12.2 复数的运算-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

第2关（妹准确牵） 2,不符合条件，当=1时，满是1>2综上=1. 12.B解析：当复数：=a+bi(a.beR)为纯喔数时.a=0且b≠0，所以 “=0”是”复数：=a+i(,beR)为纯虚数”的必要不充分条件 2若则. 所以sin28-1■2e%8+1.即 故选B. -cws20=2c0s0+1,所以cs20+2c0s0+1=0,即(ces0+1)2=0.解 13.B解析：因为MnN≠☑，所以M中的-3m+(m-3)i必须为实 得w9=-1.又因为9e[0.T】,所以9=m, 数，所以m=3,此时实部恰为-9，满足题意.故选B. 14.CD解析：对于A.当a=-1时.(a+1)i=0不是纯虚数.所 12.2复数的运算 以A错误：对于B,当x=-1时，可得x2+3x+2=0,此时x2-1+ 第1关（练递度） (x2+3x+2)i=0不是纯输数，所以B错误：对于C,当a≤0时，可 1.C解析：1-2=4-2i-(2-4i)=4-2i-2+4i=2+2i.故选C 得a+=0.所以：=a2-2为实数.所以C正确：对于D.由2= 2.D解析：=(2-2i)(3+i)=6+2i-6i-22=8-4i.故选D -1,且>b.所以i2>2,所以D正确.故选CD 15.A解析：当x=y=1时，x+i=1+i显然成立，所以x=y=1是x+ 3.B 解标=2-.(21-0(1-2.25+4-1+2i3 4 1+2i(1+2i)(1-2i) 5 +5故 i=1+i的充分条件：当x+i=1+i时，因为x,y三C,所以x和y不 选B 一定是x+i的实部和虚部，无法得到x=y=1,则x=y=1不是x+ 4.ABD解析：：3：1+3=-1-2i.1+32=5+2i.∴，1=-1-i,2=2+ i=1+i的必要条件.故选A. 16.A解析：由题意.a2-b+(-b)i>2.故a2-b+(a-b)i为实数， 1--32i,1+)2-=-子故选BD 5 5 b=02-4-2>05(a-2)(a+1)>0.4>2或a<-1故 {u2-b>2, 5.C解析：由：= -ai,aeR,得2= 3 2 -2× xai+(ai)= 选A 易错提醒 3 3 13 221,所以 4 21 虚数不能比较大小，如果两个复数可以比较大小，则这两个复数 a2-3i因为2= /3 解特=故 是实数。 -√3a=- 2 17.3-解折：由题意知(m2+mn)+2i=2-2i,即+m,-2解得 选C (2nm-2. 7+i(7+i)(3-4) (m=3:所以：=m+mi=3-i故答案为3i 6.D解折：因为复数433+43-1-i=3+mi,所以 n=-1, 1·=(1-i)(3-mi)=(3-m)-(m+3)i因为1·五为钝虚数，所 18.(-5.+3） 解析：若存在.使得2，则仁-4 以3m0解得m=3,故选D. m2+4y-1=-5. m+3≠0. 关于的仁0有保。 7.AD解析：A.若=a+为实数.则b=0,那么=a-所也是实数 故A正确：B.若：=i,2=2=-1,所以：不一定是实数，放B错误： 故4=【-(a*1)]2-16≥0 解得a≤-5，故若对所有x,y都有 C.若1=i1=2i,则1·3=-2∈R,此时=-2i,1≠2，故C错 42=16-16m≥0. 误：D,若：意R.则aR,所以：·eR.故D正确.故选AD. 1≠，则：的取值范用是a>-5.放答案为(-5，+x). 8.1-2解析：因为z=1-2i,++b=0.所以1-2i+a(1+2i)+b=0. 19.解：1)复数：是实数，则m,20-15=0,解得m=5或m=-3 【m+2≠0. 所以1+a+b-(2-2n)i=0.又因为a,b为实数，所以！+a+=0,解 12a-2=0, (2)复数：是虚数，则{四2m150,解得m≠5且m≠-3 《m+2≠0， 得化2故答案为1，-2 且m≠-2 9.-1解析：因为i(a+)2=-2a+(a2-1)ieR*,所以满足条件 (m2-m一6=0。 (3)复数是纯虚数，则m+20, 解得m=3. (-1=0·解得a=-1.故答案为-l -2a>0, m2-2m-15≠0， 易错提醒 10.2解桥：因为 =1+i.所以i-i=1+i.所以i▣1+2i.则：= 纯虚数要求实部为0，隆部不为0. 