第五章 专题探究4 含参函数单调性分类讨论&专题探究5 导数与零点、不等式的综合应用-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

四易错提醒 当-1<x<0时.g(x)<g(0)=0,则 一>0恒成立，故 (1)在运用求导法则求x)的导数时，注意运算的正确性： (2)在运用导数的儿何意文求在(，代x0)处的初线的斜率时，斜 率='（和），切线方程最好为一极式： 2 片由题意知 (3)/八x)在(0，π)上有两个校值点等价于'(x)=0在(0，m)上有 12.解：(1)因为八x)=2x+ +ala,则f'()=2子 两个不同的实数根： 了e2子片0在K到1+)上相成立.所以>2在 （4)运用参变分离得到：三，相造面数()=加 (0,): 区间[1，+m)上恒成立，令=2-2ke1,+云).因为( (5)利用导数研究函数h(x)的性质时，应说清楚单调性以及(0) 子一2<0恒成立，所以()在区间[，+)上单调递减，所以 (受)4()的取雀情况 h(x)m=h(1)=0,所以4≥0，即实数：的取值范围为[0，+x, 专题探究4含参函数单调性分类讨论 (2a=2-子+宁-小2m-2.其中a因为 黑题 专题强化 g'(x)=6x2+a.①当a≥0时，g'(x)>0对任意的x>0恒成立.所以 g(x)在区间(0，+x)上单调递增，此时g(x)无最小值，不符合题 1解：)当a=0时，八)=h则()1=当e1,2 时，∫'(x)≥0相成立，所以八x)在[1,2]上单调递增.又f1)=1, 意，2当0时，令g=0则后成后（合去 f八2)=2-n2,所以fx)在[1,2]上的值域为1,2-n2]. (2)函数八x)=(a+1)x-lnx的定义域为(0，+x),又∫'(x)=(a+ 当0<x</ 时.g()<0当√名时，()>0所以雨数 6 1)1=a1-1,当+1≤0，即a≤-1时，了(x)<0恒成立，所以 )在区(0√石)上单调递减，在区（√石，+）上 )在(0，+)上单调递减：当a+1>0,即>-1时，当0<时。 单调适增，则x=,√石是函数)的极小值点，也是最小值点，所 了e)c0,当时.fP>0.所以到在(0)上单逢 以g=g(g)=2×(g)'+-2 ，在1 (a中+)上单调递增.综上可得当a≤-1时.x)在 名-2=-6，解得a=6,符合题意综上所述a=-6 （0,+)止单调通诚：当a>1时，八在(0》 上单调递诚，在 压轴挑战 (+)上单词递 解：(1)当a=2时，八x)=2e-csx-x,,f'(x)=2e+in-l, 2解：()当a1时，八)号2x+n,又了'()=-249 f"(0)=2e°+im0-1=1.f（0)=2e-emw0-0=1,y=fx)在(0. x2-2x+1.(x-1)2 八0)处的切线方程为y-1=1x(x-0),即-y+1=0. 0在区间[1,4灯上恒成立，当且仅当x=1时取等 x (2)(x)在(0，)上有两个极值点等价于f"(x)=e'+inx-I=0在(0， 号，所以x)=2-2x+山x在区间[1,4]上单调递增，得到)在 )上有两个不同的实数根，即a一m在(0，)上有两个不同的实数 e 22、3 1,4]上的最小值为1)= ，最大值为4)=7×16-2× 根，令h(x)= 二，x∈(0，行），六(x)=血s I-sinx 4:h4=2加2.所以)红1上的值骏为22加2] (2)易知x)的定义城为(0，+∞).因为f'(x)=x-(a+1)+a= 6 令()=0，解得x=，当xe(0,）时 2-(a+1)x+n.(=a)(-,当a≤0时.xe(0.1)时.f'(x)<0. ()<0,4()单调递诚：当xe(,元）时，A'()>0,4()单调递增 x x x∈(1，+x)时，f'(x)>0:当0<a<1时，￥∈(a,1)时，f'(x)<0,xe 1-in2 (0,a)U(1,+g)时，f'(x)>0:当a=1时，了"(x)≥0在区间(0. 又(o0=1,(） 1-sin =0.h(m)= +m)上恒成立，当且仅当x=1时取等号：当a>1时.xE(1,a)时， f'(x)<0,x∈(0，I)U(a,+)时，f'(x)>0.