11.3 余弦定理、正弦定理的应用-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

11.3余弦定理、正弦定理的应用 第1关练速度 10min为准，你的时间： 75 1.(多选)(2024·山西大同高一期末)如图，小 明在A处向正东方向走3km后到达B处，他 30 再沿南偏西30°方向走akm到达C处，这时 他离出发点A的距离为√7km,那么a的值可 以是 名5nm B.52 n mile C.5√3 n mile D.5/6 n mile 4.(2024·江西九江高一月考)圭表是我国古代 一种通过测量正午日影长度来推定节气的天 A.1 B.2 C.3 D.2 文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺 2.(2024·重庆渝北区高一期中)某大学校园内 (称为“圭”)和一根直立于圭面的标杆（称为 有一个“少年湖”，湖的两侧分别有一个健身 “表”)，如图.成语有云：“立竿见影”，《周髀 房和一个图书馆，如图，若设健身房在A处， 算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测 图书馆在B处，为测量A,B两地之间的距离， 量日影长度来确定的.利用圭表测得某市在 甲同学选定了与A,B不共线的C处，构成 每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳 △ABC,以下是测量的数据的不同方案：①测 量∠A,∠B,∠C:②测量∠A,∠B,BC:③测量 高度角分别为23°（∠ABC)和83°（∠ADC). ∠A,AC,BC;④测量∠C,AC,BC.要求能唯一 设表高AC为1米，则影差BD约为（参考数 确定A,B两地之间的距离，甲同学应选择的 据：sin16°≈0.276，√3≈1.732) 方案的序号为 A.1.986米 B.2.126米 A.①② B.②③ C.2.232米 D.2.346米 C.②④ D.②③④ 5.(2024·浙江温州高一期中)如图，在坡度一 3.(2024·四川雅安高一期末)一艘船向正北航 定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶 行，在A处看灯塔S在船的北偏东30°方向 端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进 上，航行10 n mile后到B处，看到灯塔S在船 100m到达B处，在B处测得C对于山坡的 的北偏东75°的方向上，此时船距灯塔S的距 斜度为45°.若CD=50m,山坡与地平面的夹 离（即BS的长）为 ( 角为0，则cos0等于 必修第二册·SJ学霸054 8.(2024·福建莆田高一期中)如图所示，为测 一树的高度，在地面上选取A,B两点，从A,B 459 两点分别测得树尖的仰角为45°，60°，且A,B 两点之间的距离为30m,则该树的高 ② 2 B. 2 C.2-1 D.√5-1 度为 6.(多选)(2024·河南开封高一期末)如图，在 山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为B A45X60 的斜坡向上走am到达B处，在B处测得山 30 m B 顶P的仰角为y,则山高h= 9.(2024·吉林白城高一期末)如图，两座相距 asin a sin (y-B) 60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m, m sin (y-a) 50m,BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A B. asin a sin (y-a) 看建筑物CD的张角为 m sin (Y-B) C. asin y sin (a-B) -+asin B)m sin (y-a) D. asin y sin (a-B)tasin B)m sin (y-B) 7.(2024·重庆九龙坡 10.(2024·河南郑州高一期中)某地需要经过 区高一期中)阿蓬江 一座山两侧的D,E两点修建一条穿山隧道. 