5.3 导数在研究函数中的应用 阶段综合-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

5.3阶段综合 黑题■ 阶段强化 限时：55min 1.(2024·安徽安庆高二期中)函数代x)=的 A.函数f代x)存在三个不同的零点 B.函数(x)既存在极大值又存在极小值 图象大致为 C若x∈1，+)时，f()-则的最小 值为2 D.当-e<k<0时，方程f(x)=有且只有两个 实根 5.(2024·安微六安高二期中)已知函数f(x)= x-sinx,若关于x的不等式f(x+lna)≥ f(lnx)恒成立，则实数a的最小值为() N.3 B.I e 1 c.2 D.1 D 6.(多选)(2024·湖南衡阳高二月考)已知函数 2.(2024·山东烟台高二月考)已知函数f(x)= f(x)=x3-mx2+1,则下列结论中正确的是 X+”,若f(x)在(2，+∞)上单调递增，则实 数m的取值范围为 A.八x)有两个极值点 A.(-0,16] B.当m=-1时，f(x)在(0，+)上是增函数 B.(-e,8) C.当m=1时，f(x)在[-1,1]上的最大值是1 C.(-0,-8)U(8,+) D.当m=3时，点(1，-1)是曲线y=f(x)的对 D.(-0,-16]U[16,+) 称中心 3.(2024·江苏常州高二月考)若函数f(x)= 7.(2024·天津津南区高二期末)已知(x)=x+ x(x+c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为 8(x)=r-3x+8-a,若对，e[1,3],总 ( A.2或6 B.-2或-6 3xe[1,3],使f(x)=g(x)成立，则实数a C.-2 D.-6 的取值范围为 () 4.(多选)(2024·广东清远高二期中)已知函数 A.[2,21] 2 代x)=+-,则下列结论正确的是( e C.[1,22] D.[11,22] 选择性必修第二册：RUA黑白题64 8.(多选)(2024·浙江湖州高二月考)已知函12.(2024·山东泰安高二月考)已知函数 数f(x)=sinx+x3-ax,则下列结论正确的是 Rx)-2x+2taln x.eR A.f八x)是奇函数 (1)若函数f(x)在区间[1，+0)上单调递 B.若f八x)为增函数，则a≤1 增，求实数a的取值范围： C.当a=-3时，函数f代x)恰有两个零点 (2)记函数g(x)=x2[f'(x)+2x-2],若g(x) D.当a=3时，函数f(x)恰有1个极值点 的最小值是-6，求a的值. 9.(2024·四川成都七中高二月考)小李准备向 银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加 工与销售，据测算每年利润y(单位：万元)与 贷款x满足关系式y=lnx-x- +9,要使年利 1 润最大，小李应向银行贷款 万元 10.(2024·河北石家庄高二月考)已知函数 f八x)=sin mx,x∈(0,2)的图象与直线y= a(x-1)有3个交点，则实数a的取值范 围为 11.(2024·福建龙岩高二期末)已知函数f代x)= 压轴挑战Ⅱ xln(x+1). 已知函数f代x)=ae'-cosx-x(a∈R). (1)求函数f代x)的极小值点： (1)若a=2,求曲线y=f(x)在(0(0)处的切 （2)证明人，41 线方程： (2)若f八x)在(0，π)上有两个极值点，求实数a 的取值范围。 第五章黑白题65题 应用提优 为1250x150=187500(元).xm表示较短德壁长，0<r2500 2x 1.B解析：由题意，利润函数g(x)= 6+ar2+-(2*x)(0s101. 解得0<<25反.池壁的总维修费用表达式为()=2×25+ 4k 即g)=62+a2-2.则1 = 2 -×33+9a-2.