5.3.2 函数的极值与最大(小)值-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

1=-(x-1),即x+y-2=0 5.3.2函数的极值与最大（小）值 (2)函数f(x)=x-加x的定义域为(0，+x),又因为f'(x)=1 第1课时函数的极值 ·二，当a≤0时.了'(x)>0恒成立，函数x)在(0，+)上单 白题 基过关 调递增：当>0时，则当x>时，f'(x)>0,当0<x<a时，f"(x)<0, 1.D解析：令y='(x)的图象与x轴最右边交点横坐标为(>2)， 所以函数(x)在(a,+x)上单调递增，在(0，)上单调递减， 观察图象知，由了'(x)<0,得x<-1或1<0，由f'(x)>0,得-1<x<1 综上可得，当a≤0时八x)在(0，+)上单调递增：当a>0时(x) 或xxo,函数x)有3个极值点-1,1，o,A错误：函数八x)在(-1， 在(a,+x)上单调递增，在(0，a)上单调递就 1)上单崗递增，1)>(0)，B错误：显然2不是函数fx)的极值点， 12.解：(1)因为fx)=xe(k≠0).则f'(x)=eu+xe“,所以f(0)= 则(2)不为(x)的极小值，C错误：最然1是函数(x)的极大值点， 则f八x）有个极大值.D正确.故选D. 0,f(0)=1.故曲线y=代x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=x 2.A解析：观察题图知，当x<0时.f八x)单调递减，f'(x)<0.选项B. 又因为y=x与曲线g(x)=x3+-6相切于点(1，g(1)),且g(x)= D不满足：当0时，函数代x)先递增，再递减，然后又递增，有一个 3ta.所以1)=3+a，解得a=6=-2 极大值点和一个极小值点，则f'(x)的值先正，再负，然后又为正，有 (g(1)=1+a-b=1, 两个不同的零点，A满足，C错误故选A. (2)因为函数八x)在区间[-1,1]内单调递增，当x∈[-L,1]时， f'(x)=(+1)≥0恒成立，因为e>0,故当x∈【-1,1]时， 3.AB解析：由题图可知当x∈(-3，-1)U(2,4)时，f'(x)<0:当xG (-1,2)U(4.+g)时，'(x)>0,则八x)在(-3，-1)，(2,4)上单调 4(1)=k+1≥0， 递减，在(-1,2)，(4，+x)上单调递增，所以x=2是f八x)的极大值 h(x)=+1≥0恒成立，所以《(-1)=-+1≥0，解得-1≤k<0或 点，x=4是极小值点，故A,B正确.C错误：因为x=3不是导函数的 k≠0. 零点，所以八3)不是八x)的极值，故D错误故选AB 0<k≤1.而当k=1或k=-1时.代x)=x(k≠0)均不是常函数，故 若函数八x)在区间[-1,1]内单调递增，则k的取值范围为-1≤k<0 4C解桥：/(0=宁2-2=+2(x-2).当x2时/')=0， 或0<k≤1. 当x∈(-，-2)时.f"(x)>0.f(x)单调递增.当xe(-2,2)时. 压轴挑战 ∫'(x)<0,八x)单调递减当xe(2,+)时，'(x)>0,八x)单调递 f1)f几3) 增.所以f代x)的极大值点是x=-2故选C 1.A解析：对任意的1,0(2.3).且1+2 >1,则 5.D解析：函数x)的定义域为(0.+)，因为f八x)=2-2x-4nx+ )]-)1,0.令g=-.期-g 3,所以”(x)=2x-2-4.2+(2令f'(x)=0,则 ->0. 1一3 2(x+1)(x-2) 由单调性的定义知g(x)在(2,3)上为增函数，g(x)=aln(x+1)+x2- =0,解得x=2或x=-1(含)，列表如下： 则g)≥0在(2.3)上机成立.即42-1≥0，也即a≥-(2 (0,2) 2 (2,+m) 1)(x+1)=-2x2-x+1在(2,3)上但成立，记h(x)=-2x2-x+1,因为 f"(x) 0 4()的对称轴为直线=，所以()在(2,3)上单调递减，所以 f八x) 单调递减 极小值 单调递增 由此表可知，当x=2时，f代x)取得极小值.为f(2)=4-4-4ln2+3= h(x)<h(2)■-8-2+1=-9.所以a≥-9.即实数4的取值范围为 3-4ln2.故选D. [-9,+).故选A 6.1-1解析：由题意得，函数x)的定义域为R 2解：()国为)=2an-(a+4.所以r(-22x-a4由 f"（)=2+10-4.-2-1)(x+0 (x2+1)2 (x2+1)2 八1)=-a-3,了'(1)=a-2,得曲线y=x)在点(1，爪1)处的切线方 令了'(x)=0得x=-1或x=1,则当x变化时，了'(x).八x)的变化 程为ya+3=(a-2)(-1).脚y=(a-2-2a-1.则{2解 如表： -2a-1=b. (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+x) f'(x) 、 0 + 0 （2/'6-2a+2-4-4.2-(a+4)r+2a.-2)(2-a(30.若 x） 单调递减 -1 单调递增 单调递减 由表可以得到，函数代x)在区闻(-，-1)和(1，+)上单调递减 ≤0，则当x∈(0,2)时，f'(x)<0,当xe(2,+)时，f'(x)>0.若0< 在区何(-1,1)上单腾递增，所以当x=-1时，函数有极小值为-1，当 a<4,则当xe（?2）时f'()<0,当xe(0,号）(2.+) x=1时，函数有极大值为1， 四方法总结 时.f'(x)>0若a=4,则厂'(x)≥0在(0，+)上恒成立若a>4,则当 (1)求随数f八x)极值的一般解题岁骤： xe(22)时，f)<0,当xe(0.2.(受，+）时.f(x)>0 ①确定函数的定义城： 综上所述，当a≤0时，八x)在(2，+x)上单调递增，在(0,2)上单调 2求导函数f"（x): ③解方程∫“(x)=0,求出通数定义城内的所有根： 递减：当0<a<4时，八)在(0，号)和(2，+x)上单调递增，在 ④列表检验∫'(x)在了'(x)=0的根和左右两侧值的符号。 (?,2)上单测递减：当a=4时，x)在(0，+)上单调递增：当 (2)根据函数极值情况求参数的两个注意点： ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用 >4时，八)在(0,2)和(：，+）上单调递增，在(2，号)上单 待定系数法求解： ②验证：求解后救证根的合理性 调递诚 参考答案黑白题31 7锅：了0兰f0-2又0-1九在0处的 轴为直线x:子子，可知61)=2x1-1-a≥0或g(2) 切线方程为y+1=2x.即切线方程为2x-y-1=0. 2x22-2-a≤0.解得a≤1或a≥6.故答案为(-0,1]U[6,+). (2)令∫'《x)=0,解得x=2,当x变化时，f'(x),八x)的变化情况如 重难聚焦 下表所示， 16,B解析：记y=fx)=inx+x,函数f(x)的定义域为R,了(x)= (-x,2) (2.+x) 1+ox≥0，故函数f(x)在R上单调递增.又f八0)=0，所以函数 y=mx+x的零点个数为1.故选B. f"(x) + 0 fx) 单调递增 2 单漏递减 7B解折：由题意可知0Pe=令f>0,解得04。 令f"(x)<0,解得0<x<4.故尺x)在(4，+)上单调递增，在(0.4)上 当x=2时，八x)有极大值，并且极大值为2)= 。2,无极小值 单调递减，放当x=4时取极小值，为4)=1-n4<0又)=子> 8.D解析：h题意，xeR,f(x)=3r2+6x,函数八x)=3+3x2+b,在 (2)=2'a+3×22+6=1, =2处取得极值1. 解得a-经检验 0八e3)=-3>0,所以根据零点存在性定理（￥）=0在(1,4). f'(2)=3×22a+6×2=0 (b=-3, (4,e)上各有一解，所以/八x)有两个零点，故选B 满足题意，.-b=-1-(-3)=2.故选D. 18.0kc1或63解折()=e(2-x+1)+e(2x-1)=e(2+ 9.A解析：由f'(x)=(x-1)e=0.可得函数(x)的极值点为x=1,又 由g'(x)=lnx+a+1,有g'(1)=a+1=0.得=-1，经检验a=-1符合 x),当x∈(-0，-1)U(0,+)时厂'（￥）>0，八x)单调递增，当 题意故选A xe(-1,0)时.