11.2 正弦定理-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

11.2正弦定理 第1关练速度 0min为准，你的时间： 且asA=-c=3.mA=2smB,则（） 1.(2024·重庆巴蜀中学高一期末)设△ABC的 A.b=2 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a= 3,6=1,4=行则B= B.sin B=15 C.sin A+sin B=2sin C A 6 D.SAAnC= 15 2.(2024·山东枣庄高一月考)在△ABC中，已 2 知A=45°，B=30°，a=2,则b等于( 7.(2024·福建龙岩高一期末)在△ABC中，内 A.2 B.√3 C.2 D.1 角4，B,C的对边分别为a6,6C=日若 3.(2024·辽宁沈阳高一期未)在△ABC中，已 知角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA: △1C的面积为 ab () sin B sin C=4 7:9,cos A= 32 A. B.22 C.32 D.42 19 16 A21 0.1 2 8.(2024·安徽安庆高一月考)在△ABC中，A= 4.(2024·浙江台州高一期中)△ABC的内 角A,B,C的对边分别为a,b,c,若- 60°，a=V3,则.+2c ,B= sin B+2sin C= 3 9.(2024·江苏南京高一期末)在△ABC 6,△ABC的面积为，3，则6 中，AB=2,AC=3,o0A=名，则其外接圆的面 A.22B.w6 C.4 D.2 积为 5.(多选)(2024·湖北十堰高一月考)在△ABC 10.(2024·河北衡水高一月考)在△4BC中， 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据 角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c-a· 下列条件判断三角形的情况，正确的是 cosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状 ( 是 A.b=19,A=45°，C=30°，有两解 11.(2024·四川泸州高一期中)如图，在△ABC B.a=3,b=22,A=45°，有两解 中，B=45°，D是BC边上一点，AD=5,AC= C.a=3,b=22,A=45°，只有一解 7,DC=3,则AB= D.a=7,b=7,A=75°，只有一解 6.(多选)(2024·湖南长沙高一期末)已知a, b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边， 第11章学霸051 第2关练准确率日题为准，你做对 题 16.(2024·天津南开中学高一期未)已知在 12.(2024·安徽铜陵高一期末)在△ABC中， △ABC中，A-,点D在边BC上且AD1 角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B= AB,△ABD,△ADC的面积分别是S,S2, 60°，b=33.若△ABC有两个解，则c的取值 若AD=m为定值，当AC+AB取得最小值时， 范围为 ( 子值内 () A.(0,3) B.(3,33] C.[33,+∞) D.(33,6) A.2m B.√2m C.2 D.√2 17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 13.(2024·江苏盐城高一期中)当太阳光与水 平面的倾斜角为60时，一根长为2m的竹 6e已知a25,Ga451☐合会则 竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹 边c的值为 竿与地面所成的角是 ( 18.(2024·广东茂名高一期中)在△ABC中，内 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 beos C+ccos B=4 acos A,若S为△ABC的面 积，则的最大值为 A.159 B.30 19.(2024·广东广州高一期中)在△ABC中，a, C.45 D.60 14.