解得a=2.故 6 .5 20(0<5).r0器5m 2 1 g)▣6+2x2-2.则g(x)归2+4■2(x-8).令g(x)> ! 8k3-125000 0有0<r<8.令g'(x)<0有8<g≤10.故要使销售利润最大，每年需种 25x ,令f'(x)=0,解得x=25,当x∈(0,25)时，f"(x)< 植莲藕8万斤.故选B 0:当x∈(25,252)时，f"(x)>0,,f八x)在(0,25)上单闆递减，在 2.B解析：设点A,B在抛物线上，若A(x,6x-x2),x∈(0,3)，则点B的 (25,252)上单调递增，.当x=25时，x)取得最小值.即此时泳池 坐标为(6-x,6x-x),所以矩形ABCD的面积可表示为S(x)= 的总维修费用最低故答案为25 (6-2x)(6x-x2,xe(0,3),则S(x)=-2(6r-x2)+(6-2x)2=6r2- 压轴挑战 36r+36,令s(x)=0,解得x=3-3或x=3+5(舍去)，可得S(x)在3520m4解析：设原来定海神针长为am.1秒时神针体积为(). (0,3-3)上单调递增，在(3-√了，3)上单调递减.所以矩形的最大面 则(0=T(12-t)2,(a+20),0≤t≤8，则V(t)=[2(12) 积为S(3-√3)=23×6=12w3.故选B. ! (a+20)+20(12-t)21.:当底面半径为10m时其体积最大.∴，10= 3.C解析：设容器底面宽为xm,则长为(x+0.5)m,高为(3.2-2x)m, 12-4,解得1=2，此时(2)=0，解得a=60.∴.V()=r(12-1)2· 所以0<x<1.6.设容器的容积为ym3.则y=x(x+0.5)(3.2-2x),y= (60+20).0≤1≤8."(1)=60m(12-1)(2-1),当1e(0,2)时.'(1)>0. -6x2+4.4x+1.6.令y'=0,得x=1(负值已含去).所以函数y在(0,1) 当1c(2.8)时，V()<0,.V()在(0,2)上单调递增，在(2.8)上单调 上单调递增，在(1,1.6)上单调递减，所以当x=1时，y取最大值.此 递减：V(0)=8640m,V(8)=3520m,当1=8时，V()有最小值.最 时底面的宽为1m.故选C 小值为3520：，此时金箍棒的底面半径为4m故答案为3520m:4. 4.AD解析：设年利润为F万元当0<x写10时，W=xR(x)-(10+ 27e8010.=81- 10令r=0,得x=9(竟值已会去). 5.3阶段综合 且当x∈(0,9)时.W>0:当x∈(9,10]时，”<0，所以当x=9时，年 黑题 阶段强化 利润W取得最大值38.6.当x>10时，W=xR(x)-(10+27x)=98- 1,B解折：当<0时.e产>0.=产<0，排除A.:因为/'( 1021r27令r0得四真位已合去.所和 3x 2m2-心_(2-》，所以当0<时，f'()<0.f)在(0. 当：一得时，年利润甲取得最大值3双因为3说6>8所以当年产量 x2 为9000件时.该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最 专）上单调递政，当D时，)>0，)在（行*=）上单调 大，且年利洞最大值为38.6万元.故选AD. 递增.排除C,故选B 5.ABC解析：山题意知，方盆的底面是边长为(4-2x)的正方形，高为 x.其中0<x<2.则方盒的容积为V(x)=￥(4-2x)2(0<x<2), 2A解析：由)=求导可得/(x)=2x,因为八)在(2. '(x)=(4-2x)2-4x(4-2x)=(2x-4)(6r-4)=4(x-2)(3x-2),则 +运)上单测通增，所以在e(2.+)时，/()：2-学≥0， 当xe(.号)时，r>0:当xe(2）时.r(0<0) 即m≤2x3.而当e(2.+云)时.2x3>16.