6.1.2 空间向量的数量积-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

第2课时 空间向量的数量积 第1关练速度5mn为准，你的时间： 7.(2024·山东烟台高二月考)柏拉图多面体是 1.(2024·辽宁葫芦岛高二月考)已知空间向量 柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究 a,b,la|=1,Ib|=√2，且a-b与a垂直，则a 后而得名的几何体.下图是棱长均为1的柏拉 与b的夹角为 ) 图多面体EABCDF,P,Q,M,N分别为 A.60 B.30° C.135°D.45 DE,AB,AD,BF的中点，则PQ·MN=() 2.空间向量a,b满足1aI=1b1=2,a与b的夹 角为120°，则1a-b1的值为 () A.1 B.3 C.23 D.32 3.(多选)如图，已知长方体ABCD-A,B,C,D1,下 列向量的数量积可以为0的是 D A B D.-1 A.AD·B,C B.BD·AC 8.已知向量a,b,1al=3,1b1=4,〈a,b〉=120°， C.A店.AD D.BD'.BC 则(3a-2b)·(a+2b)= 4.（2023·福建莆田高二期中)在空间中，已 9.(2023·广东湛江高二期末)若0A,0B,0C为 知e1,e2为单位向量，且e1⊥e2,若a=2e1+ 空间三个单位向量，OA⊥0B,且0C与0A,0B所 3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为( 成的角均为60°，则10A+0店+0元1= A.-6B.6 C.3 D.-3 10.(2023·湖北襄阳高二期中)已知空间向量 5.(2024·四川成都高二期末)如图，已知四面 体ABCD的棱长都是2，点M为棱AD的中 a,b,c满足a+b+c=0,1al=3,1b1=1,1cl= 点，则AB·CM的值为 ( 4,则a·b+b·c+c·a的值为 A.1 B.-1 C.-2 D.2 11.(2024·江苏常州高二期中)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=4, ∠DAB=,M为棱PC的中点，且丽· (第5题) (第6题) AB=5,则AP.AB= 6.(2024·广东广州高二月考)如图，在正三棱 柱ABC-A,B,C,中，若AB=√2BB1,则AB,与 BC,所成角的大小为 ( A.60° B.90° C.105° D.75° 选择性必修第二册·SJ学霸004 第2关练准确率 8题为准，你做对 12.已知非零向量a,b不共线，且其模相等，则 a+b与a-b的关系是 A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都有可能 A.5 B.6 C.5+√2D.5+W/3 13.(2024·江苏常州高二月考)已知空间向量 17.如图，圆柱002的底面半径为2，高为5，A, 1al=√/13,1b1=5,且a与b夹角的余弦值 B分别是上、下底面圆周上的两个点，若 为93 65,则a在b上的投影向量为( 01A⊥02B,则AB= A.93 B.93 13 13 C.2 9 D、9 b 251 18.(2024·河北石家庄高二月考)如图，球0为 14.(多选)(2023·江苏常州一中高二月考)已 长方体ABCD-A,B,C,D,内能放入的体积最 知四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直，则 大的球，且AA,=2AB=2AD=4,则球0的表 以下结论中一定成立的是 ( 面积为 若EF是球O的一条直径， A.IAB+A元+AD1=lAB+A元-AD1 P为该长方体表面上的动点，则P2·PF的最 B.(AB+AC+AD)·BC=0 大值为 C.1AB+AC+A12=|AB12+1AC2+1A12 D.AB.C=A元.BD=AD.B元 15.(2024·福建莆田高二月考)在棱长为1 的正四面体ABCD中，点M满足A=xAB+ 19.（2024·河南开封高二期末)如图，在空间四 yAC+(1-x-y)AD(x,yeR),点N满足DN= 边形ABCD中，AB=3,BC=4,AD=5, ADA+(1-A)DC(A∈R),当AM和DN的长 ∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC. 