11.1 余弦定理-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

第11章 解三角形 11.1 余弦定理 第1关练速度 10mn为准，你的时间： 7.(2024·江苏无锡高一月考)如图，E,F是等 1.(2024·江苏扬州高一期中)在△ABC中， 腰直角三角形ABC斜边AB的三等分点，则 角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,b= tan∠ECF等于 () 4,c=√21，则C= ( A.90°B.45o C.60° D.30° 2.(2024·江苏南京师大附中高一期中)在 △ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 16 3 n 已知a=5,6=2,C=写则c N.1 .3 8.(2024·四川成都七中高一月考)在△ABC A.26B.√39 C./29 D.√/19 3.(2024·江苏无锡高一期中)△ABC的三边长 中，∠A,∠B的对应边分别为a6,且A=号 分别为AB=7,BC=5,CA=6.则AB.BC的值为 a=√6，b=4,那么满足条件的三角形有 个 A.19 B.14 C.-18 D.-19 9.(2024·山东枣庄高一月考)在△ABC中，已 4.(2024·广东惠州高一月考)已知△ABC的 知CB=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线 角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 长为 (a+b)2-e2=ab.则C= ( 10.若a,a+1,a+2是钝角三角形的三边长，则a A.30°B.60° C.120° D.150° 的取值范围是 5.(多选)(2024·湖南衡阳高一期中)在△ABC 11.(2024·山东临沂高一期中)如图所示，某学 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 校花园的平面图呈圆心角为120°的扇形区 2 besin2A=b2+c2-a2,则A的大小可能为 域AOB,两个凉亭分别坐落在点A及点C ( 处，花园里有一条平行于BO的小路CD.已 知某人从凉亭A沿小路AD走到点D用了 B 3分钟，从点D沿DC走到凉亭C用了5分 6.(多选)(2024·山东泰安高一月考)在△ABC 钟：若此人步行的速度为每分钟60米，则该 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b2+c2- 花园扇形的半径OA的长为 米（精 a2=√2bc且b=√2a,则下列关系可能成立的是 确到1米). ( A.a=c B.b=c C.b=/2e D.a2+e2=b2 必修第二册·SJ学霸048 第2关练准确率Bs为准，你做对题 16.(2024·河南周口高一期末)在△ABC中， 12.(2024·湖北武汉高一月考)在△4BC中，A, 角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b=6, B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+c2+ac=b2, 183 ac= () sin B' 则B的取值范围为 4,则cs(A-C)=( 3- sin Asin C= Ao】 B.o,] B.I c.(o.] n.o,] C.6+2 4 D.62 4 17.在△4BC中，A=写，且最大边长和最小边长 13.(2024·江西南昌高一期中)某人要作一个 是方程x2-7x+11=0的两个根，则第三边的 三角形，要求它的三条高的长度分别为5 长为 18.(2024·江苏无锡一中高一期中)已知 27,则此人 11 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, A.不能作出这样的三角形 D为边AC的中点，c=1,BD=√2，∠ABD= B.能作出一个锐角三角形 牙则边a的长为 C.能作出一个直角三角形 D.能作出一个钝角三角形 19.(2024·广东汕尾高一月考)在△ABC中，A, 14.