9.2.2 向量的数乘-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

第2课时 向量的数乘 第1关练速度 10min为准，你的时间： 8.若2(x0小b+c-3x)b=0.其中a.b.d 1.已知A∈R,则下列结论正确的是 ( 为已知向量，则向量x三 A.IAal=入la B.I入a|=l入Ia 9.(2024·福建厦门高一期中)已知x,y是实 C.IAal=|入IIa D.I入al>0 数，向量a,b不共线，若(y-2)a+(x-1)b=0, 2.(多选)(2024·广东东莞高一月考)对于实 则x+y= 数m,n和向量a,b,下列结论中正确的有 10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与 ( A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na BD相交于点O,AB+AD=入A0,则A= C.若ma=mb,则a=bD.若ma=na,则m=n BO= (用AB,AD表示). 3.(多选)(2023·安徽淮北高一月考)下列运 11.(2024·陕西宝鸡高一期中)如图，在△ABC 算正确的有 ( 中，不=子N心，P是N上的一点，若= A.(-3)·2a=-6aB.2(a+b)-(2b-a)=3a C.(a+2b)-(2b+a)=0D.2(3a-b)=6a-2b +mAC,则实数m的值为 3 4.(2024·四川内江高一月考)如图，在平行四 边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB=a, AD=b.则BE A.ba B.b+a C.a+b D.a-b (第11题) (第12题) 第2关练准确率 8题为准，你做对 12.(2024·江苏盐城高一期中)如图，四边形 OADB是以向量OA=a,OB=b为边的平行四 (第4题)》 (第10题)》 5.已知非零向量a,则向量2的模为 边形，又W=写C.cN=CD,则用a,b表 示M不= A.1 B.2 C.lal 15 2 A. 6.(2024·山东聊城高一期中)已知e1,e2是两个 6 B.3(a+b) 不共线的向量，a=e,-2e2,b=2e1+ke2.若a与 11 11 b是共线向量，则实数k的值为 c.2a6 D.2a+6b A.-6 B.-5 C.-4 13.(2023·陕西商洛高一月考)设a是任意向 D.-3 量，e是单位向量，且a∥e,则下列表示形式 7.已知P是△ABC所在平面内一点，若CB= 中，正确的是 () 入Pi+PB,其中A∈R,则点P一定在( A.e=a B.a=lale A.△ABC的内部 B.AC边所在的直线上 lal C.AB边所在的直线上D.BC边所在的直线上 C.a=-lale D.a=±lale 必修第二册·SJ学霸006 14.(2024·江苏南通高一月考)已知0是20.(2024·广东深圳高一月考)设a,b是不共 △ABC所在平面上的一点，若OM+OB+OC= 线的两个非零向量， 0.则点O是△ABC的 (1)若0i=2a-b,0i=3a+b.0元=a-3b,求 A.外心B.内心C.重心D.垂心 证：A,B,C三点共线： 15.(多选)已知向量a,b是两个非零向量，在下列 (2)AB=a+b,BC=2a-3b,CD=2a-kb, 四个条件中，一定能使α，b共线的有( 且A,C,D三点共线，求k的值， A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数入，u,使入a-ub=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD,其中AB=a,CD=b 16.(2024·天津西青区高一月考)已知平面上 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆业查 不共线的四点0，A,B,C,若OA-40B+ 21.(2024·重庆九龙坡区高D 30元=0，则4B 等于 一月考)我国汉代数学家赵 ICAI 爽为了证明勾股定理，创制 了一幅“勾股圆方图”，后人有 .3 b.4 c 0.3 称其为“赵爽弦图”，如图，它是由四个全等 17.(2024·江苏南京师大附中高一期中)在 的直角三角形与一个小正方形拼成的一个 △ABC中，点D是边BC上（不包含端点）的 大正方形.已知HE=2EB,M为线段AB的中 动点，若实数x,y满足A而=xA店+yA心，则+ 点，设P为中间小正方形EFGH 内一点（不含边界）.若M证 3的最小值为 入ME-MB,则入的取值范围为 18.(2024·江苏南京外国语学校高一期末) 22.(2024·辽宁大连高一期未)如图所示，已知 若M是△ABC内一点，且满足BA+BC= 点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与 边AB,AC交于M,N两点（点M,N与点B,C 4BM,则△ABM与△ACM的面积之比为 不重合)，设AB=xAi,AC=yA 19.