(多选)(2024·河南南阳高一期中)在 b,c分别是角A.B,C的对边，且bsin(C+ △ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°，则 石)-2 ( (1)求B: A.△ABC的周长是5+7 B.BC边上的中线长7 (2)已知△1c的面积为25，且血4+ sinC=2sinB,求△ABC的周长 C.BC边上的角平分线长6,3 D.BC边上的高长32 15.(2024·江苏常州高一期末)在△ABC中， 角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已 知c=2,a+2cosA=b+2cosB,a≠b,则△ABC 面积的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.不存在 必修第二册·SJ学霸052 20.(2024·湖南长沙长郡中学高一月考)记 第3关练思维宽度 难度级别：☆合☆☆☆ △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 21.(2024·湖南衡阳高一期中)莫利定理，也称 已知cosA sin 2B 为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰 1+sin A 1+cos 2B 克·莫利于1899年左右发现的一个几何定 2π (1)若C=号求B: 理该定理的内容如下：将任意三角形的三 （2)求20+8的最小值 个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线 相交得到3个交点，这样的三个交点可以构 成一个等边三角形.这个三角形常被称作莫 利正三角形.如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC,BC=8,△DEF是△ABC的莫 利正三角形，则△DEF的边长为 ( A.3 B.4-23 C.8-43 D.16-83 22.(2024·江苏无锡高一期中)在 △ABC中，角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且a2+c2-b2=√3ac,2 acos C=2b+c. (1)求△ABC各内角的大小： (2)若D,E是边BC上的两点，∠DAE= 3 b=2,设∠BAD=,△ADE的面积为 f代a),求函数f(a)的最小值 第11章学霸053误；对于B选项，因为B=60°b2=ac,由余弦定理，得b2=a2+c2- +c.g2+c2-6 =2a 2 accos B,代人化简，得(a-c)2=0,即a=c,故△ABC是等边三角 bcs C+ccos B=2acosA. 2ab 2ac 形，放B选项错误：对于C选项，由会=血号和二倍角公式及 b2+e2-a 2 2be ,整理得bc(a2+b2-c2)+bc(a2+c2-b2)=2a2(b2+c2 余弦定理，得”。in2 B 1-cos B 1 a2+e2-b2 a2),即2a2bc=2a2(b2+c2-a2),即be=b2+c2-a2,放cosA= 2221 ,整理 2ac b2+c2-a2_be_1 得2a(c-a)=2a-(a2+c2-b2),化简得a2+b2-c2=0,故△4BC是 2he 2证2又Ae(0,),所以A= 3 直角三角形，故C选项正确：对于D选项，若△ABC是等边三角 (2)由余弦定理，得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3. 2 b+c 2 =1,当且仅当6=c■1时取等号，故a的最小值为1， 。”是“△4BC是等边三角形"的必要条件，故D选项错误放》 第3关（练思维宽度） 21.D解析：由题意，AB=2,BC=2W2,设∠ABC=a,∠ACB=B,a,B∈ 选ABD. (0,r),则由余弦定理得AC2■AB2+BC2-2AB·BC·c0%∠ABC 15.D解析：因为2b2-2a2=3a+18,且c=3,所以22-2a2=ae+2c2, 即a2+c2-b2=-1 2ac,所以由余弦定理得csB=2+e2- 12-82cosa,4C=2V3-22cosa,同时coB-4C+BC2-AB 2AC·BC 2ac 16-82c08& 1 2 te 2-cosa,由a,Be(0,m),则mB= 82,√3-22csaV3-2w2c%a 2+cos-a-2/2cos a sim om 2oc /1-c0s2B= sin a 三，因为AC⊥ 16.C解析：c=18 =1-18,当且仅 3-2w2cosa√3-22co8a 2ac 2ac ac CD,则∠BCD=90°+B,在△BCD中，BD2=8+12-82cO%a-2× 当ac时取等号mB≥1-5血B,即，万血B+3如B≥3. 