9.3.2 向量坐标表示与运算-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

第2课时 问量坐标表示与运算 第1关练速度0mh为准，你的时间 6.(多选)(2024·河南新乡高一月考)已知向量 1.(2024·湖南邵阳高一期中)已知向量a=(1, a=(1,2),b=(-4,2),则 () A.(a-b)⊥(a+b) 1),b=(1,-2),则a+b= ( B.la-bl=la+bl A.(0,3) B.(2,-1) C.b-a在a上的投影向量是-a C.(1,0) D.1 D.a在a+b上的投影向量是(-3,4) 2.(2024·河北石家庄高一月考)已知点A(0, 7.(2024·河南郑州高一期中)如图，在直角梯 1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC= 形ABCD中，AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC= ( 2AB=4,E为AD的中点，若Ci=ACE+4DB A.（-7,-4) B.(1,2) (入，4∈R),则入+u的值为 () C.(-1,4) D.(1,4) 3.(2024·江苏淮安高一月考)已知平面向量4 与b的夹角为60°，a=(2,0),1b1=1,则 la+2b1= A.3 B.23 C.4 D.12 C.2 4.(多选)已知向量i=(1,0)j=(0,1),平面内 的任意向量a,下列结论中错误的有() 8.(2024·山东青岛高一月考)已知向量a= A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y) (-2,1),b=(1,m),且a⊥b,那么|2a+b1= B.若x,2,y1,2∈R,且a=(,为）≠(2 9.已知点A,B,C在正方形网格中的位置如图所 y2),则x1≠x2,且y1≠y2 示若网格纸上小正方形的边长为1，则AB· C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0，则a的起点 BC= :点C到直线AB的距离 是原点O 为 D.若x,yeR,a≠0，且a的终点坐标是(x, y),则a=(x,y) 5.(2024·广东汕头高一月考)已知向量a= (-1,1).b=(-3,4),则a与a-b夹角的余弦 值为 ( ) A.526 B.5V26 10.(2024·山东威海高一月考)已知点A(2. 26 26 3),B(5,4),C(7,10),AP=AB+AAC(入∈ D.、V26 R),当点P在第三象限时，入的取值范围 13 是 第9章学霸013 11.(2024·安徽安庆高一期中)如图，在同一个16.(2024·江苏连云港高一期未)在梯形ABCD 平面内，三个单位向量0A0店，0C满足条件： 中，AB∥DC,∠BAD为钝角，且AB=AD= 0i与0C的夹角为a,且tana=7,0尼与0C的 2DC=2,若E为线段BD上一点，AE=BE,则 BE.AC= 夹角为45°.若0C=m0M+n0B(m,n∈R). () 则mn= B.1 c 17.(2024·河北沧州高一期中)已知向量a= (1,1),b=(1,m).若H入∈(0，+∞)，(a+ b)1(a),则m- 18.(2024·四川成都高一期中)如图，P为矩 第2关练准确率 8题为准，你做对 形ABCD边AB的中点，M,N分别在线段 12.(2024·山东省实验中学高一月考)已知向 EF,CD上，其中AB=4,BC=3,AE=BF=1, 量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0), 若PW·PN=4,则IPM+PN1的最小值为 Aa+ub=(-1,1),则A+μ= ( A.-1 B.0 C.1 D.2 13.(多选)(2024·黑龙江哈尔滨高一月考)已 知向量a=(入，1)，b=(1,-2),记向量a.b 19.(2024·江苏无锡高一月考)已知向量a= 的夹角为0，则 () (1,1),b=(-1,2),0为向量a,b的夹角. A.A>2时，0为锐角B.