所以m≤16，故选A. 在(0，号)上单调递，在（，2）上单递减V(= 3.C解析：因为f(x)=x(x+c)2=x3+22+c2x,所以'(x)=3x2+ 4cx+c2,依题意可得f"(2)=0,即3×4+8c+c2=0.解得c=-2或e=-6 r(号)产器无最小值AC正确.D错误 当e-2时./0e=3-8+4=(3-2-2.令')0，得号 6】解桥：设B商品需投x千元(0≤x≤5)，则A商品需投人 2,令f"(国>0，得号或2.所以)在(-.号）上遥地。 (5-x)千元，所获得的总收益为S(x)千元，则S(x)=2(5-x)+ 2= 在（行，2）上递政，在(2+）上递增，所以✉)在=2处取得极 4n(2x+1)=4ln(2x+1)-2x+10(0≤x≤5)，可得S'(x)=4 2x+1 小值，符合题意：当c=-6时，'(x)=32-24x+36=3(x-2)(x-6), 3 %“当0≤62时，可得()20，函数5()单调递增当之3 令f'(x)<0,得2<x<6,令f(x)>0,得x<2或x>6,所以f(x)在 (-∞，2)上递增.在(2.6)上递减，在(6.+)上递增.所以f(x)在 3 5时，可得S(x)<0,函数s()单调递减所以当x=2时，函数(x) x=2处取得极大值.不符合题意综上所述，c■-2故选C. 取得最大位故答案为号 四易错提醒 利用f'(2)=0求出·后.要验证函数八x)=x(x+e)2在x=2处是 7.25解析：由题意知.池底面积为 500 一=1250(m2),则池底推修费用 2 否取得极小值 参考答案黑白题39 4D解析：'(x)t2令"(=0.解得/或=2，当 a,所以g(x)的值域为[6-，26-a].因为对Vx1∈[1,3]，总3x2∈ [1,3],使f(x1)=g(3)成立，所以[4,5]G[6-,26-a1,所以 x<-1或2时，f“(x)<0.故函数f(x)在(-0，-1)，(2.+x)上单 调递减，当-1<x<2时，'(x)>0,故函数f代x)在(-1,2)上单调递增， 6-a≤4：解得2a≤21故选入 26-a≥5. 且质数)布极小值-1)=心，有极大值2)=子，当：趋近负无 ,AB解析：f八-x)=in(-x)+(-x)-a(-x)=-sinx-x3+x=-fx)且 定义城为xR,即∫八x)为奇函数，A正确：若f(x)为增函数，则 穷大时.(x)趋近正无穷大，当x趋近正无穷大时，(x)趋近于零， f'()=%x+3x2-a≥0恒成立.令g(x)=[f"(x)]'=6r-sin.则 故作函数草图如下，由图可知，选项A错误，代x)存在两个不同的零 g'(x)=6-ew>0,即g(x)递增：又g(0)=0,故在(-x,0)上g(x)< 点，选项B,D正确，选项C错误，1的最大值为2故选BD. 0,在(0.+x)上g(x)>0,即"(x)在(-x,0)上单调递减，在(0. +x)上单调递增，所以f'(x)≥f'(0)=1-≥0恒成立，可得≤1， B正确：由B知，a=-3时f代x)为增函数，不可能存在两个零点，C错 误：a=3时，f'(x)=cosx+3x2-3,由B分析知J'(-1)=ce1>0, f'(x)∫'(0)=-2，f'(1)=s1>0,故f"(x)在(-1.0)，(0.1)上各 有一个异号零点，则代x)有2个极值点，D错误故选AB -3-2723456 9.4解桥：依题意y=nx--2+9,且>0.y=1-1+2 -3 -2++12.（-x+4)(x+3 5.B解析：由题可知f'(x)=1-c0%x,x∈R,由于-1sx忘1，故 ,所以当x∈(0,4)时，y'>0,函数y=lnx- x f"(x)≥0在R上恒成立，故f(x)在R上单调递增，因为f(x+ lna)≥f八lnx),所以x+lna≥ln,即lna≥lnx-x恒成立，令h(x)= 129在（0,4)上单调递增：当x∈(4，+x)时，<0，函数，=血 nx-x,x>0,则'(x)= -1=上，由(x>0可得，0<x<1,由 2+9在(4，+)上单调递减所以当x=4时，函数取得最大值放 '(x)<0可得.x>1.