22×√12-82cosa·cms(90°+B)=20-82c0sa+82× 即（号）8e0,8+号e(行智）月 /3-2W2co%a× sin c =m20-82c0sa+8√2sina■20+ √3-2w2cosa 8子=（行]Be(号]故选c 16m(），所以当a时，B02的最大值为36，B0取得最 大值6.故选D. 17.4解折：已知A=号，且最大边长和最小边长是方程-7+1= 0的两个根，设第三边为a,:b+e=7,be=11,a= 22解：（1)连接D,因为∠BCD=号，所以∠DB= 3 -2hmA=√4e2-2hm写=6*o)-贩- 在△ABD中，由余弦定理得BD=AB+AD-2MB,AD·m三 可得BD=√2I.在△BCD中，由余弦定理得BD=BC2+CD2 /7-3×11=4. 18.5解析：在△MBD中，e=l,D=反，∠ABD=牙，由余弦定理 2BC·CD·c0s 3=BC2+CD2-BC·CD=(BC+CD)2-3BC·GD. 得AD2=AB2+BD2-2AB,BD·cs∠ABD=1+2-2x1xW万×7=l, 所以(BC+CD)2-21-3BC·CD,因为BC·CD≤ (BC+CD* 2一，当 所以AD=1,AC=2AD=2,此时AB2+AD2=BD2,即AB1AD,所以 且仅当BC=CD=√2I时等号成立，所以(BC+CD)2-21≤ a=BC=√AB+AC2=√5.放答案为5. 头(BC4CD)2,BC:m≤2v瓜，所以周长的最大值为2v厅+ 19.解：(1)因为Be(0,m),所以csB=±√1-inB=±7 35 若cmB=行，由余弦定理，得=a2+2-2 coB=72+82-2x7x (2)张题意得C.1 cD2,设BC=,CD=2x, 8x号=9，即6=7，则mA手 2e7 在△BCD中，由余弦定理得BD=BC24CD2-2BC·cD·m行 若seB=号，由余弦定理，得+2-2acos日=7+82-2 由(1)得BD=√2T,所以（√2I)2=x2+(2x)2-x·2x,解得x2=7. 所以BC=√7，CD=27. 7x(号） =17,即6=历，则csA+e2-2.217 在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC· 2bc 177 co8∠ABC=10-2√2Ic05∠ABC①， (2)由余弦定理，得sC=2+-t2_49+25-64 在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CD· 2ab 70 7,所以C是 cs∠ADC=40-8√2Ico8∠ADC②. 锐角，所以血C=√C=4如图，作mLAC于点月.在 又因为∠ABC+∠ADC=T,所以co8∠ABC=-cs∠ADC,即 0%∠ABC+Co8∠ADC=0, 43 ①×4+②，得5AC2=80-8√/2I(cos LABC+c0%∠ADC)=80,解 Rt△BCH中，BH=asin C=7× =43,即AC边上的高是43. 7 得AC=4 11.2正弦定理 第1关（练速度） 1.C解析：由正弦定理得5 A咖B则nB=inA1 1 万2，曲6m得 20.解：(1)b2 ccos C+c2 beos B=a(b2+c2-a2)=a·2 becos A→ B1,所以B=石散选C 参考答案学霸033 m面B解得6=58230e 2.A解析：由正弦定理，得a=6 sin A sin 45 9 4 解折：在△MC中，AB=2,4C=3,mA=子，放血A √2.故选A. 方法总结 2,由余弦定理可得BC=√2+32-2x2x3x 3 正弦定理解三角形的适用条件：已知两角和一边、已知两边及其中 一边的对角.其中已知两边及其中一边的对角时可能会出现多解. ,5,则利用正弦定理可得△ABC的外接圆的直径为2R=5 =3 3 3.C解析：因为sinA:inB:sinC=4:7:9,则由正弦定理可设 a=4化，6=张，e=9k由余弦定理得oA=+c2-a R=子，故△A8C的外接圆的面积为？故答案为 3 4 2be 10.