综上所述，当a≤0时， 二=ee0.)当ae0e)时，方程a1在(0，)上有两 八x)的减区间为(0,1)，增区间为(1，+∞)：当0<a<1时，fx)的诚 e 区间为(a,1),增区间为(0，a),(1,+x):当a=1时，f(x)的增区间 个不同的实数根，实数a的取值范围为(0，可). 为(0，+x),无减区间：当a>1时，八x)的减区间为(1，a),增区间为 参考答案黑白题41 (0,1),(a,+ 单调递减，综上所述，当0<a<。时，x)在区间(-，).（血。 3.解：(1'(x)=-1,f”1)=1-1=0,且1)=-1，所以曲线y= )(1,1)处的切线为y-1,则=- +)）上单鹅通增，在区间(1.n。）上单调递：当a=。时。 得x2-2ax+1= (y=ax2-2mx. 0,因为直线y=-1与曲线y=g(x)=2-2ar相切，所以4=42-4a= 在R上单调适地：当a时，)在区间(-，h。）)1 0,得a=0(舍去)或a=1. +运)上单调递地，在区间（山。，1）上单测遥减 (2)h(x)=f(x)+g(x)=lmx-x+r2-2ar=nx+x2-(2a+1)x的定义 减为(0.+），(x)=+2r-(2a+1)=2am2-(2m+1)x+1 专题探究5导数与零点、不等式的综合应用 (2ar-)(=1》.因为>0，令'(x)=0.得x=1或x 当0<a<2 黑题 强化 2a' 1.(1)解：f(x)=3x--3+ a.3x2-(a+3)x0_(x-10(3-a）.定义 时，>1，所以当xe(0.和（云*）时()>0.则数4（到 单调通增，当e(,名）时.()0，则函数4()单调递减：当a> 城xe(0+),由了"(x)=0得=1=号，因为当x=1时，) 时1，所以当（0）和1.+)时(>0，期而数 取极大值，所以？>1，即ae(3,+)。 (2)证明：由（)得，在(，号)上单调遥减，在（行+）上 s(到单调道增，当后（时，(）0，则函数()单调蓬减 单调递增.所以r(-寸（行）上-石ata山ao3,则/（任）】月 当a=)时，h'(x)0,当x=1时取等号，函数h(x)在(0，+龙)上单 调遥城综上所述，0<a<时，6()的单调端区铜为(0,1)，（易 h3则o=号+ha11-h3=号hh3,因为3所 )）单调减区间为小）。=时6()的单调增区同为 以g(a)>0(成立，即g(:)在(3，+x)上是递增的，所以g(a)> (0,+).没有减区间：a>子时，4()的单调塔区同为(0，六)】 1 g3=0.所以（仔）（号2）>0，即≥分2-在 ,+,单调区同为（） x∈[1，+x)上恒成立 2解f'(=a(41）-1.令g'.期g 4(山证明：当a=0时，儿)=亡即证当≥0时，专≤h(+,令 +1),若a≤1，则x+2-a>1-a≥0，从而 1,(x+1)-(x+a)x+2-0 go之期ge号高广e x+1 (x+1)2 g'(x)>0,所以g(x)即f“(x)在定义域内单周递增：若a>I,则当-1< x2-.则(x)=-2x-2<0在区间[0，+)上恒成立，所以h(x)= x<a-2时，g(x)<0,g(x)即f'(x)单调递减.当x>e-2时，g'(x)> 1-x2-e≤h(0)=1-0-°=0，当且仅当x=0时取等号，所以g'(￥)≤ 0.g(x)即f'(x)单嗣递增.综上所述，若a≤1，f(x)在定义域内是 0在区间[0，+x)上恒成立，当且仅当x=0时取等号，所以g(x)在 增函数；若>1，∫“(x)在(1，a-2)上是减函数，在(a-2.+%)上是 [0+x)上单调递减，所以对x≥0，g(x)≤g(0)=0,所以兰≤m(x+ 增函数 e (2)证明：不妨设h(x)=f(x)-2=(x+a)n(x+1)-2x,x>0,则 1),即x)≤ln(x+1). （a期-aam-D,fr=0得1或 )e-2=n(+D2.()可知若≥2.则/()在 (-1,a-2)上是减函数，在(a-2,+）上是增函数.从面'(x)≥ =n,①当a=上时.