6.1.1 空间向量的线性运算-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（苏教版2019)

ce6644 参考答案 ANSWER 第6章 空间向量与立体几何 6.1空间向量及其运算 C.A店-市+8元=而-心=而≠0，因此本选项不正确： D.成+C=成-E=正≠，因此本选项不正确， 第1课时空间向量的线性运算 故选AB 第1关（练速度） 方法总结 1.AB解析：A正确：因为在正方体ABCD-A,B,GD,中，A花与A,C 要正确理解肉量加法、城法与数乘运算的几何意义，肯尾相接的岩 干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量】 的大小和方向均相同，所以B正确：因为1a1=「b1.不能确定其方 我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则。 向，所以a与b的方向不能确定，C错误：D错误，只有当四边 形ABCD是平行四边形时，才有店+A心=A亡综上可知，正确的 7.C解析：连接AM,AN.如图： 是AB. 2.B解析：如图所示，A店+i+BB=+B配+CC=AC故选B G是v的中点花=(+=（国+号花4 3.A解析：如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C,中，A=BB,B,C= 成.依题意，丽：丽立=不号C=不+屁（， 号）花：花=：函国：衣+ d-dc,做选入 8.③解析：①为假命题，将空间中所有的单位向量移到同一个点为 起点时，它们的终点构成一个球面，而不是一个圆：②为假俞题，根 据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向 还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同：③为真命题.向 量的相等满足传递性：④为假命题，空间中任意两个单位向量的模 均为1，但方向不一定相同，故不一定相等。 方法总结 9.3解折：1CC-BD=1B-BD1=1D,B1=1D成1= 1,用已扣句量来表示未知向量，一定婴结合图形，以图形为指导是 解题的关城 √3+2=13.故答案为13 2,在立体几何中，要灵活应用三角形法别，向量加法的平行四边形 10.()(22访0可 法则，这些法则在空间中仍然成立 4.C解析：因为A店=3a+6b,C=-10a+12b,所以若A,B,C三点共 解轿：市-访市=市-（应，动）=市-动： 线则配-A应，面位无解，故A说因为成。- A0-04=A.4. 12b.C=14a-4h.所以若B.C,D三点共线，则B=ACi.而 (2)因为元=花(+动.所以0=成+元( 10=14A,无解，故B错说因为2=3a+6b,C=-10a+12b,市 12=-4λ 动+d访可 14a-4b,所以励=C+市=4如+8b,即励=成所以4，B,D三点 11.-8解析：因为B成=e,+3e2,元=2e,-e2,所以励=武+C=(e,+ 3e2)-(2e1-e2)=-e,+4e2 共线，故C正确.因为店=3a+6b,B=-10a+12b,C=14a-4b.所 又因为A,BD三点共线，所以可设A店=AB币】 以A元=A店+B配=-7a+18b,若A,C,D三点共线，则A元=AC.而 即2e1+ke2=A(-e1+4e:), 7=14A无解，故D错误，故选C 因为e,6,不共线，所以可得2入所以=-8，所以实数k的值 (18=-4M k=4, 5.C解析：如图，因为点G是CD的中点，所以+B成=2B心，所以 为-8.故答案为-8 第2关（妹准确率） +(+成)=+成=花故选C 12B解析：D店=花-而=成：成-(+)=+成-可 =+多市-不-市=】市成-不赦选B 13.D解析：由题知：+P+P元+P币=2P呢+2P示=4P元故选D. 14.ABD解析：在平面ABC内选取两个互相垂直的单位向量1，J,且 心=2i.则P元-P=2i+,P店-=-3i+,元-P店=5，则i= 6.AB解析：A.-C=+d=D,因此本选项正确： B.-+BC=丽+A示=而，因此本选项正确： 元j号元 参考答案学霸01 所以证=-2i时-，市-2i时=-元 =2币-P元元=2P-P币…-2m-2P+P币 x=2.y=-2 ㎡成成i时=2成防元市成而成 20.证明：连接AC,F,B,设店=a,i=b,不=c,=2m 2=-+号成，元故选ABD, 4子tA=子可子店=子=子b 15.D解折：由F为能的中点，得：访流。又矿= 子花-网=（访-=号0子成 }花。