了'(x)<0,(x)单调递诚，所以(x)的极大值为 10A解折：因为函数)a+2)P+2ar+1,所以 f代-1)=e1[(-1)2-(-1)+1]=3e,fx)的极小值为f0)=e(0 0+1)=1,当x→-m时，f(x)一0，当x+g时，f八x)→+g,且f八x) 的极大值为-1)=3e>0,x)的极小值为f0)=1>0,由上述分 +(a+2)x+2如=(x+2)(x+a.因为函数f()=3+ 析可知，八x)的草图如下： 号)(a+2)2+2+1在x=-2时取得极小值，所以当x<-a或x>-2 时f"(x)>0.当-<x<-2时∫'(x)<0,则-a<-2,即a>2,所以实数 = a的取值范围是(2，+x),故选A 11.C解析：由函数f(x)=er+2x,可得f"(x)=aeg+2.若a≥0. f'(x)>0,此时fx)单尚递增，无极值点，故a<0.令∫‘(x)=ae"+2= 由图象可得当0d1或62时，x)=有1个实数根，故答案为 0解得=之n()当h()时到>0，当< 0<k<1或k>。 3 n(吕）时，fe)0故=h(名)是x=e+2z的 19.解：(1)函数f(x)=x3-3mr+m(m>0)的定义城为R,且f'(x)= 极值点.由于函数∫(x)=e“+2x有大于零的极值点. 3x2-3m=3(-√m)(x+m).令f'(x)>0,解得x>√m或x<-m ()）>0h(子）00c子<1，解得-2放选C 则函数八x)在(-x,-√m),(m,+x)上单调递增：令f'(x)<0, 解得-√m<红<√m,则函数八x)在(-√m,√m)上单调递减，所以函 12.(-￥，-1)U(1,+） 解析：因为八)=3之-2++1，可得 数x)单剥递增区间为(-￥，-√m),(面，+)，单调递减区间为 (-√m,m) f"(x)=x2-2+1,因为函数代x)存在极值点，所以f(x)=0有两 个不等实根.则1=4a2-4>0,解得a<-1或a>1,所以a的取值范同 (2)由(1)知函数八x)在(-x,-√m)上单调递增，在(-m,m) 是(-x,-1)U(1,+x).故答案为(-￥，-1)U(1,+) 上单调递减，在（√m,+)上单调递增，则∫(x)大值=八-√m), 13.5解析：'(x)=x-(a+3)+3=-(a+3)*3和 ∫(x)极小情=√m),且当士一-时，(x)+-,当x+时，x) →+，要使得函数f(x)有三个零点，则需满足 -3)(.”(x)=0时=3或x=a函数定义城为[4.6， -面)=m2+2m面>0，解得0<m<4综上可科，实数m的取值范 、m)=m2-2m√m<0, 在左端点x=4处无法取到极值，a∈(4,6.而aeN”∴a=5,经 围为(0,4) 检晚满足题意.故答案为5， 黑题 应用提优 14(0,含）解斩：令y3-2a=0,得=√医由题意知，当。> 1.C解析：由题图可知，当x<-2时，∫(x)<0,(x)单调递减，当 x多-2时，∫"(x)≥0，x)单调递增，故x=-2是函数y=x)的极小 0时，有，√e0.).甲0c,√<1，解得0子当。=0和ac 值点，y=代x)无极大值故选C 0时.八x)在(0.1)内无极小值，不符合题意 四方法总结 由乎函数图象判斯函数y=八x)的极值，要抓住两点：①由y=∫"(x) 15.(门U6,+)解析：'()：22，因为雨数 的国象与x轴的交点，可得函数y=x)的可能极值点：②由孕函数 f八x)(aeR)在(1,2)内不存在极值点，所以2x2-x-a=0在(1.2)上 y=∫"(x)的图象可以看出y=∫'(x)的值的正负，从而可得面数y= 设有根，即函数g(x)=22-x-在(1,2)上无零点由g(x)的对称 八x)的单调性，两者结合可得板值点 选择性必修第二册，RJA黑白题32 2B解折：因为/'()=22-心3(-2-2=(27D解折：由/)=产+(a-e)。-e+b可得/(=2+ 0(7-50).所以)在(-.（子+）上单调递议在(. (a-e)e'-e=(e+n)(e-e).当a≥0时，由f"(x)>0.可得fx)在 子)上单调递端，所以)的餐大值点为？所以B正确放造区 区间(1.+x)上单调递增：由f'(x)<0,可得代x)在区间(-x,1)上 单调递减，所以(x)在x=1处取得极小值，无极大值，不符合题意当 3.D解析：f'(x)=e'[x2+(b+2)x+6+1】,由题意可知，f"(-1)=0, a<0时，令f'(x)=0,得x=1或x=ln(-a),只有当m(-a)>1,即 1-(b+2)+6+1=0. 八-l)=6e',即 解得b=-4.当b=-4时， a<-e时满足题意，由f(x)>0,可得f(x)在区间(-0,1)， (1-b+1)e-1=6e1, (n(-a),+e)上单调递增：由f(x)<0,可得f(x)在区间 f(x)=。·(2-2x-3),令f"(x)=0.得x=-1或x=3 (1,血(-)上单调递诚，故x)在x=1处取得极大值，所以若函数 (-x,-1) -1 (-1.3) 3 (3,+x】 f八x)在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是(-x,-e),故选D. f'(x) + 0 0 + 8.3解析：当x≤0时f"(x)=6r(x+1),当x<-1时f"(x)>0.当-1< x)单调递增极大值6e单调递诚极小值-2单调递增 x<0时f'(x)<0,因此函数fx)在(-g,-1)上单调递增，在(-1,0】 上单嗣递减又函数代x)是偶函数，于是f(x)在(1，+)上单调递 所以函数的极小值为-23故选D, 减，在(0,1)上单同递增.因此八x)在x=一1或=【处取得极大值。 4.AD解析：由题可得f‘(x)=e[x2+(a+2)x+a-1],x∈R.因为 在x=0处取得极小值，所以函数代x)的极值点的个数是3.故答案 x=-2是函数八x)=(x2+w-1)1的极值点，所以∫(-2)=0.则 为3， 4-2(a+2)+a-1=0,解得a=-1,放f(x)=(x2-x-1)e-1, f'(x)=e1·(x2+x-2)=(x-1)(x+2)e-1,当x<-2时.f'(x)>0. 解析：∫”()=8+2x-m,令()=0，得8+2x=m,由题意知 f八x)单周递增：当-2<x<1时，了'(x)<0,八x)单调递诚：当x>1 时，f'(x)>0,八x)单调递增.故f(x)的递增区间为(-x,-2),(1, +2x=m在区间(1,3)上只有一个变号的根，令g(x)=8+2x」 +),递诚区间为(-2,1).故A正确，B错误：由上可知，代x)的极大 值为代-2)=5e3.极小值为f爪1)=-1.故C错误.D正确.故选AD. 则g=22-,令g(=0,得x=2或=-2（会）.所以当xE 2 5.C解析：f'(x)=3x2+6r+b.因为爪x)在x=-1时有极小值0.所以： (1,2)时，g'(x)<0,g(x)单调递诚：当xe(2,3)时，g(x)>0,g(x)单 -1)=0, /(-1)=0.9 、3-+=0,解得，。或”当 3-6a+b=0. b=9. 调适地又(1)=10g(2)=8,g(3)=如图，所以当me[的 (a=1. b=3 时，f"(x)=3x2+6r+3=3(x+1)2≥0恒成立.所以f(x)在R 10时，8+2x=m在区间(1,3)上只有一个变号的根，即函数) 上单调遇增，没有极值，舍去：当2， 时.f'(x)=3x2+12x+9= (6=9 在(1,3)上有且仅有一个极值点时，m的最小值为的故答案为的 3(x+1)(x+3),令f'(x)=0,解得x=-1或x=-3,所以当-3<x<-1 时.f'(x)<0,x)单调递减：当x<-3或x>-1时，f"(x)>0,x)单 调递增，所以代x)在x=一1处取得极小值，满足题意，所以+6=2+ 9=11,故选C 四重难点拨 已如函数极值，确定函数解析式中的参数时，是注意：①极据极值点 的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用传定系数法求解： ②因为异数值等于0不是此点为校值点的充要条件，所以用待定系 0123￥ 最法求解后必须检险 10.解：(1)由fx)=xsin x+cosx,得f"(x)=sinx+xsx-sinx=xco5x, 6.A解析：函数了(x)=2-2x+nx的定义域为(0，+x),且 所以f'(r)=ew百=-T,义f(π)=rinT+e管=-I,所以函数 f'（x)=2x-24.