∫'()≥0恒成立.所以)在R上单调递 a-2ef'a-2-2=ha-21)2子2=h(a-1y≥h1=0.g 增：2当0ca<时，h>1,令f)>0,得1政h令 h(x)在(0，+x)上是增函数，从而h(x)>h(0)=0,也就是说当x>0 时，x)>2x 代国0，得1h。,所以在这间(-，).（石+）上 3.解：（山当a=2时，x)=2-2n,0.则(）=2x-2,设切点为 单湖港增，在区同(，h。）上单到递诚：③当a>时.h。<1, （6-2.则f(24,品=3.解得02或6之（会 1 令f'()>0,得1或dn,令f'()<0,得n<1,所以x) 去).∴2)=4-2n2,故切点为(2,4-2n2).所求切线方程为y 4+2ln2=3(x-2).即3x-y-2-2ln2=0 在区回(，h。）(1,*)止单测遥城，在区(）上 （2/'（x=2x-g2-,0≥2D0.令f=0得x= 2 选择性必修第二册，RJA黑白题42 ①当≥e即≥2时.在(（仁e）上r<0)在 ∫"（(2024)=g(2024)=3×2×1=6故选A 5.C解析：设圆锥的高为h,则圆柱的高为3动，底面圆半径为r [片]小上单调递减此时)在[片]上不可能存在两个零 V6-,则该模型的休积=2·3站+寸2=(36-)云 3 点：②当1≤2 ,即2≤a<2时，在（仁，）上r(<0, (0<h<6),令f八x)=-x3+36x(0<x<6),则f'(x)=-3x2+36,由 f'(x)=0得x=23(负值合去)，当0<x<23时f“(x)>0,当23<x< )单调道流：在（）上）>0，)单调通则)在 6时，f'(x)<0,则fx)在(0,23)上单调递增，在(23,6)上单调递 或，当4=25时，'=160/5r,故选C t- 取得极小值/（受）宁-山子）结合学点存在6c解折：自怎可特品。令点≥则了 定理，要使f()在区间[日]上拾有臂个零点，则 因为≥e,所以f”)=血-≥0，所以x=三在e,+x)上单调 In2x In a 递增.又a=f4),b=f八3).e=f八e),e<3<4.故c<b<a.故选C fe)=e2-a≥0. 得2e<a写e2.综上，a的取值范围 1c指：山士10得/=学当 ()-h)@, a=0时，了)=子0.时在(0，+)上单调递减，无极值，A错 是(2e.621 误；当>0时，当0<。时，()<0，)在(0，。)）上单到遥 4.解：()：x)=2x++2n(1-x)(e=2-}2 21ef"(-1) 0,-1)=2n2-3.故曲线y=x在点(-1.-1)处的切线方程 减，当D时，了(>0，到在（行+）上单调适增，B错误： 为y=2n2-3. (2f'(x)=2-号2=-(*)(22-241) 由B的分析可知=。时，函数)取极小值，极小值为（仁） x21-x ,x<1且x≠0.当xe x2(1-x） a(1-lna)-1,C正确：令gx)=x(1-nx)-1,x>0,则g'(x)=-lnx, (-x,-1)时，f(x)>0,当xe(-1,0)U(0,1)时，f'(x)<0,故x) 当0<x<1时，g'(x)>0.g(x)在(0,1)上单调递增，当x>1时，g'(x)< 的单调增区间为(-，-1)，单调减区间为(-1,0)和(0,1). 0,g(x)在(1，+x)上单调递减，故g(x)≤g(1)=0.即当a>0时，函 (3)令g(x)=x)+2,则g(x)在(-，-1)上单调递增，在(-1.0)和 数x)的极小值的最大值小于或等于0，D错误，故选C (0.)上单调适减.g(-3)=-号4h2<0.g-1)=2n2-1>0. 8.A解析：因为m>0,不等式20血≥0成立，即20≥血成立， m 得2me2≥lnx.进而转化为2me2=≥xnx重en·lnx成立，构造函 8在(-3.-上有-个零点g(）-号+2子<0 数g(x)=xe,可得g'(x)=e+xe=(x+1)e,当x>0时，g(x)>0, )在(1.-号)）上有-个零点g(）=5-2h20. gx)单调递增，则不等式2血≥0恒成立等价于g(2)≥ g(n)恒成立，即2m≥n年恒成立，进面转化为2m≥血严恒成立. 