AB=(2, 和线段BC,上的动点，则满足与AD,垂直的 n,-2),平面a的法向量n=(1,-2,2m), 直线MW () 若AB⊥a,则m+n= 11.(2024·山东滨州高三月考)如图，下列正方 体中，0为底面的中心，P为所在棱的中 点，M,N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP A.有且仅有1条 B.有且仅有2条 的是 (填所有正确的序号)》 C.有且仅有3条 D.有无数条 15.(多选)(2023·山东临沂高二期末)如图， 在长方体ABCD-A,B,C,D1中，AB=√3AD= √3AA1=√3，点P是线段AC上的动点，则 下列结论正确的是 ()》 A.当A1C=2A,P时，B,P,D1三点共线 B.当AP⊥A,C时，AF⊥D,2 C.当A,C=3A,P时，D,P∥平面BDC 第2关练准确率8驱为准，你做对 题 D.当A,C=5A,P时，A,C⊥平面D,AP 12.(2024·河南南阳一中高二月考)已知a= D (2,0,2),b=(3,0,0)分别是平面a,B的法 向量，则平面α，B交线的方向向量可以是 ( (第15题) (第16题) A.(1,0,0) B.(0,1,0) 16.(2024·江苏连云港高二月考)如图，在四棱 C.(0,0,1) D.(1,1,1) 锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD 13.(2023·河北衡水二中高三期 末)如图，在正四棱柱 B 是矩形，AB=20=4,Pm=5,E是PH的 ABCD-A,B,C,D,中，O是底 中点，FB=2P京若点M在矩形ABCD内，且 面ABCD的中心，E,F分别是 0 PM⊥平面DEF,则DM= ( ) BB,DD1的中点，则下列结论正确的是( A3525 5 D. 5 A.AO∥EF B.AO⊥EF 17.已知点A(1,0,0),B1(1,1,2),D1(0,0,2), C.A,O∥平面EFB1D.A,O⊥平面EFB, C(0,1,0),若在平面AB,D1内存在点E,使 14.（2024·湖南长沙高二月考)在正方体 得CE⊥平面AB,D,则点E的坐 ABCD-AB,C,D1中，点M,N分别是棱DD 标是 第6章学霸017 18.(2024·湖南衡阳高二期末)在棱长为3 第3关练思维宽度 难度级别：女女☆☆☆ 的正方体ABCD-A,B,CD1中，点E,F分别 21.(2024·江苏泰州高二月考)如图，在棱长 在棱AB,BC上，BE=BF=1,点G,H为棱 为2的正方体ABCD-AB1C1D1中，点M是 DD,上的动点.若平面EFG∥平面ACH, CC,的中点，点N是底面正方形ABCD内的 D币=AHG,则入= 动点（包括边界），则下列选项正确的是 19.(2023·山东泰安高二期末)在直三棱 柱ABC-AB,C1中，∠ABC=90°，BC=2, CC1=4,点E在线段BB1上，且EB1=1,D, F,G分别为CC1,C,B1,C1A1的中点. (1)证明：B,D⊥平面ABD: (2)证明：平面EGF∥平面ABD. A.不存在点N满足∠AWM=T B.满足A,N=5的点N的轨迹长度是T C.满足MN∥平面A,BC,的点N的轨迹长 度是1 D.满足B,N⊥AM的点N的轨迹长度是2 22.(2024·山东聊城高二月考)如 图，正方形ADEF与梯形ABCD 讲解 所在平面互相垂直，已知AB∥CD,AD⊥ 20.(2024·广东惠州高二期中)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,AB∥ CD,AR-AD-CD. (1)求证：BF∥平面CDE. DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的 (2)线段EC上是否存在点M,使平面BDM⊥ 中点证明： (1)BE∥平面PAD: 平面0？