市所以正=号花+号动，由成=A成，得花-访 不-店名号号（子b小成武 A(花-动，即正=A花+1-A,所以A=子赦选D 应=子b-e8=a子be成：号成6，F,B三点共线 重难点拨 1,判定三点共线，本质是找两向量共线，就是我x使a=xb,充分运 用空问向量运算法别并结合空问图形，化简得出：=xb,从而得出 a//b. 2,证明空间图形中的两线平行可以先证明两线所在的向量平行，然 后观察图形找出在一直线上有一点不在另一直战上，则两直线 16,B解析：G是△BC的重心，小花=号×（应+花) 21 平行. }d成==+}(+d=+(成 第3关（练思维宽度） 解析：由2P币=可+P成，得2=P可+成-+可，所以 成成-d=号成+i+成成=号成=号， 21.20 2(币-)=成-则2而=： 号丽+)成故选以 由5P呢=2P+3P元.得5P元=2P+3P元-3P元+3P.所以 重难点拨 5(P呢-P)=3(P元-P),则5正=3B配： 用已知向量表不所求向量的步骤： 由2P序=-P元+3P,得2亦=-P武+3P-3P元+3P元，所以 (1)结合已知向量和所求向量观黎图形： 2(P-P元=3(P-P元.则2C=3C (2)将已知向量和所求向量转化到三角形戒平行四边形中： 显然四而体PABG与四而体PDEF共顶点且底面共而，则其高相 (3)利用三角形法则成平行四边形法则把所表向量用已知向量表示 同.可设为h, 出来 结合题意可作图如下： 17.①③ 解桥：①~M是线段C的中点，矿=子(+ N心)，正确 ②取CD的中点E,连接EN,E,如图，则7=N尼+E7=】花+ 成，因此不正确： 在底面连接FB.作图如下： 3花-成-，成-号（成--子x(, 不心)+：(.因此正确 故答案为①3. 由2d晓号光子票 南成曾}二铝欲。 8.解析：延长E,FB.GC,D相交于一点0，则00G 南成成瓷导二受 由即1E3 品且成=成成i成=成动。成=成动 10 10 21 35 永形动-成R应 aw:l-SAmE SANCE SAD=7a匹=2x2=乙 19.解：()：0成：成-成=成-号（成+成）=成元-可 S AFBC SArmc SAncr SArnc 30'SAAm 30 220' y=2-2 、所y23心△。了故答案为 (2):O为正方形ABCD的中心，.0为AC的中点.又Q为CD的 中点.P+P元=2P可P元+P币=2P风. 22.证明：(1)由题意，C=2成A,元=3元，故市=+A,产= 选择性必修第二册·SJ学霸02 子元=届+号(+访-=子+号和+属= 2成成成，示=（号成成）·（成 子动不，正=配+成=+动+风=硒动 }应）-.成+成店成成.破=× 可，故正：号正.由于正.店有公共点人，故，R,上三点 1x1m600+×1x1+x1x1xm60=故选人 共线， 8.-61解析：(3a-2b)·(a+2b)=31a12+4a·b-41b2=31a12+ (2)由题意，点G是平行四边形B,BCC,的中心，故D亦=D心+C京 花=-号(+而-可=子店-号市+号不= 41a11b1120°-41b12=3x9+4x3x4x2 -4×16=27-24- 64=-61 子（市）成成++丽+ 9.5解析：由题意可得0.0成=0，d.0心=0元.0成=1×1xms60= (-动=店号动号耳故成：号成.因为亦有 2 ,1di+0成+d1=√0+0+2a.0成+20.0元+2元.0成 1 公共点D,所以D,F,G三点共线 =√1+1+02x222=5.故答案为5 第2课时空间向量的数量积 方法总结 第1关（诈速废） 利用空问向量求长度问题，主要是运用公式1a12=a,a,将线段长 1.D解析：因为a-b与a垂直，所以(a-b)·a=0,即a2-a·b= 度的计算问题转化为向量数量积的计算问题。 tal2-lal·1blcos(a,b)=1-2os(a,b》=0,所以cos(a,b)= 10.-13解析：因为a+b+e=0,所以(a+b+c)2=0,则a2+b2+c2+ 号又0°≤(a,b)≤180，所以(a,b)=45放选D 2ab+bc+c…a)=0,因此a…b+hc+c·a=3+12+4 2 2.C解析：，*1a-b12=a2-2a·b+b2=22-2×2×2×00%120°+22=12. -13,故答案为-13. .1a-b1=T2=23. 3.ABC解析：当侧面BCCB,是正方形时，可得AD,B,乙=0，所 1.2解轿：底面A0D为菱形，4=4，∠D6=号市.应 以A正确：当底面ABCD是正方形时，AC垂直于BD,所以B正确： C明显正确：由题图可得.BD1与B(所成的角小于90°，D错误 .im号=44(）-8 易错提醒 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，雪已知1al,lb1和 W为棱0的中点矿，花=号，(： {a,b),a与b的夹角与方向有关。