9.2.1 向量的加减法-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

22.解：(1)如图.ABC卿为所求 意：对于B:P应-戒=P-风，故B符合题意：对于C:0-亦 (2)如图.作向量D,由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， C=O+C+P=P,故C不符合题意：对于D:(+P心)+( Di=BC1=100√3m O配)=B++P凤+C=P故D不符合题意故选B 13.A解析：：点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，且 A=a,Ai=b,0元=c,则-b+c-a=-Ai+0元-A店=C2+0元-A O凉店=成+B=O故选A 14.A解析：因为a∥b.且1a1>1b1>0.由向量加法法则知向量a+b 143212东 与a同向.故选A 15.C解析：由题意得B成=花-店.所以1B成=花-1，所以1心- 1≤元-市1≤1心1+1应1.则3≤成19，故C正确故 9.2向量运算 选C 重难点拨 第1课时向量的加减法 三角不等式：1la1-1b1l≤Ia±b1≤1al+lbl.卿la+b1在a,b同向时 第1关（练速度》 取最大他，在a,b反向时取最小使。 1.B解析：亦+P可-示=Md-示=N,故选B 16.AC解析：由题意，得向量a=(i+C)+(B配+D)=⑦+D=0. 2.ABC解析：A,B,C项满足运算律，面D项向量和的模不一定与向 且b是-个非零向量.所以a∥b成立，所以A正确：由a+b=b,所 量模的和相等.故选ABC 以B不正确，C正确：由1a+b1=1b1,Ia+|b1=|b|,所以1a+b1= 3.BCD解析：对于A,A成-(B武+C)=A-=A+店≠0，A错误： Ia1+Ib,所以D不正确.故选AC 对于B.A成-A心+B励-C=C++D元-Ci+D心=0，B正确：对于C 17.3② 5 解析：如图所示，A店是水流的方向，A花是垂直于河岸的方 O-0品+=D+i=0.C正确：对于D,N⑦+0亦+--N+ P示=0，D正确，故选BCD. 向，是船的实际航线，因此币是船在静水中的航行方向，心1= 4.B解折：：A+F龙+C=+B武+C⑦=市.店+F花+Ci1= 120m/mim,101=110mmim,则1c1=√202-110= 10,23(m/mim),故经过1h的航程为60x10√23=600v23(m), A币=211=2，故选B. 5.C解析：由=D元，可知此时四边形ABCD为平行四边形，因为 即3v km,故答案为3v四 5 A成-=店+币1，所以D1=A花.即对角线长相等，故四边 形ABCD为矩形故选C 6.C解析：菱形ABCD中，A1=配.②正确，①不正确.又1A C=1房+D元1=店+A店1=21店1，币+成1=1+市1= 21Ad=2A1,③正确.又A市+C1=1Di+D元1=1D成1,1C市 C==D成，④正确，故选C (第17题】 (第18题) 7,A解析：因为+C成=店，A花-市=B成成+B成=花，花+C1= 18. 12 5 解析：如图，作平行四边形ABC,则由A+A亡=A-A元 A心-A1=A应+B配1，所以A=B武=A元1，所以△ABC是等边 可得1A1=B配，故口ABDC为矩形，即A店⊥A乙.由于A1=4 三角形.故选A. 8.82km东北方向解析：如图所示，作O=a,店=b,则a+b= =3,故=5，当W1c时，最小，最小值为3 O+A店=0成，所以1a+b1=1成1=√8+8=82(km).因为 ∠AOB=45°，所以a+b的方向是东北方向. 号放答案为号 19.解：D成=a,A=b.Ci=c,A=Ai+尿=b+a=a+b.C正=C i=c+a=a+e,A花=i+D元=Ai+(-Ci=b-e ~四边形ABCD为平行四边形，店=D元=-C=-e,正=B 正=-店+正=c+a+b=a+b+c. (第8题) (第11题) 综上，Ai=a+b,C正=a+c,店=-c,B正=a+b+e,A花=h-e 9.A花A市解析：因为DE∥C,AB∥CF,所以四边形DCB为平行 20.解：(1)0i+0元=0i+0币=0,0=Cd,0i=.四边 四边形.由向量加法的运算法则可知，+亦=A店+B武=A心，心+ 形ABCD为平行四边形.又A1=Ai1=1,四边形ABCD为菱 F元=⑦+D成=成故答案为A:A 形m∠nAB=子，∠DIBe(0,),六∠DB=号 △AB0 10.0解析：因为六边形A,A,A4446为正六边形，所以0+0 为正三角形.D元+B1=+BC=A花=21A=√5. 0,+0=0+0。=0,即0+0+0+0+0+0，=0.故 (2)由(1)可知.C+B1=1B1=A店=1. 答案为0. 第3关（练思维宽度》 11.120°解析：如图，由P+P=P觉，得四边形PACB是平行四边形. 21.A解析：在△0B中，设a=.b= 由点P是△ABC的外心，得PA=PB=P℃，期口PACB是菱形，因此 △APC,△BPG都是等边三角形，则∠ACP=∠BCP=60°，所以 0成，则a-b=0-0成=B,因为1a1= ∠ACB=120°.