9.2.3 向量的数量积-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

第3课时向量的数量积 第1关练速度0mn为准，你的时间 7.(2024·广东湛江高一月考)如图，在△ABC 中，3BD=DC,AB=3,AC=2,∠BAC=60°，则 1.(2024·重庆长寿区高一期末)已知1a|=5, 1b1=4,且a·b=10,则a与b的夹角为 AD BC= () ( B. 4 4 4 A石 B号 c D.G 2.(多选)已知向量a,b,c和实数入，则下列各 式一定正确的有 ( ) A.a·b=b·a B.(入a)·b=a·(λb) (第7题) (第13题) 8.(2024·湖北华师一附中高一期末)已知平面 C.(a+b)·c=a·c+b·c 向量a,b,Ib1=3,向量a在向量b上的投影 D.(a·b)·c=a·(b·c) 3.(2024·河南周口高一月考)已知向量a,b满 向量为-6b,则a·b- 足1a=2,b1=5,且a与b的夹角为石则 9.已知向量a,b满足1al=√6,1b1=√2，且1a+ b1=23,则a·b= ;向量a与a+b (a+b)·(2a-b)= ( 的夹角的余弦值为 A.6 B.8 C.10 D.14 10.(2024·湖北武汉高一期末)在△ABC中， 4.(2024·江苏苏州高一月考)已知1a1=4, ∠BAC=60°，AB=3,AC=2,若D为BC边的 1b1=1,a与b的夹角为60°，则1a-2b1等于 中点，则1AD= 11.(2024·黑龙江牡丹江高一月考)已知向量 A.12 B.28 C.25 D.27 a,b,c满足a+b+c=0,Ia|=1,Ib1=3, 5.（多选)(2023·江苏宿迁高一月考)设a,b,c Icl=√2，则a与c的夹角为 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说 B画为准，你做对题 法正确的有 第2关练准确率 A.若1a+b1=Ia-b1,则a⊥b 12.(2024·江苏无锡高一期末)已知向量a与b B.若1al=1b1,则(a+b)⊥(a-b) 是非零向量，a1=1,b1=宁a与b的夹角 C.若a·c=b·c,则a-b不与c垂直 为120°，则a-b在b上的投影向量为() D.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直 A.-2b B.2b C.-b D.b 6.(2024·河南郑州高一期末)已知非零向量a, 13.(2024·重庆一中高一月考)如图，在四边 b满足a·(a+3b)=a·b,la-2b1=13a-b1, 形ABCD中，AB⊥BC,AB=3,BC=4,AD= 则向量a,b夹角的余弦值为 ( CD=6,则AC·BD的值为 B-3 6 C.3 15 A B号 c 必修第二册·SJ学霸008 14.(2024·天津红桥区高一月考)若向量a,b20.(2024·浙江嘉兴高一期中)如图，在平行四 满足：laI=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b, 边形ABCD中，F为CD的中点，G为BC上 则Ib1= ( 一点且满足CG=2G,A店=a,Ad=b. A.2B.2 C.1 号 (1)试用向量a,b表示BF,DG: 15.(多选)(2024·湖南益阳高一月考)已知平 (2)若A=60°，AB=3,AD=2,求向量B,DG 面向量a,b,c满足lal=1b1=lcl=1.若a· 夹角的余弦值. b=则(a-o)·(2b-e)的值可能为 ( A.3-√3B.-2 C.0 D.-√2 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆女女☆ 16.(2023·江西赣州高一期中)P是△ABC所 21.(2024·湖南常德高一期中) 在平面内一点，若P·P=P店.P元=P元. 如图，直线11∥12，点A是1,2 P,则P是△ABC的 ( 之间的一个定点，点A到l1, A.外心B.内心C.重心 D.垂心 的距离分别为√2和6.点B是 17.(2024·江苏苏州高一月 直线2上一个动点，过点A作AC⊥AB,点E, 考)如图，在△ABC中， F在线段BC上运动（包括端点）且EF=1,若 已知AB=2,AC=3, △ABC的面积为25，则A正. ∠BAC=60°，M是BC的 的最小值为 ( ) 中点，=子花，设AM与N相交于点P A.3 R号 D.7 若B那=4B,则4= ,B·AM 22.(2024·江苏苏州高一月考)在△ABC中，满 18.(2024·四川乐山高一期末)设0为两个非 足：AB⊥AC,M是BC的中点。 