一2-i故答案为2-i 1+2ii+22i-2 20.解：MUP=P..MGP. 即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i 11.】解析：1+i+2+3+4204▣1+506(i+2+3+4)=1+506(i-1 i+1)=1.故答案为1. (m2-2m)+(m2+m-2i1,得20解得m=1.」 重难点拔 由(m2-2m）+(m2+m-2行=，得m-2加三0，解得m=2 复数乘方运算的周期性：=1 1m2+m-2=4, 第2关（练准确率） 综上所述，m=1或m=2 第3关（练思维宽度）】 12.B解析：由(1+)=1-得=1-_1i().1 1+i 1+i 1+i 21【6]解折：自4西得24.药去并理 (1-i)2 -2 (1+i)(1-i)2 =-i,故：的墟部为-1.故选B. 得A=4in2。-2in8=4im0-子-子，显然-1≤n9≤1， 13.B解析：设复数z=a+.则：=a-.因为复数：满足(1-)(3z 2)=1+2i,所以(1-i)(2m+4b)=1+2i.即2m+4h+(4h-2a)i=1+ 当im0=时，A= ，当血0=-1时.人=6，所以A的取 a=- 2i.则2a+6=解得 4 13 范是片6]小故答案为小 14b-2a=2, 所以4+名故选B b=- 8 22.解：(1)因为，2eR,所以 14.B解析： 2i.1-2)(m+2.m+24(1-2mi,因为-20，所 m-i m2+1 m2+1 m-i 因为8[0，，所以=血0=个-os0= 2:当1=-1时，< 以心。解得=子经检验m=符合题意故选取 (1-2m=0, 参考答案学霸043 15.ACD解析：由题意知，d=62-4<0,则x=-牡/4- 2m2=0.整理得(a2x2+2r+a2m2+2)(x2+m2)=0,于是得 ,不妨设 2 x+m2=0或a2x2+2x+a2m2+2=0.因此方程f爪x)=x有两个 4- 纯虚数根±mi 2 女-对于A项，可=- 一，： 因为在方程a2x2+2ar+2m2+2=0中.4=4a2-4n2(a2m2+2)= 2 -4a2(a2m2+1)<0.所以方程2x2+2x+a2m2+2=0无实数根，有 -+√4-6 ,故A项正确：对于B项，4.2 -b+4-bi 两个虚数根x=-L专m+ i,不是纯虚数根，所以选项A正 -6-√4-62 -b-v4-bi 确，选项B.C,D均不正确，故选A. 2 22.解：(1)由a=(1,2-i),b=(1+i,2i),得a+b=(2+i,2+i), (-b+4-bi)2b-2b4-b a·b=1×(1-i)-2i(2-i)=1-i-4i+2i2=-1-5i 4 2 2 2 2 1a+b1=√(2+i)(2-i)+(2+i)(2-i)=√10 故B项不成立：对于C项.1·2= -b+√4-bix-6√4-bi (2)设a=(1,2),b=(,4),c=(与6)，135,6∈C, 2 则b+c=(+5,4+6),a·b=+4,a·C=+6 公-(4-)2=1，故C项正确：对于D项，当6=1时， -1+w3i a·(b+c)=1y+st2u+w 4 2 因为3+=3+5，+%=4+6，所以a·(b+c)=(3+s)+ (46)=+4+1+26=d·b+0·c,故正确. (3)不妨令B=(m+ni,m+2+ni).则xB=(2-m-(n-2)i.-m-ni) -1-32313 2/= 42 1= 2 i,所以=· 则1-B1=v√/2-m-(n-2[2-m+(n-2)+(-m-i)(-m+m)= √(2-m)+(n-2)2+m+n2=/2m2-4m+4+2m-4n+4. 当m=1,n=1时，1gB1取得最小值2，此时B=(1+i,-1-i) B=(1+i.3+i). 复)（孕）号子1，质以中==1，放D项正牌 设满足条件的y=(,4+2),4eC,则a-B=(1i,-1-i), B-y=(1+i-24,1+i-a),(w-B)·(B-y)=(1+i)(1-i-4）+(-1- 故选ACD. i)(1-i-4)=1-i2-(1+i)+(2-1)+(1+i)=0. 16.C解析：根据复数的运算法则，可得+： (1+i)2 .1-i 1(1-)(1+).1+ 12.3复数的几何意义 以（侣）（ (1-i)2 =i"+(-i)",则 第1关（练递度） 1.C解析：因为复数：=1-i+2i=1-i-2=-1-i,所以1x|= 八1)=0./2)=-2./3)=0八4)=2./八5)=0，…，所以集合中只 √/(-12+(-1)2=√2.