（多选)(2024·河南安阳高一期中)已知 B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,c=8. △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, (1)若siB=33 ,求A的余弦值： b,c,下列说法错误的是 A.若acos A=beos B,则△ABC是等腰三 (2)若b=5,求AC边上的高. 角形 B.若B=60°，b2=aC,则△ABC是直角三 角形 C.若，=sin 2c 2,则△ABC是直角三角形 D.“a b cos A cos B ”是“△ABC是等边三角 形”的充分不必要条件 15.(2024·江苏南京高一月考)已知在△ABC 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若2b2-2a2=3a+18,且c=3,则cosB的值为 () A.5 B 4 C.、5 4 第11章学霸049 20.(2024·陕西安康高一期未)在△ABC中，第3关练思维宽度 难度级别：☆★☆☆☆ 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 21.(2024·福建莆田高一月考)如图所示，平面 b2ccos C+e2bcos B=ab2+ac?-a'. 四边形ABCD的对角线交点位于四边形的 (1)求A: 内部，AB=2,BC=22,AC=CD,AC⊥CD,当 (2)若b+c=2,求a的最小值. ∠ABC变化时，对角线BD的最大值为 A.22 B.23 C.4 D.6 22.(2024·湖北武汉外国语学校高 一月考)如图所示，在圆内接四 边形ABCD中，AB=3,AD=23,C为圆周上 一动点，∠D: (1)求四边形ABCD周长的最大值： (2)若品求4C的长 必修第二册·SJ学霸050sin cos 0=sin Ocos 0. 1 故当a=时，)(a+受)取得最大， 在Rt△PBC中，PC=BC·sin(60°-0)=cos8·(sin60°cos8- (2)爪e)+fa+B)>f代B),证明如下： cos60°sin8), 由题意可知，fa)f(a+p)=sina+sin(a+B)>0,f八B)=inB>0. 3 因为aBe(0,受) 所以Cm+cP= 2sin 20+ 20s20- 2m0cs0=有m20+ 所以1+coB>B>0.所以g>1,所以机期）小 f(B) m2051 3 4 如(20+60°)+5 ,所以当in(20+60)=1. sin inin osin) >cos a+sin a= sin B sin B 即0=15时，CH+CP取得最大值，且最大值为，5_2 24 4 m(a+好 又由1)2(a+小1，所以aa+ 19.解：)因为f)=snx,且a,Be(（0,),所以a)(a+ )B) (3)f八a),f八)，f(a+B)能作为△ABC的三边长，证明如下： 2 (2na+ 由(2)知x)+fa+B)>f代)，同理f八)+f(a+p)>fa). sin a+cos a= 又a)+B)=sina+sinB>sin acosB+sin Booe=f(a+B),即任 =2sin a+4 .因为0<a<2 所以可 ，节3行 意两边之和大于第三边，f八a),f(B),J(a+B)能作为△ABC的三 4●4” 边长 第11章 解三角形 11.1余弦定理 即c2-4c+10=0,则4=16-40=-24<0，所以方程无实数根，即满足 条件的三角形有0个，故答案为0. 第1关（练速度） 1.C解析：曲余弦定理得csC-+2-e_5+42-(v2)2 9.7解折：由条件知sAMB+MC2-BC2_92+82-72.2 2·AB·AC2x9x8 3,设中线 2ab 2×5×4 2" ·ABco8A=42+ 因为0°<C<180°，所以C=60°，故选C 长为名，由余弦定理知x2= 2)+MB-2.4 2 1 2.D解折：2=a2+b2-2 abeos C=25+4-2x5x2×2=19,所以c= 2 92-2×4×9x =49,所以x=7,所以4C边上的中线长为7.故答案 √19.故选D. 为7. 方法总结 10.(1,3)解析：a+2>a+1>a,,a+2所对的角为三角形中最大的 用余弦定理解三角形的适用条件：已知三边、已知两边及夹角，已 内角.由三角形三边关系得a+(a+1)>a+2,解得a>1.设边a+2所 知两边及其中一边的对角时也可以选用余弦定理，但是可能会出现 对的内角为9，则cs9=2+(a*2-（a+2)<0,即。