6.2.2 空间向量的坐标表示-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

.à=[i++(成励)]小* ,所以a,6)=云故答案为后 0成+0元+0 9(兮号号）解折：易将店=12.2.=个2可 第2课时空间向量的坐标表示 3,所以与店方向相同的单位向量为 第1关（练逸度】 1C解析：易知=(0,3.2)，成=(-2.02).所以)成=(-1.0. 子)故答案为（行子号） 1).因此可得配=(1,31).故选C 10. 2 解桥：由于a=1,-2-).=(1）c=(0,1 2.D解析：由a∥b,可设b=a,则(2.A+1,A)=(A4,μ)，所以 2=A, 号）共面可设a=b+,(1.-2.a）=(（，）小 所化放法D A=2μ， 1=2 3.BD解析：对于A选项，因为a1b,所以a·b=x12+12+:13= 0,A选项正确：对于B选项，若x2=0,且为3≠0,2≠0，若a∥b.但 子）（y子）可得-2y 分式无意义，B选项错误：对于C速项，由空间向量数量积的坐 x=2 标运算可知eos〈a,b)= x+y1y2+31 ,选项正确： √·√ 得一、故答案为-2 对于D选项，若x1=,=1=1,则1al=√++下=3，此时，a n2 不是单位向量，D选项错误故选BD 11. 解析：由题设，0币=(1,0,2)，则0=A0币= 4.C解析：a=(1.1,2).b=(-3,2,0),a+b=(-2.3,2), (a+b)·a=-2×1+3×1+2x2=3,1al=√/12+12+(2)= (A.0.2A).AR 2,a+b在a上的投影向量为a+b)·0.口。3 令Q(xy,),则00=(xy,),所以x=Ay=0,a=2A,则Q(A,0, 1a1ae4(1,1,w2)= 2A),放0=(1-A,2,2-2A).0=(2-A,1,1-2),所以0： (2架)故击c 0i=(1-A)(2-A)+2+2(1-A)(1-2A)=A2-3M+2+2+2(2A2 5.C解析：因为A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),所以店=(1-， 3+1)=-916=5(品)广器放当A=时.应 2x-3.-3x+3).则1店1=√(1-x)+(2x-3)+(-3x+3)了= 取得最小值，此时点0的坐标为（品0号）故答案为（品。 √4r-32r+19,当x=8时.1取最小值，故选C 6.AC解析：A币，店=-2-2+4=0，故A正确：B配=币-A店=(3， 第2关（蛛准确率） -3,-3),币，币=3+6-3=6≠0，故B不正确：B元=A亿-A店=(6 12.D解析：点P关于平面xy的对称点为P(1.1,-1),则光线所 1,-4),1B元1=62+2+(-4)=53，故C正确：币=(1.-2 经过的距离为P'0=/(3-1)2+(3-1)2+(6+1)2=√57 1),B武=(6,1，-4)，各个对应分量的比例不同，故D不正确故 13.AC解析：对于A,由1a1=2,可得个+(-1)+m=2,解 选AG. 得m=±2，故A选项正确：对于B,由a⊥b,可得-2-m+1+2m 方法总结 0,解得m=1.故B选项错误：对于C,若存在实数A,使得a=Ab 空间向量的平行、垂直的坐标表示： 则-2A=1,m=2A,-1=A(m-1),显然A无解，即不存在实数A 设a=(a1a203).b=(b1.b2,b)别 使得a=Ab.故C选项正确：对于D.若a·b=-1,则-2-m+1+ 2m=-1.解得m=0,故D选项错误故选AC (01=Ab, 方法总结 平行(a∥b) a∥b(b≠0)a=Ab=a2=Ab2,(AeR) 利用向量坐标运算解决问厕的关城是熟记向量坐标运算的法则， a1=Ab 时拿据下列技巧： 垂直(a⊥b) a1ba·b=0e1b,+ah+ab3=0(a.b均为 (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a+b)·(a-b)=a2 非零向量) b2=la12-1b2,(a+b)·(a+b)=(a+b)2等. (2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可以先进行化 7.B解析：设向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(x,y,2),则 简挥代入坐标运算，如计算(2)·(-b),既可以利用运靠律把它化 p=x(a+b)+(a-b)+e,又向量p在基底a,b,c下的坐标为(4， 成-2(a·b),也可以先分别求出2a,-b,再求数量积：计算(a+b)· 2,3),则p=4a+2h+3c,所以4a+2h+3c=x(a+b)+y(a-b)+c,即 (a-b),既可以先求出a+b,a-b,再求数量积，也可以把(a+b)· x=4, (x=3, (a-b)写成a2-b2后计算 4a+2h+3c=(x*y)a+(xy)b+e,所以x-y=2,解得=1.