零向量a,b的夹角，且0=石，已知对任意实 (1)若1AB1=1AC1,求向量AB+2AC与向量 2AB+AC的夹角的余弦值； 数t,1b+tal的最小值为2，则1b1= (2)若0是线段AM上任意一点，且1AB1= 19.(2024·湖南常德高一期中)已知1a1=1, 1b1=3,(a+b)·b=8. 1AC1=2,求0i·0+0元.Oi的最小值： (1)求Ia+b1. (3)若点P是∠BAC内一点，且IAPI=2, (2)当k为何值时，ka-b与a+2b垂直？ A.A元=2，A.A店=1，求1A店+AC+A 的最小值 第9章学霸00917.23+4解析：因为点D是边BC上（不包含端点）的动点，所以 不，此时A,M,N三点共线，与题设条件矛盾，所以 B面∥B成，即B励=AB武(0<A<1),即A市-A店=A(A元-A),所以市 -1+入=0 AA花+(1-A)A成.又已知Ai=xA店+yA花，得AA花+(1-A)A店=xAB+ 解得31-)·即y=3. y=0, Uy=3λ. y花，即(A-y)花-(x+A-1)凉若A-y0,则配=种A-应，此 A-y 时A,BC三点共线，与题设条件矛质，所以以00，解得 >1, (2)由题意可知{>1，→ 2:且x-1+-11,所以 1<y<2, {任=1-A,所以y=1.又由0<A<1得0<<1,0<y<1,所以 x+y=3 (y=入. （）1=（）4 ·（-1+y-1)=3+22+二号≥3+ y-1 2424,当y到取等号放答 2骨哥2当仅21 x-1 2 为23+4 万(c1时取等号，又因为y=3,所以x=反，y=3-万时，片 18.1:2解析：如图，设D为AC的中点，连 接BD,则+B武=2励，因为B威+武= 2取得最小值为3+2万， y- 4,所以面=2BM,所以M为BD的 第3课时 向量的数量积 中点，所以S△Aw=S△Dw=S△w= 第1关（蛛速度） SAcw,所以SaMw:SAACM=1:2,放答 案为1：2 B 19.解：(1)3(2a-b)-2(4a-3b)=6a-3b-8a+6b=-2a+3h. 1B得所设a与6的线角为曲题知c高是宁结 4 31 b=- 6 合向量夹角范围知9=号，则a与6的夹角为写故选B (3)2(3a-4b+c)-3(2a+b-3c)=6a-8b+2c-6a-3b+9c= 2.ABC解析：由向量数量积的运算律可知ABC正确，对于D,令m= -11b+11c. a·b,n=b·c,则(a·b)·c=mc,而a·(b·c)=na,a,c均为任 20.(1)证明：因为A=0成-0=3a+h-2a+b=a+2b,又B元=0d-0成= 意向量，所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立故选ABC a-3动-3a-b=-2a-4b,所以B武=-2A成.又B武与A店有公共点B,所 以A,B,C三点共线. 3B解折：因为1a=2,1b1=5,且a与b的夹角为行，所以(e: (2)解：A花=A+BC=3a-2b,C=2a-h.因为A,C,D三点共线， b）·(2a-b)=2a2+a~b-b2=21a2+1a1·1b1cs 6-1b12=2x 所以元=ACi,即3a-2b=2Aa-kAb,即(3-2A)a=(2-M)b,若 22+2x万x5-（万)2=8.故选B 以≠0，则a=二机b,此时a,b共线，与a,b是不共线的两个垂 2 4.C解析：la-2h2=(a-2h)2=a2-4a·b+4b2=16-41al·1b1cos60°+ 3 A= 4=16-4×4c0s60°+4=12，故1a-2b1=2w3.故选C 零向量矛盾，所以-2A=0, 2 解得 2-kλ=0 综上k的值为子 方法总结 1a2=:2,因此求向量模的运算常常转化为向量的平方进行计算. 第3关（练思维宽度） 5.AB解析：对于A,由la+b1=1a-b1平方可得a2+b2+2a·b=a2+ 21.(2,4)解析：由M=AM正-M店=D b2-2a·b→a·b=0→a⊥b,故A正确： A正+，得亦-=A正，即正= 对于B,若1a=1b1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=1a12-1b12=0,所 以(a+b)⊥(a-b),故B正确； AM正，即AP与ME平行.