入<2时，0为钝角 (1)求cos0的值： C.A=-2时，8为直角D.A=2时，8为平角 (2)若1a-b1=I入a+b1,求实数入的值. 14.(2024·浙江台州高一期中)设0为△ABC 的内心，AB=AC=13,BC=10,A0=mAB+ nAC(m,n∈R),则m+n= ( 15.(2024·江苏盐城高一期中)已知两个非零 向量a与b的夹角为6，我们把数量 lallblsin0叫作向量a与b的叉乘a×b的 模，记作Ia×bl,即Ia×b1=lallb|sin0.若向 量a=(2,4),b=(-3,1),则1a×h1=( A.-14 B.14 C.-2 D.2 必修第二册·SJ学霸014 20.(2024·江苏苏州高一月考)已知△ABC的 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ 顶点坐标分别为A(-5,0),B(3,-3), 21.(2024·福建泉州高一期中)已 C(0,2),D为AB上一点. 知A,A2,A,A,A5五个点，满 、视频讲 (1)若D为边AB的中点，求AD的坐标： 足：AA·Aa1A2=0(n=1,2,3), (2)若D为边AB的三等分点，求线段CD =n(n=1,2,3),则 的长： AA·AA2 (3)当CD取最小值时，求此时1D的值 A,A的最小值为 22.（2024·广东广州高一月考)如 图，正方形ABCD的边长为6，E 是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等 分点，AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值， (2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动 到A点，在这个过程中，是否存在这样的 点P,使得EF⊥MP?若存在，求出MP 的长度，若不存在，请说明理由。 第9章学霸015市=↓成+名花且正=A正正=4花，所以或=动-正= 5V2故选B. 26 (}A号花.成-店花-则（行A) 方法总结 号花花=花又阳为，衣不我线.所 向量a=(x1,1)和b=(2,为2）的夹角为B,则c0s0= y1Y2 34-M, √+好+弱 以 2 ,2=1,依题意知>0>0，所以A+ 理得3 6.BC解析：由已知可得，a-b=(5,0).a+h=(-3,4), 对于A项.因为(a-b)·(a+b)=5×(-3)+0×4=-15≠0.故 1.21 1242，4 5 A项错误：对于B项.因为1a-b1=5,1a+b1=√/(-3)2+42=5，所 2μ=(A+2μ)· 以1a-b1=a+b1,故B项正确：对于C项，因为b-a=(-5.0),(b 2条3，当组仅货动即A1时取等号，所以 a)·a=-5x1+0x2=-5,1al=√+2=5，所以b-a在a上的投 影向量是6-a）·a,。:-5。a A+2μ的最小值为3. lal lal 55 =-,故C项正确：对于D项， 第3关（练思雏宽度）】 a·(a+h)=1×(-3)+2×4=5,1a+h1=5.所以a在a+h上的投影向 21.D解析：设A4吧的中点为A,则0爪+0小m=2=0爪+ 量e·0=兮(=（号专）做 0424=0+0A2-(i∈[0,2025])，所以0m+0A+0m+…+ D项错误故选BC, 042025+×201013(a+h).故选n 2 7.B解析：建立如图所示的平面直角坐标系： 22解：1)成+屁=正+成-成=0.则成=？=之(-， 则D(0.0).C(4,0),A(0,4).B(2.4).E(0,2).所以C▣(-4,4)， 2 C3=(-4.2).D=(2.4). 元3屁则号花，所以亦-成应+。记 因为C=AC元+μD(AeR),所以(-4,4)=A(-4,2)μ(2,4)， A=- 前=应+6花=√6衣。冠 则+2三-4解得 5 (2A+4μ=4， 所以+肚=5·数选我 = 6 5 6 (2)成=+花则成=成-=：函+(+子)，0在直 线F上，则团/成，可设励=A成，即x+气+了)花 花得(+今)应=（合y寸）屁 D 因为与配不共线，所以+子名 6y3=0,得-3-1.