若存在，求出受的值，若不存 (2)平面PCD⊥平面PAD. 在，请说明理由。 选择性必修第二册·SJ学霸018C.B共面. 第3关（练思维宽度） 右(+1)+写(-2》=0，整理得32-9=0面3-1+2-9=-5≠ 21,C解析：以B,为坐标原点，B1A,所在直线为x轴，BC,所在直 0,3-3+3-9=-6≠0,3+3+3-9=0，-3+3-3-9=-12≠0，所以对比 线为y轴，B,B所在直线为：轴，建立如图所示的空间直角坐 选项可知只有八(，3)在平面a内故选C 标系， 4.A解析：由题意可得币=(0.-2，-4)，设经过直线1和点A的平 面量的法向量为n=(,则：0令=1，则 (n·s=2x+y+:=0, y=-4,=2,所以n=(1.-4,2),所以经过直线1和点A的平面云 的法向量为(，-4,21)(1∈R4≠0).故选A 方法总结 用待定暴数法求平面的法向量，关健是在平面内找两个不共钱间 搏B(0,0,2),A(4.0,2),D(4.3,2),C1(0,3,0),设点P(x), 量，设出平面的法南量，列出方程组，求出的三个坐标不是其体的 所以=(-4,0,0)，A币=(x-4,y,-2),i=(0,30),AC= 值，而是比例关系，取其中一组解（非零向量）聊可， (-43,-2),B,=(,y.因为1B,产1=1.所以2+y2+2=1.所 5.D解析：对于A,向量n=(0,1,3)与n2=(1,2,6)不共线，平而 以x∈[-1,1y∈[-1,1]，∈[-1,1]，所以1，=A·A=-4(x 4),42=d.4币=3y,山=G.A=-4(x-4)+3y-2(-2),11 a与B不平行，A错误：对于B,由a=1,-1.2)6-(21.） 12=-4(x-4)-3y=16-4x-3>0恒成立，故C正确，A不正确：山1- 得a~6=12-11+2x(）=0,1与m垂直.B正确：对于C. =-3+2(e-2=-4-3+2,令1=4，则y=1,1B,1 a·n=1×(-l)+(-1)×(-l)=0,a∥a.则1Ca或1∥a.C错误：对 于D.B=(L,-1,-1),B武=(-1,1.0)，由n=(1,u.)是平面的 9 √r,13-16e+16 (B·n=1-u-t=0 4×13×16-16 法向量，得 解得即+1=1，D正确故 t=0. √13-16+16/4×13 BC,n=-1+u=0 4 选BD, 3 >1,矛盾，所以B不正 3 /1 6.ABC解析：由题意可得B(0.0,0),A(0.2.0),C(23.0.0).P(0. 确：山2-3=4(x4)+2(:-2)=-20+4x+2:<0恒成立，所以D不正 确.故选C 2,2).所以P元=(23.-2.-2).B=(0.2,2).设n=(xy,).则 22.解：(1)由a=[12,3],b=[-1,1,2],知a=i+2j+3k,b=-itj+2k, 23x-2-2:=0取：=2，可得m=(0,-2.2) 所以a+b=(i+2j+3k)+(-ij+2k)=3j+5k,所以a+b=[0,3,5】, (2y+2:=0. (2)设i了，k分别为与应，币.不同方向的单位向量，剩店=2 因为AB⊥BC,PA⊥BC,ABOPA=A,所以BC⊥平面PAB.因为BCC 平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB.所以m⊥n,所以Cs(m,n)= =2,A=3k. Q.综上所述，A,B,C错误，D正确.故选ABC ①由题得E为B,中点D,=D-花=(+)-店 7.A解析：如图所示，建立空间直角坐标 系A-,设AB=1,则A(0,0,0),B1(1,0, ）-d=-2=[22] .c0,1.40.0,1.( 2②由题意可得C=店+Ai+可=2i+2+3张，因为7=[2,1.0]， 所以=2i+由i1AC知i.AC=(2i+)·(21+2+3张)= 0AB=(1.0,1),AC=(0,1,1) 0,所以42+2户+(4+2)ij+6k·i+3k·j=0,即4+2+(4+ 4在（1小设平面，G的法 2)·3=0，解得1=-2.