故选C 有3个元素.故选C 17.(x-1+i)(x-1-i)解析：因为x2-2x+2=(x-1)2+1=(x-1)2- 2.D解析：由4=-3+i,2=1+4i可得z+42=-3+i+4(1+4i)=1+ 2=(x-1+i)(x-1-i).放答案为(x-1+i)(x-1-i). 17i,侧可得1+42的共柜复数为1-17i,对应点的坐标为(1， -17),位于第四象限.枚选D. 18.±2解析：由于关于x的方程x2+(k+2)x+2+i=0有实数根a, 所1以a2+(k+2i)a+2+=0,整理得a2+a+2+(2a+k)i=0,所以 3.ABC解析：任意复数：=a+bi(a,beR)的模1：=2+b≥0总 成立，故A正确： g42=0,解得a=2,或a2经检验可知，4=±2符 2a+k=0. k=-22k=22. 由复数相等的条件=0{801=0，故B正确 合题意故答案为±2. i设1=+b,i,2=a2+6i(a1,b1,西，beR) 19.解：(1)i(1+i)-(2-3i)(2+3)=i-1-(4+9)=-14+i, 若1=2则有a1=2,b1=2111=21, （2(1+2i25+3i+=1+4-4+5+3i1- +1=1+4i-4+ 反之由1=21，推不出=2， 1+i (1+i)(1-i) 如1=1+3i,2=1-3i,11=121,故C正确： 8-2i+1=2*3i 不全为零的两个虚数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比 较大小，故D错误故选ABC 20.解：(1)由1=m-3 3 3 -35=-m2-m+ ,可得3=m2+2m 4.B解析：复数：=(m+1》-(m-)i=(m+1)+(1-m)i表示的点为 m2+2m-3=0. （(m+1,1-m,由题意得m+1>0解得m>1.故选B. 11-m<0, 3()）上因为是纯虚数所以 33 解 m-32*0, 5.A解析：由题意可得0=(3,4)，0示=(-2,1).所以7=0示 得m=-3. 0=(-2,1)-(3,4)=(-5,-3),所以向量对应的复数为-5 (2)不能假设1,2是实系数一元二次方程ar2+:+e=0(a,b, 3i,故选A. e∈R.a≠0)的两个虚根，则4=b2-4c<0,根据求根公式.不妨令 6.CD解析：由于复数4=1-i(aeR)对应点Z,满足10Z1=2, V正女，搭互为我 所以10Z1=√+a=√2，所以=±1，所以Z,(1,1)或Z1(1,-1) 2a 2a 又因为点Z与乙，关于x轴对称，所以点Z(1,-1)或Z(1,1),所以 (m-3=-m2-m 复数：为1-i或1+i.故选CD 轭复数，所以{33 m无实数解所以不能为某实 (m-32 7.B解析：复数：在复平面内对应的点为(0,1)，则：=，所以 系数一元二次方程的两个虚根 1+i(1+i)×(-i)1- =1-i故选B 第3关（练思维宽度） ix(-i) 21.A解析：a,b,e∈Rx)=2+br+e,关于x的方程f八x)=x有纯 8.5(4,-3)解析：=i(3-4i)=4+3i,放：l=√16+9=5,2=4-3i 虚数根，设纯虚数根为x=mi(meR,m≠0)，则f(m)=mi.即 故：在复平面内对应的点的坐标为(4，-3).故答案为5，(4，-3). -m2+e+bmi=mi,所以c=m2,b=1,a≠0.fx)=r2+x+m2. 9.-1解析：=i(a+i)=-1+i的共扼复数：=-1-i,因为：=-1-i 方程f八x)=x化为x2+m2=0,方程有两个纯虚数根为±mi, 的对应点(-1，-a)在直线y=-x上，所以-=-(-1)，即a=-1.故 方程f代f代x))=x化为a2x++2r3+2(a2m2+1)x2+2am2x+2m4+: 客案为-1 必修第二册·SJ学霸04412.2 复数的运算 第1关练速度 0min为准，你的时间： C.若复数1·2∈R,则1= 1.(2024·陕西西安高一期中)已知31=4- D.若复数zEeR.则z·z∈R 2i,2=2-4i,则1-2= ( 8.(2024·陕西西安高一月考)已知x=1-2i, A.6-6iB.2-2iC.2+2i D.-2+2i 且z+az+b=0,其中a,b为实数，则a= 2.