由于函数(x)存在极值点，即f'(x)=2r-2+ x)在点(，人π)处的切线方程是y+1=一×(x-),即+y r2+1=0. 1=0在(0.+)上有变号零点，由了“()=2如-2+ 1 =0.得a= (2)因为fx)=inx+eowx,0<x<2m,所以f'(x)=inx+eomx 士2京令1士>0则a-,则。的取值意调为y=子在 11 血m令(e)0,则号或经所以当0<受或 （0,+2)上的值域.且需满足-1a=0的4=1-2>0，甲a<宁： 空2=时p0当号受所以在(0 -10当60时=-10 对千y=2 1 号）上单调遥增，在（受受）上单调通诚，在（受：2）上单调 子故4<子即实数和的取值意调是（云，弓），故法入 递，所以当x=时，)取得楼大值/（受）号，当x=时。 四重难点拨 本题考查了导数的应用，根据函数存在极值点求参数的范围，解答 九)取得技小（贺）要放函数）的单调递增区间为(0，。 的关键是求导后，将原问题转化为f”()=2-2+1=0在(0， 受)一（受2=），单调送诚区间为（受受）极大值为受极小 +云)上有变号零点的问题，难南参变分离，结合二次方程以及二次 函数的性质即可求解 值为贺 参考答案黑白题33 1.解：1)当a=3时，代x)=x-4nx-3.则”(x)=1-4+ +1=0的两个解为，=0V-手 ->0.当xE 2 2 x2-4x+3(x-3)(x-1 .由'(x)>0,x>0得0<x<1或x>3:由 x2 (,）时r(<0,单调递流当e( 2 f'(x)<0,得1<x<3所以x)的单调递增区间为(0,1)，(3，+)， a+√a-4 单调递减区间为(1,3) 2 />0单到港道当：（件=）】 (2/'()==a)-》.当0<a<1时.)的单调递增区间为(0. 时f"(x)<0,x)单调递减综上，当a≤2时，(x)在(0，+x)上单调 2 a).(1,+x),单调递或区间为(a,1).故此时f(x)的极大值为 提减：当>2时)在(0，）上单调谴减.在（色✉ 2 2 a)=a-1-(a+1)lna.极小值为f代1)=1-a:当a=1时，f'(x)≥0. 即x)在(0，+)上单调递增，此时f(x)无极值：当>1时，八x) 今一）上单调适猫，在（仁二+）上单莲减 的单调递增区间为(0,1)，(a,+x),单嗣递减区间为(1，a),故此 时八x)的极大值为f代1)=1-a,极小值为f八a)=a-1-(a+1)lna.综 (2)由(1)知，>2，且1+2=，1两=1，所以f(1）f()=- 2 上所述，当0<a<1时，fx)的极大值为f代a)=a-1-(a+1)lna,极小 值为(1)=1-a:当a=1时，八x)在(0，+x)上单调递增，此时x） 无极值：当a>1时.f(x)的极大值为f1)=1-a,极小值为f尺a）=a- 21因为2.)2>3.所以))的取值 1-(a+1)lnm. 范围为(3，+). 12解：1当=2时.八=亏+2.则r(=-+2 四重难点拨 解决板值点问题，通富求导转化为导数根的问腿，结合根与参数的 (x-2)(x-1),故x∈(-，1)U(2,+x)时，"(x)>0,xE(1,2) 时，f'(x)<0.故f(x)在（一，1），(2，+)上单调递增，在(1.2)上 关系可将双支量问题转化为单变量问题：而恒成立问题，通常采用 参变量分离，转化为函数最值问题，利用亭数加以解决， 单调造诚，即风有极大筑1)=了2=。，有极小值2)= 第2课时 函数的最大（小）值 244号 白题 基础过关 (2)f'(x》=x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1),由a为正实数.当a=1 1.C解析：函数x)=x+1在区间[-1,1]上的最值点为x=士1，没有极 时，∫"(x)≥0恒成立，故爪x)单调递增，此时不可能有两个零点，不 值点，可排除A,B选项：在闭区间上的连续函数必存在最值点，故 符合题意，当a(0.1)时，(-，a)U(1,+x)时，f'(x)>0. D错误.故选C. 2.A解析：，(，b)为开区间.最小值点一定是极小值点.又极小值 x(,1)时，∫'(x)<0,故八x)在(-x,a).(1.+)上单调递增 点处的导数值为0，∴充分性成立：令x)=x,当0=0时，了'(x)= 在(a,)上单调递减，即x)有极大值0)=_（a+)口+m2。 3 2 0,结合幂函数图象知八x)无最小值，必要性不成立，∴.“函数爪x)在 1a+1,a1 区间(a,b)上有最小值“是“存在0后(a,b),满足∫'(x知)=0”的充 6+之有概小值1)=32a ?6,由函数)有且仅 分不必要条件，故选A 有2个零点，故0口20 62=0或”1 26=0,即a=0或a=3或4= 3.A解析：由f八x)=sinx-xcsx,可得f'(x)=sin,因xE[0,r], 故inx0,则f'(x)≥0.即八x)=imx-x%x在[0，m]上单调递增， 子又ae(0,).放a=时成立：当ae1,+云)时，e(-, 故当x=0时，f(x)=0,当x=r时.∫(x)=r,故选A 4.4C解析：由题意得y=6x2-6x-12. 1)U(a,+x)时，f'(x)>0,x∈(1，a)时，f"(x)<0故f(x)在 令y'=62-6x-12=0,则x=-1或x=2 (-,1),(,+x)上单调递增，在(1，：)上单调递减，即代x)有极 当-2<x<-1时.y'=6x2-6r-12>0:当-1<x<1时，y'=6x2-6r-12<0, 大值1)=1+上 故x=-1是函数的极大值点， 32+ 26,有极小值/a)=。_(a+1)a2 32 则函数在[-2.1门上的最大值为2×(-1)3-3+12+5=12，故4正确， a2=-al a 6+2,由函数代)有且仪有2个零点，故-+ 6 2=0成 B错误： 而当x=-2时，y=1,当x=1时，y=-8,故函数在[-2,1]上的最小值 26=0,即a=0或a=3或a=子，又a后(1，+)，放a=3时成 a I 为-8.故C正确，D错误.故选AC 四重难点拨 1 立综上所述，a=3或a=3 (1)若函数f孔x)在闭区问[a,b们上单调递增或单调递减，则f代a)与 压轴挑战 八)一个为最大值，一个为最小值 (2)若面数x)在园区间[a,b们内有授值，要先求出[a,b]上的授 1 解：(1)/(x)=-22+m-l血，e(0.+0)/()=-x+a- 值，与f爪)，)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表 2-①当a≤0时.2-+1>0/'(x)<0.:)在(0，+)上单调 完成 (3)若函数(x)在区同(a,b)上有唯一一个极大（或极小）值点，这 递减：②当a>0时.令x2-r+1=0.△=a2-4.若0<a≤2,4≤0.x2-r+ 个极值点就是最大（成最小）值点，北结论在导数的实际应用中经 1≥0f‘(x)≤0，f八x)在(0，+x)上单调递减：若a>2,4>0.设方程x2- 含用到， 选择性必修第二册，RUA黑白题34 5.1解析：因为x)=(-4x+1)e,所以(x)=(-4-3)e,当x∈[0， 1]时f'(x)<0,所以函数f八x)在[0,1]上单湖递诚，所以f(x)= 递增函数x)在x=-1处取得极大值为-)=1日 f代0)=1×e”=1,故答案为1. 在x=n2时取得极小值为八1n2)=-(1n2)2,且代1)=e-3<-1). 6.1解析：当xe(-2,0)时，-x∈(0,2)，所以-x)=加(-x)+x 当D1时，令=2-561解得1≤3元 又因为f代x)是奇函数，所以(x)=-(-x)=-(-x)-x,所以当x∈ (-2,0)时.x=-n()-,”=-1=4 作出x)的大致图象，如图所示，由图可知，m的取值范围为-1 x 令f'(x)=0,所以x=-1. 3]故答案为[-13] 所以f(x)在(-2，-1)上单测递诚，在(-1,0)上单调递增， 所以x)m=/-1)=-山1+1=l, 所以当x@(-2.0)时，f八x)的最小值为1.故答案为1. 7.B解析：由题意可知，'(x)=3x2-2-1,令f'(*)=0,解得x=1或 x=3（会).当0≤<1时，f"()<0:当1<x≤2时.f'(x)>0所以 函数八x)在[0,1)上单调递减，在(1.2]上单调递增.所以f八0)■a, 八1)=a-1,八2)=+2，则2)最大，所以当x=2时，函数八x)取得 最大值为(2)=a+2由题意可知，4+2=3，解得a=1,所以a的值为：13.