过点A 对于C,若a·c=b·c,则(a-b)·c=0=(a-b)=0或(a-b)1c 作AK//ME,分别交EH,EF于点N, 或c=0(会去)，故a-b可能与c垂直，故C错误： K,可知点P在线段K上运动（不含 对于D,[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c= 端点). (b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0,所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c 过点N作NQ∥AB,交ME的延长线于点Q,过点K作KL,∥AB 故D错误，故选AB 交ME的延长线于点L,如图， 当点P与点N重合时，A币==2正，可知A=2 6.B解折aa)a82+ab=0,即a~b=aP① 当点P与点K重合时，市==4正，可知A=4 1a-2b1=13a-b1,a2-4a·b+4b2=9a2-6a·b+b2,即8a2- 故A的取值范围为(2,4)故答案为(2,4). 2a·b-3b2=0,代入①可得9a2=3b2,即51al=1bl.又a,b为非罗 2解：)因为G为△Mc的重心，所以花=子×宁(+)= 向量，设a与b的夹角为0，则c0s0=6。 故 号}花所以花：告矿子成则成花-=（行 1 allbl lalx√31al6 选B. 1)+成因为M,G,N三点共线，所以必然存在实数入使得 7.C解斩：由题图可得，成花砧，市=应+成=}+花 =A成，即（行-1+子成=A=A(-成），则 动成=(+花）（衣-=衣+花 (行应-（号成者号10子 子迹8=3,4C=2∠BC=60市.成=×4+宁×2x 3-1 4 必修第二册·SJ学霸004 8号舞桥曲题路岛-品=-合，购的古 1b12 6, 14 20, 解得 又161=3a6:号故答案为号 42 五所以成成：子×（号花 234=0, k5 9.222解折：由1a+b1=25,得1a+b12=12,即a2+2a·b+b2。 应)）子花-破因为M是Bc的中点，所以成=店+ 12.因为1al=6,1b1=√2，所以a·b=2,所以a·(a+b)=a2+a· 花所以励，网：（号花）·（花） -62-设：与ew夹角为则ew6=合0的65 1 2放答案为2,39 2品故答案为 10.vg 2 解析：由D为BC边的中点，得=子（动，则动1： 18.4解析：方法一：如图，当：变化时，a起点为B,终点在直线1上 运动，故1b+al的最小值为1OA1=2.由图可得Ib1=4. √？a:子min2iw, 0 30B'ia 可放答案为 22xx0- 11.90°解析：由a+b+c=0可得b=-(a+c),两边取平方，得1b12= 方法二：由题意可知，b+a12=2a2+24a·b+b2,令g(t)=2a2+ （a*eP=1a1+2ae1e,则ac52--0,即a 2a·b+b2,因为4=4(ab2-422=4a22(oas2g-1 2 与c的夹角为90°.故答案为90° 第2关（练准骑率） 0所0恒大于学.所烈当：合名 12.A解析：因为1a=1,b1=2,a与b的夹角为120，所以a· 时60k得最鱼2(）心(）厂a. a1lb1em120=1ams120=-,所以(a-b)-bea ）+1b2=2,化简得名1b12=2,所以1b1=4放答案 --(侣广子所小在6上的经影 为4. 19.解：(1)因为1a=1,1b1=3,(a+b)·b=8,所以(a+b)·b=a· 1 b+b2=a·b+32=8,则a·b=-L,所以1a+b1=√(a+b)7= 向量为a-b）b.人三.b。-2沾，故选A √a+2a·b+b=√/1-2x1+9=22. 22 (2)当ka-b与a+2b垂直时，则有(ka-b)·(a+2b)=ka2+(2k- 13.C解析：由AB⊥BC,AB=3,BC=4,得AC=5,三角形ACD中， 1)a·b-2b2=×12+(2k-1)×(-1)-2×32=0,解得k=-17. CD=AD-AC..ICD2=(AD-AC)2=1ADI-2AD.AC+1ACI, 20棉：成成+亦=市=b,成=成成= 市.花兰花励=花(-=花.-花. 子动-a子8 兰（成威动店空9子故选c （2)设萨武的夹角为0，因为m时.元成，成（。 4B锅折：由题在易知（的0。.即2。 IBFIIDCI -2a·b=2.即1b1=√2.故选B. 之小(a子）子b--r-x3x2m60 15.BCD解析：(a-b)·(2b-c)=2a·b-2b2-c·(a-b)=-1-c· (a-b),设a-b与c的夹角为8.又|a-b1=√2-2a·b=1,故(a- b)·(2b-c)=-1-e·(a-b)=-1-co%8e[-2,0],故选BCD. 16.D解析：因为P.克=P成.P元则P成，(P元p)=P店，A花=0， 2 所以PB⊥AC,同理可得PA⊥BC,PC⊥AB,故P是△ABC的垂心 故选D 17子音解析：因为感=不衣-应=号花-应，所以亦矿 6.