为长江二级支流，乌 工程人员先选取直线DE上的三点A,B,C, 江一级支流，阿蓬江 在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的 国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳 俯角为15°，B处的俯角为45°，C处的俯角 两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟 为30°，且测得AB=1.4km,BD=0.2km, 峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完 整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两 CE=0.5km,则拟修建的隧道DE的 岸秀美的湿地风光如图，为了测量湿地内A, 长为 B两点间的距离，观察者在同一平面内找到 在同一条直线上的三点C,D,E,从D点测得 ∠ADC=67.5°，从C点测得∠ACD=45°， 11.（2023·江苏盐城高一月考)《墨经·经说 ∠BCE=75°，从E点测得∠BEC=60°.若测得 下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下 DC=√6km,CE=1km,则A,B两点间的距 者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成 离为 ( 景于上；首蔽上光，故成景于下，在远近有 端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小 A.√6km 2 B.2 km 孔成像现象的第一次描述如图为一次小孔 C.3 km D.22 km 成像实验，若物距：像距=6：1，OA=OB= 第11章学霸055 23 自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的 12,c0s∠A'0B'= 则像高为 321 距离MN为40(2-√3)m,假设电视塔底部 小孔 为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与 像的高度1像 被成被成像物 A 0 像物的高度 电视塔之间选一点P,且E,N,P三点共处同 像距 物距 一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶 第2关练准确率 8题为准，你做对 题 F处的仰角分别是a=15°和B=60°，在阳 12.(2024·河南洛阳高一期末)如图，一架高空 台M处测得电视塔顶F处的仰角y=45°， 侦察飞机以600m/s的速度在海拔16000m 假设EF,MN和点P在同一平面内，则小明 的高空沿水平方向飞行，在A点处测得某山 测得的电视塔的高EF为 () 顶M的俯角为45°，经过15s后在B点处测 得该山顶的俯角为75°，若点A,B,M在同一 个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为 (√2≈1.414,3≈1.732) ( 75 ▣口g 日日g g日旦 胆旦马 E P A.2436m B.3706m A.120m B.90m C.3200m D.3146m 13.(2024·山西朔州高一月 C.403m D.(803-120)m 考)《易经》包含着很多哲 15.(多选)(2024·广东汕头高一月考)如图， 理，在信息学、天文学中都 甲船从A1出发以每小时25海里的速度 有广泛的应用，《易经》的 向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线 博大精深对今天的几何学 航行当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏 和其他学科仍有深刻的影响.如图就是《易 西105°方向的B,处，此时两船相距5√2海 经》中记载的几何图形一八卦图.图中正 里.当甲船航行12分钟到达A2处时，乙船航 八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极 行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时 图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦 两船相距5海里，下面正确的是 () 田.已知正八边形的边长为8m,代表阴阳太 极图的圆的半径为2m,则每块八卦田的面积 约为 () 120A A.42m2B.37m2C.32m2D.84m2 14.(2024·福建泉州高一期中)如图，小明想测 1054A 量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在 必修第二册·SJ学霸056 A.乙船的行驶速度与甲船相同 二小岛C与小岛D之间的距离为 B.