度都为最短时，A,AN的值是 (1)求B·BC; (2)求CD的长 16.(2023·四川资阳高二月考)如图，已知正方 体ABCD-A,B,C,D1的棱长为2，点P是四边 形AB,C,D,的内切圆上一点，0为四边 形ABCD的中心，则OP·DP的最大值为 第6章学霸005 20.(2024·江苏常州高二月考)如图所示，在平 在正方体ABCD-A,B,C,D1中，有以下四个 行六面体ABCD-A,B,C,D1中，AB=AD= 结论，正确的有 () 1.AA=2.LBAD-2.ZBAA,=2DAA=3 A.IAB,xACI=IAD×DB B.A,C×A,D与BD共线 (1)用向量AB,AD,AA表示向量BD,并 C.ABxAD=ADxAB 求IBD; D.61BC×AC1与正方体表面积的数值相等 (2)求cos(BD,AC. 22.如图，M,N分别是四面体OABC 的棱OA,BC的中点，P,Q是MN 的三等分点。 (1)用向量0A,0成，0C表示0P和00： (2)若四面体OABC的所有棱长都等于1，求 0P.00的值. 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆女☆ 21.(多选)(2024·安徽黄山高二月考)在三维 空间中，定义向量的外积：a×b叫作向量a 与b的外积，它是一个向量，满足下列两个 条件： ①a⊥(a×b),b⊥(axb),且a,b和a×b构成 右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇 指、食指、中指的指向一致，如图所示)； a×b ②axb的模Iaxb1=lallb1sin(a,b)((a,b) 表示向量a,b的夹角) 选择性必修第二册·SJ学霸006子花=国+子（硒+动-可）=子硒+号动+号国= 亦+，成.（成+成）（行成 子（硒动），应=花正=+动+G动： }应）成亦成应成成+市应 不，故：号店.由于市，店有公共点小，故4，R,B三点 1x1Xm6040x1x1+1X1xom60=子故选A 共线 8.-61解析：(3a-2h)·(a+2b)=31a12+4a…b-41b12=31a12+ (2)由题意，点G是平行四边形B,BCC,的中心，故D亦=D元+C 店号花=-号（硒+市-=子破-号动+号瓜 41a1b1m120-41b12=3x9+43x4x(子） -4×16=27-24 64▣-61. 子（动+国）成=成+成=+团=+ 9.5解析：由题意可得0.0市=0.0.0成=0成.成=1×1×e%60= 1 之（瓜-动=市d,故亦：子成，因为成，成有 .10i+00t1=√O+0+0心+20.0+20i.0420元.0i 2 公共点D,所以D,F,G三点共线 m110205,放答案为5 第2课时空间向量的数量积 方法总结 第1关（练速度）】 利用空间向量求长度问题，主要是运用公式1a12=a·a,将线段长 1.D解析：因为a-b与a垂直，所以(a-b)·a=0,即a2-a·b= 度的计算问题转化为向量数量积的计算问题， lal2-lal·lb1cos(a,b)=1-√2cos(a,b)=0,所以cs(a,b)= 10.-13解析：因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,则a2+b2+c2+ 2又0°≤(a,b》≤180，所以(a,b)=45.故选D. 2(a:b+hete…a)=0,因此ab+b.c+c·a=-3+12+4 2 2.C解析：1a-b12=a2-2a·b+b2=22-2×2×2×cog120°+22=12， -13.故答案为-13. ,1a-b1=√12=25. 3.ABC解析：当侧面BCC1B1是正方形时，可得AD·B,t=0,所 1.2解桥：底面CD为菱形，A=4,上nAB-市.店 以A正确：当底面ABCD是正方形时，AC垂直于BD1,所以B正确： C明显正确：由题图可得，BD,与BC所成的角小于9O°，D错误 i.im号44x(号）-8 易错提醒 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a1,1b1和 :M为棱c的中点：市4号花=市宁（硒 (a,b),a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的 大小，才能使a·b计算准确. 