9.4 向量应用-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

20.(1)解：设B(x,y).则x=1O1+1A店1(-∠0AB)=5,y= y+4■4-2y. =0. A1n(m-∠01B)=V3,B5,)0元=0i+Bd=(5.3)+ 理可解得5故P以-5,8).综上，点P的坐标为（行，0）或 (-2.23)=(3,33)G(3.35). y=8. (2)证明：连接0C,如图.0元=(3,33)，A店=(1,3)0元= （-58.放答案为（行0）或(-58。 3A成.0元∥A店且O≠A.又Oi=4,1B成1= √(-2)2+(23)下=4,101=1B1.四边形04BC为等腰 第2关（练准确率） 梯形. 12.A解析：由a∥b得.2e%9=%in=1an8=2.故选A. 13.D解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以=D元 设D(,y),则有(-1-5,7+1)=(1-x,2-y), 即6-解得任=7，因此点D的坐标为(7，-6.故选D. 18=2-y, y=-6. 14.D解析：由A·A=市，C得与元的夹角为180，A市= (-1,m),元=(m,-4),由店∥a亿得m2=4,故m=±2，当m=2 第3关（思雏宽度）】 时，A元=-2.A与AC的夹角为180：当m=-2时.AC=2A成.A 21.A解析：充分性：若存在>0，使店=A配，即(21为-) 与AC的夹角为0，舍去故选D. A(-2-为3)，则(-x)(-)>0.(3-y)(为-32)>0，故 15.BC解析：设0i=a.O=b.OC=e.0为坐标原点.则由e=Aa+ d(A,B)+d(B,C)=x-1+2-y11+-1+1为21=1（与 (1-A)b(0<A<1)可知A.B.C三点共线.且C在A.B之间. x1)+(3-2)川+1（为3方）+(y33)1=lx3-x11+1为-，1=d(A, C).故充分性成立： 选项A:A2=(-1,2),A心=(0,2)，A与A元不平行，选项A错误： 必要性：取0=(2,5)，0=(3,3).0元=(5,2).则dA,B)+d(B. 选项B:A=(-2,4),A元=(-1,2)，A与A元平行，且C在A,B之 C)=(13-21+13-51)+(15-31+12-31)=6.d(A.C)=12-51+15 间，选项B正确：选项C:A店=(-4,2)，A花=(-2.1)，A与亿平 21=6,则d(A,B)+d(B.G)=d(A.C).但是A=0丽-可=(1. 行，且C在A,B之间，选项C正确：选项D:=(2,-2),A元= -2)B元=0元0成=(2，-1).所以1×(-1)≠(-2)×2，则4，B武不 (-1,I),AB与AC平行.但C不在A.B之间，选项D错误故选BC 共线，所以必要性不成立故选A. 16.C解析：设集合MnN=ala=(xy),xyeR,对于M,(x,y)= 22.解：(1)由题意知Y=1(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)川，记 （1.2)+A(3,4).即(x-1y-2)=A(3,4)-2同理，对 41=(-1,-1),4=(-1,1),a=(1,-1),a4=(1,1),其中a1= 3 4 -a4,a2=一a,故数集X,具有性质P 于N行苦-号，解得-2-2放MnN=1(-2,-2).放 由题意知Y2=(-1.-1).(-1.2).(-1.3).(2,-1).(2.2),(2 3),(3,-1),(3,2),(3,3),取B=(-1,2),在集合3中不存在 选C. 与B,共线的向量，即不存在B2e2,AeR,使得B,=AB2,故数集 17.(1,4)解桥：如图，结合题意，设C(x,y), X,不其有性质P M(),易得BC=(x-3,y-2)i=(1,4), (2)假设#在，因为a,=Aa2,所以a1∥a2,当a1=(1,2)时，设 由成=2，可得(x-3,y-2)=2(1,4).解得 a2=(m,n）,则2m=n, 5。即C(5,10).因为成=2成，所以 而集合{-1,1，x,2!,1<x<2中，只有2=2×1，所以只能是n= y=10. 2,m=1,此时a,=a2,这与已知矛盾，所以集合-1,1，x,2{不具 △DA△BMC,所以'M-MD。