一定雯根据方向正确判定夹角的 大小，才能使a·b计算准确. 动=访成 4.B解析：由题意可得a·b=0,c1·e2=0,1e11=el=1,所以 (2e1+3e2)·(e1-4e2)=0.即2-12=0，解得k=6.故选B. =(}函+市）.函+ 5.B解析：因为点M为棱AD的中点，所以A店，C7=A店·(C+ 成+市.应=.+6+(-8)]=5，解得.应=2故 =应.(@）小-应.+访成 答案为2 第2关（练准确率） 因为四面体ABCD的棱长都是2，所以.C=-2×2×】+ 22*2x 12.A解析：(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,a+b与a-b垂直. 2×-21=-1,放选B 13.D解析：1a1=√13,1b1=5,a与b夹角的余弦值为 9/13 6B解析：在正三棱柱ABC-A,B,G中，向量BB配.B不共面， 65 4。在。上的投影向量为后·合 AB=BB-Bi,BC=B武+BB,令1BB1=a,则11=1B武1=2： /13×5× 9√13 65 b 而BBLB,B武⊥B,于是得AB·BC=(B-Bi)·(武+ 5 5 BB)=丽·B屁+配-·成-i·丽=a2-2a· 14.ACD解析：由题意可知，应，元，两两垂直，所以（正+A亡）· 2ae60P=0,因此B上BC,所以A方，与B武，所成角的大小为 i=0. 90°.故选B. 7.A解析：如图，连接AC,BD,由柏拉图多面体的性质可知，侧面均 对于A选项，(A+A元+A2=(+A2+A亦+2（店+元） 为等边三角形，四边形ABCD是边长为1的菱形，又△AEC≌ Ad=(店+元)2+市，（店+Ad-币）2=(Ai+aC2+亦-2（店+ △BED,所以AC=BD,故四边形ABCD为正方形，同理，四边形 A心，市=(A店+A2+A亦，故花+A花+1=Ai+A心-A1,所 BEDF也为正方形 以A选项正确： 对于B选项，(A++)·B配=(A店+花+)·（花-A) A心-应，当心=A在时，A心-=0，否则不成立，所以选项B 不正确： 对于C选项，A+A元+Ai12=A12+AC2+A2+2A店.A元 2A.A币+2A元.i=A12+A心2+A12,所以选项C正确： 对于D选项，A店·Ci=A店.(Ai-A)=0,同理可得A亡·而=0. 取北的中点人，连接以，k0则风-风d=瓜成.同理， 市.元=0，所以市.=A.成=币.B武，选项D正确. 故选ACD) 参考答案学霸03第6章 空间向量与立体几何 6.1空间向量及其运算 第1课时 空间向量的线性运算 第1关练速度 5mn为准，你的时间： 6.(多选)(2024·广东惠州高二月考)如图，E, F分别是长方体ABCD-A'B'CD的棱AB,CD 1.(多选)给出下列命题，正确的是 A.在空间中，零向量没有确定的方向 的中点，化简下列结果正确的是 () B.在正方体ABCD-A,B,C,D1中，AC=A,C C.若空间向量a与空间向量b的模相等，则 a,b的方向相同或相反 D.在空间四边形ABCD中，必有AB+AD=A元 A.AA'-CB=AD B.AA'-AB+B'C'=BD 2.(2024·浙江温州高二期中)在平行六面体 C.AB'-AD+B'D=0 D.AB+CF=AF ABCD-A,B,CD,中，化简AB+AD+BB=( 7.(2024·湖南郴州高二月考)《九章算术》中的 A.AC B.AC ，C.BD “商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种 D.DB 形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角 3.(2024·湖南益阳高二期末)在三棱柱 三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC-A,B,C, ABC-A,B,C1中，M为B,C,的中点，若AB=a, 中，M,N分别是A,C1,BB,的中点，G是MN C=b,A,A=c,则下列向量中与BM相等的是 的中点，若AG=xAB+yAA+zAC,则x+y+z= ( () A.、11 11 -24-2 -c B. a+b+c 21 11 11 C.-20-2+ D.2-2h+c 2->B 4.(2024·福建福州高二期中)已知空间向量a, A.1 B.2 C. b,HAB=3a+6b,BC=-10a+12b,CD=14a- 03 4b,则一定共线的三点是 ( 8.