2-2a-3<0, 多解 2a(a+1) 解得-1ca<3.综上所述，a的取值范周为(1,3). 3.D解析：由于AB=7,BC=5,CA=6,则c0sB= 25+49-3619 故答案为(1,3). 2×5×7351 则 11.267解析：设该扇形的半径为r米，连接C0.由题意，得CD=5× 19 60=300(米).DA=3×60=180(米)，∠CD0=60°.在△CD0中. 店，成=·配·c(-)=7x5×(35)-19故选D, CD2+0D2-2CD·0D·co%60°=0C2,即3002+(r-180)2-2×300× 4.C解析：在△ABC中，由(a+b)2-e2=ab,得a2+b2-e2=-ab,由余 弦定理得sC-2+2-C。-1因为0°<C<180,所以C=120 2=,解得=2940 (180)x 267.故答案为267 11 2ab 2 第2关（练准确率） 故选C. 12.A解析：由a2+c2+ac=b2,得a2+e2-b2■-ac,由余弦定理得 5.ACD解析：依题可得血21-+e2- -=c0sA,即2inA· a2+e2-2=-.因为B∈（0，π)，听以B=3,所 2ac2ac 4=cmA,则cA=0政血4子因为Ae(0,),所以A: 6 以A+C= 3,cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C- 或或故选ACD, sin Asin C+2sin Asin C(+C)+2in Asin C=1 4 6.ACD解析：因为62+c2-a2=2bc,b=2a,将b=√2a代入62+c2- a2=√2bc,得a2-2ac+e2=0,所以a=c,放b=√2c,a2+c2=2c2=b2 故选小 2 故选ACD. 13.D解析：设三条高的长度分别 111 7.D解析：由题意及图形可设三角形的直角边为3，则斜边为32 25227,所对的三边分别为 又因为E,F为边AB的三等分点，所以AE=EF=BF=√2，△ACE≌ 25分号，故可设a=25,6: a,b,c,则由三角形面积公式可知g。名 △BCF,在△ACE中，由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC· AEo45°，所以CE=√5=CF在△CEF中，由余弦定理得 22,e=7x,则a>b>C,故A>B>C,则最大角为A,由余弦定理 L0rC号号在△中，利用同角 得sA=6+2-02_7)2+(22)2-(25223 2×7x×22x <0,则A为钝 2CF·CE25x√5 角，故此三角形为钝角三角形.故选D. 42 14.ABD解析：对于A选项，由acos A=bcoB和余弦定理，得a· 5 间的三角函数关系可知tan∠ECF= 故选D =6.a2te2-62 62+c2-a2 2ac 即2(2+c2-a2)=2(a2+c2-b2).整理 得a22-a4-b2e2+6=0,即(a2-2)(c2-a2-b)=0,故得a=b 8.0解析：由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A=16+e2-4c=6. 或c2=a2+b2,故△4BC是等腰三角形或直角三角形，故A选项错 必修第二册·SJ学霸032 误；对于B选项，因为B=60°b2=ac,由余弦定理，得b2=a2+c2- +c.g2+c2-6 =2a 2 accos B,代人化简，得(a-c)2=0,即a=c,故△ABC是等边三角 bcs C+ccos B=2acosA. 2ab 2ac 形，放B选项错误：对于C选项，由会=血号和二倍角公式及 b2+e2-a 2 2be ,整理得bc(a2+b2-c2)+bc(a2+c2-b2)=2a2(b2+c2 余弦定理，得”。in2 B 1-cos B 1 a2+e2-b2 a2),即2a2bc=2a2(b2+c2-a2),即be=b2+c2-a2,放cosA= 2221 ,整理 2ac b2+c2-a2_be_1 得2a(c-a)=2a-(a2+c2-b2),化简得a2+b2-c2=0,故△4BC是 2he 2证2又Ae(0,),所以A= 3 直角三角形，故C选项正确：对于D选项，若△ABC是等边三角 (2)由余弦定理，得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3. 2 b+c 2 =1,当且仅当6=c■1时取等号，故a的最小值为1， 。”