则1=12-=-2 (AB,·n=x+柱=0， √4+4-81·j=4+4-4=2 向量为n=(x,y,),则 AG·n=y+z=0, 6.3空间向量的应用 令=-1，则x=y=1,故n=(1,1,-1),,E·n≠0，故A,B与平 面AB,C,不平行.又~E与n不共线，A,E与平而AB,C,不垂 第1课时直线的方向向量、平面的 直，即A,E与平面AB,C,相交但不垂直. 法向量及空间线面关系的判定 重难点拨 第1关（妹速度）】 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关健是走立恰当的坐标系（尽可 1.D解析：点A(0.1,2),B(2.5.8)在直线1上，直线1的一个 能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直 线、平面的要卡)： 方向向量为=(24.0.又：12.3)=(2.46(（1.23 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍 是直线（的一个方向向量.故选D. 松高不开立体几何的有关定理。 2.D解析：因为a·u=-3+4-1=0,所以a⊥M,所以1∥a或1Ca故 8.必要不充分解析：若1,2不平行，则12相交或异面：若1， 选D. 异面，则，2不平行所以“1,2不平行”是“1，山异面“的必要 3.C解析：设平面a内任意一点P八，y,),则4币=(x-2,y+1,-2), 不充分条件故答案为必要不充分 因为平面a的-个法向量为=（行。号）所以宁一2+ 9.平行解析：平面a的法向量为m=(2,-1,4),且A=(2,0,-1). A元=(1,6,1)，m·A话=2×2+4×(-1)=0，m·A亿=2×1+(-1)×6+ 参考答案学霸11 4×1=0,所以m⊥A存.m⊥乙又ABn4C=A,所以m1平面ABC,所 底面ABCD的中心，由于E.F分别是BB, 以平面ABC的一个法向量为m=(2,-1,4).又因为平面：与平 D0,的中点，则0(a.a,0),A1(2a,0,2b). 面ABC是不重合的两个平面.所以平面《与平面ABC平行.故答案 E(2m,2a,b),B,(2a.2a.2b),F(0,0,b) 为平行 0=(a.-a.2b).Fi=(2a.2a,0).EB=(0. 方法总结 0,b),对于A,显然0A与F不共线，即A10 利用向量证明平行问题： 与EF不平行，A不正确：对于B.因为OA,· (1)线线平行：方向向量平行 F=a·2a+(-a)·2a+0·2b=0,所以01 (2)线面平行：平面外直线的方向向量与平面法向量垂直 (3)面面平行：两平面的法向量平行， F成，即A,O1EF,B正确：对于C,设平南EFB,的法向量为n=(x, 0号 解析：因为AB上a,所以店与n共线又=(2,4，-2)，n= ..则m序2*20 令x=1,得=(1，-1,0).00·n= (n·EB,=c=0, (1,-2,2m),则m0,所以2.是-2 所以m= 2a>0,因此0A与n不垂直，即A,0不平行于平面EFB,C不正 1-22m 2n=-4,所 确：对于D,由选项C知，O川与n不共线，即A,)不垂直于平面 以n=号散答案为-} EFB,,D不正确.故选B. 11.②3解析：设正方体的棱长为2. 14.D解析：以点D为坐标原点分别以D,D元，D而的方向为米，y, 对于①：如图①，建立空间直角坐标系，则M(2,0,2),N(0,2,2), 轴正方向建立空间直角坐标系，如图 P(0,2,1),0(1,1,0),可得M=(-2,2,0),0币=(-1,1,1)，则 .O币=2+2+0≠0，所以M与0币不垂直，即MN与0P不垂直， 所以①情误： 设正方体棱长为1，(0,0，)，N(x,1,1-x),则A(1.0,0),D,(0, 0,1),所以=(x,1,1--a).AD=(-1.0,1).