乙船的行驶速度是15√2海里/时 海里 C.甲、乙两船相遇时，甲行驶了1+ 3小时 D.甲、乙两船不可能相遇 16.(2024·重庆渝北区高一月考)为运输方便， 某工程队将从A到D修建一条湖底隧道，如 19.(2024·广东东莞高一月考)如图所示，为了 图，工程队从A出发向正东行105km到达 测量河对岸地面上A,B两点间的距离，某人 B,然后从B向南偏西45°方向行了一段距 在河岸边上选取了C,D两点，使得CD⊥ 离到达C,再从C向北偏西75°方向行了 AB,且CD=500米，现测得∠BCD=a, 4√2km到达D,已知C在A南偏东15°方向 上，则A到D的距离为 ( ∠BDC=B,∠ACD=60,其中cs&= 5 tanB=2.求： (1)sin∠CBD的值； (2)A,B两点间的距离（精确到1米）.（参考 数据√5≈1.73)》 A.15、6km B.2√38km C.10.2 km D.15√3km 17.(2024·四川眉山高一期末)为加快推进 “5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北 某地地面有四个5G基站A,B,C,D.已知C, D两个基站建在江的南岸，距离为103km: 基站A,B在江的北岸，测得∠ACB=75°， ∠ACD=120°，∠ADC=30°，∠ADB=45°， 则A,B两个基站的距离为 18.（2024·江苏无锡高一月考)如图，位于我国 南海海域的某直径为55海里的圆形海域 上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距 5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽 略不计)，经过测量得到数据cos∠BAD= 第11章学霸057 20.(2024·浙江台州高一期中)在某海滨城市！22.(2024·山东烟台高一月考)重 附近海面上有一台风，据监测，当前台风中 庆、武汉、南京并称为三大“火 心位于城市0的东偏南0m9= 号)方向 炉”城市，而重庆比武汉、南京更 厉害，堪称三大“火炉”之首.重庆某避暑山 300km的海面P处，并以20km/h的速度向 庄0（如图）为吸引游客，准备在门前两条夹 西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆 形区域，当前半径为60km,并以10km/h的 角为（即∠A08)的小路之间修建一处弓 速度不断增大，问：几时后该城市开始受到 形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽 台风的侵袭？ 感，已知弓形花园的弦长AB=23且点A,B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M,且 东 ∠M1B=LMB1=石，设L0BA=A 线 (1)将OA,OB用含有0的关系式表示出来： (2)该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取 459 更好的观景视野，如何规划花园（即OA, OB长度)，才能使得喷泉M与山庄O的 距离OM的值最大？ (弓形的顶，点) 第3关练思维宽度难度级别：☆女女女女 冰洪淋”设计图 21.(2024·广东东莞高一月考)10世纪阿拉伯 天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两 个观察者异地同时观测同一颗小天体来测 定小天体的高度如图，有两个观察者在地 球上A,B两地同时观测到一颗卫星S,仰角 分别为∠SAM和∠SBM(MA,MB表示当地 的水平线，即为地球表面的切线)，设地球半 径为R,B的长度为R,∠MW=30, ∠SBM=45°，则卫星S到地面的高度 为 必修第二册·SJ学霸058 专题探究05 余弦定理、正弦定理的应用 1.(2024·湖北武汉高一月考)如图是某人设计 为线段，B,C,D三点共线，BC是以BC为直 的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶 点A,B,C在某圆上，且AD∥BC,AD⊥ 径的半圆，AB上BD,AB=,CD=6km CD,AD=4,BC=3,CD=1,则该圆的面积为 ( BAD=子，AB=DB,∠B=2∠BAD则该键 康步道的长度为 B 17 2 C.9m D.4 5.(2024·江苏徐州高一月考)已知在钝角三角 形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c,sinA-sinB=2 sin Beos C,则实数at的取 值范围为 (第1题) (第3题) 6.