是“△4BC是等边三角形"的必要条件，故D选项错误放》 第3关（练思维宽度） 21.D解析：由题意，AB=2,BC=2W2,设∠ABC=a,∠ACB=B,a,B∈ 选ABD. (0,r),则由余弦定理得AC2■AB2+BC2-2AB·BC·c0%∠ABC 15.D解析：因为2b2-2a2=3a+18,且c=3,所以22-2a2=ae+2c2, 即a2+c2-b2=-1 2ac,所以由余弦定理得csB=2+e2- 12-82cosa,4C=2V3-22cosa,同时coB-4C+BC2-AB 2AC·BC 2ac 16-82c08& 1 2 te 2-cosa,由a,Be(0,m),则mB= 82,√3-22csaV3-2w2c%a 2+cos-a-2/2cos a sim om 2oc /1-c0s2B= sin a 三，因为AC⊥ 16.C解析：c=18 =1-18,当且仅 3-2w2cosa√3-22co8a 2ac 2ac ac CD,则∠BCD=90°+B,在△BCD中，BD2=8+12-82cO%a-2× 当ac时取等号mB≥1-5血B,即，万血B+3如B≥3. 22×√12-82cosa·cms(90°+B)=20-82c0sa+82× 即（号）8e0,8+号e(行智）月 /3-2W2co%a× sin c =m20-82c0sa+8√2sina■20+ √3-2w2cosa 8子=（行]Be(号]故选c 16m(），所以当a时，B02的最大值为36，B0取得最 大值6.故选D. 17.4解折：已知A=号，且最大边长和最小边长是方程-7+1= 0的两个根，设第三边为a,:b+e=7,be=11,a= 22解：（1)连接D,因为∠BCD=号，所以∠DB= 3 -2hmA=√4e2-2hm写=6*o)-贩- 在△ABD中，由余弦定理得BD=AB+AD-2MB,AD·m三 可得BD=√2I.在△BCD中，由余弦定理得BD=BC2+CD2 /7-3×11=4. 18.5解析：在△MBD中，e=l,D=反，∠ABD=牙，由余弦定理 2BC·CD·c0s 3=BC2+CD2-BC·CD=(BC+CD)2-3BC·GD. 得AD2=AB2+BD2-2AB,BD·cs∠ABD=1+2-2x1xW万×7=l, 所以(BC+CD)2-21-3BC·CD,因为BC·CD≤ (BC+CD* 2一，当 所以AD=1,AC=2AD=2,此时AB2+AD2=BD2,即AB1AD,所以 且仅当BC=CD=√2I时等号成立，所以(BC+CD)2-21≤ a=BC=√AB+AC2=√5.放答案为5. 头(BC4CD)2,BC:m≤2v瓜，所以周长的最大值为2v厅+ 19.解：(1)因为Be(0,m),所以csB=±√1-inB=±7 35 若cmB=行，由余弦定理，得=a2+2-2 coB=72+82-2x7x (2)张题意得C.1 cD2,设BC=,CD=2x, 8x号=9，即6=7，则mA手 2e7 在△BCD中，由余弦定理得BD=BC24CD2-2BC·cD·m行 若seB=号，由余弦定理，得+2-2acos日=7+82-2 由(1)得BD=√2T,所以（√2I)2=x2+(2x)2-x·2x,解得x2=7. 所以BC=√7，CD=27. 7x(号） =17,即6=历，则csA+e2-2.217 在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC· 2bc 177 co8∠ABC=10-2√2Ic05∠ABC①， (2)由余弦定理，得sC=2+-t2_49+25-64 在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CD· 2ab 70 7,所以C是 cs∠ADC=40-8√2Ico8∠ADC②. 锐角，所以血C=√C=4如图，作mLAC于点月.在 又因为∠ABC+∠ADC=T,所以co8∠ABC=-cs∠ADC,即 0%∠ABC+Co8∠ADC=0, 43 ①×4+②，得5AC2=80-8√/2I(cos LABC+c0%∠ADC)=80,解 Rt△BCH中，BH=asin C=7× =43,即AC边上的高是43. 7 得AC=4 11.2正弦定理 第1关（练速度） 1.C解析：由正弦定理得5 A咖B则nB=inA1 1 万2，曲6m得 20.解：(1)b2 ccos C+c2 beos B=a(b2+c2-a2)=a·2 becos A→ B1,所以B=石散选C 参考答案学霸033