(2024·河北张家口高一月考)复数：= ,b= (2-2i)(3+i)= ( ) 9.(2024·浙江温州高一期中)设a∈R,i为虚 A.4+4iB.8+4i C.4-4i D.8-4i 数单位，且i(a+i)2eR,则a= 3.(2024·安徽六安高一期中)设复数：= 2i-1 10.(2024·广东深圳高一月考)定义运算 1+2i' 则z= a c i ( =ad-bc,复数z满足 =1+i, b d A青 B. 3.4 则z= C、34 11.(2024·陕西西安高一月考)i为虚数单位， 5+ 则1+i+2+3+…+2024= 4.(多选)(2024·福建福州高一期中)已知复 第2关练准确率 8题为准，你做对 题 数1,2满足3z1+2=-1-2i,1+32=5+2i,则 12.(2024·吉林长春高一期中)已知复数z满 ( 足(1+i)·z=1-22,其中i为虚数单位. A.1=-1-i B.z2=2+i 则：的虚部为 ( C.x1-x2=-3+2i D.3=-3- 5 A.i B.-1 C.-i D.1 13.(2024·山东临沂高一月考)已知复数：满 5复数：iaeR且}.则的 足(1-i)(3x-)=1+2i,则x= () 值为 ( A.13 48 B、3 48 A.1 B.2 0.4 13 6.(2024·江西南昌高一月考)已知复数1= C.44 3+4行=3+mi(m∈R),若·为纯虚数， 7+i 14.已知meR,i为虚数单位，若-2 m-i 0.则m= 则实数m的值为 ( ()】 A.-2 B.-3 C.2 D.3 A.1 c D.-2 7.(多选)(2024·山东菏泽高一期中)下面命题 中正确的是 15.(多选)(2024·江苏泰州中学高一月考)已 A.若复数z满足z∈R,则z∈R 知复数a1,2是关于x的方程x2+bx+1=0 B.若复数z满足2eR,则zeR (-2<b<2,beR)的两根，则 () 第12章学霸067 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ A.21=2 21.(2024·河南新乡高一月考)设f(x)=ax2+ C.名1·2=1 D.若b=1.则==1 bx+c(a,b,c∈R).已知关于x的方程f(x)= 16.若f(n)= ()+()(aeN).则集合 x有纯虚数根，则关于x的方程f(f(x))=x 的解的情况，下列描述正确的是 {xlx=f八n),neN"{中的元素个数为( A.可能方程只有虚根解，其中两 A.1 B.2 个是纯虚根 C.3 D.无数个 B.可能方程有四个实数根的解 17.(2024·广东深圳高一期中)在复数范围内 C.可能有两个实数根，两个纯虚数根 分解因式：x2-2x+2= D.可能方程没有纯虚数根的解 18.(2023·江苏无锡高一月考)已知k∈R,若 22.(2024·广东东莞高一期末)通过平面直角 关于x的方程x2+(k+2i)x+2+i=0有实数 坐标系，我们可以用有序实数对表示向量 根a,则a= 类似地，我们可以把有序复数对(，2) 19.(2024·重庆沙坪坝区高一月考)计算： (名1,2∈C)看作一个向量，记a=(a,2),称 (1)i(1+i)-(2-3i)(2+3i); α为复向量.类比平面向量的相关运算法则. (2)(1+2i)2 5+31+2 1+i 对于a=(1,2),b=(33,4),1,2,3,4,入 C,我们有如下运算法则：①a±b=(1±3， a2±a4）:②入a=(Az1,Aa2);③a·b=z123+324: ④lal=√a·a. (1)设a=(1.2-i),b=(1+i,2i),求a·b和 la+bl; 20.（2024·陕西西安高一月考)已知复数 (2)类比平面向量数量积满足的运算律，得 3 出复向量的一个相关结论a·(b+c)= 21=m-3 m3名=-m2-m+2,其中m产 a·b+a·c,判断其是否正确并说明 3,mER. 理由： (1)若，-2是纯虚数，求m的值. (3)设a=(2+2i,2),集合2={pIp= (2)z1,2能否为某实系数一元二次方程的 (1,2),2=1+2,1,2∈C},B∈2.求 两个虚根？若能，求出m的值：若不能， 1-B1的最小值，并证明当1-B1取最 请说明理由。 小值时，对于任意的y∈D,(-B)· (B-y)=0. 必修第二册·SJ学霸068