故答案为120° 1b1=1a-b1=1,即101=10成1= 第2关（练准确率） IBI=1,所以△OAB为等边三角 12.B解析：对于A:A+(P+B)=P+A+B威=P,故A不符合题！ 形.以04.OB为邻边作平行四边形 必幢第二册·SJ学霸002 0ADB,设0n,AB交于点E,可得0D=20E=2√02-AE=3, (1-)b,若)-2≠0，则a=b,此时a,b共线，与题设条件矛盾. 则a+b=0i+0成=0i,因为1a+b-el=1O-cl=1,取c的起点为 y-2 O,可知c的终点C的轨连为以点D为园心，半径为r=1的圆，如 做28以=故答案为 图，当点C为OD的延长线与圆C的交点C2时，Ic1的最大值M= OD+r=√3+1：当点C为线段O0与圆C的交点C,时，1e1的最小 10.2号（心-应）解桥：由向量加法的平行四边形法则知+ 值m=OD-r=√3-1，所以M+m=(√3+1)+(3-1)=23.故选A Ai=A元.又0是AC的中点.，AC=2A0.A元=2A.故A店+ 22.解：当a.b不共线时.有1la1-1b1I<a+b1<1a1+1b1.理由如下： 如图①. 市=2动A=2励=励=(-。 1.名解桥：因为：成，设应=A瓜，所以办=A成因 为不=号花，所以不=4花又成-应，所以武=4花 设a=Oi,b=0成.以0A,0B为邻边作平行四边形0MCB.则O元= 应，所以应=店+A(任花-）=1-A)店+花义 a+b, 在△0AC中，IAO-AC<0C,.IIal-fb1I<|a+b1. 亦m花.即1-A:花=亦*m花.即（音A） .OC<AO+AC,..la+bi<lal+ibl, Ilal-1bll<la+bi<lal+lbl. 当a.b同向时，有1a+b1=|al+1b1,如图②. 应=()尼，若0.则=。元.此时AB,G三 -A atb 11 0 aA b '8 0a+6月6 A= 8 11 点共线，与题设条件矛盾，所以 解得 所 ③ A 2 设a=,b=A店.a+b=0成：0A+AB=0B1a+b1=al+1b1. m-4=0, m=I 当a,b反向时，有1a+b1=llal-lb1l,如图3.设a=0i,b=店. 以m品故答案为品 a+b=0+B=0B.0A-BA=0B,:.la+bl=1lal-1b11. 第2关（练准确率） 第2课时向量的数乘 12.C解析：四边形04DB是以向量O=a,而=b为边的平行四 第1关（妹逸度） 边形，w=号c,cN=D=示-=元-成 1.C解析：当A<0时，IAa=AIal不成立，A错误：IAa是一个非负 实数，而1A1a是一个向量，B错误：当A=0或a=0时，|Aa1=0, d子oi-成6d-i=成。i 6 3 6 D错误.故选C, 2.AB解析：由向量数乘的运算律，得A,B均正确：对于C,若m=0, 66故选c 则ma=mb=0,未必一定有a=b,错误：对于D,若a=0,由ma=na, 未必一定有m=n,错误故选AB 13.D解析：当a=0时，合无意义，A错误：当a=0时，BCD均正 易错提醒 确：当a≠0时，由a∥e知a与e问向或反向.知BC不全面.D正 确.故选D. 在向量共线相关的概念辨析周中，需要格外注意零向量的情况： 14.C解析：如图，作BD∥OC,CD∥OB,连 3.ABD解析：A项，(-3)·2a=-6a,A正确. 接OD,DD与BC相交于点G,则BG=CG B项.2(a+b)-(2b-a)=2a+2b-2b+a=3a.B正确， (平行四边形对角线互相平分)，0+ C项.(a+2b)-(2h+a)=a+2b-2b-a=0.C错误 0元=0币.又0+0品+0元=0.可得0丽+ D项，2(3a-b)=6a-2b,D正确.故选ABD. 0元=-0,0品=-0，A,0,G在一条B 4.A解析：配=市+成=-a+b+2a=b 20,故选A 直线上，可得AG是BC边上的中线，同 理.O,CO也在△ABC的中线上，.点) 5A相折：南于a=aa,因此名a=1放选人 为△ABC的重心.故选C 重难点拨 6.C解析：因为C1和e2是两个不共线的向量，a=e1-2e2,b= 2e1+he2,a与b是共线向量.设b=Aa,AeR所以2e,+ke2=A(e1 平面向量中，三角形BC重心G的常用结论衣=写（宿，花）， -2A- 2),则(2-A)e,=(-2A-)e,若2-A≠0.则e1=2-A,此 G+c+C=0. 时64共线，与思设条件牙盾，收已A0.解得化二收 15.AB解折：对于A.可解得a=子b=-号，故a与6共线 对于B,由于A≠u,故A,4不全为0，不妨设A≠0，则由Aaub=0 选G. 7.B解析：因为C=AP+P成-C成-或=APC=AP所以点P 得a=b,故a与b共线： 在AC边所在的直线上，故选B 对于C,当x=y=0时，a与b不一定共线： 8京折：2(-）(+e-)+b=0 对于D.梯形中没有条件AB∥CD.可能AD∥BC.故a与b不定 共线.