所以向 ：=3 m2+n2=1, 量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(3,1.3).故选B m2+2=1. [m2+n2=1. 8. 6 解析：因为a=(1,0,1),b=(x,1,2),a·b=3,所以x+2=3, 14.C解析：由题意可得ms(成，心.m+n.6 33,则 解得l,所以ma。82之后因为a,)a0, os(0i,0元-p_6 n+p=2, 33· 参考答案学霸09 n产a=p=2 .又em(o,i=m,即em(,0成=，且a, 成e0,,所以.成=号故选C 15.C解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A,B,G,D CY 的棱长为1.则A(1.0.0).B(1.1,0).C(0.1.0).D,(0.01).则 D,=(1.1,-1).所以D,户=AD店=(A,A,-A).所以P=PD+ 重难点拨 D=(-A,-A,A)+(1.0,-1)=(1-A,-A,A-1).P元=PD+D,元= 求向量的坐标，应先我斟向量起点和终点的坐标，者没有空同直角 (-A,-A,A)+(0,1,-1)=(-A,1-A,A-1).由图可知，∠AP℃≠0， 坐标系，应先建系.司一儿何图形中，由于建立的空间直角坐标系不 所以上APC为锐角等价于s∠APG>0,所以P,P元=(1-A,-A, 同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但本质是 样的， A-1)·(-A,1-A,A-1)=(1-A)(-A)+(-A)(1-A)+(A-1)2= (-(3-)0又01<1，解得0<兮故选C 18.√7解析：因为D,D⊥底面ABCD.所以D,D⊥AD,D,D⊥DC.因 为底面ABCD是正方形，所以DA⊥DC.以D为坐标原点，以Di的 方向为x轴正方向，D的方向为y轴正方向.DD,的方向为：轴正 方向建立坐标系，如图 16.B解析：如图，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC,BD相交于点 O,连接PO,则PO⊥平面ABCD.且AC⊥BD, 以0为原点，分别以0A,)D.P所在的直线为x,x,:轴建立空间 设四棱锥D,-ABCD的外接球的半径为，由外接球的表面积为 直角坐标系，设0A=a(a>0),0P=c(c>0),由PA=了PA,PB,= 8五，得=8，所以=}，D,=2=√6+610-9，所 Pm,G=Pe,Pm,=APm,可得4（g0,号）岛(0 以DD=3,所以A(6,0,0),D,(0,0,3).又2D,E=E4,即2D,E=E. 号亏）G（年0.安)n(0,a,e-A.则A 设E(x,y,),所以D龙=(，，-3).=(6-x,,-).所以 2x=6-x, 1x=2, ；受)C(沿）d=(ga 2y=-y, 所以《y=0,所以E(2,0,2).又B(6.6,0),因为M为 2(-3)=-, 1=2. 线段E的中点，所以M(4,3,1).设直线DC上一点Q(0,1, 气-因为4B,G,山四点共面所以存在xy满足4，可= 0),Q=√16+(-3)2+1=√17+(-3)7.所以当=3时，点M到 ·(号）·（沿）月 直线D心上任意点的距离最小，且最小值为√7故客案为√7， 19.解：(1)因为B(-1,1,2).C(-3.0.4),所以B=(-2.-1,2).又因 iEi,Cma=·（号）y0 为c∥BC,所以c=(-2A,-A,2A.又因为1c1=3,所以 /(-2A2+(-A)+(2A)下=3，解得A=±1，因此c=(-2,-1,2) 或c=(2,1,-2) (2)因为a=AB=(1.1.0),b=A元=(-1.0,2)，所以a与b的夹角 x- 2 5 的余弦值为8：6。 -1 为1ab12x)+20、 (3)因为a+b与a-2b互相垂直，所以(a+b)·(a-2b)=0 →2.d-a~6-262=024-10=0=-度e2 20.解：(1)因为E(0,0,1),B(1,0,0),F(0,2,2),C(a,2,0),所以 E7=(0.2.1).8=(a-1.2.0). 所以向最武在向最F序方向上的投影的数量为 E求，B武0x(a-1)+2×2+1×0.44w5 D\y E成 0+22+155 (2)存在实数4，使得点E,F,C,B共面. 17.5解析：如图，以点A为原点，以4A元A国的方向分别为x,x :轴的正方向建立空间直角坐标系，则E(0,4,2),F(2,0,0), 由题意得.