(2024·福建泉州高一月考)化简下列各式： (1)求x+y的值： (1)3(2a-b)-2(4a-3b): （2)求，，二的最小值，并求此时了 (2)3（4a+3b)-2（3a-b)-b: 的值 (3)2(3a-4b+c)-3(2a+b-3c). 第9章学霸0070ADB,设0D,AB交于点E,可得0D=20E=2√OM2-AE区=3， (1-)b,若y2≠0，则a=1二b,此时a,b共线，与题设条件矛盾， 则a+b=Oi+Oi=0i,因为1a+b-c1=1Oi-c1=1,取c的起点为 y-2 O,可知c的终点C的轨迹为以点D为圆心，半径为r=1的圆，如 故厂2=0即任所以*y=3.故答案为3 1-x=0,(y=2 图，当点C为OD的延长线与圆C的交点C2时，1cI的最大值M= OD+r=√3+1：当点C为线段OD与圆C的交点C1时，Iel的最小 10.2(市-商）解析：由向量加法的平行四边形法则知市+ 值m=00D-r=√3-1，所以M+m=(3+1)+(3-1)=23,故选A. A=A花，又：0是AC的中点，AC=240,A元=2Ad,故A丽+ 22.解：当a,b不共线时，有1lal-b11<la+b1<lal+1b1,理由如下： 如图①， 市2材A2励号励宁而-。 1.异解桥：因为市，励，设励：A感，所以市-+A成因 为：}花，所以：上花又成=成-应，所以耐=花 设a=O,b=0成，以OA,0B为邻边作平行四边形OACB,则O元= 店，所以市=+A(冬花-)1-A)+花又市 a+b, 在△OAC中，1AO-AC1<OC,.1Ia|-|bII<la+bl. m花即(1-店衣+m花即（骨-A OC<AO+AC,..la+bi<lal+lbl, .Ilal-1bli<la+bl<lal+1bl. 当a,b同向时，有1a+b1=1al+1bl,如图②. =(a子)成者是A0,则 m4衣，此时AB,C三 a大b 04A6B 0a+6方6 8 A= 点共线，与题设条件矛盾，所以 解得 3 2 设a=Oi,b=Ai,a+b=O成：0A+AB=0B,1a+b=al+bl. m4=0, m=II' 当a,b反向时，有1a+b1=11al-1b1l,如图③，设a=0i,b=A方， 以m品故答案为品 a+b=0A+AB=08.:0A-BA=0B,:.la+bl=llal-1b11. 第2关（练准确率） 第2课时向量的数乘 12.C解析：~四边形OADB是以向量Oi=a,O成=b为边的平行四 第1关（练度） 边形，Bw=号8C,cN=号CD,成=-0=元}元-0成 1.C解析：当A<0时，l入a|=AIal不成立，A错误：IAa|是-一个非负 实数，而1A1a是一个向量，B错误：当A=0或a=0时，IAal=0, 名威号i-成。耐-=成。诚 6 D错误故选C 2.AB解析：由向量数乘的运算律，得A,B均正确：对于C,若m=0, 66故选C 则ma=mb=0,未必一定有a=b,错误：对于D,若a=0,由ma=na, 未必一定有m=n,错误故选AB. 13,D解桥：当a=0时，日无意义，A循误：当a0时，BCD均正 易错提醒 确：当a≠0时，由a∥e知a与e同向或反向，知BC不全面，D正 确.故选D. 在向量共线相关的概念辨析题中，需要格外注意零向量的情况 14.C解析：如图，作BD∥OC,CD∥OB,连 3.ABD解析：A项，(-3)·2a=-6a,A正确. 接OD,OD与BC相交于点G,期BG=CG B项，2(a+b)-(2b-a)=2a+2b-2b+a=3a,B正确。 (平行四边形对角线互相平分)，+ C项，(a+2b)-(2h+a)=a+2b-2h-a=0.C错误 0心=0i,又0i+0+0成=0，可得0成+ D项，2(3a-b)=6a-2h,D正确故选ABD. 0元=-0i,0i=-Oi,A,0,G在一条B 4.A解析：成=成市+D成=-a+b+之a=b2a,故选入 1 直线上，可得AG是BC边上的中线，同 理，B0,C0也在△ABC的中线上.点O 5A得折：由于aAa,因此台白-1放选人 为△ABC的重心.故选C 重难点拨 6.C解析：因为1和e2是两个不共线的向量，a=e1-2e2,b= 2e1+e2,a与b是共线向量，设b=Aa,AeR,所以2e1+ke2=A(e1 平面向量中，三角形BC重心G的常用结论：花=号(+花)， -2A-6 2,),则(2-A)e=(-2A-,若2-A≠0，则e1=2-Ae此 CA+CB+CC=0. 时6共线，与题设条件子眉，放已2以00.解得二故 15,解折：对于A,可解得a=子b=鸟，放a与b共线 2 对于B,由于A≠u,故A,H不全为0，不妨设A≠0，则由Aa-b=0 选C 7.B解析：因为C市=AP+P=C-P市=AP=C=AP可，所以点P 得a=“b,故a与b共线： 在AC边所在的直线上，故选B 对于C,当x=y=0时，a与b不一定共线： 8京+宁解桥2（宁）(6-3）+b=0, 对于D,梯形中没有条件AB∥CD,可能AD∥BC,故a与b不一定 共线.故选AB. 242 1b-1c43 7 2 1 16.B解析：由0-40成+30元=0，得0-0i=3(0-0元)，即= 30202c+2+h=02=3a-2b 41 3成，所以d=市*威=号威，所以=d,即 cl 9.3解析：因为向量a,b不共线，由(y-2)a+(x-1)b=0得(y-2)a= 子，故选以 参考答案学霸003 17.23+4解析：因为点D是边BC上（不包含端点）的动点，所以 不，此时A,M,N三点共线，与题设条件矛盾，所以 B面∥B成，即B励=AB武(0<A<1),即A市-A店=A(A元-A),所以市 -1+入=0 AA花+(1-A)A成.