1 4 有性质P MC1BC2,所以O动 9.4向量应用 矿：号花，p(+1-=子（6,9)=(2,3).解得4即 1=4. 第1关（练逸度） 点M的坐标为(1.4).故答案为(1,4) 1.A解析：由题意可知=(7,8)-(2,15)=(5，-7)，F=(-4,3), 18.之解折：a/b2m=4-n2m+n=4又m>0,n>0 A丽·F=5×(-4)+3×(-7)=-41,所以F对该物体所做的功为-41 故选A, 2.A解析：由题意1AB1=Bi1=√个+(-3)下=√/0,1BC1=BC= √④+(-2=25，At=B成-Bi=(3,1),14C1=1A花=√3+下= √10=1AB1.面IACT2+1AB12=1BC12.∴.△ABC是等楼直角三角 n 形，故选A. 子时，等号成立放答案为号 9 3.C解析：由题得和，都是向量，根据向量的加法运算得逆风行 驶的速度为+2故选C, 19.解：(1)因为a=(1,0),b=(2,1),所以a-b=k(1,0)-(2.1)= 4.C解析：5后点P的坐标为(-10.10)+5(4，-3)=(10.-5)故 (k-2,-1),a+2h=(1.0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2h共 选C 5.B解析：因为AB=1,AC=2,∠BMC=60°，所以BC2= (2)因为a=(1.0),b=(2,1),所以=2a+3b=2(1,0)+3(2, (A心-A话2=A2+12-21话1·1A元1·6%60°=3，所以BC= 1)=(8,3),B武=a+mb=(1.0)+m(2,1)=(1+2m,m). 3.又因为AB2+BC2=4=AC2.所以三角形ABC为直角三角形，建 立如图所示的坐标系， 因为A,B,C元点共线，所以与武共线即1+2m ,解 8 3 则有A(0,1),B(0,0),C(3,0),因为D,E分别为BC,AC的中点。 得m2 3 所以n(修0）（停）所以=（货）成（停 参考答案学霸011 市.脉 15.C解析：如图，建立平面直角坐标系.则 2 ,∠DPE即.B屁的夹角.所以s∠DPE= ·1B A(0.12),B(0,8).设C(x,2)(x>0),则 53 C=(-x,10).Ci=(-x,6),则s∠ACB= 1 ch.ch x2+60 故选B )-wx()() 2万14 1Ci1.C21√+100.2+36 +120+360 162 x+136r2+360 x‘+136x2+3600 16 16 15 1- r2+136+3600会 ,当且仪 x2 2.36 4 2 +136 当x2-3600 即x=2√/15时取等号. 又0<∠ACB<,sin LACB>0,故mL4CB=血∠ACg s∠ACB (第5题) (第6题) wc1s√g1 16- 6.C解析：如图所示，由题意知14花1=111=50m5.所以11= 5,故选C 11=Hd.10o3 m30=3（m/).故选C 16.ABC解析：设A店=a,Ai=b.以其为基底，AC=a+bD成=a-b.则 AC+B市=(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2=2(AB2+AD2).故A正 7.ABD解析：花·=A花·(A花+C)=花+A花，C=衣= 花2，A正确：同理，1成P=·配成立，B正确： 确：若A=3,0= 2 ,A0=4,则由A亦= 2 花，x(,脑.2×成 (AGIxIBCI )2 a·b_37 A12 a12 面 >一=a·B=60=∠BAD=2,·听以∠RAD=60“过点D C2,D正确故选ABD. 作DI⊥AB于点H,则D为口ABCD中AB边上的高，且D川= 8.(-5,1)解析：，F,+F2+F3=0,∴F3=-(F,+F,),F,=(3.4) AD·sin LBAD=4×in60°=25，所以Sacn=AB·DM=3× F2=(2,-5),,F1+F2=(5,-1),.F3=(-5,1) 25=65,故B正确：因为（a+b)户+(a-b 4 =a·b,所以 9.6:2解析：如图.物体处于平衡状态 时，水平方向的合力为0，所以 ((受）市，市：-，故c正确：由c项 IF 1F,1s45°=1R,1s30,所以F 30X45 可得0-m.