9.1 向量概念-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（苏教版2019)

第9章 平面向量 9.1 向量概念 第1关练速度 0min为准，你的时间 6.(2023·天津河西区高一月考)设a.b是非零 1.(多选)(2024·四川德阳高一月考)下列命题 向量，ao,bo分别是a,b的单位向量，则下列各 中正确的是 式中正确的是 () A.单位向量的模都相等 A.ap=bo B.ao∥bo B.长度不等且方向相反的两个向量不一定是 共线向量 C. 1a6 =1 D.b -=1 C.方向相同的两个向量，向量的模越大，则向 7.(2023·广东深圳高一期中)如图所示，在正 量越大 △ABC中，D,E,F均为所在边的中点，则以下 D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点 向量中与ED相等的是 () 必相同 2.设e1,e2是两个单位向量，则下列结论中正确 的是 ( A.e1,e2起点相同 B.e,∥e2 C.le,I=le2l D.以上都不对 A.EF B.BE C.FB D.F元 3.(2024·河北石家庄高一月考)分析下列四个 8.如图，已知B,C是线段AD的两个三等分点， 命题并给出判断，其中正确命题的个数是 则与AB相等的向量有 ( D ①若a∥b,则a=b:②若1a1=1b1,则a=b: 9.下列命题是真命题的是 .(填序号) ③若1al=1b1,则a∥b:④若a=b,则1a=1b. ①若A,B,C,D在一条直线上，则AB与CD是 A.0 B.1 C.2 D.3 共线向量： 4.(多选)设点O是平行四边形ABCD的对角线 的交点，则下列结论正确的有 ( ②若A,B,C,D不在一条直线上，则AB与CD A.A0=0元 B.IAO1=1BOI 不是共线向量： C.A0=BO D.AB与C元共线 ③向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四 5.(2024·广东东莞高一月考)等边三角形ABC 点必在一条直线上： 中，AB与BC的夹角为 ( ④向量AB与AC是共线向量，则A,B,C三点必 A.60 B.-60° C.120° D.150 在一条直线上， 第9章学霸001 10.已知A,B,C是不共线的三点，向量m与向 上一点，且∠0CB=30°，1AB1=2,则1AC1等于 量AB是平行向量，与BC是共线向量，则 m= 11.把同一平面内所有模不小于1，不大于2的 向量的起点，移到同一点O,则这些向量的 终点构成的图形的面积等于 A.1 B.2 C.3 D.2 第2关练准确率 8题为准，你做对 16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方 题 形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A,B. 12.(2024·重庆长寿区高一期末)已知点0在 △ABC所在平面内，满足1OA1=1OB1=1OC1. 点C为小正方形的顶点，且1AC1=√5.则 则点O是△ABC的 ( BC1的最大值与最小值分别为() A.外心B.内心C.垂心 D.重心 13.(2023·天津和平区高一月考)如图所示，四 边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，则 下列结论中不一定成立的是 A.41,5 B.41.5 C.5,3 D.5,2 17.(2024·湖南长沙高一月考)四边形ABCD A.IABI=IEFI B.AB与F共线 满足Ad=BC,且1A元1=1BD1,则四边形 C.BD与EH共线 D.CD=FC ABCD是 (填四边形ABCD的形状). 14.(多选)(2023·河北邯郸高一月考)如图， 18.如图所示，E1,E2,F1,F2,G,G2,H1,H2分别 在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则以下说 是矩形ABCD所在边上的三等分点，若 法正确的有 ( 1AB1=6,1AD1=3,则以图中16个点中的任 意两点为始点和终点的所有向量中，模等 于2且与AB平行的向量有 个，模等 A.