动=+成市， 4.B解析：由题意可得a·b=0,c1·c2=0,1e11=1e21=1,所以 (2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,即2k-12=0,解得k=6.故选B. 成.应(}亦市）市， 5.B解析：因为点M为棱AD的中点，所以A店·C=A店，(C+ 应+市.应=本.+16+(-8)]=5，解得.=2故 动=应.（市）脑.花市应 答案为2 第2关（蛛准确率） 因为因面体A8CD的棱长都是2，所以.石成：-2x2x号×2x 12.A解析：(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,∴a+b与a-b垂直. 2×号-241-1，放选B 13.D解析：1a1=√3,1b1=5,a与b夹角的余弦值为 9√13 6.B解析：在正三棱柱ABC-A,B,G1中，向量，成B不共面， 。在。上的数影向量为·合 AB=BB-B威，BC=BC+BB,令1BB1=a,则I1=IB武1=2a, /13×5x 9√13 65 而B⊥B威，B武⊥B,于是得AB·BC=(BB,-威)·(B武+ 5 5 B)=BB.武+丽-·B成-威·BB=a2-反a· 14.ACD解析：由题意可知，店，A花，A两两垂直，所以（店+A花）· 2acos60=0,因此AB1BC,所以A店，与B武1所成角的大小为 90°.故选B. Ai=0. 7.A解析：如图，连接AC,BD,由柏拉图多而体的性质可知，侧而均 对于A选项，（店+A花+2=(a店+花2+市+2（店+花） 为等边三角形，四边形ABCD是边长为1的菱形，又△AEC2 A而=(+A花)2+A亦，(+A花-A)2=(d店+花)2+A-2(A店+ △BED,所以AC=D,故四边形ABCD为正方形，同理，四边形 A花，市=(+A心2+A市，故福+A花+市1=店+A花-市1，所 BEDF也为正方形. 以A选项正确： 对于B选项，(A+A花+A)·B武=(A店+A花+A)·(A花-A) A心-亦，当A心=应时，A衣-=0，香则不成立，所以选项B 不正确： 对于C选项，A+A花+A2=A2+A花2+112+2市，A花+ 2A店.市+2A花.A币=A12+心12+A12,所以选项C正确： 对于D选项，A店.i=A店·(-A花)=0，同理可得A元.励=0， 取的中点太，连接P吹，k0,则风-成，动=成+成，同理， 市，B戒=0，所以市，C市=A花，市=A市，成，选项D正确， 故选ACD. 参考答案学霸03 5.A解析：由A耐=店+yA花+(1-x-y)A市，则成-市=x(店 A)+(A花-Ai),即Di=xDi+yD元， 因为AB=A0=1M,-2且∠BD=受，∠R4=∠D=号所 而x,y∈R,则D成i,成，D心共面，点M在平面BCD内，又示= 以a花=√=√前+2·1s子+动2= AD+(1-A)D元(AeR),则D成-D元=A(Di-Dt),即C=AC √1+0+T=2, 于是得点N在直线AC上，在棱长为1的正四面体ABCD中， D.A花=（市+-·(d+)=市.成+亦+，成+ 当AM的长最短时，点M是点A在平面BCD上的射影，即等边 △BCD的中心，因此=号+号花+号市，当DN的长最短 ·办--动.店=1x1xom1P+2x1xo号+2x1x 时，点N是点D在直线AC上的射影，即等边△ACD的边AC的中 m号-P-1x1xm号-2， 点，因此不花而∠4G=∠DMc=60,店.花=动.花 则cos(D,Ad= 丽·A戒23 1x1xs60=子，所以成，衣号(+花+动)·花 BD1·Mt6x23 第3关（练思维宽度） 。硒，花衣市.号故选A 21.ABD解析：如图，对于A,设正方体的棱长为1，在正方体中， (AB,A=60,则1AB×A花=1AB1A花1im(AB,A花)=2× 16.C解析：设正方形A,B,C,D,的中心为01，由题意知，0,1=1， 连接001，D0,0,B1,如图所示， 反x号=5，因为m∥gA,且∠0品=@，质以（瓜。 D)=120°，所以1ADxD1=1AD11D1in(AD,.D=2×2× 吾-厅，所以瓜证-西，所以A正商： 对于B,在正方形AB,CD1中，AC,⊥B,D,又因为BB,⊥平 面ABC1D,AC,C平面AB,CD1,所以A,C1⊥BB1.