解：(1)函数x)=2nx+2-3x(aeR)的定义域为(0，+x),且 1.故选B. /x)=2+2-3.因为x=2是x)的极值点.所以/”(2)=0，所 &A解折f'(s)1,其中e当a≤e时)0，故) 以如-2=0，解得a=宁当a号时，0=2h+行2-，则 在(，+x）上单调递减，此时fx)在(e,+x)内无最值当>e时，若 xe(e,a),则f'(x)>0,若xe(a,+,则f'(x)<0,故fx)在(e,a): /0=2+r-3-32当0c<1或2时./(>0：当1cc2 上单调递增，在(a,+x)上单调递减，故f(x)在x=▣处取最大值，故 时，∫'(x)<0,所以爪x)单调递增区间为(0,1)，(2.+%).单调递诚 选A 区间为(1.2). 9.B解析：因为函数f(x)的定义域为(0，+).所以由题意可知， (2)由(1)作出∫'(x),八x)随x的变化情况表如下： 1)=-2/'(1)=0.面f(x)=4-6 ￥子，所以6=-2.a-6=0,即 (1.2) 2 (2.3) 3 4-2,6=-2,所以f”(x)-二+二.因此函数八x)在(0.1)上单调】 f'(x) 0 0 + 递增，在(1，+)上单调递减，x=1时取最大值，满足题意，即有 八x) 1 单调 极大值单调极小值单调 f'(2)=-1+1 八3) 递增 1) 递减八2) 递增 4 10.B解析：函数x)=++3nx的定义域为(0.+)，了'()=1 所以)在[行3]上的最大值只可能在)成3)处取到。 4,3.243-4+4)(-卫.令”(x=0可得x=1或x-4 9 x 1=之，3)=2h32而3)-1)=2h3-2>0,所以 (含)，当0cx<1时，f'(x)<0.当x>1时，f'(x)>0,所以fx)在(0， 在[片3]上的最大值为2山3号 1)上单调递减，在(1，+x)上单调递增，所以八x)在￥=1处取得极 小值，即最小值.又因为函数(x)在(4,2-3)内有最小值，故0≤< 14.(1)解：设切点为P(o,+m),则了'()=1由f”(x= +2有1 1 1<2-3知，解得0≤0<子所以n的取值花围是 ,兮）故选 +2解得=-1，于是m-1=0,得m= 1.。解折：因为到=-h,所以f'(到=a=若a≤0， (2)证明：构造函数g)=x+1-ln(x+2),其导数g()=1-中2 则x)在(0，+x)上单调递减，无最小值.若a>0,则八x)在0， ,当xE(-2.-1)时.g'(x)<0:当x∈(-1，+实)时，g()>0所 x+2 )上单润减，在（*）上单测增，所以) 以g(x)在区间(-2，一1)上单调递诚，在区间(-1.+g）上单调递增. 所以g(x)>g(-1)=0因此对于xe(-2,-1)U(-1,+),总有x+ /(日）1+ha=0,解得。=故答案为 1>n(x+2).即除切点P(-1,0)外，直线1总在函数f八x)的图象的 上方 2] 解析：当x≤1时，f'(x)=(x+1)(0-2). 15.解：（1)由题意知)的定义域为(0，+)，了'()=-g+ 令f'(x)>0,则1n2<x≤1或x<-1:令f'(x)<0,则-1<x<ln2, 当a≤0时，x->0,'(x)>0恒成立，八x)在(0，+e)上单调递 ÷函数x)在(-1，lm2)上单调递减，在(-x,-1).(1n2,1]上单调 增，x)无极值：当a>0时，若xe(0,),f'(x<0:若xe(a, 参考答案黑白题35 +e),了'(x)>0,八x)在(0，a)上单调递减，在(a,+x)上单调递： 值域为[2，e2-1].故选A 增，∴f代x)的极小值为f代a)=1+na,无极大值综上所述，当a≤0 四方法总结 时，x)无极值：当>0时，代x)的极小值为1+血：，无极大值. (1)利用导数求函数风x)在[a,b]上的最值的一薇岁骤： (2)当a≤1时，f'(x)≥0在[1，e]上成立，f八x)在[1，e上单 ①求语数在(，b)内的被值：②求函数在区国端点处的函数值 调递增，f(x)n=1)=a;当1<a<e时，若xe[1,a),f'(x)<0: 八a),八b):③将随数f代x)的各板值与八a),八b)比较，其中最大 若xe(a,e】,f'(x)>0f代x)在[1，a)上单测递减，在(a,e]上单调 的为最大值，最小的为最小值， 递增f(x)n=八a)=1+na:当a≥e时，f'(x)≤0在[1，e]上恒 (2)求面数在无穷区间（或开区问）上的最值，不仅要研究其校值情 成立，x)在1.e]上单调递减f()m=e)=:+1.综上所 况，还要研完其单调性，并通过单调性和授值情况，画出西数的大致 图象，然后借助图象观察得到函数的最值， a,n≤l, 1+In a,I<a<e, 3.B解析：由题意可知，直线y=m与直线y=x的交点为A(m,m),直 述，八x)在[1，e]上的最小值g(a)= 线y=m与曲线y=4红-加x的交点为B(0,m).满足m=40 a +1,a多 e In xo(0),ABI=Izo-ml I3-(4xp-In xo)I=IIn xo-3to1= 重难聚焦 13。hl,设=3数-血，o0,期f"()=3,由f'(x)>0,甜 16.A解析：：f八x)≥1，即a+xnx≥1，，≥1-xnx在[1，+x）上恒 成立.令g(x)=1-xnx,g'(x)=-1-h无xe[1,+x）,.nx≥ 写：r)<0,得0<写所以在(0，写)上单测递减，在 0,-1-lnx≤-1g'(x)=-1-lnx<0,g(x)在[1，+x)上单调递 减，g(x)≤g(1)=1,即a≥1.故实数a的最小值为1，故选A 1.A解：面存在x[…]，使得不等式2h-m+3≥0成 即AB的最小值为1+n3,故选B 4.C解析：f'(x)=(x-2)e'+x-2=(x-2)(e'+1),则当x>2时， 立.得≤2+在[片]小上有解，令=山 则 f'(x)>0.当x<2时.f"(x)<0,即f(x)在(-，2)上单嗣递减，在 (2.+x)上单调递增，即f八x)在x=2处取得最值，则有2m-2<2< y3》.故当e[片）时y<0,此时)=2 3+m,解得-1<m<2.放选C. 5.B解析：因为f八x)=rlnx(a∈R),所以f'(x)=a(nx+1).由题 单调递或，当xe(1,e]时，少0，此时)=2mx+3单调遥递增.故当 意，易知：≠0若a>0.当x短(0，e1)时∫'(x)<0x)单调递减，当 x∈(e',+)时f"(x)>0尺x)单调递增，所以f八x)在x=e时，取 =时y=3+2,当=e时=2++又(+2） 得最小值.即f(e1)=aene1=-1,解得a=e:若a<0.当xe (0,e)时'()>0x)单调递增.当xe(,+)时f‘(x)<0, (2+e+2）-2-4>0.故数=2加+2的最大值是3 八x)单调递减，所以八x)无最小值，故会去综上，实数a=心 L-2.即m≤30+2.放选入 6D解折：f'e=2o-2m=2(m）广分当e0, 四方法总结 三]时)≤0，九在[0，]上单调适减，当e[臣=] 恒成立与存在性问题的转化： ①对YxeD,fx)<a恒成立fx)<a. 时，'()≥0，)在[受]小上单满递棉)在x“受处取极小 ②对VxeD,fx)a但成立fx)m>a ③对3xeD,fx)<a能成立-fx)m<a 值，也是最小值为/（号）=号2.0)=0.八m)=,)在[0， ①对3x∈D,fRx)>n能成立x)>a π]上有两个零点，所以AC错误，BD正确，故选BD, 5对HxeD,爪x)<g(x)恒成立问[x)-g(x)]n<0 7.A解析：当x=0时.八0)=1>0.当x<0时，f八x)=x2-r+1>0恒成 ⑥对3reD,fx)<g(x)能成立-[x)-g(x)]m<0. ⑦对Hx1eD,H2eD.使猎八x,)>g(2)→x)mg(x)m 立等价于a>+士恒成立.因为当x<0时，(+）】 =-2.所以 ⑧对3x1eD.32eD.使得f代x1)>g(3）→fx)a>g(x)m >-2.当x0时，fx)>0恒成立等价于a<nr+x恒成立.记g(x)= ⑨对Hx1eD,32∈D,使得八x1)>g(为)→x)>g(x)m xnx+x,则g'(x)=nx+2,g'(x)在区间(0，+)上为增函数，并且零 黑题 应用提优 点为：=子当e(0,）时，ge)<0g()单调道减：当e 1.D解析：由函数x)=(x+1)e,可得∫'(x)=(x+2)e,当xe 「-3.