所以h(x)在(0.1)上单调递增，在(1，+)上单 答案为4. 调递减，故(x)在x=1处取得极大值，也是最大值，即h(x)= 10.(-T,0)解析：易知直线y=a(x-1)恒过定点(1,0)，且f八x)的图 I)=-1,故ha≥-1，解得a≥，故实数a的最小值为故 象也过点(1,0)，画出函数爪x)=sinx,xe(0,2)的图象如下图实 线部分所示： 选B 6.BCD解析：因为f(x)=x2-mx2+1,所以f'(x)=3x2-2mx= =1 x(3x-2m).当m=0时.∫'(x)=3x2≥0，当且仅当x=0时，∫'(x)= 0,函数八x)在（一￥，+x)上单嗣递增，函数八x)没有极大值点，也设 有极小值点，A错误： 当m=-1时，f'(x)=x(3+2),当xe(0,+x)时.f"(x)>0,函数x) 在(0，+)上单调递增，B正确： 由两函数图象有3个交点可知，直线y=(x-1)的斜率a<0.若直线 当m=1时，了(x)=x(3x-2),令f'(x)=0可得x=0或x= 子当 y=a(x-1)与(x)=iπx,x∈(0,2)的图象相切，可得4=f'(1), [-1.0)时.f‘(x)>0.函数f(x)在[-1.0)上单调递增.当xe 易知了'(x)=mo,则a=∫'(1)=-T,结合图象可知ae(-元，0) 时满足题意 0,子)时，f国<0，函数s)在(0，号)）上单调递减，当e 1.(1)解：定义域为(-1，+).f（)=h(1)+其中(0 (号]小时.e)>0,函数)在（行]小上单到递增，又0） h1o0.当e(-1.0时，(+)e0,0.放fr)=a(s 0 1代1)=1，所以函数x)在[-1,1]上的最大值为1.C正确： 当m=3时，x)=x3-3x2+1,f1+)+f1-x)=-2,因此点(1，-1) +0,当xe(0,+x)时，n(x+1)>0,>0,故f'(x)=n(+ 1)+ r+1 是曲线y=fx)的对称中心，D正确 D+>0,故)=山(+1)在(-10上单调适减，在(0，+)上 1.A解折：由x=+4,得f”(x-44+2x-2）,所 2 单调递增，故八x)的极小值点是0 以当1≤x<2时，f'(x)<0,当2<x≤3时，∫'(x)>0,所以(x)在 (2)证明：>}+1等价于血”， 2 2x+1,即 [1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，所以f(x)n=f(2)=4因 为1=5.3=3子号所5所以的值装 1 一0，令g(x)=h(x+)+2-(>-1),则 [4,5J,由g(x)=x3-3x+8-a,得g'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当 xe[1.3]时，g(x)≥0，所以g(x)在[1,3]上单调递增.所以 g'(x)= -+D-).当-1时.（)≥0，所以g()在 g(x)mm=g(1)=1-3+8-4=6-n,g(x)m=g(3)=27-9+8-4=26- (-1,+0)上单周递增，又g(0)=0,故当x>0时，g(x)>g(0)=0, 选择性必修第二册，RJA黑白题40 四易错提醒 当-1<x<0时.g(x)<g(0)=0,则 一>0恒成立，故 (1)在运用求导法则求x)的导数时，注意运算的正确性： (2)在运用导数的儿何意文求在(，代x0)处的初线的斜率时，斜 率='（和），切线方程最好为一极式： 2 片由题意知 (3)/八x)在(0，π)上有两个校值点等价于'(x)=0在(0，m)上有 12.解：(1)因为八x)=2x+ +ala,则f'()=2子 两个不同的实数根： 了e2子片0在K到1+)上相成立.