√6，所以os8= 94+9=3 成.D成1979丽 BFIDEI 793 (号花-应）+号花则=+励=(1-)+ 第3关（练思维宽度） 21.B解析：如图，记AD⊥1于D.A0⊥2 子花又矿：宁(d,因为AP,M三点共线，所以存在实 于O,设OB=a,由OD⊥l1,OD⊥L,AB 数k使得市=k成则(1u)市+子花=冬(+花)=+ LAC可得△0AB△DCA,则A.DC OB DA 花则(u受)应=（货子成若14-受0，则 又AD=2,40=6,解得DC=25,所 a k2 店：三花，此时成，花共统，与设条件不作，所以 以B=G+6,Ac=√停2 12 26得5m=分AB·4C=立·6· a 参考答案学霸005 26.246又Sc=2万，所以2g46=2, 4.BC解桥：由已知可得武=A元-A店=b-a,故D错误：因为P,Q,R 2a 2a 分别是△ABC的三边AB,BC,CM的四等分点，所以=币-B 解得a=6,所以AB=25,AC=2,故BC=VAB2+AC=4,A店. A花=0， 贰成子b)之0，放A错误：成-a成 设瓷0≤≤1期瓷-1既既 BC 动花成60)-+宁，故正确 g所以证花+1-，亦能花瓷 成-成市花市之，放c正稳放选C BC 4 ()(店则花(1商 5.C解斩F为B的中点，晾=成=-成= [(4(年]-(e女(+屁 成成2成成}成成成=成+成=破 (1(4)成.(1-（任j亦=162-2+ 市成+兮（成）+名成做选c 6.A解析：因为c与d同向共线，所以存在u(4>0)使得c=d,即 15=16(）+号当x=名时，应，市取得最小值，且为 Aa+b=u[a+(2A-1)b]=a+4(2A-1)b,又向量a,b不共线，所以 (入=μ， 斗放法B 1=4(2A-1) ,解得A=宁之（合去）或=1故选人 22.解：(1)设向量店+2A花与向量2A店+A花的夹角为0，÷日= 7.D解析：如图，过D作DMLAB,DN⊥BC,放i=G BM+B家，由于∠ABD=30°，AB=1,BC=3,不妨设 硒2动·(+的，令1应1=1花1=，六m0 A成+2A花·12A+A花面 BN=a,则BM=5a,故动=成+成=B威 IBAI 2a2+2a24 5a·5a5 酥， BC5a耐+2庇，结合励=A厨u成 3 (2)A1=A花1=2,1A1=1.设1O1=x,则101=1-x,面 0i+0t=20i,.oi·0i+0t.0i=0.(0i+0C)=20i (A4∈R)可得A=3a,=,故A-3知=0，故选D. -2ai0imm=-241-=2-2a=2(）广 8子宁b解折：因为市-2成，所以市-花=2(-动所以 当组仅当=之时，d,成+成.成的最小值是-子 号号花号+宁0，故答案为子+宁 （3)设∠Cp=a,则∠4p=号a,亦.花=2，本.=1， 方法总结 向量的定比分点公式：若A记=AC,则对于直晚AB外任一点O,都 =221花1ma=2,解得花=。同理，2应1 有da4应 1+A 一（侣小1怎得1点。心恋 9.号号解析：设6+名=a+nb(m,aeR),a=+2, 衣++2店.花+2花.市+2花.市。1 1 -+4+2+ cos a 4 sin-a b=-e1+e2,.e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+ 4=sintooasintcoa10sinco45 2 cos2a 4 sin2a cos2a 4 sin?a 4 n)e2e1e2不共线心 m-n=1,解得 a- 2m+i=1, 1 ÷e1te2=3 2品华之品 cos?a 4 sina' x=2时，花2 7 tan a=- 2 10. 1 解析：因为=A衣-市=x店-y市，由P戒∥成，可设P戒 9.3向量基本定理及坐标表示 第1课时平面向量基本定理 A成，即y=A(证-)=A(号+心）小-+ 第1关（练速度） A市所以2则三= 1D解折：因为与不共线所以02：解得{故 (y=-A, Uy=4. 选D. 1,子解析：方法一：由AB=D,DF=AFC得店=}市，亦： 1 2D解折：对于A,由于20-6=-宁（-40+2)，放24-4， 六成本从面有市亦动成，成-花-应。 -4e,+2e2共线，不可以作为基底： 对于B,2c1-e2,2c2不共线，可以作为基底： 号动-破因为所以d动（市 1 对于C,由于1-e2=2(201-2e:),所以1-2,201-2e,共线，故 不可以作为基底： 高r成所u成-花-高动r小 对于D,e1-2,e1e2不共线，可以作为基底，故选BD. A因为E,G,B三点共线，所以存在实数4使得B心=4正，即 3.A解析：由题意得，a=3e1+c2,b=e1+4e2,故a-b=3e1+e2-(e1+ 4e2)=2e1-3e2.故选A 高动[]园（兮市）兮μ成因为 必修第二册·SJ学霸006