则 (第7题) (第9题) 8.5解析：因为向量a=(-2,1),b=(1,m),且a1b,所以a·b= i=(-31)店+y花 -2+m=0,解得m=2,故b=(1,2),则2a+b=(-4,2)+(1,2)= 又因为直线CD经过△ABC的垂心，所以CD⊥AB,即C市，A店 (-3,4),所以12a+b1=√(-3)+4=5，放答案为5. （--1亦y.元-0，甲-2-943=0，解得y=名则 9.-175 解析：以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系. 1 由题意知A(-2,1),B(0.0).C(1,3),所以店·B配=(2，-1)· 第2课时向量坐标表示与运算 (1,3)=2-3=-1,msLA8c=.t 。1一=2，所以 Bii1B5×I0 第1关（练速度） 1.B解析：因为a=(1,1),b=(1,-2),所以a+b=(1,1)+(1,-2)= 血LC:1ZC=得，所以点C到直线B的距离为 (2.-1).故选B. 2.A解析：设C(x,y),因为4元=(-4，-3)，所以(x,y-1)=(-4, c白L0c02侣75放答案为-17 -3),所以x=-4.y1=-3,所以x=-4,y=-2,所以C(-4,-2).所10.(-，-1)解断：设P(x,y).A(2,3),B(5,4).C(7,10) 以武=(-4-3，-2-2)=(-7，-4).故选A .A=(x-2,y-3),Ai=(3.1),A元=(5,7).A=A+AAd 3.B解析：由a=(2,0),得1al=2.又1b1=1,所以a·b=1al· -26a57(64Ai b1·s602x1X1.所以(a+2b)2=02+4a·b+462=4+4 4=12,所以1a+2b1=23,故选B. 解仁次点P在第三象限…任以0解得4c.故 4.BCD解析：由平面向量基本定理，可知A中结论正确：a=(I, 答案为(-x,-1). 0)》(1,3),1=1,0≠3，故B中结论错误：因为向量可以平移，所以 5 a=(x,y)与a的起点是不是原点无关，故C中结论错误：当a的终 1.3 :解析：以0为原点，O心的方向为x轴 y 点坐标是(x,y)时，a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的，故D 的正方向，建立如图所示的平而直角坐标 中结论错误.故选BCD. 系，则C(1.0).0元=(1.0)， 5,B解析：因为a=(-1.1),b=(-3,4),所以a-b=(2,-3),1a1= 由na=7知a为锐角，则ina= 2,la-b1=g,所以cm(a,a-b=a:(a-b -5 1al·ia-b12×13 语=。=后则4（侣径） 7w2 必修第二册·SJ学霸008 (停)则（倍）成=（侣） A(-1〉·(6+2)+A后=A[(-1)(x+2)+4-(x知+1)2]= A(1-=A(-1+）=1.故选R 又元=m成+n0成(1,0)=m (倍（停） 解得 722 1002a=0, A OB 8· 527235 8X82故答案为2. (第16题) (第18题) n= 17.-1解析：因为a=(1,1),b=(1,m),所以1a1=2,1b1= 8 第2关（练准确率）》 1+m,a·b=1+m, 12.B解桥：设a=(),b=(2),所以亿=0且 因为a+hb)上(a）所以(a+ab)·(口b）=a-6 212=3, x-22=-3 解得2即a=(1.2).b=(2,1).所以 (-加b=0母2-(12)+（-大)1*m)=0.整理得 (y1-2y2=0. ly1=2,l2=1, Aa+ub=A(1,2)+u(2.1)=(A+2,2A+u)=(-1,1),则 (A-小1m)=0,因为上式对vAe(0,+)相成立，所 t2解得A,故Aμ=0故选B (2A4=1, 4=-1, 以1+m=0,解得m=-1.故答案为-1. 13.AD解析：向量a=(A,1),b=(1,-2).则a·b=A-2.1al= 18.25解析：建立如图所示的平直角坐标系， A1,1b1=5,s0=ah =A-2 1a1Ib1√5+1) ,对于A,当A>2 可知P(2.0),M.N分别在线段EF,CD上， 设M(m,1),N(n,3)(0≤m≤4.0≤n≤4)，则P7=(m-2.1). 