与AB相等的向量（不含AB)只有一个 于5的向量有 个 B.与AB的模相等的向量（不含AB)有9个 D G C.BD的模是DA的模的3倍 D.CB与DA不共线 15.(2024·山东威海高一月考)在如图所示的 半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆 必修第二册·SJ学霸002 19.(2024·山东泰安高一月考)如图，0是正六第3关练思维宽度 ）难度级别：☆☆☆☆☆ 边形ABCDEF的中心，且OA=a,O=b. 21.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对 OC=C.在以A,B,C,D.E,F,O这七个点中任 角线AC与BD的交点，设点集M=1O,A,B, 意两点为起点和终点的向量中，问： C,D,向量的集合T={PQ1P,QeM,且P, (1)与a相等的向量有哪些？ Q不重合，则集合T中有 个元素 (2)b的相反向量有哪些？ (3)与c的模相等的向量有哪些？ 22.(2023·陕西咸阳高一月考)如图所示，某人 从A点出发，向西走了200m后到达B点， 然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向 行走了10013m到达C点，最后又改变方 向，向东走了200m到达D点，发现D点在 B点的正北方 (1)作出向量AB,BC,CD(图中1个单位长 度表示100m): 20.如图，已知以0为圆心、1为半径的圆上有 (2)求向量DA的模 8个等分点A,B,C,D,E,F,G,H,以图中标 出的9个点为起点和终点作向量 (1)0D与0E的夹角是多少？ 422东 (2)与OD垂直的向量有哪些？ 第9章学霸003参考答案 ANSWER 第9章 平面向量 9.1向量概念 等，所以点O是△ABC的外心.故选A 13.C解析：·四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形 第1关（练逸度） 六∠DCG+LGCE=180°，即D,C,E三点共线，即H,G,F三点共 1.AD解析：根据单位向量的概念可知.单位向量的模都相等且为 线，AB=EF.CD=FG,AB∥DC∥HG∥HF,即1AI=IE亦，Ci= 1,故A正确：根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的 两个向量是共线向量，故B错误：向量不能比较大小，故C错误：根 F元A与F共线，A.B,D一定成立：对于C:若B与E共线.则 据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终 必有∠BDC=∠HED,即∠GCE=2∠BDC=2∠HED.该条件不一 点必相同，故D正确故选AD, 定成立，如1∠GCE=90时，∠HED≠45°，故B与E共线不一定成 2.C解析：单位向量的模相等，都为1，故选C 立，故选C。 3.B解析：对于①，当两个向量平行时，大小和方向可能不相等，即 14.ABC解析：因为=元，所以与A店相等的向量只有D元，所 两个向量不一定相等，故①错误对于②，两个向量模相等，方向不 一定相同.故②错误.对于③，两个向量模相等.不一定共线。也可 以A正确：与向量的模相等的向量有D,D元，心C成心，C. 能垂直或者共他的情况，故3错误对于④，若两个向量相等，则大 C,B武，B,所以B正确：在R1△A0D中，因为∠AD0=30°，所以 小利和方向都相同，故④正确.踪上所述，只有1个命题为真命题.故 选B. 成1-受1，所以励=51i,所以C正确：因为=瓜。 4.AD解析：因为点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，所以O 所以CB与DA是共线向量，所以D不正确.故选ABC 是AC的中点，即有A方=O元.A正确：平行四边形对角线长不一定 相等，则1A1与i1不一定相等，B不正确：点A,O,B不共线， 15.A解析：由10元1=01.得∠ABC=∠0CB=30.因为C为半圆 C不正确：平行四边形ABCD中，AB∥CD.