若AD,1N,则 ① M,AD=-x+1-x-a=0.即2x=1-a(0≤x≤1.0≤a≤1)，方程 对于②：如图②.建立空间直角坐标系，则M(2.0.0),N(0.0.2), 有无数组解，故选D P(2.0.1).0(1.1,0).可得M=(-2.0.2).0示=(1，-1,1)，则 15.ACD解析：如图，以D为原点，DA.DC 示.O币=-2+0+2=0，所以W⊥O币，即MN10P,所以②正确： DD,所在直线分别为x,y,:轴建立空间直 角坐标系D-,则D(0,0,0),C(0,5, 0),D(0,0,1),A(1,0,0,4(1,0,1) B1,3.0).C(0,3,1),设1t=kA 不=(-1店-.则（复 对于③：如图3，建立空间直角坐标系，则M(2,2,2),N0,2,0), P(0.0,1).0(1,1,0),可得=(-2,0.-2)，0币=(-1，-1,1)， 士）可得不(-公复）办 则W示.0币=2+0-2=0，所以10币，即MN10P,所以③正确： 应(） 对于A:当A,亡=2A,时，点P为对角线A,C的中点，根据长方体 性质可得B,P,D,三点共线，放A正确： 对F:1时市.正士+2 -1=0,解得素 3 对于④：如图④.建立空间直角坐标系，则M(0.2,0),N(0.0.2). 5(5)(传5)则 P(2,1.2).0(1,1,0).可得=(0，-2,2).0=(1.0,2).则 ,0币=0+0+4≠0，所以M与O不垂直，即MN与0P不垂直. (5)小（传）名名言 所以④错误 因此币LD,户不正确，故B错误： 对Fc:当t-,D市-（号）设平面0c 的法向量为m=(x,y,),yD丽=(1,3,0)，DC=(0,5,1) 故答案为2 …成=+5y=0.当y=-1时，=万，=原，故n= (m.DG=3y+:=0, 第2关（练准确率）】 12.B解析：因为四个选项中，只有a·(0,1,0)=(2,0.2)·(0.1, 5a…-号5店-0a2又 0)=0b·(0,1,0)=(3.0,0)·(0,1.0)=0,所以平面a.B交线 的方向向量可以是(0.1,0)，故选B. D,P￠平面BDC,.D,P∥平面BDC,故C正确： 13.B解析：在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，以点D为原点建立如 图所示的空间直角坐标系，令AB=2a,DD1=2b(a>0,b>0),0是 对于当=5时，可得应：（号停专）： 选择性必修第二册·S学蜀12 (1,0,-1),设平面DAP的法向量为m=(a,b,e),则 m↓344 法向量为m=().=(3,3.0).府=(0,3在），则 5+5 c=0取a=-1.则6=万，e=-lm 1n·A花=3x+3y=0. x=-y, m·D,=a-c=0 (-1,3.-1).面A,元=(-1,5，-1)，A,元∥m,÷A,C1平面 ao,{n,◆y-1则 D,AP,故D正确.故放选ACD :设平面EFG的一个法向量为m=(a,6,e). 16.D解析：如图，以D为坐标原点，D,D元，D亦的方向分别为，y, 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),P0,0 成（11,0).武=(-23，.则m6=0, 即 (m.EC=-2a+3动+ir=0. 5）(.o）(层÷)成=(.o5) a=-b. 2a6令6=-1，则m=（1.-1.气）因为平面G∥平 面4CH,所以m/m,所以三_3t》,即5=3+，解得A= 3 3 故答案为 设平面DEF的法向量为=(x,,), 成-250， 令=√5，得n=(-2,-1.5) n…亦2+485 BF 19.