-2)时，f"(x)<0:当xe(-2,4]时，f"(x)>0所以f八x)在 +)时.g()>0,g()单调递增，因此g() 「-3，-2)上单调递减，在(-2.4]上单调递增，当x=-2时，函数取得 极小值，也是最小值，所以最小值为代-2)=-，故选D. (仔）所以鉴上-2a<放迹 2.A解析：由f(x)=e-x+1,可得f'(x)=e-1,当-2≤x<0时， 8D解析：∫'(x)=e(x+1)3+e·3(x+1)2=e(x+1)2(x+4),当 '(x)<0,所以八x)=e-x+1在[-2,0)上单调递诚当0<x≤2时， xe(-关，-4)时.∫(x)<0,f八x)单调递诚，当xe(-4.+)时， f'(x)>0.所以八x)=e-x+1在(0.2]上单调递增.又代-2)=e2+3. f'(x)≥0，f八x)单调递增，-1)=0，且当xe(-,-1)时，f八x)< f代0)=2.f2)=e2-1>e2+3.所以函数f代x)=e'-x+1在[-2.2]上的 0.画出函数的大致图象，如图.对于A,所以(x)有极小值为 选择性必修第二册，RJA黑白题36 代-4)=-27e,即x)有最小值但没有最大值，故A正确：对于B, a-2b=0, 对于任意的x∈(-，-1)，恒有八x)<0,故B正确：对于C,(x)仅 线y=-之相切，所以了”(1)=0.1)=-习 1-b= 1解 有一个零点，故C正确：对于D,八x)只有一个极小值点，故D错误. 2 故选D, fa=1, 1b2 2)解：(1)知到=h子，f'代e到=当上 时，f(>0,当1ce时.了()0，所以)在（仁1）上单调 9.AC解析：设八x)=x+e',则八x)在R上单调递增爪b)-八lna)= 递增.在，。)上单调递诚.所以f()1)即()在 bte-(In atel")a+in a-(In ata)=0..6=In a.a=e"...a- 6每e3-b.令g(x)=e-x,则g(x)=e-1,当x<0时，g'(x)<0.g(x)单 []小上的最大恤为-号 1 测递减，当x>0时，g(x)>0,g(x)单调递增∴(x)≥g(0)=1,从而 (3)证明：要证明当>0时，g(x）>-x-1.即证xe-x2-2x-1>-x-1, a-b1.故AC符合.故选AC 则xe-x2-x>0,即e--1>0.今h()=e-x-1(x>0),则 10,2n2-2解析：由题意知八x)≤八0)恒成立，所以y=xo)为函数 h'(x)=e°-1>0，所以h(x)在(0，+0)上单调递增，则h(x)>h(0) )=2nx的最大值了”(=2-1.令"(>0，解得0<<2 0,故e-x-1>0在(0.+x)上恒成立.即e-x2-2x-1>-x-1.证毕 令了'()<0.解得x>2,所以函数f八x)在区间(2，+x)上单调递减， 14解：0)因为f=。,期了)=0，即1-m=0,所以a 在区间(0,2)上单调递增，所以f(x),=f(2)=2ln2-2.故答案 为2n2-2. 1,此时f'()=,满足题意，故a= (*） 解析：由八x)的图象经过第一象限，得3x>0,使得 （2)当a1.e]时，由=0可得a令g)-其中 )>0,即2a>g,设g=(>0),求导得g=》,当 x2 xe[1,e2],则直线y=口与函数g(x)在[1，e2]上的图象有两个交 0<<1时，g'(x)<0.当x>1时.g'(x)>0..函数g(x)在(0,1)上单 点，g)=1-n,当1Ke时.go)>0,此时函数g)单调递增， 调递减.在(1，+x)上单调递增，则g(x)=g(1)=,则有2>e, 当<x<e2时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减所以函数g(x)的 即a>气心实数a的取值范国是 极大值为g(e)= 。且1=0，g-子，如图所示由图可知 2 四方法总结 恒（能）成立何厕的解法： 当子≤ac时，直线y=n与函数g()在[1，]上的图象有两个 e 若(x)在区可D上有最值，则 ①恒成立：xeD.f(x)>0-f(x)m>0:VxeD,∫(x)<0一 交点因此，实数a的取值范围是 x)u<0: ②能成立：3xeD,f(x)>0=/(x)m>0:3xeD,f八x)<0台 =书T) 尺x)<0 若能分离常数，则可以将问题转化为a>fx)(成a<八x)),则 ①恒成立：a>水x)a>/八x)mia<小x)台ts小x)mm: 0 ②能成立：>x)>x)mu<代x)台a<八x)n 压轴挑战 12.4解析：依据意可知)n≤gm 1 解：(1)函数)归34+4，求导得∫"(x)=-4,则厂'(3)=5，所以 )e-1则f'=0 所求切线方程为y-1=5(x-3),即5xy-14=0 当2≤x<F时.f'(x)>0:当6<x≤3时，f'(x)<0. (2)由(1)知，∫'(x)=(x-2)(x+2),当x<-2或>2时，f'(x)>0. 所以代x)在[2，e)上单调递增，在(，3]上单周递减， 当-2<<2时(x)<0,则函数八x)在(-￥，-2)和(2，+x)上单调递 增，在(-2.2)上单调递减.当x=-2时，函数(x)取得极大值f(-2)= 所以x)=)=云 当2时，函数)取得极小值2)-兰由心登即 g(x)=2+a在[1,2]上单调递增，则g(x)m=g(2)=4+a, 所以≤，所以。≥4，即的小值为 -44得2-12-160.2g-4)=0,期得-2 2e -4, 4 1 故答案为4 x4由)加一子，即 2-4+4兰得-12+16=0.即 (x-2)2(x+4)=0,解得x=2或x■-4. 13.(1)解：由题可得了'(x)=-2x,因为曲线y=(￥)在x=1处与直 作出函数f(x)的部分图象，如图. 参考答案黑白题37 300000=120 8000+8mr-64m）+300000=30000+ 120(000+8mr）-7680m(re[30.401).令A(r)=8000+8m A=8m2-8000,当6（=0时.解得，=100元340.所以在 2 2 [30,40]上h'()<0恒成立.所以h(r)在30,40]上单调递藏，所以 因为f(x)在区间(a,口+5)上既有最大值又有最小值，则有 函数y在[30,40]上单周递或.因为re[30.40],所以当r=40时.运 4运a<-2解得-3<a<-2,所以a的取值范围是(-3，-2)， 动场造价最低为636510元 (2<a+5≤4. 6.解：(1)由题意得，销售收人为200x万元当产量不足50万件时， 第3课时导数在解决实际问题中的应用（选做） x)=1202+160.利润为x)=200x-x·p()-300=200r-, 白题 基础过关 1.D解折：由题.=2=(f-)石+石，故 (品2+160）30：品+40-30：当产量不小于50万件时， =201640.1460.利润为=2r-p(x）-300=20r- 2 x201+64001460 1160.所以利润函数的解析 >0,当时，矿0，放当6=时取最大值放法n 2 300=-x-6400 2.5150云解析：设该容器的底面半径为，m,高为4m,表面积 x3+40x-300.0cx<50. 120 为5m2由4=250，得=9所用村料最省即该容器的表面积 式为代x)= 6400 +1160.x多50 最小，期S=2a2+2mh=2,500开.令函数)=2m2,50 ,>0. (2)当0<<50时.f'(x)=40(x+40)(x40).所以当0<x<40 则/'(x=4(125,当0<r<5时，(x)<0.x)单调递减.当 时，f'(x)>0,八x)在(0.40)上单调递增：当40<x<50时，f'(x)< 0.几x)在(40,50)上单调递减.所以当x=40时.八x)取得最大值 >5时，"(x)>0,八x)单调递增，要使所用材料最省，则该容器的底 八40)=2300 面半径为5m,表面积为150mm2.放答案为5：150m 20,当≥0时，f)-(+60）1160≤ 四方法总结 -2,,64001160=10,当且仅当x=,即x=80时，等号 管先分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确 2300 定酒数的定义城，通坟倒造在闭区问内函数取镇的情境，再通过研 成立，又1000> 故当x=80时，所获利润最大，最大值为 3 究面数的性质，使问题得到解决 1000万元. 3.