上有一个零点.所以g(x)在(-x,-1),(-1.0)和(0,1)上各有一个 设(=可得扣当0rcc时，'(e)>0,)单调 零点，即方程代x)+2=0的实数根个数为3. 递增：当x>e时，h'(x)<0.h(x)单调递或.所以当x=e.函数h(x)取 第五章章末检测 得最大值，最大值为（心）=】，所以2m≥】，即实数m的取值范围 1.A解析：由f(x)=2e',可得f"(x)=2e',故f'(1)=2e. 与1寸.a学故 是[品+)）故选 选A. 9.C解折：对于A:f()=子<0，放无论x取何值，/（不可能 2C解析：因为f(x)=e*-x-2,所以f(0)=”-0-2=-1, 等于子放A错误：对于fe)=4,令)}解得 f'(x)=-e-1.所以f'(0)■-e"-1=-2.即切点为(0，-1)，切线的 斜率=-2，所以切线方程为y=-2x-1,即2x++1=0.故选C =号，所以直线y=2+能作为该函数图象的切线，故B正确：对 3 x=- 3.D解析：根据导函数图象知，当x后(1,2)时，f'(x)>0,当x∈(2,4) 时，f'(x)<0,当x∈(4,5)时，f'(x)>0,故A,B正确：所以f(x)在 于C:f)=心，令e=子解得h子所以直线y=子1能作 (1,2),(4.5)上单调递增，在(2,4)上单调递减.x=2是(x)的极大 为该函数图象的切线.故C正确：对于D:f'(x)=-imx[-1,1], 值点，即函数八x)在(1,3)上有极大值，故C正确：函数f代x)的极小 值点为x=4,故D错误放选D. 故无论x取何值，了()不可能等于号，故D错溪故选C 4.A解析：令g(x)=(x-2021)(x-2022)(x-2023),则/x)=(x 204)·g).所以了(x)=()+(-2024)g(x,所以 10BD解析：八x)定义域为xe(0,+x),了'代x)=1-2-2 参考答案黑白题43专题探究4含参函数单调性分类讨论 黑题 专题强化 时：60min 1.(2024·广东梅州高二期中)已知函数f(x)=3.(2024·江苏南通高二期末)已知函数f(x)= (a+1)x-In x. In x-x,g(x)=ax2-2ax,a>0. (1)当a=0时，求fx)在[1,2]上的值域； (1)设曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线为1， (2)讨论f代x)的单调性. 若l与曲线y=g(x)相切，求a; (2)设函数h(x)=f代x)+g(x),讨论h(x)的单 调性 2.(2024·福建莆田高二期末)已知函数f(x)=4.(2024·江西南昌高二月考)已知函数f(x)= -(a1)aaln s.c w-otae ) (1)若a=1,求f(x)在[1,4]上的值域： (1)若a=0,当x≥0时，证明：f(x)≤ln(x+1): (2)讨论f(x)的单调性， (2)若a>0,讨论f(x)的单调性. 选择性必修第二册：RUA黑白题66 专题探究5导数与零点、不等式的综合应用 黑题 专题强化 限时：70min 题组1导数与不等式 题组2零点问题 1,(2024·江苏南通高二期中)已知函数f(x)= 3.(2024·山东济南高二月考)已知函数f(x)= -(a+3)x+alnx(aER)在=1处取得极 x2-alnx(a≥2). (1)若a=2,求曲线y=f(x)的斜率等于3的 大值。 切线方程： (1)求a的取值集合： 2)当1时，求证：九到≥ (2)若八x)在区间[。©]上恰有两个零点， 求a的取值范围. 2.(2024·河北邢台高二月考)已知∫'(x)为函 4.(2024·陕西榆林高二期末)已知函数 数f(x)=(x+a)ln(x+1)的导函数. f(x)=2x++2ln(1-x) (1)讨论∫'(x)的单调性： (2)若a≥2，证明：当x>0时，f八x)>2x. (1)求曲线y=f(x)在点(-1，f(-1))处的切 线方程： (2)求函数f(x)的单调区间： (3)求方程八x)+2=0的实数根个数. 第五章黑白题67