故选AB. 22 7 2 1 16.B解析：由0-40成+3元=0，得0-0成=3(0市-0元心)，即= 3021 宁做答案为宁 4 3成所以d-:瓜：瓜，所以-1d,即 ICAI 9.3解析：因为向量ab不共线，由(y-2)a+(x-1)b=0得(y-2)a= 会放客 参考答案学霸0039.2向量运算 第1课时 向量的加减法 第1关练速度 10mn为准，你的时间 7.(2024·江西南昌高一月考)在△ABC中， 1.(2024·江苏连云港高一期未)M亦+P0-M= IAC+CB1=1AC-AB1=IAB+BC1,则△ABC 是 () ( A.等边三角形 B.直角三角形 A.ON B.NO C.PM D.M元 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.(多选)下列各式一定成立的有 ( 8.若a表示“向东走8km”,b表示“向北走 A.a+b=b+a B.0+a=a 8km”,则1a+b|= ,a+b的方向是 C.A元+CB=AB D.la+bl=lal+lbl 3.(多选)(2024·江苏扬州高一月考)下列结论 9.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的 恒为零向量的是 ( 点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC, A.AB-(BC+CA) B.AB-AC+BD-CD AB∥CF,连接CD,那么AB+DF= ； C.OA-OD+AD D.NO+OP+MN-MP A+F元= 4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1, 10.设六边形A1A2AA,A,A。为正六边形，0为它 则IAB+F元+C⑦1等于 ( 的中心，则OA1+OA2+0A3+OA+OA+OA A.1 B.2 C.3 D.23 11.(2024·河南洛阳高一月考)若P为△ABC 的外心，且PA+PB=PC,则△ABC的内角C 等于 第2关练准确率 8题为准，你做对题 (第4题) (第9题) 12.(2024·重庆南开中学高一月考)下列各式 5.(2024·河北沧州高一月考)在四边形ABCD 中不能化简为PQ的是 () 中，若A店=D元，且1A店-AD1=1A店+AD1,则该 A.AB+(PA+BQ) 四边形一定是 A.正方形 B.菱形 B.PA+AB-BO C.矩形 D.等腰梯形 c.Q元-Q+cd 6.对于菱形ABCD,给出下列各式： D.(AB+P元)+(BA-QC) ①A店=BC,②1A店1=1BC1:③1A店-Ci1= 13.点0是平行四边形ABCD的两条对角线的 IAD+BC1:④1A⑦+CD1=ICD-CB1 交点，AB=a,AD=b,0C=c,则-b+c-a= 其中正确的个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 A.OA B.OB C.0 D.BC 必修第二册·SJ学霸004 14.已知向量a∥b,且Ia1>1b1>0,则向量a+b20.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交 的方向 ( 于点0且1A正1=1AD1=1,0A+0元=0B+ A.与向量a方向相同 B.与向量a方向相反 0币=0，c0 LDAB=2 C.与向量b方向相同 (1)求1D元+BC1: D.与向量b方向相反 (2)求1CD+BC. 15.(2024·福建莆田高一月考)已知1AB1=6, 1AC1=3,则1BC1的取值范围是 () A.[3,6]B.(3,6)C.[3,9]D.(3,9) 16.（多选)(2024·湖南益阳高一月考)设a= (AB+CD)+(BC+DA),b是一个非零向量， 则下列结论正确的有 ( A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.la+bl<lal+lbl 难度级别：☆☆女女☆ 17.(2024·江苏泰州高一月考)在静水中船的速 第3关练思维宽度 度为120m/min,水流的速度为110m/min, 21.(2024·福建厦门高一月考)已 如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到 知向量a,b,c,满足Ia1=1b1= 达对岸，那么经过1h,该船的实际航程是 a-b1=Ia+b-cl=1,记Icl的最大值为M, 最小值为m,则M+m= km. 18.(2024·天津西青区高一月考)设点M在直 A.2/3B.2 C.3 D.1 线BC上，点A在直线BC外，且IABI=4, 22.对于非零实数a,b,有这样的结论：当ab>0 时，Ia+bl=Ial+lbl成立；当ab<0时，Ia+ 1AC1=3,IAB+AC1=IAB-AC1,则1AMI的最 b1=11a1-1b11成立.那么对于非零向量a, 小值为 b,向量a+b的模1a+b1与Ia|+1b|,1Ial 19.(2024·陕西宝鸡高一月考)如图，在五边 1b1I有类似的结论吗？请说明理由. 形ABCDE中，四边形ABCD是平行四边形， 且DE=a,AD=b,CD=c,试用a,b,c分别表 示A正，C正，AB,B正及A元 第9章学霸005