解：(1)依题意，无盖方盒的底面正方形边长为(12-2x),高为x,显然 0<x<6,所以方盒的容积V(x)=(12-2x)2·x=4r(x-6)2(0<x<6), 9+7x-14.0<x<10. 7.解：(1)由已知可得，C(x)= 所以P(x)= (2)由(1)知，(x)=4x(x-6)(0<x<6),求导得"(x)=4(x-6)2+ 6x+Inx 16-13,x≥10. 8x(x-6)=12(x-2)(x-6),当0<x<2时，V(x)>0,当2<x<6时， "(x)<0,所以函数V(x)在(0.2)上单测递增，在(2.6)上单调递减， 9 -I -+11.0x<10, 因此当x=2时，V(x)=128.所以无盖方盒的容积V(x)的最大值 6r-3-C(x）= 为128，此时x=2 -In x- 16+10.x≥10 4。C解析：由题意可知，圆社的高么满足h=8m,则=产，故所用 (2)当0<x<10时，x+ 2多-6，当组收？即3时 材料面积为y=㎡+2=r+1求蜂可得S”=2- 16m 等号成立，所以P)=-号+11≤-6+11=5，即当0<<10时. 2m-8),故当0<r<2时，S<0,S单调递减：当>2时，S">0,S单调 R≤(3)=5当≥10时，P到=-h610,则P() 递增.故当r=2米时，S取得最小值故选C. 5.解：(1)塑胶跑道面积S=m-(-8)2]+8×1000- Cx2-80000 =6当10≤<16时，有P产()0.所以P()在[10,16)上单 2r 调递增：当x>16时.有P'(x)<0,所以P(x)在(16，+x)上单调递减 8mr-64π.因为m2<10000.又因为r>8,所以8<r< 0,故定义域为 所以当x≥0时，P(x)在x=16处有唯一极大值.也是最大值 P(16)=-h16-16+10=-4n2+9=-4x07+9=62且P(16)> P(3),所以当年产量约为16万件时，该产品所获年利润最大，最 (2)设话动场造价为y元，则y=150S+30(10000-S)=1205+ 大年利润为6.2万元 选择性必修第二册，RUA黑白题38 题 应用提优 为1250x150=187500(元).xm表示较短德壁长，0<r2500 2x 1.B解析：由题意，利润函数g(x)= 6+ar2+-(2*x)(0s101. 解得0<<25反.池壁的总维修费用表达式为()=2×25+ 4k 即g)=62+a2-2.则1 = 2 -×33+9a-2.解得a=2.故 6 .5 20(0<5).r0器5m 2 1 g)▣6+2x2-2.则g(x)归2+4■2(x-8).令g(x)> ! 8k3-125000 0有0<r<8.令g'(x)<0有8<g≤10.故要使销售利润最大，每年需种 25x ,令f'(x)=0,解得x=25,当x∈(0,25)时，f"(x)< 植莲藕8万斤.故选B 0:当x∈(25,252)时，f"(x)>0,,f八x)在(0,25)上单闆递减，在 2.B解析：设点A,B在抛物线上，若A(x,6x-x2),x∈(0,3)，则点B的 (25,252)上单调递增，.当x=25时，x)取得最小值.即此时泳池 坐标为(6-x,6x-x),所以矩形ABCD的面积可表示为S(x)= 的总维修费用最低故答案为25 (6-2x)(6x-x2,xe(0,3),则S(x)=-2(6r-x2)+(6-2x)2=6r2- 压轴挑战 36r+36,令s(x)=0,解得x=3-3或x=3+5(舍去)，可得S(x)在3520m4解析：设原来定海神针长为am.1秒时神针体积为(). (0,3-3)上单调递增，在(3-√了，3)上单调递减.所以矩形的最大面 则(0=T(12-t)2,(a+20),0≤t≤8，则V(t)=[2(12) 积为S(3-√3)=23×6=12w3.故选B. ! (a+20)+20(12-t)21.:当底面半径为10m时其体积最大.∴，10= 3.C解析：设容器底面宽为xm,则长为(x+0.5)m,高为(3.2-2x)m, 12-4,解得1=2，此时(2)=0，解得a=60.∴.V()=r(12-1)2· 所以0<x<1.6.设容器的容积为ym3.则y=x(x+0.5)(3.2-2x),y= (60+20).0≤1≤8."(1)=60m(12-1)(2-1),当1e(0,2)时.'(1)>0. -6x2+4.4x+1.6.令y'=0,得x=1(负值已含去).所以函数y在(0,1) 当1c(2.8)时，V()<0,.V()在(0,2)上单调递增，在(2.8)上单调 上单调递增，在(1,1.6)上单调递减，所以当x=1时，y取最大值.此 递减：V(0)=8640m,V(8)=3520m,当1=8时，V()有最小值.最 时底面的宽为1m.故选C 小值为3520：，此时金箍棒的底面半径为4m故答案为3520m:4. 4.AD解析：设年利润为F万元当0<x写10时，W=xR(x)-(10+ 27e8010.=81- 10令r=0,得x=9(竟值已会去). 5.3阶段综合 且当x∈(0,9)时.W>0:当x∈(9,10]时，”<0，所以当x=9时，年 黑题 阶段强化 利润W取得最大值38.6.当x>10时，W=xR(x)-(10+27x)=98- 1,B解折：当<0时.e产>0.=产<0，排除A.:因为/'( 1021r27令r0得四真位已合去.所和 3x 2m2-心_(2-》，所以当0<时，f'()<0.f)在(0. 当：一得时，年利润甲取得最大值3双因为3说6>8所以当年产量 x2 为9000件时.该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最 专）上单调递政，当D时，)>0，)在（行*=）上单调 大，且年利洞最大值为38.6万元.故选AD. 递增.排除C,故选B 5.ABC解析：山题意知，方盆的底面是边长为(4-2x)的正方形，高为 x.其中0<x<2.则方盒的容积为V(x)=￥(4-2x)2(0<x<2), 2A解析：由)=求导可得/(x)=2x,因为八)在(2. '(x)=(4-2x)2-4x(4-2x)=(2x-4)(6r-4)=4(x-2)(3x-2),则 +运)上单测通增，所以在e(2.+)时，/()：2-学≥0， 当xe(.号)时，r>0:当xe(2）时.r(0<0) 即m≤2x3.而当e(2.+云)时.2x3>16.所以m≤16，故选A. 在(0，号)上单调递，在（，2）上单递减V(= 3.C解析：因为f(x)=x(x+c)2=x3+22+c2x,所以'(x)=3x2+ 4cx+c2,依题意可得f"(2)=0,即3×4+8c+c2=0.解得c=-2或e=-6 r(号)产器无最小值AC正确.D错误 当e-2时./0e=3-8+4=(3-2-2.令')0，得号 6】解桥：设B商品需投x千元(0≤x≤5)，则A商品需投人 2,令f"(国>0，得号或2.所以)在(-.号）上遥地。 (5-x)千元，所获得的总收益为S(x)千元，则S(x)=2(5-x)+ 2= 在（行，2）上递政，在(2+）上递增，所以✉)在=2处取得极 4n(2x+1)=4ln(2x+1)-2x+10(0≤x≤5)，可得S'(x)=4 2x+1 小值，符合题意：当c=-6时，'(x)=32-24x+36=3(x-2)(x-6), 3 %“当0≤62时，可得()20，函数5()单调递增当之3 令f'(x)<0,得2<x<6,令f(x)>0,得x<2或x>6,所以f(x)在 (-∞，2)上递增.在(2.6)上递减，在(6.+)上递增.所以f(x)在 3 5时，可得S(x)<0,函数s()单调递减所以当x=2时，函数(x) x=2处取得极大值.不符合题意综上所述，c■-2故选C. 取得最大位故答案为号 四易错提醒 利用f'(2)=0求出·后.要验证函数八x)=x(x+e)2在x=2处是 7.25解析：由题意知.池底面积为 500 一=1250(m2),则池底推修费用 2 否取得极小值 参考答案黑白题395.3.2函数的极值与最大（小）值 第1课时函数的极值 白题 基础过关 限时：60min 题组1函数极值的概念 D.f(3)是f(x)的极小值 1.(2024·江苏镇江高二月考)设f'(x)是f(x) 题组2利用导数求函数的极值（点） 的导函数，y=∫'(x)的图象如图所示，则下列 4.(2024·福建龙岩高二月考)函数∫(x)= 说法正确的是 ( A.f(x)有两个极值点 。