-(些) -D02=16=A店.B底，故D错 3 误故选ABC 2,故答案为6：2 0%30°2√6 45万 17.P 解析：设Q受轻线的拉力为T,以Q为研究对象，由于受力 sin 2 10.30解析：因为B元=A元-A店=(3,6)=i,所以BC丝AD,所以四边 平衡，故轻线与杆A垂直，即轻线与0B的夹角为号-， 形ABCD为平行四边形.又因为.B武=(4，-2)·(3,6)=4×3+ (-2)×6=0,所以AB⊥BC,所以平行四边形ABCD为矩形.因为 i(复eiF1.故7n- sin 1=√④+(-2)=25,1=V3+6=35,所以S题n= 18.16008002解析：设店，BC分别表示飞机从A地按北偏东 Ai·.BC1=25×35=30. 35的方向飞行800km,从B地按南偏东55的方向飞行800km, 则飞机飞行的路程指的是A+C:两次飞行的位移的和指的 11. 1F2|·0s8·W IF 1+IFlcos 8 解析：设物体的位移是s,根据题意有(1F,1+ 是A店+B配=元 依题意.有1AB1+P配1=800+800=1600(km) B,1)=,即F,+F,分所以力B对物休 又因为a=35".B=55".∠ABC=35°+55°=90° 1F21·cos8·W 做功的大小为F,+1F, 所以1d1=√B2+B2=√800+800=8002(km). 从而求出飞机飞行的路程为1600km,两次飞行的位移的和的大 第2关（练准飛率） 小为800√2km 12.B解析：由题意可知，=(1,2)，A话=(3,6)，则11=√+2= 19.解：(1)设游船的实际速度大小为1 l km h,由A4'=1km,6mim= 5.=3+6=35.则所用时间1=1 A35 0.1 h.=10 km/h,Iv,I =4 km/h. 3故选B 如图①所示速度合成示意图.由1v,2=2+122=102+42= 13.D解析：设点D(x,y）,则死=(1，-2)，A店=(1.3)，=(x-1 .2y四所以，的大小 +1),d市=(x-3,,由题意可得2l=0解得=0所以点 116,得1m1=2v2西km小.o0s0= 29 lx-3+3y=0, y=1. D的坐标为(0,1). 为2v/2四kmvh,w9的值为-2Y2四 29 14.D解析：将△ABC各边及PA,PB,P℃均用向量表示，则 P2+PB2_P亦+P市_(P成+Ci2+(P元+C)2」 P心 2P衣+2P元.(C+C)+AA 6=42-6=10.故选D. P P元12 必修第二册·SJ学霸012 (2)当8=60°，1v,1=10km/h时.设到达北岸B点所用时间为 则G+60=G12+1C12=x242+(x-a)2+(y-b)2=2x2+2y2 th,作出向量加法示意图如图②所示 2ax-2by+a2+62, AB2=p12=2(,+2)2=2(102+42+2×10×4×o%60)=1562 GW2+Gp=1C12+1G2=x2+(y-b)2+(x-a)2+y2=2x2+2y2- 则AB=2√31.在△AA'C中，t1,1es30°=1，从而t= 2ax-2by+a2+02 53 故CP+CP2=G2+C02 因此B=x292压 (2)设C(x,y）,由(1)得0P2+0C2=0A2+0B2,得1+x2+2=4+4. 53 2,故游船的实际航移为2正km 5 则x2+,2=7,即C的轨读为以0为圆心，√7为半径的圆. 20,证明：因为M是c的中点所以矿：（+心.又因为： 专题探究01平面向量的综合应用 正-所以.成子（心·(）=子(，永料 1.A解析：由题意知，点E为AB边上的点且3ME=2EB,点F在AC 边上.且CF=3FA. 花-，-花，)=之0+花.-，-0) 因为B,M,F三点共线，所以存在实数m使得矿=m店+(1 花.-，)=·m(0+∠a4c) m)A亦-5 m花+(1-m) 又因为G,M,E三点共线，所以存在实数m使得A=nA求+(I- ·正1s(90+∠BAC)]=0,所以A7⊥E序.即AM⊥EE n)A元=nA+4(1-n)A 第3关（练思维宽度） 2m=， 1 5 可得 21.12解折：设△ABC在BC边上的商为6，六S S△= 2 BD·h 解得m=写名，即名正子衣 1-m=4(1-4), 因为矿人症加症，所以A=名=子赦选人 CDD是∠C的平分线，D在线段BC上，如图①.过D作 2.ABD解析：对于A,由AD与BC交于点M,得A,M,D共线，而 A市≠0.令=：.则0-0=r(0币-0)，即有0=(1-t)0+ DM LAB于点M作DN⊥AC于点N,则有DW=DN.