给出下列命题： A.A,B,C B.B,C,D C.A,B,DD.A,C,D ①若将空间中所有的单位向量移到同一个点 5.(2024·浙江温州高二期末)在空间四边 为起点，则它们的终点构成一个圆： 形ABCD中，点M,G分别是BC和CD的中 ②若空间向量a,b满足Ia=Ibl,则a=b; 点，则店+（励+8C) ( ③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ④空间中任意两个单位向量必相等. A.AD B.GA C.AG D.MC 其中真命题的序号是 第6章学霸001 9.如图，在长方体ABCD-A1B,C,D1中，设AA1=14.（多选)如图，平面ABC内的小方格均为边 1,AB=2,AD=3,ICC-BD;I= 长是1的正方形，A,B,C,D,E,F均为正方 D 形的顶点，P为平面ABC外一点，则() D Di.. B (第9题) (第10题) 10.如图，在长方体ABCD-A,B,C,D1中，O为AC A.A正=Pi-P武 的中点 ()化简Ad-证D B.CD--PAPPG (2)用A正，AD,A4,表示0C,则0C= cm-i丽元 5 11.(2024·江苏连云港高二期中)设e1,e2是空 间两个不共线的非零向量，已知AB=2e,+ Di=-ig元 ke2,BC=e1+3e2,DC=2e,-e2,且A,B,D三 15.(2024·河南洛阳高二月考)在四面体ABCD 点共线，则实数k的值为 中，点E满足D泥=ADC,F为BE的中点，且 第2关练准确率9题为准，你做对 题 A正=B+4C+D,则实数A=() 12.(2024·福建福州高二期末)在平行六面 体ABCD-A,B,C,D,中，E为BC延长线上一 N.4 c 点，且BC=2CE,则D,E= ( ) 16.(2024·四川泸州高二期末)如图，0ABC是 A.AB+3A而+A B.+丽- 四面体，G是△ABC的重心，G1是OG上一 点，且0G=30G1,则 C.而-+ n而+花- A.0G=0A+0i+0元 (第12题) (第13题) 13.(2024·浙江绍兴高二期末)已知E,F分别 B.o goc 是空间四边形ABCD的对角线AC,BD的中 点，点G是线段EF的中点，P为空间中任意 C.oGo 3 3 3 一点，则PA+P+P元+Pi= ( A.PG B.2 PG C.3 PG D.4 PC D.G 4 4 选择性必修第二册·SJ学霸002 17.如图，在四面体ABCD中，M,N分别是线段20.(2023·安徽阜阳高二月考)如图所示，在正 BC,AD的中点，已知AG=子i,有如下 方体ABCD-AB1C,D1中，E在AD1上，且 A,E=2ED,F在对角线A,C上，且A,F= 结论： ①mi=2(N店+N心： 元求证：BP,B三点共线 ②Ni=Di+2id, ③G=子(M++NG), 其中正确的结论是 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆女☆ (第17题) (第18题) 21.(2024·江苏常州前黄高级中学 18.光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位 高三月考)在四面体PABC中，2 于山东省聊城市，始建于公元1374年，在 P元=Pi+PB,5P呢=2P+3P元，2PF=-P元+ 《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹊雀 楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱 3PA,设四面体PABC与四面体PDEF的体 阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十 大名楼其墩台为砖石砌成的正四棱台，直 积分别为，，则的值为 观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比 22.如图，在平行六面体ABCD-A,B,CD1中， 约为品则死+历+兮c CC=2E元，A,C=3F元 (1)求证：A,F,E三点共线； 19.如图，已知正四棱锥P-ABCD,O是正方 (2)若点G是平行四边形B,BCC1的中心， 形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各 求证：D,F,G三点共线 式中x,y,z的值. (1)00=P0+yP元+zPi; (2)PA=x PO+y P0+PD. 第6章学霸003