x-2x+2的极大值点是 y=(x) B.f(1)<f八0) A.x=2 B2》 C.f代2)为f(x)的极小值 D.f八x)有一个极大值 C.x=-2 n(2) 2.(2024·江苏盐城高二期末)已知函数f(x)在 5.(2024·陕西宝鸡高二月考)已知函数f(x)= 定义域内可导，(x)的图象如下，则其导函数 x2-2x-4lnx+3.则f代x)的极小值为() f'(x)的图象可能为 ( A.2 B.2-3ln2C.ln2-3D.3-4ln2 6.函数f(x)= 2x的极大值为 ,极小 x2+1 值为 7.(2024·山东泰安高二期中)已知函数 (1)求f(x)在x=0处的切线方程： (2)求f(x)的极值. D 3.(多选)(2024·广东佛山高二月考)如图，这 是函数f代x)的导函数的图象，则 3-20 A.f八(x)在x=2处取得极大值 B.x=4是f(x)的极小值点 C.f(x)在(1,3)上单调递减 第五章黑白题53 题组3 已知函数的极值求参数的值或取值 重难聚焦 范围 题组4函数的极值点与函数的零点、方程的根 8.(2024·山东菏泽高二月考)若函数f(x)=ax3+ 16.(2024·四川广安高二月考)函 3x2+b在x=2处取得极值1，则a-b=( 数y=sinx+x的零点个数为 A.-4 B.-3 C.-2 D.2 9.(2024·天津滨海新区高二月考)已知函数 A.0 B.1 C.2 D.3 f(x)=(x-2)e与g(x)=xnx+ax有相同的极 17.(2024·山西吕梁高二期末)函 值点，则实数a= ( 数f代x)=子l血x的零点个数为 A.-1 C.2 D.In 2+1 ( ) 10.(2024·江苏无锡高二月考)若函数f八x)= A.1 B.2 C.3 D.4 3+a+22+2ax+1在x=2时取得我 18.(2024·湖南岳阳高二期中)函数f(x)= 小值，则实数a的取值范围是 e'(x2-x+1)(e为自然常数)，方程f(x)=k A.（2,+0) 恰有1个不等实根，则k的取值范 B.[0,2] 围是 19.(2024·浙江台州高二期中)已知函数f(x) C.(-0,2) D.(-0,2)U(2,+∞)》 x3-3mx+m2(m>0) 11.(2024·福建莆田高二期中)若函数 (1)求f(x)的单调区间： f(x)=e“+2x有大于零的极值点，则实数a (2)若f(x)有三个零点，求m的取值范围. 的取值范围为 ( 1 A.a>-2 B.a>- 2 C.a<-2 D.a<-2 12.(2024·吉林长春高二期末)若函数f(x)= -a2+1存在极值点。则实数a的取值 范围为 13.(2024·福建福州高二月考)已知函数f八x)= 之-(a43)+3ah+2在[4,60)上存在极值 点，则正整数a的值是 14.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值，则实 数a的取值范围是 15.函数f(x)=x2-aln(2x-1)+b(a∈R)在 (1,2)内不存在极值点，则a的取值范 围是 选择性必修第二册：RJA]黑白题54 黑题 应用提优 很时：60min 1,(2024·河北衡水中学高二月考)如图是函数 B.(-,2) y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，下列结 论正确的是 ( c(x,2] D.(-,2] 7.(2024·安徽六安高二月考)已知函数f(x)= -1012 2c+(a-e)e-aee+b(其中a,beR,e为自 1 A.y=f(x)在x=-1处取得极大值 然对数的底数)在x=1处取得极大值，则实数 B.x=1是函数y=f(x)的极值点 a的取值范围是 ( C.x=-2是函数y=f八x)的极小值点 A.(-,0) B.[0,+o) D.函数y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减 C.[-e,0) D.(-o,-e)） 2.已知函数f(x)=(x-1)2(2-x)3,则f(x)的极 8.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≤0 大值点为 ( 时f(x)=2x3+3x2,那么函数(x)的极值点的 A.1 B. 7 5 个数是 C.-1 D.2 9.(2024·河南开封高二期末)若函数f(x)= 3.(2024·重庆沙坪坝区高二期末)若函数 8nx+x2-mx在(1,3)上有且仅有一个极值 f八x)=（x2+bx+1)e,在x=-1时有极大值 点，则实数m的最小值是 6e',则f(x)的极小值为 ( 10.(2024·江苏无锡高二月考)已知函数f(x)= A.0 B.-e3 xsin x+cosx,x∈(0,2r） C.-e D.-2e3 (1)求函数f八x)在x=π处的切线方程： 4.(多选)(2024·山西运城高二期末)若x=-2 (2)求函数f(x)的单调区间和极值. 是函数f(x)=(x2+ax-1)e的极值点，则下 面结论正确的为 A.a=-1 B.八x)的递增区间为(-2,1) C.f八x)的极小值为1 D.f(x)的极大值为5e 5.(2024·山东临沂高二月考)函数f(x)=x3+ 3ax2+br+a2在x=-1时有极小值0.则a+b= ( A.4 B.6 C.11 D.4或11 6.(2024·河北石家庄高二月考)已知函数 f八x)=ax2-2x+lnx存在极值点，则实数a的取 值范围是 第五章黑白题55 1L.已知函数fx)=x-(a+1)lnx-0(a>0). 压轴挑战！ (1)当a=3时，求f(x)的单调区间： 已知函数)=-2+ax-n (2)讨论f代x)的极值. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数f(x)存在极值点x1,x2,求f(x)+ (x2)的取值范围. 12.(2024·湖南张家界高二月考)a为正实数， 已知数号宁r (1)当a=2时，求函数f(x)的极值： (2)若函数f(x)有且仅有2个零点，求a 的值 进阶突破拔高练P10 选择性必修第二册：RJA黑白题56 第2课时函数的最大（小）值 白题 基础过关 限时：55mim 题组1函数最值的概念 题组3已知函数最值求参数的值或取值范围 1.设f八x)是一个多项式函数，则函数f八x)在[a, 7.(2024·山西朔州高二期中)函数f(x)=x3 b]上，下列说法正确的是 x2-x+a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的 A.(x)的极值点一定是最值点 值为 B.f(x)的最值点一定是极值点 A.3 B.1 C.2 D.-1 C.f八x)在[a,b]上可能没有极值点 8.(2024·山东泰安高二月考)已知函数f(x)= D.f(x)在[a,b]上可能没有最值点 a(lnx-1)-x(aeR)在区间(e,+x)内有最 2.已知函数f(x)在区间(a,b)上可导，则“函数 值，则实数a的取值范围是 f代x)在区间(a,b)上有最小值”是“存在x,∈ A.(e,+o) B.(5,+) (a,b),满足f'(xo)=0”的 A.充分不必要条件 C.(-x,e] D.(-x,-e) B.必要不充分条件 9.(2024·广东东莞高二月考)当x=1时，函数 C.充要条件 x)=anx+取得最大值-2，则r'(2)= D.既不充分也不必要条件 ( 题组2利用导数求函数的最大（小）值 1 3.(2024·河北石家庄高二期中)函数f(x)= A.-1 B.2 C.2 D.1 sinx-xcos x在区间[0，π]上的最小值，最大 10.(2024·浙江台州高二期中)已知函数f(x)= 值分别为 ( 4 x+一+3nx在(a,2-3a)内有最小值，则实数 A.0,T B.0,2m C.-2π，T D.-2r,2m a的取值范围是 ( 4.(多选)函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上 1 A.0<a< 1 B.0≤a< 的最值情况为 ( A.最大值为12 B.最大值为5 C.3a<1 D.0≤a<2 C.最小值为-8 D.最小值为-15 11.(2024·福建福州高二月考)已知函数f代x)= 5,(2024·陕西西安高二月考)函数∫(x）= ax-lnx的最小值为0，则a= (-4x+1)e在区间[0,1]上的最大 xe'-x2-2x(x≤1)， 值为 12.