又BB门 BD1=B1,BB,B,D1C平面BBD1D,所以A,C1⊥平面BBD1D 则Di=0,B,1001=2,10,B1=V2,0011平面ABCD,00,1 因为BDC平面BB,D,D,所以BD,⊥AC,同理可证BD1⊥A1D, 平面A1B1C,D1,001⊥01B1,001⊥01P,00·01B=0, 再由右手系知，A1C×A,与BD同向，所以B正确： 对于C.由a,b和axb构成右手系知，axb与b×a方向相反，又由 001·01P-0. axb模的定义知，la×b1=lallb1sin(a,b〉=Ibllalsin(a,b》= 又0币=00+0，市，D币=Di+00+0,产=01B+00+0,产， 1bxal,所以axb=-b×a,则AxA市=-dx4应，所以C销误： 0.D=(00+0,p)·(0,B+00+0,P)=00.0,B+ 对于D,设正方体棱长为a,61B元×Ad1=61B武14d1·sin45°= 00+00·0,p+0,.01B+01市.00+0，=0+22+0+ 101B1·10,P1c0s(01B,01P)+0+1=5+2co8(01B,01P). 6ax/iax 2 =6a2,正方体表面积为6a2,所以D正确。 (0,B,0,e[0,r],.当(0，B,0,P=0时，cs(0B, 故选ABD. 0产=1，(O亦.D币)m=5+2.故选C 17,√33解析：因为01,02分别是圆柱的上、下底面的中心，所以 01410,02,02B10102.又因为圆柱0102的底面半径为2，高为 5,0,A上02B,且A店=AO+0,可+02京，所以A原= (A0+0,0+0,)2=A0+0,022+02+2A0,·0,0+ 2A0.02+201可·02i=22+52+22=33,所以AB=√33，故 22.解：(1)A应=0成-0，B=0t-0成， 答案为√33. :耐++耐耐++成a耐+成-可i: 18.4m10解析：根据题意，球0的半径为1，所以表面积为4m, P.P亦=(P+0)·(Pi+0=P市+P.O亦+P.成+O成. 证-号成诚成 2 0亦.P市+0成.O亦=P市-1.当球0与平面AB,C,D1相切，点P 亦-0i20i+号2可i-号i+i*号成 为四边形ABCD顶点时，P市=P12取得最大值，所以Pd12- 1≤1A012-1=10.故答案为4a,10. 6i成d. 19.解：(1)因为AB=3,BC=4,∠ABC=120°，所以B,B元=1B1. IBCI cos (BA,BC)=3x4xcos 120=-6. 成=成+成a成+成-名成+。成+。 (2)因为Ci=C+B威+A,所以1C2=C成+B+A2=1C12+ i+gig成 1Bi12+1A12+2(C.Bi+B.Ad+C成.A)=16+9+25+2(4× (2):四而体0ABC的所有棱长都等于1，各而为等边三角形， 3×c0s60°+3×5×c0s60°+4×5×c0s90)=77,所以CD=1Ci ,=成，=成.号 =/77. 20.解：(1)D=AD-A店▣A市+-点，则D2= a亦.成-(ga+号i+号成)·（号a成g (花+-)2=市++亦+2市.A风-2市.市-2A店， =1+4+1+2x1x2×20-2x1x2×7=6,所以1B丽1=6 成)小++心+6成·成+.成 (2)由空间向量的运算法则，可得花=店+市】 诚.成d.成成i证这 选择性必修第二册·SJ学霸04 1,1,111113 72721836183636 第3课时共面向量定理 8.1 (或号一-1解桥：亦}oim0i-n成(，se 第1关（练速度） 1.A解析：若a,b不共线，则由空间共面向量定理知，a,b,2a+4b共 风，且PA,8C共面了mn=1m-=宁又m分，解 1 面：若a,b共线，则a,b,2a+4h共线，也共面.放选A 1 1 2.BD解析：对于A项，若a=b=0,p≠0，则不存在实数x,y,使得p= 得m=1,n=2或m=2,n=-1 x+yb,故A项错误； 9.