(2024·浙江湖州高二月考)如图所示，某公 2.(2024·云南大理高一月考)在△ABC中， 路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3km, 角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A= 0B=3,√3km,∠A=60°，∠A0B=90°，当地政 3, 府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中 a=2.sin A-sin B)asin A+bsin B)-(a- 点M,N都在边AB上（点M,N不与点A,B重 b)·sinC=0,则△ABC的面积为 ( 合，点M在点A,N之间)，且∠MON=30°. A.5 R5成 (1)若点M在距离A点2km处，求点M,N之 间的距离： (2)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积 D.1或2 3.(2024·福建泉州高一期中)如图，在四边 要尽可能小，设∠A0M=0,0<0写，试确 形ABCD中，∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB= 定当0为多大时△OMN的面积最小，并 126,∠ADC=120°，记AD与CD的长度和为 求出最小面积值 L,则L的最大值为 ( A.162B.163C.182 D.183 4.(2024·陕西宝鸡高一月考) 随着生活水平的不断提高，人 们更加关注健康，重视锻炼 通过“小步道”，走出“大健 康”，健康步道成为引领健康 生活的一道亮丽风景线.如图，A-B-C-D-E 为某区的一条健康步道，其中AB,CD,DE,AE 第11章学霸05911.3余弦定理、正弦定理的应用 PC+CO= asin ysi(a-B2+in） m,故C正确，D错误故 sin(y-a) 第1关（练递度） 选AC 1.AD解析：连接AC,在△ABC中，由条件可知AB=3km,BC= 7.B解析：在△ADC中，因为∠ACD=45°，∠ADC■67.5，所以 akm,AC=√7km,∠ABC=90°-30°=60°，根据余弦定理可知 ∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°，所以AC=DC=√6km.在△BCE 4C2=A2+BC2-2AB·BCcosLABC,所以7=9+a2-2X3ax?,解得 中，因为∠BCE=75°，∠BEC=60°，所以∠EBC=180°-75°-60°= ∠EBG sinBEC·可得BC=ECin∠BEC EC BC a=2或a=1.故选AD. 45°，由正弦定理得 sin∠EBC 2.C解析：①测量∠A,∠B,∠C,知道三个角度值，三角形边长不能 3 确定，有无数多组解，故不能唯一确定A,B两地之间的距离：②测 1× 2√6 量∠A,∠B,BC,可求出∠C,已知两角及一边，由正弦定理可知 2 2 a.在△MBc中，因为BC=ka,AC=6m mAnC即可求得AB,三角形有唯一的解，故能唯一确定A,B BCAB 2 两地之间的距离：③测量∠A,AC,BC,已知两边及其一边的对角， ∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°，所以由余弦定理得AB2=AC2+ 由正弦定理可知二分水出血及，上可能有两解，即三角 BC2-2C.8C∠4C8=号，得a=32n枚法且 2 形可能有两解，故此时不能难一确定A,B两地之间的距离：④测量 AP 8.153(3+1)m解析：在△ABP中，由正弦定理得 ∠C,AC,BC,已知两边及夹角，由余弦定理可求得AB的长，三角形 sin ZABP= 有唯一的解，此时能唯一确定A,B两地之间的距离.综上可得，一 AB AP 30 定能唯一确定A,B两地之间的匣离的所有方案的序号是②④，故 sn∠APB,即 in120°8in(60°-45o) 选C 又因为i血(60°-45)=血6045°-n45o60°=6-2，所 BS 10 4 3.B解析：易得∠ABS=105,∠BSA=45,∴ m306m45, 以AP=(452+156)m,所以树的高度为AP·in45°=15,3(，3+ BS=10xx2=55(nmle).故选B. 2*万 1)m.