已知函数f(x)= 当x∈ 2x-5(x>1), 6.已知f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)= lnx-x,则当x∈(-2,0)时，f(x)的最小 (-,m]时，x)e（←，1-]，则实数m 值为 的取值范围是 第五章黑白题57 13.(2024·四川绵阳高二期中)已知函数15.(2024·河北石家庄高二月考)已知函数 f(x)=2lnx+ar2-3x(a∈R),x=2是f(x)的 fx)=g+lnx(a∈R). 极值点。 (1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间： (1)讨论f(x)的极值： (2)求f(x)在[1，e]上的最小值g(a). (2)求(x)在[号，3]小上的最大值 题组4函数最值的综合应用 14.(2024·湖北武汉高二月考)已知直线1：y= x+m与函数f(x)=ln(x+2)的图象相切于 点P (1)求实数m的值； 重难聚焦 (2)证明：除切点P外，直线1总在函数f(x) 题组5与最值有关的恒（能）成立问题 的图象的上方. 16(2024·吉林通化高二月考)已 知函数f代x)=a+nx,若对任意 x∈[1，+o),使得f八x)≥1成立，则实数a 的最小值为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 17.(2024·江苏苏州高二月考)若 存在xe[。,e小，使得不等 式2xlnx+x2-mx+3≥0成立，则实数m的最 大值为 A.1+3e-2 3 B.e+3+2 e C.4 D.e2-1 选择性必修第二册：RJA]黑白题58 黑题 应用提优 很时：60min 1,(2024·广东广州高二期中)函数f(x)=(x+7.(2024·河南南阳高二期末)已知函数f(x)= 1)e,xe[-3,4]的最小值为 ( x2-ax+1,x≤0， A.2e2 B.5e 若f(x)>0恒成立，则实数a C.4e3 D.-e lnx--+1,x>0, 1° 2.(2024·山东青岛高二期中)函数f(x)=e-x+ 的取值范围是 1在[-2,2]上的值域为 ( A.[2,e2-1] B.[2,e2+3] 2.) B.(-2,-1) C.[e2+3,e2-1] D.[e,e2-1] 3.(2024·山东临沂高二月考)直线y=m分别与 c2) D.(-2,1) 直线y=x、曲线y=4x-lnx交于点A,B,则AB 8.(2024·广东佛山高二期中)对于函数 的最小值为 ( f(x)=e(x+1)3,下列说法错误的是() 号n3 B.1+In 3 A.(x)有最小值但没有最大值 C.1+m3 B.对于任意的x∈(-，-1)，恒有f(x)<0 2 D.2+ln 3 C.f代x)仅有一个零点 4.(2024·四川遂宁高二月考)若函数f(x)= D.f(x)有两个极值点 (x-3)e+2-2x+1在区间(2m-2,3+m)上 9.(多选)(2024·福建泉州高二月考)已知a> 存在最值，则m的取值范围是 0,b∈R,e是自然对数的底，若b+e”=a+lna, A.m<-1 B.m>2 则a-b的值可以是 C.-1<m<2 D.m<-1或m>2 A.1 B.-1 5.若函数f代x)=axln x(aeR)的最小值为-1，则 1 C.2 实数a= 02 A.5 B.e C.4 b. 10.若函数f(x)=2nx-x的图象都不在直线y= 2 f(x)的上方，则f八x)= 6.(多选)(2024·广东江门高二月考)已知函数 11.(2024·河南郑州高二期末)已知函数 f(x)=sin xcos x-2sin x+x f八x)=2ax-e,若f(x)的图象经过第一象限， Ax)在[0，]上单调递增 则实数a的取值范围是 B八x)在巧]上单调递增 12已知)-hg)=2"a,若对Y52. C.f(x)在[0，π]上有唯一零点 3],3x2e[1,2],使得fx)≤g(x2),则实 D)在[0，m]上有最小值为号-2 数a的最小值为 第五章黑白题59 13.(2024·陕西渭南高二期末)已知函数f(x)= 压轴挑战 alnx-bx2,a,beR,且曲线y=f(x)在x=1处 (2024·江苏镇江高二月考)已知函数f(x) 与直线y=弓相切。 3-44 (1)求a,b的值； (1)求曲线y=fx)在点(3,1)处的切线方程： (2)求x)在片e]上的最大值： (2)若f八x)在区间(a,a+5)上既有最大值又有 最小值，求a的取值范围. (3)设g(x)=xe-x2-2x-1.证明：当x>0 时，g(x）>-x-1. 14.(2024·广东东莞高二月考)已知函数f代x)= lnx-ax(a∈R). (I)若x=1是f(x)的极值点，求a的值： (2)若函数f(x)在[1，e2]上有且仅有2个零 点，求a的取值范围。 进阶突破拔高练P12 选择性必修第二册：RUA黑白题6O 第3课时导数在解决实际问题中的应用（选做） 白题 基础过关 限时：45min 题组1面积、体积最值问题 题组2用料最省、费用最低问题 1.在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直4.做一个容积为8π立方米的圆柱形无盖（有 径为d的圆木锯成截面为矩形的梁如图，已 底)水箱，为使用材料最省，它的底面半径r为 知矩形的宽为b,高为h,且梁的抗弯强度W= 。,则当梁的抗弯强度？最大时，矩形的宽 A.1米 B.2米C.2米 D.22米 5.(2024·吉林长春高二期中)某学校要建造一 b的值为 个面积为10000平方米的运动场.如图，运动 c v 场是由一个矩形ABCD和分别以AD,BC为直 径的两个半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶 跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每 平方米造价为30元. (第1题) (第2题) (1)设半圆的半径OA=r(米)，试建立塑胶跑 2.(2024·湖南长沙高二期中)做一个容积 道面积S与r的函数关系， 为250πm3的圆柱形封闭容器，要求所用材料 (2)由于条件限制r∈[30,40]，问当r取何值 最省，则该容器的底面半径为 m,表 时，运动场造价最低（精确到元）. 面积为 m2. 3.(2024·天津和平区高二期末)将一个边长为 12的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，做成一个容积为V(x)的无盖 方盒 (1)求V(x)的解析式： (2)求无盖方盒的容积V(x)的最大值及此时 小正方形边长x的值 第五章黑白题61 题组3利润最大问题 7.(2024·安徽合肥高二月考)为了积极响应国 6.(2024·河南鹤壁高二期末)2023年 家“全面实施乡村振兴战略”的号召，某同学 12月28日工业和信息化部等八部门发布了 大学毕业后决定利用所学专业知识进行自主 关于加快传统制造业转型升级的指导意见， 创业.经过市场调查，生产某种小型电子产品 某机械厂积极响应决定进行转型升级.经过 需投入固定成本3万元，每生产x万件，需另 市场调研，转型升级后生产的固定成本为 投入流动成本C(x)万元，当年产量小于10万 300万元，每生产x万件产品，每件产品需可 变成本p(x)万元，当产量不足50万件时， 件时，c)=?7-14(万元)：当年产量不小 p()=0+160:当产量不小于50万件时. 于10万件时，C()=6r+lnx+16-13(万元). p()=201+6400.1460,每件产品的售价 已知每件产品售价为6元，假若该产品当年全 部售完 为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可 (1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x 以全部销售完. (万件)的函数解析式.（注：年利润=年销 (1)求利润函数的解析式 售收入一固定成本一流动成本)》 (2)求利润函数的最大值. (2)当年产量约为多少万件时，该产品所获年 利润最大？最大年利润是多少？（结果保 留一位小数，取n2≈0.7) 选择性必修第二册：RJA黑白题62