函=(1,0，-1)，E序=(0,2,1)，武=(a-1.2.0). G(2,0.4),设D(0y.0),则Ci=(-2,y,-4),E=(2,-4.-2). 若点E,F,C,B共面，则存在实数x和y.使得E=xE序+yB成 1=(a-1), 1x=-1, 因为GD1EF,所以G.序=-2×2-4y+(-4)x(-2)=0,得y=1, 所以{0=2x+2,解得y=1,所以存在实数a=2使得点E,F, 即D(0,1,0),所以D=√(2-0)2+(0-1)2=5，故答案为5. -1=x a=2 选择性必修第二册·SJ学霸10 C.B共面. 第3关（练思维宽度） 右(+1)+写(-2》=0，整理得32-9=0面3-1+2-9=-5≠ 21,C解析：以B,为坐标原点，B1A,所在直线为x轴，BC,所在直 0,3-3+3-9=-6≠0,3+3+3-9=0，-3+3-3-9=-12≠0，所以对比 线为y轴，B,B所在直线为：轴，建立如图所示的空间直角坐 选项可知只有八(，3)在平面a内故选C 标系， 4.A解析：由题意可得币=(0.-2，-4)，设经过直线1和点A的平 面量的法向量为n=(,则：0令=1，则 (n·s=2x+y+:=0, y=-4,=2,所以n=(1.-4,2),所以经过直线1和点A的平面云 的法向量为(，-4,21)(1∈R4≠0).故选A 方法总结 用待定暴数法求平面的法向量，关健是在平面内找两个不共钱间 搏B(0,0,2),A(4.0,2),D(4.3,2),C1(0,3,0),设点P(x), 量，设出平面的法南量，列出方程组，求出的三个坐标不是其体的 所以=(-4,0,0)，A币=(x-4,y,-2),i=(0,30),AC= 值，而是比例关系，取其中一组解（非零向量）聊可， (-43,-2),B,=(,y.因为1B,产1=1.所以2+y2+2=1.所 5.D解析：对于A,向量n=(0,1,3)与n2=(1,2,6)不共线，平而 以x∈[-1,1y∈[-1,1]，∈[-1,1]，所以1，=A·A=-4(x 4),42=d.4币=3y,山=G.A=-4(x-4)+3y-2(-2),11 a与B不平行，A错误：对于B,由a=1,-1.2)6-(21.） 12=-4(x-4)-3y=16-4x-3>0恒成立，故C正确，A不正确：山1- 得a~6=12-11+2x(）=0,1与m垂直.B正确：对于C. =-3+2(e-2=-4-3+2,令1=4，则y=1,1B,1 a·n=1×(-l)+(-1)×(-l)=0,a∥a.则1Ca或1∥a.C错误：对 于D.B=(L,-1,-1),B武=(-1,1.0)，由n=(1,u.)是平面的 9 √r,13-16e+16 (B·n=1-u-t=0 4×13×16-16 法向量，得 解得即+1=1，D正确故 t=0. √13-16+16/4×13 BC,n=-1+u=0 4 选BD, 3 >1,矛盾，所以B不正 3 /1 6.ABC解析：由题意可得B(0.0,0),A(0.2.0),C(23.0.0).P(0. 确：山2-3=4(x4)+2(:-2)=-20+4x+2:<0恒成立，所以D不正 确.故选C 2,2).所以P元=(23.-2.-2).B=(0.2,2).设n=(xy,).则 22.解：(1)由a=[12,3],b=[-1,1,2],知a=i+2j+3k,b=-itj+2k, 23x-2-2:=0取：=2，可得m=(0,-2.2) 所以a+b=(i+2j+3k)+(-ij+2k)=3j+5k,所以a+b=[0,3,5】, (2y+2:=0. (2)设i了，k分别为与应，币.不同方向的单位向量，剩店=2 因为AB⊥BC,PA⊥BC,ABOPA=A,所以BC⊥平面PAB.因为BCC 平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAB.所以m⊥n,所以Cs(m,n)= =2,A=3k. Q.综上所述，A,B,C错误，D正确.故选ABC ①由题得E为B,中点D,=D-花=(+)-店 7.A解析：如图所示，建立空间直角坐标 系A-,设AB=1,则A(0,0,0),B1(1,0, ）-d=-2=[22] .c0,1.40.0,1.( 2②由题意可得C=店+Ai+可=2i+2+3张，因为7=[2,1.0]， 所以=2i+由i1AC知i.AC=(2i+)·(21+2+3张)= 0AB=(1.0,1),AC=(0,1,1) 0,所以42+2户+(4+2)ij+6k·i+3k·j=0,即4+2+(4+ 4在（1小设平面，G的法 2)·3=0，解得1=-2.