等腰或直角三角形解析：根据正弦定理及c-acos B=(2a 9+81-16=9故选C 2×7k×9k b)cosA,可得sinC-sin Acos B=2 sin Acos A--sin Boos A,即sinC+ 重难点拔 (8 in Beos A-sin Aco%B)=2 sin Aco%A,所以in(A+B）+ sin Bcos A-sin Acos B)=2sin Bcos A=2sin Acos A,cos A=0 由正弦定理可以得到a:b:c=sinA:sinB:sinC,因此对于齐次 式常利用正弦定理进行化简 或血A=血B,又A,Be(0,),所以A=受或A=B,因此△MC 4.D 了，可得aBc,又因为B=石，△MC的面积 的形状是等腰或直角三角形。 解析：因为C=3 解析：在△4CD中，由余弦定理可得cC=9+9-25_ 1 1 2×7x314 为5，可得8之oanB=宁×5cx =√5，解得c=2,则a三 2 25,又由余弦定理得62=a2+2-2cesB=12+4-2x2w5×2x5 因为0<C<,所以血C=沿在△MBC中，由正装定囊可得 咖CnB,则AB=4Csm 7x3 4,所以b=2.故选D. AB AC 145w6 5.CD解析：对于A,因为A=45°，C=30°，则B=105°，由正弦定理 sin B2 故答案为56 2 2 名C品后得a-细合细后显然有唯一结果，即只 2 第2关（练准确率）】 有一解，A错误：对于B,a=√5，b=22,A=45°，由正弦定理得 12.D解析：因为B=60°，b=3V3,所以当esin B<b<c时，△ABC有 如BnA25a45°.2>1，无解，B错误：对于C,a=3,6 两个解，即cn60°<33<c,所以33<e<6,即e的取值范围为 3 (33.6).故选D. 22,A=45°，因为a>b,所以BcA=45°，由正弦定理得sinB= 13.B解析：设竹竿与地面所成的角为a,影子长为xm 425”号<1，有魔-解，C正确：对于Da=7,6 3 由正弦定理，得 7,A=75°，因为4=b,所以B=A=75°，此时C=30°，有唯一解，D正 60m(120可解得 2 3in(120°-a). 又因为0°≤a≤90°，所以30°≤120°-m≤120°，所以当120°-m 确.故选CD. 重难点拔 90°，即a=30时，有最大值为所以竹竿与地面所成的角是 在△ABC中，已知A,a,b时，三角形解的个数的判断方法： 30时，影子最长故选B. (1)当bsin A>a时，无解： 14.ACD解析：因为在△ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°，所以由 (2)当bsin A=a或b≤a时，有唯一解： 余弦定理得BC■√AB2+AC2-2AB·AC·COs∠BAC= (3)当bsin A.<a<b时，有两解. 6.ABC解析：因为inA=2sinB,所以a=2b,由余弦定理可得a2= √432-22x3x=万，所以△M8c的周长是2+37=5 4-2水mA,即4-+9+2，解得6=2或6=号（合去， 万，故A正确：设BC边上的中线为AD,则2A=A店+A花，两边平 放A正确；a=2b=4,因为eA=- 年，所以nA= 4,所以 方，可得4办=+衣+2市·花=2+32+2×2×3×号，解得 血=血4：B正：因为62么，所以由正孩定 d1=1 2,故B错误；设BC边上的角平分线为AB,则∠BMBE= 理，可得血A血B=2血C,故C正确：5ac之如4宁2x ∠C6=子LB4C=30,期由Sac=SA+5au,得子AB· 3x平3，故D错混故选AC ACn∠BMG=7AB·AEn∠BME+2AC·AE血∠CE,所以 4 、>×2×3×。im60。=×2×A5in30￥×2 7C解折：由题意知，5ac=子nC=只。 +2×3x4Bsm30°，解得AB= b,又因为SaAc=8 63 所以2 ，故C正确：设BC边上的高为M,因为AB=2,AG=3. 4ab=8,得c2=22a由余弦定理得c2=a2+62-2 abeos C a2+-2ab,所以2反ab=2+62-2a6,得a2+ *2之xV7xH,解 2BMC=60°，BC=7,所以SA4c=7x2x3x3. -=32.故选C. ab 得An=3yT,故D正确故选ACD. 7 8.2解析：因为A=60°，a=√3，根据正弦定理得 sin B sin C sin A 15.D解析：由e=2及a+2cosA=b+2cosB,得a+ccos A=b+ceos B.