即有AB与CD共线，D正 上的点，4B为直径，所以∠4CB=90,所以=子1=1故 确，故选AD 选A 易错提醒 16.A解析：画出所有的向量心，如图所 两个共线的向量方向可以相同也可以相反 示由所画的图知： 5.C解析：如图.延长AB到D.则∠CBD为AB与BC的夹角.所以AA ①当点C位于点C,或C时， 与B武的夹角为120°：故选C B式1取得最小值√个+2=5： C 2当点C位于点Cs或C。时. 1配取得最大值√®+5=√④ 所以|BC1的最大值为√4行，最小值L 为5. D 17.矩形 解析：币=成，AD∥BC且1A市1=1成，则四边 6.D解析：两个向量模相等，但是方向可能不同，所以选项A,B 形ACD是平行四边形.又A心1=1，即该平行四边形对角线 不正确：题中设有明确向量a.b模的大小关系，所以选项C不正 长相等，∴四边形ABCD是矩形.故答案为矩形 确：因为a.b,分别是a.b的单位向量，所以。 L,故选n 18.2436解析：与AB平行包括与A同向和反向，所以模等于2且 CB.则与 与平行的向量有12×2=24（个）.模等于5的向量有9×4= 7,D解析：，DE是△ABC的中位线.DE∥CB且DE= 2 36(个). 向量E相等的向量有成，F元故选D. 19.解：(1)由相等向最的定义知，与a相等的向最有D而E序，C成 8.武.C解析：根据题图可知与A相等的向最有配C立 (2)由相反向量的定义知，b的相反向量有o成C市，Bd 9.①④解析：①为真命题，A,B,G,D在一条直线上，向量，C的 (3)由向量模的定义知，与c的模相等的向量有Cd.0亦F, 方向相同或相反，因此A店与C是共线向量：②为假命题，A,B,C,D Ei0iDi.0.B,o.Ad.A.B.AF.F元.E..D屁 不在一条直线上，则A店，C的方向不确定，不能判断A与C可是香 D元ci,cisd 为共线向量：③为假命题，因为店C两个向量所在的直线可能没 20.解：(1)因为以0为圆心，1为半径的圆 上的8个等分点分别为A.B,C,D,E 有公共点，所以四点不一定在一条直线上：④为真命题，因为店， F,G,H,所以孤DE所对圆心角是45 A元两个向量所在的直线有公共点A,且4与A亡是共线向量，所以三 点共线.故答案为①④. 即有∠D0E=45°，所以Oi与0正的夹角H, 为45 10.0解析：向量m与向量AB是平行向量，则向量m与向量AB方向 (2)因为以0为圆心，1为半径的圆上 相问或相反；向量m与向量B武是共线向量.则向量m与向量成 的8个等分点分别为A.B,C,D,E,F, 方向相同或相反，又由A,B,C是不共线的三点，可知向量AB与向 G,H,所以BF是圆O的直径，OD⊥ 量B方向不同且不共线，所以m=0. BF,CE∥BF∥AG,如图，所以与Oi垂直的向量有O成.B动.O成，F市】 11.3行解析：由题意可知，这些向量的终点构成的图形是一个圆环， BF.FB.CE.EC.AC.CA 圆环的小圆半径为1，圆环的大圆半径为2，所以圆环的面积为 第3关（恭思维宽度） r×22-m×12=3r,故答案为3π 21.12解析：根据题意知，由点0.A,B,C,D可以构成20个向量其 第2关（练准确率） 中有8对向量是相等的.4个向量各不相等，由元素的互异性知果 12.A解析：因为1可1=10丽1=1元1.即点0到A.B,C的距离相 合T中有12个元素. 参考答案学霸001 22.解：(1)如图.ABC卿为所求 意：对于B:P应-戒=P-风，故B符合题意：对于C:0-亦 (2)如图.作向量D,由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， C=O+C+P=P,故C不符合题意：对于D:(+P心)+( Di=BC1=100√3m O配)=B++P凤+C=P故D不符合题意故选B 13.A解析：：点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，且 A=a,Ai=b,0元=c,则-b+c-a=-Ai+0元-A店=C2+0元-A O凉店=成+B=O故选A 14.A解析：因为a∥b.且1a1>1b1>0.由向量加法法则知向量a+b 143212东 与a同向.故选A 15.C解析：由题意得B成=花-店.所以1B成=花-1，所以1心- 1≤元-市1≤1心1+1应1.