一SA@ 1成，而可=4成0币=}成，于是0=41-)成+】1成由 2B·w 又极=4,4C=6儡把子=函 BD AB 2 B,M,C共线，所以存在实数x使得O成=x0元+(1-x)0市.得4(1- 2Ac·Dn AC )+子=1，都得1=号因此m=成成A正确： 7 励号成号（成-=访号花 对于B,由成=号成+多硫，成=A成，亦=u成得成 如图②，过点0作垂线分别交AB,AC于E,F,由外心性质得E,F 正+3亦，而E,M,F共线，所以存在实数y使得成=y永+ 7A 7 分别为，4c的中点而.市=动.（号号花） 成.手是7121正确 动号动花号（动号，动花 对于C张题意0测A写（仕）aa)(: 正函动号市.花号励花4的12 55 散答案为12 A ）“,当且仅当货兰厚=1时取等号，而 7 “2,,风此A不能取 7 7.C错误： 成.O亦O.0成 对于D, 业，显然7=1,3 .3 ≥2 台 .0i0.0 A i.0 ① Age ,当且仅当以=3A=名时取等号，因此 、的最小值为 491 .0 22.证明：(1)方法一：如图①，连接对角线MP,NQ交于点0，连接 ,D正确故选ABD 12 0G,则ci=07-0元.c=0示-0元.c=00元.c=0d-0d. Gr2+cp2=1Gi12+1c2=(0mi-0d2+(0币-0d2=10ii2+ 3.C解析：（店-2花1成.（应-2心·花=0，即市.店 0币2+2012，G2+c02=112+1C12=(0-0)2+ 2A花.成=0.（花-2）上花.（花-2成）·花=0.即花 (00-02=10示12+10012+210元2. 花-2店.花=Q市·形=花.花=2丽，花.即1=花 因为在矩形MNP0中，1O1=IO1=1O亦1=Od1,所以GM+ 04A= 店，A花1 CP=GN+CO 戒2心A=60△ABc为等边三角形故 选C 4.c解桥：由可.0元+0.0成=0亦+0成.0元=.0元-0亦+ ,0成-0成，元=0=0，(0成-0i)-0.(0元-0i)=0= (-0)·(0-可)=0，即·元=0，所以⊥A元作图如图： 由上可知△ABC的外接圆圆心O是BC的 中点. 方法二：如图②，以N点为原点建立平面直角坐标系】 又因为10元1=应1，所以1元1=21应1，即 记N(0.0).P(a,0),Q(a.b),M(0.b).设G(xy),则Gi=(-x. 6-y),G=(-x,-y）,c=(4-x-y),C0=(a-x,-y） ∠4CB=石，则LAC=号，所以向量在向 参考答案学霸0139.4向量应用 第1关练速度 omin为准，你的时间： 6.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下 1.(2024·河北石家庄高一期中)一物体在力F 飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下 的作用下，由点A(2,15)移动到点B(7,8), 来，鹰在地面上影子的速度是50m/s,则鹰的 已知F=(-4,3),则F对该物体所做的功为 飞行速度为 () A.50 503 3 m/s B. 3 m/s A.-41 B.-1 C.1 D.41 1003 100 3 m/s D.3 m/s 2.(2024·山西朔州高一期中)已知向量BA= (1,-3),向量BC=(4,-2),则△ABC的形 7.(多选)如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB 上的高，则 状为 A.等腰直角三角形B.等边三角形 C.直角非等腰三角形D.等腰非直角三角形 3.人骑自行车的速度为1，风速为”2，则逆风行 A.IACI2=AC.AB 驶的速度为 B.IBC12=BA·BC A.V-V2 B.V2-V1 C.14B12=A元.CD C.1+v2 D.Iv I-lv2I D.ICD2=(AC.B)x(BBC) 4.点P在平面上做匀速直线运动，速度v=(4, 1AB12 -3),设开始时点P的坐标为(-10,10)，则 8.已知三个力F,=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x, 5s后点P的坐标为（速度单位：ms,长度单 y)的合力F,+F2+F,=0,则F,的坐 位：m) ( 标为 A.(-2,4) B.(-30,25) 9.(2023·江苏苏州高一月考)两同学合提一捆 C.