故答案为155(5+1)m 9.45°解析：由勾股定理得AD=√AB+BD=√20+60= AC 4,C解析：在Rt△ACD中，AD a7米，在△ABD中， 1 sin 83s= 2010m,4C=√(CD-AB)+BD=√302+60=305m,由余弦 由正弦定理，得，D AD BD AD 定理得cs∠C0=4C+MD-CD2.(305)+(20而)2-502 2AC·AD 2×305×20√/10 3 mLm甲n(”,则 BD-2in23e7元米，而n30°=im(23+7)=i加23”m7P+ T号，因为0<LcD<180°，所以2cD=45.故答案为459 cos23°sin7°，且sin16°=sin(23°-7)=4in23cas7°-c0s23°sin7°， 10.0.7km解析：由题意得∠APB=45°-15°=30°，∠PAB=15 因此2in23cos7P=n30°+16°=0.76，所以8D=L732 ∠PCE=30°，∠BPC=180°-45°-30°=105°，在△PAB中.由正弦 0.776 AB PB 1.4 PB 2.232(米).故选C. 定理得n∠PB"m∠PB·即n30“n15,所以PB 5.D解析：因为∠CBD=45°，所以∠ACB=45-15°=30 在△G中，由正孩定理得0，又15”=n45n AB 28sn15°km,在△PBC中，由正弦定理得LPCEsin LBPC' PB BC 30血45°m30-m45”血30.62，解得C sm30n105o,所以BC=PB.m105”_28n15”cm515 即PB BC sin30° 2 100xsin 15 5.6sin 15cos 15=2.8sin 30=1.4(km),DE=BC-BD-EC=1.4- =50(6-√2)m 0.2-0.5=0.7(km).故答案为0.7km sin30° 在6CO中，由E装定理2”新得∠c。 3 11. 解折：由m∠'0B-会期cmLA0B=爱又OM=0B= 23 12,则在△A0B中，根据余弦定理有AB2=0A2+0B2-2×0A×OB× 50(6-2)×血45°=万-1，即m(0+90)=万-1，所以o8 23 50 32 288-2x12×12x2 2 =81,即AB=9.因为物距：像距=6：1，所 √3-1，故进D 3 以A'B'= 6.AC解析：由题意可知，∠PAQ=a,∠PBC=Y,∠PAB=a-B 即像高为}故答案为号 第2关（然准确率） 、LBMQ=R在R△APO,R△BPC中，LAPQ=7-a,∠BP0=，- 12.B解析：依题意得∠MAB=45°，∠MBA■180°-75=105°，在 Y,所以∠APB=∠APQ-∠BPQ=y-a,又in∠ABP=sin[T- △AMB中，AB=600×15=9000(m).∠MB=180°-45°-105°= (∠APB+∠BAP)]=in(∠APB+∠BAP)=in(y-a+a-B)=sin(y AB AP 趴.在△ABP中，由正弦定理，得n2APg"in ZABP即 30°，由正弦定理得 9000x2 面30。得M= m(-a(y所以AP=asin(-B) AP 2 m,在Rt△APQ中 sin(y-a) 90002(m).又BM·sin75°=90002·sin(45°+30)=9000w2× PQ=AP,na=in in(Y-Bm,故A正确，B错误： sin(y-a) (am450.e30+45030)=9002×(5x5◆5× 222 AB PB 在△ABP中，由正弦定理，得 n∠APBsinZ.BAP,即ny-a 31 2 =9000x a(aA)所以Pg=asim(a- 22 =4500(5+1)(m),所以该山顶的海 PB m,在Rt△PBC中，PC=PB· sin(y-a) 拔高度为16000-BM·sin75=16000-4500(3+1)=11500 血y-asin yin(2m,又c0=AB:血B=sinm,所以P0= 45003=11500-4500×1.732=3706(m).故选B. sin(y-a） 13.B解析：由题图可知正八边形分剂成8个等腰三角形，则顶角为 必修第二册·SJ学霸036 360° g=45°，设三角形的腰为am ∠CDA,CM=CD=10N3km,∠BCD=120°-73°=45°.在△ACD 中，AD=2AC·cos30°=30(km).在△BCD中，∠CBD=180°- 由正弦定理可得 n1350m450,解得a=8w2如15 8 CD m, D LBGD-∠CDB=180°-45°-75°=60，m2HCDm∠CBD即 si BD 103 所以三角形的面积为5号（®7血1空） 1 2 in450=32/2. sin 450= 血60，得BD=10万km,在△ABD中，AB= 1-00135°=16(2+1)m2, V40-20·0·m46=√304(10w22-2x0x102x2 2 10w5(km).