9.2.3向量的数量积 课件-2022-2023学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第9章 平面向量 9.2.3 向量的数量积 1.掌握向量的数量积的定义； 2. 掌握数量积运算的运算律，会进行向量的数量积运算； 3. 掌握向量的数量积的性质； 4. 理解投影，投影向量以及投影数量. 学习目标 前面我们学习了向量的线性运算：加法、减法和数乘，它们运算的结果还是一个向量 . 新课引入 那么，向量与 向量能否“相乘”呢 ？ 1. 如图，一个物体在力 的作用下产生位移 ，且力 与位移 的夹角为 ，那么力 所做的功 是多少？ 实例分析 2. 功是一个标量,它由力和位移两个向量所确定,数学上，我 们把“功”称为向量 与 的“数量积”.一般地，对于非零 向量 与 的数量积是指什么？ 实例分析 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即 . 新知 说明： 规定：零向量与任意向量的数量积为0. （1） （2） 中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不 能写成 . 新知 问题1：向量的数量积运算与向量的数乘运算的结果有什么不同？ 向量的数乘运算的结果是向量； 问题2：影响数量积大小的因素有哪些？ 这个数值的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关. 夹角 的范围 正 负 0 数量积符号由 的符号所决定. 两向量的数量积是一个实数，是一个数量. 新知 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 (判断两向量垂直的依据). 向量数量积的性质： 设 ， 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则 (1) (2) (3) ，即 (4) 新知 (5) 9 投影向量： 新知 设 ， 是非零向量，如图所示， 表示 ， 表示 ，过点A作 所在直线的垂线，垂足为A1 ，我们将上述由 得到 的变换称为 向 投影，向量 称为 在 上的投影向量 . A A1 B o o A A1 B 10 投影向量： 新知 A A1 B o o A A1 B 从上图可得： . 因此，向量 和 的数量积就是 在 上的投影向量与 的数量积 . 11 向量数量积运算律： 思考： 一定成立吗？为什么？ 新知 例1. 已知 ， ， 与 的夹角 ，求 . 解： 例题 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例2.设 ， ， ，求 与 的夹角 解： 由 ，得 因为 ，所以 例题 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 练习：已知 ， ， 与 的夹角 ，求 解： 练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例3.已知 ， ，且 与 不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？ 解： 与 互相垂直的充要条件是 即 所以 解得 例题 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课堂小结 1.平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即 . 2.向量数量积运算律： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级