②④解析：根据共线向量、共面向量的定义易知②④正确 对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数x,y,使向量p= 10.1解析：因为A=-2+2k,B武=2+-3，Ci=Ai+3-5k,所以 x+b,则p与a,b共面，故B项正确： A花=A店+B成=31j-k,i=A花+C=(3+A)i+2-6k 对于C项，若=M丽=0，M市0，则不存在实数，y,使币=xM+ yM正，故C项错误； 因为A,B,C,D四点共面，所以存在唯一的(x,y),使得而=xA店+ 对于D项，根据平面向量基本定理，可知若存在实数x,y,使= yA花，即(3+A)1+2-6k=x(1-2+2k)+y(31-j-k),即 1x+3y=A+3,(x=-2, xM+yM应，则M,,M店共面，所以点P,M,A,B四点共面，放 2x+y=-2,解得A=1,故答案为1. D项正确， 2x-y=-6, y=2. 故选BD. 3.C解折：因为.亦-所以-a成g成：0成可化筒 1.立解折：如图，不妨设=a,花-b,瓜=c,依题意，子a, 为0-d=可成o成n0成，即0亦ag:0d 网-成-瓜子本=c子成=花-应-b-子图为 A衣=mA,C=mb,所以B成=叭+A衣=c-a+mb.又因为BN∥平 因为A,BC,P四点共面，所以}1=1，解得=令放选C 面A1CM,所以，MA,MC必共面，即存在A,4∈R,使= 4.D 5.ABD解析：由共面向量的充要条件可得： A网u成.即c-a+n=A(c-子）u(-子），从而有 对于A选项，b=之(+e)+宁-e),所以bc6,6-e三个向量 3 共面： 解得子故答案为宁 对于B选项a=宁（a0)+宁a-b).所以a,a+0a-b三个向量 A=1, 共而： 对于C选项，假设a+b,a-b,c三个向量共面，则存在x,y(,ye R),使得c=x(a+b)+y(a-b),则c=(x+y)a+(x-y)b,即c,a,b 三个向量共而，这与已知a,b,c是空间中不共而的一组向量矛盾， 故假设错误，即a+b,a-b,c三个向量不共面.故C不正确： 对于D选项.a+b+e=(a+b)+c.所以三个向量共面. 故选ABD. 重难点拨 易错提醒 BN∥平面A1CM即B示与平面A1CM内的任意向量均共面。 如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件 是存在实数对(x,y),使P=xa+)yb.在判断空间中三个向量共面时， 第2关（练准确率） 注意“两个向量a,b不共线”的要求 12.B解析：因为0币=30元-xO-y0成，且A,B,C,D四点共面，所以 6.D解析：对于A,0=20-0成-0元中，2+(-1)+(-1)=0≠1，A 由空间四点共面的性质可知3-xy=1,即x+y=2又x>0,y>0,所 不是： 宁w(）号(）( 对于B,成a+成中，++子1，B 4 不是： 臣），当且仅当受即4-2 2 对于C,0M+0i+0+0=0化为0M=-0i-0i-0元，-1+(-1)+ (-1)=-3≠1，C不是： 22-2时等号成立，所以的最小值为号+反放法且 x y 对于D,0成名i号d冲，名号1.D是 13.ACD解析：因为60亦=0i+20成+30成.所以O币-0=2(O成 0)+3(0元-0)，即A市=2P成+3P元根据共面向量基本定理，可 故选D. 方法总结 得A,P克，P元共面，所以P,A,B,C四点共面。 1.在平面中，A,B,C三点共线的充要条件是O=xOi+0元（其中 14.B解析：对于空间任意一点0和不共线的三点A,B,C,且0币= x+y=1),0为平面内任意一点。 xOi+yO丽+：O(x,y,ER),则P,A,B,C四点共面等价于x+y+ 2在空间中，P,A,B,C四点共面的充要条件是O币=xO+yO而+ z=1,若x=2,y=-3,z=2,则x+y+2=1,所以P,4,B,C四点共面： 若P,A,B,C四点共面，则x+y+z=1,不能得到x=2,y=-3,x=2, :0心（其中x+y=1),0为空间中任意一点. 所以x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件， 故选B. 7.B解析：因为时-x成y+:成-x成成，丽，0在平面 15.D解析：因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,D4的中点，所以 B6你内，所以中+兰-1同理可得宁子1，y,解得y EH∥FG,EF∥GH,所以E,F,C,H四点共面，且四边形EFCH为平 行四边形，故M为EC的中点所以O+O成=2Oi,0元+0币=20元， 参考答案学霸05