则3≤成19，故C正确故 9.2向量运算 选C 重难点拨 第1课时向量的加减法 三角不等式：1la1-1b1l≤Ia±b1≤1al+lbl.卿la+b1在a,b同向时 第1关（练速度》 取最大他，在a,b反向时取最小使。 1.B解析：亦+P可-示=Md-示=N,故选B 16.AC解析：由题意，得向量a=(i+C)+(B配+D)=⑦+D=0. 2.ABC解析：A,B,C项满足运算律，面D项向量和的模不一定与向 且b是-个非零向量.所以a∥b成立，所以A正确：由a+b=b,所 量模的和相等.故选ABC 以B不正确，C正确：由1a+b1=1b1,Ia+|b1=|b|,所以1a+b1= 3.BCD解析：对于A,A成-(B武+C)=A-=A+店≠0，A错误： Ia1+Ib,所以D不正确.故选AC 对于B.A成-A心+B励-C=C++D元-Ci+D心=0，B正确：对于C 17.3② 5 解析：如图所示，A店是水流的方向，A花是垂直于河岸的方 O-0品+=D+i=0.C正确：对于D,N⑦+0亦+--N+ P示=0，D正确，故选BCD. 向，是船的实际航线，因此币是船在静水中的航行方向，心1= 4.B解折：：A+F龙+C=+B武+C⑦=市.店+F花+Ci1= 120m/mim,101=110mmim,则1c1=√202-110= 10,23(m/mim),故经过1h的航程为60x10√23=600v23(m), A币=211=2，故选B. 5.C解析：由=D元，可知此时四边形ABCD为平行四边形，因为 即3v km,故答案为3v四 5 A成-=店+币1，所以D1=A花.即对角线长相等，故四边 形ABCD为矩形故选C 6.C解析：菱形ABCD中，A1=配.②正确，①不正确.又1A C=1房+D元1=店+A店1=21店1，币+成1=1+市1= 21Ad=2A1,③正确.又A市+C1=1Di+D元1=1D成1,1C市 C==D成，④正确，故选C (第17题】 (第18题) 7,A解析：因为+C成=店，A花-市=B成成+B成=花，花+C1= 18. 12 5 解析：如图，作平行四边形ABC,则由A+A亡=A-A元 A心-A1=A应+B配1，所以A=B武=A元1，所以△ABC是等边 可得1A1=B配，故口ABDC为矩形，即A店⊥A乙.由于A1=4 三角形.故选A. 8.82km东北方向解析：如图所示，作O=a,店=b,则a+b= =3,故=5，当W1c时，最小，最小值为3 O+A店=0成，所以1a+b1=1成1=√8+8=82(km).因为 ∠AOB=45°，所以a+b的方向是东北方向. 号放答案为号 19.解：D成=a,A=b.Ci=c,A=Ai+尿=b+a=a+b.C正=C i=c+a=a+e,A花=i+D元=Ai+(-Ci=b-e ~四边形ABCD为平行四边形，店=D元=-C=-e,正=B 正=-店+正=c+a+b=a+b+c. (第8题) (第11题) 综上，Ai=a+b,C正=a+c,店=-c,B正=a+b+e,A花=h-e 9.A花A市解析：因为DE∥C,AB∥CF,所以四边形DCB为平行 20.解：(1)0i+0元=0i+0币=0,0=Cd,0i=.四边 四边形.由向量加法的运算法则可知，+亦=A店+B武=A心，心+ 形ABCD为平行四边形.又A1=Ai1=1,四边形ABCD为菱 F元=⑦+D成=成故答案为A:A 形m∠nAB=子，∠DIBe(0,),六∠DB=号 △AB0 10.0解析：因为六边形A,A,A4446为正六边形，所以0+0 为正三角形.D元+B1=+BC=A花=21A=√5. 0,+0=0+0。=0,即0+0+0+0+0+0，=0.故 (2)由(1)可知.C+B1=1B1=A店=1. 答案为0. 第3关（练思维宽度》 11.120°解析：如图，由P+P=P觉，得四边形PACB是平行四边形. 21.A解析：在△0B中，设a=.b= 由点P是△ABC的外心，得PA=PB=P℃，期口PACB是菱形，因此 △APC,△BPG都是等边三角形，则∠ACP=∠BCP=60°，所以 0成，则a-b=0-0成=B,因为1a1= ∠ACB=120°.故答案为120° 1b1=1a-b1=1,即101=10成1= 第2关（练准确率） IBI=1,所以△OAB为等边三角 12.B解析：对于A:A+(P+B)=P+A+B威=P,故A不符合题！ 形.以04.OB为邻边作平行四边形 必幢第二册·SJ学霸002