证明：(1)以B为坐标原点，BA.BC,BB,所在的直线分别为x轴、 45 y轴：轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0),D(0,2 设M(m,n,0),则P7= m,n,5 因为PM⊥平面DEF.所以 2),B,(0.0,4),设B刷=a,则A(a.0,0).所以=(a,0,0).B= 4w5 (0.2,2),B1i=(0.2.-2).因为Bi.B=0,,i.=0+4-4= 5 8 4 O,所以B,D⊥BA,BD⊥BD.又BA∩BD=B,所以B,D⊥平面ABD 5n 3放DM= 5故击n (2)由题意及(1)知E(0,0,3).G(乞1， n(gg) 401,4则武=（分1）成=(0. 解析：不妨设点E的坐标为(0,0，)，平 1,1)因为B,i,E武=0+2-2=0，B,i.E= 面AB,D,的法向量为=(1，)， 0+2-2=0,所以B,D⊥EG,B,D⊥EF.又EGn 因为A(1.0.0),B(1,1,2),D(0,0.2),C(0,1,0) EF=E,所以B,D⊥平面EGF,结合(I)可知平 所以B=(0,1,2,可=(-1,0,2)，C证=(，%-1，），正= 面EGF∥平面ABD, (xo-1,Yo.). 方法总结 因为CE⊥平面AB,D1,所以CE⊥AB1,CE⊥AD1 利用向量法证垂直问的类型及常用方法： 所区.孤0即o+20.0 (1)线线垂直问题：证明两直线所在的方句向量互相争直，即证它们 C正.AD=0.-+2n=0. 的数量积为零 (2)线面季直问腿：直线的方向向量与平面的法向量共线或利用线 g=0即+2=0。 又由 面要直的判定定理转化为证明线线李直， 0·m=0.气-1+21=0。 (3)面面垂直问规：两个平面的法向量垂直或利用面面垂直的判定 不妨令1=1.则x1=21=-2.故n可以取(2，-2.1)， 定理转化为证明线面季直 因为2·n=0,所以2。-20+n=2② 20.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,且ABC平面ABCD.所以AB⊥ 814 联立①2.可得=9n969 PA,又因为AB⊥AD.且PA∩AD=A.PA,ADC平面PAD.所以AB⊥ 平面PAD依题意，以点A为原点，以AB.AD.AP所在直线分别为 做数E的坐标是（侣可音）】 ,,:轴建立如图所示的空间直角坐标系。 故答案为（)】 3 18. 2 解析：以A为原点.AB,AD,A41所在直线分别为x,y.:轴，建 立空间直角坐标系，如图厮示， 则B(1.0.0),C(2,2,0),D(0,2.0),P(0.0.2).由E为棱P℃的 则A(0,0,0),E(2,0,0),F(3,1,0),C(3,3,0).D(0,3,0),设 中点，得E(1,1,1),则B配=(0,1,1)，所以A=(1,0,0)为平面 6030.由=A应可得o3,☆ ,设平面ACH的一个 PD的一个法向量.又成.=(0,1,1)·(1.0,0)=0，所以 BE⊥AB,又BEd平面PAD,所以BE∥平面PAD, 参考答案学霸13 (2)由(1)知平面P1D的一个法向量为店=(1,0.0).P可=(0， m.成=0， 即 2,-2),D元=(2,0,0)，设平面PCD的一个法向量为#=(xy,) 面BDN的一个法向量为m=(x,0,),则 m·Di=0. 则：0即径0今1，可得1，所以1=(0,1 fo+yn=0. (2An+(1-A)0=0 令=1.则%-1，=1入，所以m 又n·A话=(0,1,1)·(1.0.0)=0，所以n1A店，所以平面PCD1 平面BDM⊥平面BDF等价于m·n=0,即1+1- 平面PAD. 第3关（练思维宽度） 2八=0，得A= 21,D解析：如图，建立空间直角坐标系，则有A(2,0,0),M(0,2, 1- 2∈[0,1)，所以线段BC上存在点M使平面 1),N(xy.0),A(2.0.2),B(2,2.0).C,(0.2.2),B(2.2.2. BDFL平面BDM,且.1 第2课时空间角的计算 第1关（练递度） 1.A解析：设两条异面直线所成的角为0，且这两条异面直线的方 向向量分别是m=(1,-2,3),n=(2.1.0),则c%8=- m n m·la 1×2+(-2)×1+3×0 对于A选项，若∠AW=号则.