又已知Ai=xA店+yA花，得AA花+(1-A)A店=xAB+ 解得31-)·即y=3. y=0, Uy=3λ. y花，即(A-y)花-(x+A-1)凉若A-y0,则配=种A-应，此 A-y 时A,BC三点共线，与题设条件矛质，所以以00，解得 >1, (2)由题意可知{>1，→ 2:且x-1+-11,所以 1<y<2, {任=1-A,所以y=1.又由0<A<1得0<<1,0<y<1,所以 x+y=3 (y=入. （）1=（）4 ·（-1+y-1)=3+22+二号≥3+ y-1 2424,当y到取等号放答 2骨哥2当仅21 x-1 2 为23+4 万(c1时取等号，又因为y=3,所以x=反，y=3-万时，片 18.1:2解析：如图，设D为AC的中点，连 接BD,则+B武=2励，因为B威+武= 2取得最小值为3+2万， y- 4,所以面=2BM,所以M为BD的 第3课时 向量的数量积 中点，所以S△Aw=S△Dw=S△w= 第1关（蛛速度） SAcw,所以SaMw:SAACM=1:2,放答 案为1：2 B 19.解：(1)3(2a-b)-2(4a-3b)=6a-3b-8a+6b=-2a+3h. 1B得所设a与6的线角为曲题知c高是宁结 4 31 b=- 6 合向量夹角范围知9=号，则a与6的夹角为写故选B (3)2(3a-4b+c)-3(2a+b-3c)=6a-8b+2c-6a-3b+9c= 2.ABC解析：由向量数量积的运算律可知ABC正确，对于D,令m= -11b+11c. a·b,n=b·c,则(a·b)·c=mc,而a·(b·c)=na,a,c均为任 20.(1)证明：因为A=0成-0=3a+h-2a+b=a+2b,又B元=0d-0成= 意向量，所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立故选ABC a-3动-3a-b=-2a-4b,所以B武=-2A成.又B武与A店有公共点B,所 以A,B,C三点共线. 3B解折：因为1a=2,1b1=5,且a与b的夹角为行，所以(e: (2)解：A花=A+BC=3a-2b,C=2a-h.因为A,C,D三点共线， b）·(2a-b)=2a2+a~b-b2=21a2+1a1·1b1cs 6-1b12=2x 所以元=ACi,即3a-2b=2Aa-kAb,即(3-2A)a=(2-M)b,若 22+2x万x5-（万)2=8.故选B 以≠0，则a=二机b,此时a,b共线，与a,b是不共线的两个垂 2 4.C解析：la-2h2=(a-2h)2=a2-4a·b+4b2=16-41al·1b1cos60°+ 3 A= 4=16-4×4c0s60°+4=12，故1a-2b1=2w3.故选C 零向量矛盾，所以-2A=0, 2 解得 2-kλ=0 综上k的值为子 方法总结 1a2=:2,因此求向量模的运算常常转化为向量的平方进行计算. 第3关（练思维宽度） 5.AB解析：对于A,由la+b1=1a-b1平方可得a2+b2+2a·b=a2+ 21.(2,4)解析：由M=AM正-M店=D b2-2a·b→a·b=0→a⊥b,故A正确： A正+，得亦-=A正，即正= 对于B,若1a=1b1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=1a12-1b12=0,所 以(a+b)⊥(a-b),故B正确； AM正，即AP与ME平行.过点A 对于C,若a·c=b·c,则(a-b)·c=0=(a-b)=0或(a-b)1c 作AK//ME,分别交EH,EF于点N, 或c=0(会去)，故a-b可能与c垂直，故C错误： K,可知点P在线段K上运动（不含 对于D,[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c= 端点). (b·c)(a·c)-(a·c)(b·c)=0,所以[(b·c)a-(a·c)b]⊥c 过点N作NQ∥AB,交ME的延长线于点Q,过点K作KL,∥AB 故D错误，故选AB 交ME的延长线于点L,如图， 当点P与点N重合时，A币==2正，可知A=2 6.B解折aa)a82+ab=0,即a~b=aP① 当点P与点K重合时，市==4正，可知A=4 1a-2b1=13a-b1,a2-4a·b+4b2=9a2-6a·b+b2,即8a2- 故A的取值范围为(2,4)故答案为(2,4). 2a·b-3b2=0,代入①可得9a2=3b2,即51al=1bl.又a,b为非罗 2解：)因为G为△Mc的重心，所以花=子×宁(+)= 向量，设a与b的夹角为0，则c0s0=6。 故 号}花所以花：告矿子成则成花-=（行 1 allbl lalx√31al6 选B. 1)+成因为M,G,N三点共线，所以必然存在实数入使得 7.C解斩：由题图可得，成花砧，市=应+成=}+花 =A成，即（行-1+子成=A=A(-成），则 动成=(+花）（衣-=衣+花 (行应-（号成者号10子 子迹8=3,4C=2∠BC=60市.成=×4+宁×2x 3-1 4 必修第二册·SJ学霸004