则1=12-=-2 (AB,·n=x+柱=0， √4+4-81·j=4+4-4=2 向量为n=(x,y,),则 AG·n=y+z=0, 6.3空间向量的应用 令=-1，则x=y=1,故n=(1,1,-1),,E·n≠0，故A,B与平 面AB,C,不平行.又~E与n不共线，A,E与平而AB,C,不垂 第1课时直线的方向向量、平面的 直，即A,E与平面AB,C,相交但不垂直. 法向量及空间线面关系的判定 重难点拨 第1关（妹速度）】 1.利用向量法证明平行、垂直关系，关健是走立恰当的坐标系（尽可 1.D解析：点A(0.1,2),B(2.5.8)在直线1上，直线1的一个 能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直 线、平面的要卡)： 方向向量为=(24.0.又：12.3)=(2.46(（1.23 2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍 是直线（的一个方向向量.故选D. 松高不开立体几何的有关定理。 2.D解析：因为a·u=-3+4-1=0,所以a⊥M,所以1∥a或1Ca故 8.必要不充分解析：若1,2不平行，则12相交或异面：若1， 选D. 异面，则，2不平行所以“1,2不平行”是“1，山异面“的必要 3.C解析：设平面a内任意一点P八，y,),则4币=(x-2,y+1,-2), 不充分条件故答案为必要不充分 因为平面a的-个法向量为=（行。号）所以宁一2+ 9.平行解析：平面a的法向量为m=(2,-1,4),且A=(2,0,-1). A元=(1,6,1)，m·A话=2×2+4×(-1)=0，m·A亿=2×1+(-1)×6+ 参考答案学霸11第2课时 空间向量的坐标表示 第1关练速度 5mn为准，尔的时间 6.(多选)(2023·重庆永川区高二月考)已知点 1.(2024·河南开封高二期末)已知A(2,-3,1), P是△ABC所在平面外一点，若AB=(-2,1, B(20,3),C0.0,5).则A店2Bd= ( 4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),则() A.AP⊥AB B.AP⊥BP A.(-1,3,3) B.(1,-3,-3) C.IBC1=√53 D.AP∥BC C.(1,3,1) D.(-1-3,-1)》 7.(2024·江苏连云港高二期中)已知a,b,c} 2.(2024·湖北宜昌高二期中)已知空间向量 是空间的一个基底，{a+b,a-b,c{是空间的 a=(入，1,2)，b=(2,入+1，A),若a∥b,则实数 另一个基底，一向量p在基底{a,b,c下的坐 入= ( 标为(4,2,3)，则向量p在基底1a+b,a-b,c A.0 B.2 C.-1 D.-2 下的坐标是 () 3.(多选)(2024·安徽合肥高二月考)对于任意 A.(4,0,3) B.(3,1,3) 非零向量a=(x,y1,a1),b=(x232,2),以下 C.(1,2,3) D.(2,1,3) 说法错误的有 8.(2024·山东省实验中学高二期末)已知a= A.若a⊥b,则x,x2ty1y2t2=0 (1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a 与b的夹角为 B.若a∥h,则-上- x2y22 9.(2024·广东东莞高二期末)已知空间两点 A(1,2,3),B(2,4,5),则与AB方向相同的单 C.cos(a,b)= x1x2+y1y2+z122 x+y+好·√x好+y+园 位向量的坐标是 D.若x,=y,=1=1,则a为单位向量 10.(2024·河南郑州高二月考)若向量a 4.(2024·重庆九龙坡区高二期末)已知向量 1,-2.-n).b=(分21c=o1,） a=(1,1,2),b=(-3,2,0),则a+b在a上的 共面，则n= 投影向量为 11.(2024·江苏扬州高二月考)已知点0(0,0， 32) 0),A(1,2,2),B(2,1,1),P(1,0,2),点Q 在直线OP上运动，当QA·QB取得最小值 c 时，点Q的坐标是 5.(2024·陕西西安高二期末)若A(x,5-x,2x 第2关练准确率 日题为准，你做对题 1),B(1,x+2,2-x),当1AB1取最小值时.x的 12.一束光线自点P(1,1,1)出发，被平面x0y 值等于 ( 反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光线所 经过的距离是 8 A.19 B.- 8 14 A.37B.√33 C.47 D.57 第6章学霸013 13.(多选)(2024·福建福州高二月考)已知向17.