在 5-5=2,所以6=2血B,c=2血C,原式=2Bt4他 △ABC中，由正弦定理得sinA+sin Ceos A=sinB+sin Ceos B. =2 im60°5 sin B+2sin C 即sin(B+C)+sin Ceos A=sin(A+C)+sin Ccos B,整理得cosC· 2 sinB=cos Csin A,而a≠b,即sinA≠inB,因此cosC=0,即C= 故答案为2 90°，4=c2=a2+b2≥2ab,当且仅当a=b=2时取等号，即ab≤ 必修第二册·SJ学霸034 2,56c=之b≤1，等号无法取到，所以△MC面积的最大值不 =2am=a,即（ae2.a2e=c=8,解得ate=4,6 存在故选D. 22,所以△ABC的周长为a+6+e=4+22 16.D解析：由△ABC内角A,B,C所对边为a,bc,A=红，AD1A 20:图为。g, 2 c0s2 B 6s户所以 交C于D得LCD=石由SAc=5Aum+5Aum及三角形面积 血层=sAoB-血AmB=m(A:)=-omC=子，因为0cB 公式得m+如血名-咖行整理得子+上 b c m ,于 于所以B 6 （2)由(1)可知，血B=-mC>0,则号<C<,0<B<受因为 血B=-wG=血(c受）且0<c-号受，所以c=受+B, 时，6+c取到最小值，此时。 2c 则A-(8+C)=受-2B,所以2a.2n48 2 sin2C =√反故选D. S21 2 co028+1-coB(2coB-1)+1-coB8co3 2 cos2 B cos2B cos2B 17.2万解析1中黑分名，即m4nc4 9≥2V24-9=46-9.当且仅当s2B= tan B sin Beos A 到取等号，所2公 血Beos A面B六A2,即A为锐角，小血A sin C 2sin C 1 的最小值为46-9 第3关（练思维宽度） yT-cs看=3 :a=25,C=45°，4由正弦定理 21.C解析：由题意可得AB=AC=42, sin A sin C 23x2 在△ABD中，∠BAD=T, ，∠A08=由正弦定理 6,∠ABD=T 2 得c =22故答案为22. 5 得AD=AB·in∠ABD42·n2 2 sin∠ADB 3n 2=8如7同理可得AE= 18. 解析：由题设及正弦定理边角关系，得sin Beos C+inC· 12 csB=4 sin Acos A,即in(B+C)=4 sin Acos A.因为A+B+C=T,所 8n五A0=A,∠DME=若，所以∠A0E=∠AD= 6 12 4所以 以mA=4 sin Acos.又因为s如A≠0，所以csA= 在△ADE中，由正弦定理得DB=D:m∠DME sin∠AED 血A:乐因为。2=+-2hmA=+2-k,5 T 8 Bsin 12·m6 ·2sin 12 12c0512 2=16 4所以 √/156e 1bc15 以a“8(6+e2)-4he≤16c-4e12 cos 12 当且仅当6：时等号成立，故的最大值为压放答案 12 1-6=8-45.故选C 2 为晋 2.解：(1)小：a2te2-2=5ae,2 acco=月acem8=5 2 重难点拨 在解三角形中，选择用正弦定理或余独定理，可以从两方面思考： 又Be(0,r),六B= ”2ac05C=2b+e,由正弦定理得 T (1)从避目给出边角关系的条件类型来选择： 2sin Acos C=2sin B+sin C,2sin B+sin C=2sin(A+C)+sin C= (2)从式子结构来选择，例如本题中出现的齐次式，一般选用正弦定理 2sin Acos C+2cos A.sin C+sin C,.'.2cos Asin C+sin C=0..'Ce 19.解：(1)在△M8c中，由正弦定理及n(C+石)-空得 0,,血C0m4=-子Ae(0,A= 3...Ca sin B 1 (2)由(1)得，△ABG为等樱三角形，六.b=c=2.在△ABD中，B= 2 sin(B+C)+ 1 2 sin Ca 1 2 0e Bsin C+ 6,∠BMD=,c=2,AD= 1 ,同 c面0c<,则有停m8子mB=宁，即血(e- 1 1 (g血(g 理AE= 6 66 Feaf八e)=A0·ALDE: B= 3 3 ae(0,号）…当 =4=3 ,解得ac= 3,曲正 4(）sa2a(agH 弦定理及加A+mC=2mB得b=,由余弦定理得子+2 时，f(a)m3 26 参考答案学霸035