时，c%>0.cos0=1时A无解，故cos9≠1.因此0为锐角.A正 P=(m-2,3).所以P7.P=(m-2)(m-2)+3=mn-2(m+m）+ 确：对于B,当A<2时，cs0<0,w0=-1时A=- 3<2,即A= 7=4,所以m=2n-3≥0，+=(m+n-4.4). n-2 时，0=180，不是纯角，B错误：对于C,当A-2时，a6 所以1P7+P示1=√/(m+m-4)+16= 2n-3 -2+-4+16 时.ms9=-1,0= 1 -4≠0.8不为直角，C错误：对于D.当A■- n2-4n+5 180°，故B为平角，D正确.故选AD. +16 n-2 14.B解析：如图，取BC的中点E,连接AE 因为AB=AG=13,BC=10,所以AE⊥ 设a-2,则1Pi+1=√ -i62v625.当 c,aAE=B-(分0=2.所以 且仅当=1，n=3,m=3时，取等号，所以1P+P1的最小值为 △ABC的内心0在线段AE上，OE为内切日 25.故答案为25. 圆的半径因为S△Ac=SA0m+5a+Sam,所以AE·BC= 19.解：(1)由a=(1.1).b=(-1.2)可得|a=2,1b1=5,a·b=1. a·b 110 0E(44c+BC).所以×12x10=0E（3+15+10. 所以0=1a1·1b12x510 (2)由a-b=(2,-1),Aa+b=(A,A)+(-1,2)=(A-1,A+2).可得 氛得0E:9所议0=-0E=12-9华所以市：片立又 18 1a-b1=5.1Aa+b1=√(A-1)+(A+2)=√2A+2A+5,即 正：子（访+花，所以而=+记又尼知访m店+ 2x+2A+5=5,解得A=0或A=-1,即实数A的值为0或-1 36 36 20.解：(1)因为A(-5,0),B(3,-3).所以A=(8.-3),因为D为 配.所以=2所以是放击 边B的中点所以：访=号(8，-3)=(4.)】月 15.B解析：a=(2,4),b=(-3,1)a·b=2×(-3)+4×1=-2.1a1= √4+16=25,1b1=√⑨+1=√T0.设两个非零向量a与b的夹 (2)因为A(-5,0).C(0.2),所以C=(-5,-2).因为D为边AB 的三等分点 -2 、② 角为0，则s日=a1m6125x0109e〔0.r1,所 当D在像近A点的位置时，市：应：号(8.-3)=（ 以血0=V日=7.则axb1=1a11b1如0=25xV而 1）所以-d-(-5.-2(-）小（子-3）月 10=14故选R 72 16.B解析：根据题意，取AB的中点O,因为AE=BE,所以OE⊥AB, 则号)+(-3=。 以AB,OE所在直线为x,3轴建立如图所示的平面直角坐标系， 当D在靠近B点的位置时，而-号=子(8，-3)=( 则A(-1,0),B(1,0),设D(x00),则C(n+1.0),B7=(o-1, n),=(+1,a),花=(+2，n).设配=A励.则B配= -2）所以市=d动(-5.-2+（华-2）（行-4）则 (A(x。-1),A0),E(A(x0-1)+1,Ay0),由0E⊥AB得A(x。-1)+ 1=0,即=1由11=2得(12+后=4，放应，花 /行）-4西 参考答案学霸009 综上.0张为或西 第3课时向量平行的坐标表示 3 (3)不妨设币==(8.-3).所以C=C+币=(-5，-2)+ 第1关（练递度） 1.BC解析：设a=(x1),b=(x上)，则a∥bx=22× (8A,-3)=(8A-5.-3M-2).则1C12=(8A-5)2+(-3A-2)2= 31 73A2-68A+29,由二次函数的性质可知，当且仅当A=2x乃为 -6834 (-60)≠34，放A达项错误：2x(子） ×(-3),故B选项正 确：1×2=2×√2，故C选项正确.2×√2≠(-1)×1，故D选项错 时.1C2取得最小值，则CD取最小值时.A= ,所以 34 误.故选BC AB 2.ABC解析：能作为平面内的基底，须使两向量a与b不平行，若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a∥ba,b3=ab,故只需判断选项中 第3关（练思维宽定） 的两向量的坐标是否满足0,6-2b,=0即可.