故答案为105km 所以每块八卦田的面积约为16（√2+1） 8×mX2237(m2).故 18.10+105 解析：由于A,B,C,D四点共圆，所以T-∠BAD= 选B. 3 14.A解析：在Rt△PMN中，PM= 15m,在△FPM中，∠FPMP= MN LCC=子hG=V小-oC=行，由正孩定理得DC sin C= 45°+15°=60°，∠FPM=180°-60°-15°=105°，.则∠MFP=180°- MP PF 55→m=海里在△BCD中，B0=C+Bc2-2mC,CD 105°-60°=15°，由正弦定理 血∠MT血EPMp:可得PF= 2020/5 sin∠PWF ·MP=in60°.MW3 MN √3MN CB-CD20 CD-400 sin∠MFP 血15o`n15o2"in215e1-cos30（m）, 3 0,0得0.，了-905将里， 9 3MN 在Rt△PEF中，EF=PF·inG0°= ·sinG0°= 显然0-105 0,不符合题意故答案为10+105 1-c0830 3 3 40w3(2-√3).√3 =120(m).故选A 人③ 2 19,解：1)由a,B为税角，ma=号，m日=2，可得aa 2 √T-cma=4 5,则inLCBD=m(m-a 15.AD解折：如图，连接A品，依题意，A42=25x 605(海里)，而 4√532525 B)=sin(a+B)=sin acos B+cos asin B=- B42=5海里，∠A142B2=60°，则△A142B2是正三角形，LA2AB2= 55+5x5=5 60°，A1B2=5海里在△41B,B2中，∠B1A1B2=105-60°=45°，41B1= (2)在△CBD中，由sin∠CBD=sinB,则∠CBD=B,则CB=CD= 4 52海里，由余弦定理得B,B1=√A1所M1-24B1·AB2s45 500米，如图，设B到CD距离为h,则h=BCsin a=500× 5 52)4-2xx5×号-5（将里.图为月时+4房 400(米) +AB=，则AB=A tan60° tan60°tnc -1）-0x(5 tan a A1B,所以LA1B2B1=90°，∠A1B1B2=45°，所以乙船的行驶速度 立25（海里/时），A正确，B不正确；延长B,品，与A,4,延长 1=119(米) 答：A,B两点间的距离为119米 60 线交于点0，显然有∠A1B2B,=90°，即AB2⊥0B1,0A1=10海 里，0B2=53海里，0B,=5(3+1)海里，甲船从出发到点0用时 102 425 （小时），乙船从出发到点0用时2=5〔5+山。 25 、3(小时)，44，即甲船先到达点0，所以甲，乙两船不可能相 通，C不正确，D正确.故选AD. 459p (第19题) (第20题) 20.解：如图，设在：时后台风中心位于点Q,则0Q2=PQ2+P02 2PQ.POcos∠0PQ,由题意得e是锐角，em0= 10,所以如日 B 、7又cosL0P0=eos(0-45)=cos0os45°+sin9in45°=于， 105AA 放0Q2=2022+3002-2×20×300× 4=2022-9600+3002.因此 甲 2022-9600+3002≤(101+60)2，即2-36+288≤0.解得12≤1≤ 24.故12时后该城市开始受到台风的侵袭 (第15题) (第16题) 第3关（练思维宽度） 16.B解析：如图，连接AC,由题意，∠ABC=45°，∠ACD=75°-15°= 60°，∠BCD=75°+45°=120°，∠ACB=45°+15°=60°，AB= 21. √厅-)R解析：如图，设 103 km,CD=4/2 km. 圆心为0点，设LA0B=a,由已知B n乙ACBn∠c即1o34 AB AC 在△ABC中，由正弦定理，得 的长度为号R=aR,即LA0B=a 22 号0A=0B=R,△A0B是等边三 则AC=105km,在△ACD中，由余弦定理，得AD2=AC2+CD2 角形，AB=R 2AC·CDeos.∠ACD=152,则AD=2√38km.故选B 又MA⊥OA,MB⊥OB,∠SAM=30°. 17.105km解析：∠CAD=180°-120°-30°=30°，所以∠CAD= ∠SBM=45°，则∠SA0=30°+90°= 参考答案学霸037 120°，∠SB0=45°+90°=135°，在△SM4B中，有AB=R,∠SAB= 120°-60°=60°，∠SBA=135°-60°=75，∠ASB=180°-60° 所以AB=√2设该圆的半径为R,则2R= AB..4,所 sin∠ACB1 75°=45，n∠S8A=血75°=n(45+30)=6+W2,由正弦定 7 4 31217 AB SA 理，得SB乙，即，= 以该圆的面积为R2=云 2)2故选B 互6+2 =3+1 2 2.B解析：由(sinA-inB)(asin A+bsin B)-(a-b)sin2C=0及正弦 24 定理得，(a-b)(a2+2)-(a-b)2=0,得a=b或a2+b2=c2.