所以>2在 （4)运用参变分离得到：三，相造面数()=加 (0,): 区间[1，+m)上恒成立，令=2-2ke1,+云).因为( (5)利用导数研究函数h(x)的性质时，应说清楚单调性以及(0) 子一2<0恒成立，所以()在区间[，+)上单调递减，所以 (受)4()的取雀情况 h(x)m=h(1)=0,所以4≥0，即实数：的取值范围为[0，+x, 专题探究4含参函数单调性分类讨论 (2a=2-子+宁-小2m-2.其中a因为 黑题 专题强化 g'(x)=6x2+a.①当a≥0时，g'(x)>0对任意的x>0恒成立.所以 g(x)在区间(0，+x)上单调递增，此时g(x)无最小值，不符合题 1解：)当a=0时，八)=h则()1=当e1,2 时，∫'(x)≥0相成立，所以八x)在[1,2]上单调递增.又f1)=1, 意，2当0时，令g=0则后成后（合去 f八2)=2-n2,所以fx)在[1,2]上的值域为1,2-n2]. (2)函数八x)=(a+1)x-lnx的定义域为(0，+x),又∫'(x)=(a+ 当0<x</ 时.g()<0当√名时，()>0所以雨数 6 1)1=a1-1,当+1≤0，即a≤-1时，了(x)<0恒成立，所以 )在区(0√石)上单调递减，在区（√石，+）上 )在(0，+)上单调递减：当a+1>0,即>-1时，当0<时。 单调适增，则x=,√石是函数)的极小值点，也是最小值点，所 了e)c0,当时.fP>0.所以到在(0)上单逢 以g=g(g)=2×(g)'+-2 ，在1 (a中+)上单调递增.综上可得当a≤-1时.x)在 名-2=-6，解得a=6,符合题意综上所述a=-6 （0,+)止单调通诚：当a>1时，八在(0》 上单调递诚，在 压轴挑战 (+)上单词递 解：(1)当a=2时，八x)=2e-csx-x,,f'(x)=2e+in-l, 2解：()当a1时，八)号2x+n,又了'()=-249 f"(0)=2e°+im0-1=1.f（0)=2e-emw0-0=1,y=fx)在(0. x2-2x+1.(x-1)2 八0)处的切线方程为y-1=1x(x-0),即-y+1=0. 0在区间[1,4灯上恒成立，当且仅当x=1时取等 x (2)(x)在(0，)上有两个极值点等价于f"(x)=e'+inx-I=0在(0， 号，所以x)=2-2x+山x在区间[1,4]上单调递增，得到)在 )上有两个不同的实数根，即a一m在(0，)上有两个不同的实数 e 22、3 1,4]上的最小值为1)= ，最大值为4)=7×16-2× 根，令h(x)= 二，x∈(0，行），六(x)=血s I-sinx 4:h4=2加2.所以)红1上的值骏为22加2] (2)易知x)的定义城为(0，+∞).因为f'(x)=x-(a+1)+a= 6 令()=0，解得x=，当xe(0,）时 2-(a+1)x+n.(=a)(-,当a≤0时.xe(0.1)时.f'(x)<0. ()<0,4()单调递诚：当xe(,元）时，A'()>0,4()单调递增 x x x∈(1，+x)时，f'(x)>0:当0<a<1时，￥∈(a,1)时，f'(x)<0,xe 1-in2 (0,a)U(1,+g)时，f'(x)>0:当a=1时，了"(x)≥0在区间(0. 又(o0=1,(） 1-sin =0.h(m)= +m)上恒成立，当且仅当x=1时取等号：当a>1时.xE(1,a)时， f'(x)<0,x∈(0，I)U(a,+)时，f'(x)>0.综上所述，当a≤0时， 二=ee0.)当ae0e)时，方程a1在(0，)上有两 八x)的减区间为(0,1)，增区间为(1，+∞)：当0<a<1时，fx)的诚 e 区间为(a,1),增区间为(0，a),(1,+x):当a=1时，f(x)的增区间 个不同的实数根，实数a的取值范围为(0，可). 为(0，+x),无减区间：当a>1时，八x)的减区间为(1，a),增区间为 参考答案黑白题41