网=0，且=(2-，y,0 √+(-2)+3√2+1+0 =0,且0<0≤号，所以这调条异面直 N7=(-x,2-y.1).故点N的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=2,当 线所成的角为于，故选1 x=0时，y=0,点(0.0)既在轨凌上，也在底面内.故存在这样的 2.D解析：建立如图所示的空间直角坐标 点N满足条件，A错误：对于B选项，A,N=5AN=1点N 系，设正方体的棱长为1，易求得平 在底面内轨迹的长度是以A为圆心，1为半径的圆周长的！，故 面ACD1的一个法向量为n,=(1.-1, B 1),平面4CD的一个法向量为2=(0.0， 长度为 2,B辑误：对于C选项，4方=(0,2，-2)， *2m= 所w语-号且 C=(-2,2,0),设平面A,BC,的法向量为n=(x,y,:),放有 二面角D,-AC-D是锐二面布，所以二面 2200,令y=1.则x11,故n=(11,0/平 角D-AC-D的正弦值为￥ 面A,BCM·n=0,点N的轨迹方程为xy-3=0.0≤x≤ a写5正切 2,0≤y≤2，.点N在底面内轨迹的长度为√个+下=2，C错误； 6 对于D选项.B,下=(x-2,y-2,-2),A1=(-2,2.-1).B1N 值为3=2 LA,M,.B1N·A,M=0..点N的轨迹方程为-x+y+1=0,即x 3 y-1=0.:0≤x≤2,0≤y≤2，，点N在底而内轨迹的长度为 3.B解析：如图所示，取AC的中点D.以点D为原点，BD,DC.DM √个+=√2，D正确.故选D. 所在直线分别为x轴、y轴，：轴，建立空间直角坐标系， 22.(1)证明：因为AB∥CD.AB￠平面CDE,GDC平面CDE,所 以AB∥平面CDE.同理，AF∥平面CDE.又AB∩AF=A.所以平 面ABF∥平面CDE.因为BFC平面ABF,所以BF∥平面CDE (2)解：存在因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平 面ABCD=AD,CD⊥AD,CDC平面ABCD,所以CD⊥平面ADEF 又DEC平面ADEF,故CD⊥ED,而四边形ADEF是正方形，所 以AD⊥DE.又CD⊥AD,所以以D为原点，DA,DC.DE所在直线 分别为x轴，y轴，：轴，建立空间直角坐标系D-z设AD=1, 则AB=1.CD=2.D(0.0.0),B(1,1.0),F(1.0.1).C(0.2,0). 不妨设AG=2,则A(0.-1.0).M(0.0.2),B -3,0.0.所以 E(0,0,1),D成=(1,1,0)，D示=(1,0,1)，设平面BDF的一个法向 量为n=,则”·0'即+y0令=1则y 应=(0,12.平面c8的-个法向量为a=(停号0） "(n.D亦=0.x+:=0. 设AM与平面BCC,B,所成角为a,向量A与n所成的角为8，所 所以n=(1,-1.-1).若M与C重合，则平面BDW(C)的一个法向 3 量为mo=(0,0,1),则m。·n=-1≠0，则此时平面DF与平面 以in《■|em1= ,即AM与平面BCC,B BDM不垂直若M与C不重合，如图. A711nl5×3 10 所成角的正弦值为压放选R 10 4.ABD解析：连接D,因为∠D6=号，设AB=2D=2PD=2a,由 余弦定理得BD2=AD+AB2-2AD·AB·%∠BAD.所以BD2=2+ A(0≤Ac1),则M(0,2A,1-A).=(0,2A,1-A),设平 4a2-4n2.1 =3a2,则D=3,则BD2+A0=AB2.即D1AD. 选择性必修第二册，SJ学蜀14