(2024·安徽安庆高二月考)如图，在直三棱 量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列 柱ABC-A,B,C,中，∠BAC=90°，AB= 结论中正确的是 AC=A4,=4,点G,E,F分别是A,B1,CC1,AB A.若|a|=2,则m=±√2 的中点，点D是AC上的动点若GD⊥EF,则 B.若a⊥b,则m=-1 线段DF的长度为 C.不存在实数入，使得a=Ab G D.若a·b=-1,则m=1 14.(2023·浙江杭州高二期末)设空间两个单 位向量0A=(m,n,0),OB=(0,n,p)与向量 (第17题) (第18题) 、0C=山，山，)的夹角的余弦值均为，则 18.(2024·福建福州高二期末)如图，在四棱锥 (0i,0= D,-ABCD中，DD⊥底面ABCD,底面ABCD 是边长为6的正方形，且四棱锥D,-ABCD A B. 4 的外接球的表面积为81π，点E在线段AD, 上，且2D,E=EA,M为线段BE的中点，则 c 点M到直线DC上任意点的距离的最小 15.(2024·山东烟台高二月考)在正方体 值为 ABCD-A,B,C,D,中，点P在线段BD,上，且 19.（2024·江苏徐州高二月考)已知空间三 点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 D,P=AD,B(0<A<1).当∠APC为锐角时， 实数入的取值范围为 a=AB,b=AC. ( (1)若1cl=3,c∥BC,求c: Ao2） B(分) (2)求a与b的夹角的余弦值： c.o,3) (g) (3)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k. 16.(2024·山东菏泽高二期末)一平面截正四 棱锥P-ABCD,与棱PA,PB,PC,PD的交点 依次为A,B,C,D1,已知PA,=3PA,PB= 2PB,PC,=PC,PD,=APD,则A的值为 B.I C.5 选择性必修第二册·SJ学霸014 20.如图，在空间直角坐标系A-z中，E(0,0,22.(2024·山东青岛高二月考)空 1),B(1.0,0),F(0,2,2),C(a,2.0) 间中，两两互相垂直且有公共原 视疑讲解 (1)求向量BC在向量EF方向上的投影的 点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系 数量 中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系 (2)是否存在实数a,使得点E,F,C,B共 称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系， 面？若存在，求出a的值：若不存在，说 它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这 明理由。 种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空 间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下 向量的斜60°坐标：iJj,k分别为“斜60°坐标 系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的 单位向量，若向量n=xi+y+k,则n与有序 实数组(x,y,z)相对应，称向量n的斜60°坐 标为[x,y,z],记作n=[x,y,z]. (1)若a=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的 斜60°坐标. (2)在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中， AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1= ∠DA4=60°，如图，以1AB,AD,A4为 基底建立“空间斜60坐标系”。 ①若B=EB,求向量ED,的斜60 坐标： ②若Ai=[2,t,0],且A⊥AC,求 IAMI. 第3关练思维宽度 难度级别：☆音☆☆☆ 21.(2024·江苏连云港高二月考)已知长方 体ABCD-A,B,C,D,中，AB=4,BC=3,AM,=2, 空间中存在一动点P满足IB,P1=1.记1， A店·AP,2=A而·A正，1=AC·AP,则( A.存在点P,使得1=1 B.存在点P,使得I1=I3 C.对任意的点P,有1>l2 D.对任意的点P,有12>1 第6章学霸015