(-2)×6-3×4= -24≠0，∴.a与b不平行，故A选项正确：2x2-3×3=-5≠0..a与 21.1解析：因为4，A1M41=n(a=1,2,3),所以1,1· b不平行，故B选项正确：1×14-(-2)×7=28≠0.∴a与b不平行 1A1=1,1111=2,1A11A41=3,由题意设 故C选项正确：(-3)×(-4)-2×6=12-12=0，∴a∥b,故D选项错 误故选AC 4不=x则=4=2，-2设40.o。 3.A解析：由题意得a+b=(2,2+m),由a∥(a+b),得-1×(2+m）= 2×2,所以m=-6.当m=-6时，a+b=(2,-4)=-2(-1,2),可得a川 如图，因为求A不的最小值 (a+b),则m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件.故选A 则，0,4(）4(）4(，左）所以 方法总结 已知向量a=(x1)和b=(22),a/b中13=2 =≥22=1.当且假当产 4.A解析：=(4-1，-1-3)=(3，-4)，所以与同方向的单位向 时取等号，所以A,A的最小值为1故答案为1 5.C解析：由题图可知.A(3,3),B(5.6),C(m,10).所以A2=(5 3,6-3)=(2,3),BC=(m-5,10-6)=(m-5,4).因为A,B,C三点 拾好共战，所以店/屁.所以3(m-5)=2x4,解得m=兰故选C A 6.4 解析：因为a=(m,m2+1),b=(,12),且a与b共线，所以 (第21题) (第22题) 12m=n(m2+1),所以n=12m又m>0,所以n=12m-12 m2+1 m2+1 22.解：如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系 n m (1)由条件得D(0.6).E(3.0).4(0.0).F(6.2).Di=(3.-6). 12 =6,当且仅当m=1,即m=1时取等号、所以n的最 A7=(6.2). 由于LMF就是D成的夹角， 2/m. m 大值为6故选A .os∠EWF= 9+36·V36+410心∠F的余弦值为 18-12/2 7.D解析：因为p=(a+e,-b),9=(a+b,a-c),p∥q,所以(a+c)· 10 (a-c)-(-b)·(a+6)=0,即-ab=a2+b2-c2,由余弦定理可得 (2)设M(a.6).=(a.6-6).D∥D屁.3(b-6)+6a sc.+62-e2a6 0.2a+b-6=0.:i=(a,b).A=(6,2).i∥2a-6b= ==闲为c∈(0，)，所以G=,,放迹D 0a=动76=66号=(9）由上可 8.43解析：由a与b方向相反，故存在<0，使a=幼，即 {:解得m=店·或m=一3·由<0，故m=k=-5,放a 得E=(3.2) 3=m, k=3k=-/5. ①当点P在边AB上时，设P(x,0)(0≤x≤6)， (-3,3),b=(1,-3),则a-3b=(-23,6),1a-3b1= 22 √(-25)+62=43故答案为43. 9.(-x,2)U(2,+x)解析：A,B,C三点能构成三角形.则与Ad (俘√(2 不共线，A=(-3,m+1),则有-3(m-1)≠-1(m+1).解得m≠2， 7 即实数m的取值范围为(-，2)U(2,+x).故答案为(-x,2)U ②当点P在边BC上时.设P(6,y)(0<y≤6) (2,+0). 10.(. 3解析：因为A(-1,2),B(1,1),C(-3,1),所以AB ③当点P在边CD上时.设P(x,6)(0≤x<6), (8)号09舍去： 的中点坐标为（出，生）即(0，)】 又=(1.1)-(-1,2)=(2，-1)，0i=(1,1),0=(-3,1).则 ④当点P在边D4上时.设P(0,y)(0<<6)。 m0元+0丽=m(-3.1)+(1,1)=(-3m+1,m+1).因为(m0元+ 33 可成)∥店.则2(m+1)=-1(-3m+1).解得m=3.故答案为 )p(9 (o.）a 1.(行0)或(-5,8)解桥：设P).则由=2成，得 币=2P扇或币=-2F成若币=2P则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y) 必修第二册，SJ学霸010