(10,-5) D.(5,-10) 书，提起后书保持静止，如图所示，则F,与F2 5.(2024·江苏无锡高一月考)在△ABC中，已 大小之比为 知AB=1,AC=2,∠BAC=60°，BC,AC边上的 两条中线AD,BE相交于点P,则cos∠DPE= 6045 ( 书 32I 7 A 14 14 10.在四边形ABCD中，已知AB=(4,-2),AC= (7,4),AD=(3,6),则四边形ABCD的面 C.1 D. 21 7 积是 第9章学霸019 11.水平面上的物体受到力F,F2的作用，F 4.5 B.10 水平向右，F2与水平向右方向的夹角为0， 10 物体在运动过程中，力F,与F,的合力所做 的功为W,若物体一直沿水平地面运动，则 c √20 D. 20 力F,对物体做功的大小为 16.(多选)(2024·山东菏泽高一月考)如图， 第2关练准确率 ）8题为准，你做对 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交 题 于点O,则以下说法正确的有 () 12.(2024·河北石家庄高一月考)坐标平面内 一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6) 处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为 ( A.2 B.3 A.恒有AC+BD=2(AB2+AD)成立 C.4 D.8 13.(2024·福建福州高一月考)已知A(1,-1), B若B=3,40=7AD=4,则平行四边 B(2,2),C(3,0)三点，点D使直线CD⊥ 形ABCD的面积为63 AB,且CB∥AD,则点D的坐标是( C.恒有AB·AD=1Ad12-1B012成立 A.(1,0) B.(-1,0) D.若D0=3,AC=10.则AB·BC=-16 C.(0,-1) D.(0,1) 17.如图.两根固定的光滑硬杆OA,OB成0角， 14.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中 在杆上各套一小环P,Q,P,Q用轻线相连， 点，点P为线段CD的中点，则P+PB 现用恒力F沿OB方向拉环Q,则当两环稳定 PC2 时，轻线上的拉力的大小为 A.2 B.4 C.5 D.10 15.(2024·江苏扬州高一月考)最大视角问题 18.如图所示，一架飞机从A地按北偏东35的 是1471年德国数学家米勒提出的几何极值 方向飞行800km到达B地接到受伤人员， 问题，故最大视角问题一般称为“米勒问 题”.如图，树顶A离地面12米，树上另一点 然后又从B地按南偏东55°的方向飞行 B离地面8米，若在离地面2米的C处看此 800km送往C地医院，则这架飞机飞行的路 树，则tan∠ACB的最大值为 程为 km,两次飞行的位移的和的大 小为 km 必修第二册·SJ学霸020 19.(2024·福建福州高一月考)一条河南北两第3关练思维宽度 ）难度级别：☆☆☆☆☆ 岸平行.如图所示，河面宽度d=1km,一艘 21.(2024·江苏宿迁高一期末)记 游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船 △ABC的三个内角为A,B,C, 讲解 在静水中的航行速度是”，水流速度”2的 且AB=4,AC=6,若0是△ABC的外心，AD 大小为l|=4km/h.设v,和2的夹角为0 是角A的平分线，D在线段BC上，则AO· (0°<0<180)，北岸上的点A'在点A的正北 方向 AD= (1)若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为 22.(2024·山东临沂高一期中)》 6min,求y,的大小和cos0的值： (1)已知矩形MNPQ,G为平面内 (2)当0=60°，1y,1=10km/h时，游船航行 任意一点，求证：GM+GP2=GW2+GQ: 到北岸的实际航程是多少？ (2)如图，已知圆0的半径为2，A,B是圆0 上的两个动点，已知P为平面内一点， OP=1,PA⊥PB,求证：矩形PACB的顶 点C的轨迹为圆。 20.(2023·安徽安庆一中高一月考)如图所示， 以△ABC的两边AB,AC为边向外作正方 形ABGF和ACDE,M为BC的中点.求证： AM⊥EF. 第9章学霸021