当a=b 在△S0中，有SM,0A=R,∠10=120，由余孩定理，得 时，因为A= 号a=2,所以b=e=2,5ae-女血号 3 2*2x2x 0S2=AS2+A02-2AS·A0·cos∠SM0= (） 5 5:当246心时，则三角形A8c为直角三角形，C=受因 xR·（寸）小(+5)，则s店R 为4= 3,a=2,所以B= 23 66 1 3 卫星s到地面的高度为（√+疗-1）见故答案为 2w 25 了综上所述，△MBC的面积为，厅或)枚选B (N- 3.B解析：在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=45,AB=126 由正弦定理得，inZACBim∠ABC,所以AC=∠AC、 AB AC 2解：(1)在AAB0中，由正弦定理得0A。AB sin∠ACB ,则 sin 0 126x② 2 =24在△ADC中，∠ADC=120°，AC=24,设∠DAC=8,则 0A=43 sin 0: 厚 OB AB 同理由正弦定理可得 2 in∠OAB -,则0B=43sin∠0AB L4GD=60-0,且0e(0,60),由正弦定理得，CD sin 4gn(eg） 0可若165，所以065血00 AD AC (2)AB=25,∠AB=∠MBA=gAM=BM=2 2 163sin(60°-0)，L=CD+AD=165·[sin0+in(60°-8)]= 在△OMB中，由余弦定理得OMP=OB2+BMP-2OB 1 165·(sin0+in60°cos0-c0s60°sin0)=16、5· Bw✉(o）=48m2(0若）4-65m(0+) 2 sin 0+ 3 m(eg）=24x[-m(20）]485m(g+20） 2c0s0163in(0+60)≤165.因为0<0<60°，所以当0= 30时，L取得最大值163.故选B. 8x[5m（号+20）+3m（号+20）]+28= 4,(22.5+2m)km解析：如图，连接AD,BC,因 3 -165sm(2a+号）+28 为AB= CD=6,所以AB=6,CD=4,在△ABD 0e(o,)…20+号e(号，）m(20) 中，A10,∠RD=号所以mL0=子 3 由直角三角形三角函数的定义知，BD=AB· [) tan∠BAD=6 ×行=8，所以C=0-D=8-4=4, 当血(20：号）-1，即0：侣时，0取最大值V2s+16万 所以半圆C的孤长为 ×4r=2m,在Rt△ABD中，AB=6,BD=8, 2 425,此时45=45（子m+号 所以AD=√AB+BD=√6+8=10，在△ADE中，设AE=DE= t(t>0),由余弦定理可得，AD2=AE2+DE2-2AE·DEcos E,即50= ）6+3a,=45(）4( 1mE).因为∠E=2LBMD,所以csE=cs2∠BAD=2X 12云所以50=(），解得1=草所以健集步道的长度 7 7 5 2)45m2 =√6+3√2，即当0B=0A=√6+3V2时.0M取最 大值 为2x25 +6+4+2m=(22.5+2m)(km).故答案为(2,5+2m)km 专题探究05 余弦定理、正弦定理的应用 5.(1,2+1)U(2+√5,5)解析：由sinA-inB=2 sin Beos C得 1,B解析：如图，连接AC,在△ACD中，AD=4,CD=1 sin(B+C)-sin B=2sin Beos C,EI sin Beos C+cos Bsin C-sin B= 2 sin Bcos C,所以-sin Bcos C+cos Bsin C=sinB,得in(C-B)= AD⊥CD,则AC=√ADCD=√17，所以 m∠C4D=CD、1 sinB,则有C-B=B或C-B+B=T,则有C=2B或C=r(不合题意. 会去)，所以A=T-B-C=T-3B, AC 7 =∠cw是后因 为AD∥BC,所以∠ACB=∠CAD,所以 sin Atsin C sin()+sinsin 3in2B 6 sin B sin B sin B cos∠ACB=6os∠CAD.4 ”万in LACB=sim∠CAD= ,所以 sin(B+2B)+sin 2B sin Bcos 2B+cos Bsin 2B+sin 2B √7 sin B sin B AB2=AC2+BC2-2AC·BC·c%∠ACB=17+9-2√17×3X 4 ==2 in Bco 2B+2co Bsin Bo B+2sin Bcom BB 7 sin B 必修第二册·SJ学霸038 2如=1(B）-△c为能角三角 因为A,C为三角形内角，则血A+血C20,则血A+血C=7故 形，①当C为纯角时，{c2B<a,0<-3B号→<B<号 选C. 3.2解析：如图所示，记AB=c,AC=b,BC=a 则=B=(分号)4（仔4）广<g4(停4)月 方法一：由余弦定理可得22+b2-2×2×b× cs60°=6因为b>0,解得b=1+√3.由 SaMc=SAAn+56Aam可得】X2X5xsin60= 2 1 0<2B<2 2×2x4 Dxsin30°+2×4 Dxbxsin30°， ②当A为钝角时， <-3<m 解得AD=B.25(1+.2故答案为2 3+√3 方法二：由余弦定理可得22+b2-2×2×b×cos60°=6因为b>0,所以 综上，实数的取值范围为(1，反+1)U(2+3,5).故答案为(1， b=1+3. 2+1)U(2+3,5). 血6网“nB”mC解得血B=6 由正弦定理可得一6。 4 6.解：(1)由题意得，AM=2km,在△AM0中，由余弦定理得，OM2= 0M+r-201,Aem4=94-2x3x2x=7,则0M=7km, 因为1+3>√6>2，所以C■450，B=180-60°-45°▣75 所以cs∠AOM.0A+0MP-A_9+7-4.27 又∠BAD=30°，所以∠ADB=75°，所以AD=AB=2故答案为2 20A·0M2x3x/77 4.解：(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abc0%C,对比已知a2+b2-e2= 在△OAN中，in∠ANO=sin(∠A+∠AON)=sin(∠A+∠NOM+ 2a6,可得sC.a2+62-c2.2ab2 ∠A0M)=ia(∠40M+90°)=oLA0w=27 2ab2ab 2 所以在△OMN中， 因为Ce(0,T),所以sinC>0,从而sinC=√1-cos2C= sin30mLD得MN=OM:血30 由正弦定理得，MW OM sin∠ANO 因为sinC=√2cosB,即csB= 之今一=(km),即点M.N之间的距离为4km 7,又因为B后(0，)，所以B= 3 7 3.C=2 (2)由(1)可得B= ，Ce(0,),从而C=日 (2)因为∠A0M=0,0<0< ,所以在△AM0中，由正弦定理得， T 3412 乙owm20,所以oW“2流可在△M0中，南正 OM OA 33 5π 而inA=in 41 ON OA 35 弦定理得，n∠W”nLON,所以0N=2g5aw 由正弦定理有。6。，从而a6+,2c 5行 4 20M,0Nin30= 1 1 33 331 27 立×2in(60°+*2o0×2=16 3+1 27 1 因为0<0< 2c,6=2 i28,3 51 1631 m(2号 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为SA4C= 1 号所以 3c20 3<m,所以当20 3“2,即 时，△OMN 咖c号号 2 2 12 的面积最小，最小值为4-275m 由已知△ABC的面积为3+3，可得33=3+3，所以c=22 4 第11章真题演练 5解：（1)由血45a4=2可得子n4 2 cos 4=1, 1.C解析：由题意结合正弦定理可得sin Acos B-sin Boo%A=sinC, 即血(4号）1， 即sin Acos B-sin Beos A=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,整理可 得sin Beos A=0,由于Be(0,r),故inB>0,据此可得cosA= 由于4e0,)→号e(行智)放4号受解得A君 (2)由题设条件和正弦定理得万bsin C=csin2B-2 sin Bsin C= 20解折：因为8=60，=？，则由正弦定理得如AC 2sin Csin Bcos B, 、又B,Ce0,),则nBnc≠0，进面c月=，得到B”,于 1 是C=m-A-B,i西C=血（年-A-B)=(A+B)=s血AcosB中 由余弦定理可得b2=a2+e2-ac= 4c,即a2+c2-13 9 s血3c0s 4=②+v6 4 由正弦定理可得“ 根据正弦定理得sn2A+sin'C=1 F4通Asin C-13 2' 26 号7万解得6=22，e=6+2,故△4BC的周长 所以(m4+血C)2=n2A+sim2C+2aM血C=4 参考答案学霸039