5.2.2 导数的四则运算法则-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

5.2.2导数的四则运算法则 白题 基础过关 很时：35min 题组1导数的四则运算法则 7.(2024·天津河东区高二月考)求下列函数的 1.(2024·河北张家口高二期中)函数f(x)= 导数 sing1的导数为 ( (1)/x)=0s￥ e+; 1 A.sin B.-c0s+2 (2)y=(2x2-1)(3x+1); (3)y= 1+cos x sin x C.cosx-2 D.c09x 1 2.(多选)(2024·广东深圳高二月考)下列求导 运算正确的是 ( e=3x+ B 题组2利用函数求导法则求解切线问题 8.(2024·黑龙江哈尔滨高二期中)曲线y=x2+ 1 C.(logax)'= xln 2 3在点(1,4)处的切线的倾斜角为（） D.(x2cos x)'=-2xsin x A.30° B.45° C.120°D.1350 3.(2024·四川眉山高二月考)已知函数 9.(2024·湖北武汉高二期末)求函数f(x)= fx)=sinx+4x,则lim (+Ax)-A)=( 2△x n*在点P(,0)处的切线方程 (请写成一般式) A.12 10.(2024·山东临沂高二期末)已知函数f(x)= C.3 D.6 axln x在x=1处的切线方程为x-y-1=0. 4.(2024·湖北武汉高二期末)若函数f(x)= (1)求a的值； (2)若过点A(0,-e)的直线l与曲线y=f(x)》 f'(x)为f(x)的导函数，则f”(1)的 相切，求1的方程. 值为 5.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且∫'(x)是 偶函数f'(0)=1,f'(1)=0.写出一个满足条 件的函数：f(x)= 6.(2024·四川绵阳高二期中)若f(x)=x3 f'(1)x2+x+5,则f'(1)= 第五章黑白题43 黑题 应用提优 限时：35min 1.(多选)(2024·广东东莞高二月考)下列求16.(2024·河北沧州高二月考)已知点P在曲线 导正确的是 4e* y= 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜 A.(2sin x-3)'=2cos x 1+e B.(xcos x)'=cos x-xsin x 角，则α的取值范围是 C. 2-2 7.已知函数f(x)=lnx- 2x,xe(0,+∞). -a0 (1)求函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切 D. 线方程； 2.(2024·陕西西安铁一中学高二月考)若曲线 (2)令g(x)=f(x)+tanx,求g'(x). y-nx-0在(1，-0)处的切线与直线1：2x-y+ 5=0垂直，则实数a= A.1 B. 3 D.2 3.(2024·福建福州高二月考)已知函数f八x)= +2f"(号)k+lnx,则x)在点(1)处的 切线方程为 ( 压轴挑战 A.3x+y+2=0 B.3x+y-2=0 C.3x-y+2=0 D.3x-y-2=0 拓扑空间中满足一定条件的连续函数八x),如 4.若函数f八x),g(x)满足f(x)+g(x)=x2-1,且 果存在o∈D,使得f(xo)=o,那么我们称函数 f1)=1,则f'(1)+g'(1)= ( 八x)为“不动点”函数，而称x,为该函数的一个 A.1 B.2 不动点在数学中，这被称为布劳威尔不动点定 C.3 D.4 理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威 5.(2024·山西太原高二月考)函数y=f(x)的导 尔，是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.现 数y=∫'(x)仍是x的函数，通常把导函数y= 新定义：已知x。为函数(x)的一个不动点，若 ∫'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记 x满足∫'(x)=x,则称x为f(x)的双重不动 作y=f"(x).类似地，二阶导数的导数叫做三 点给出下列三个函数： 阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，….一 ①f(x)=x3-xsin x; 般地，n-1阶导数的导数叫做n阶导数，函数 ②fx)=e+e y=f(x)的n阶导数记作y=f(x),例如 -1 2 y=e的n阶导数(e)=e.若f(x)=xe+ ③代)=e11 sinx,则f2o)(0)= ( A.2022 B.2023 具有双重不动点的函数为 (填序号) C.2024 D.2025 进阶突破拔高练P0烟 选择性必修第二册·RUA黑白题44的弦最大，尚线最陡销：以后弦又渐海变短，曲线由陡变平缓，4个图 点(L,1)处的切线的斜率为-1，故曲线y=】在点(1,1)处的切线的 中只有D具有上述特点.故选D 2.解：(1)根据题意可知，将P(1,2)分别代人两曲线方程得到2=1+ 领斜角为？做选D a,2=1+6+e两个函数的导函数分别是(x)=m+△)九 Ax 6.B解析：f"(x)=3x2=3..x=±1.切点有两个，即切线有2条 3x2+a.gx=m8+a)-g日=2+6.又/')=3+a.g1)=2+ 7.ABC解析：对于A,曲线的切线和曲线的交点不一定唯一，如曲线 0△ b.则3+=2+b.解得a=1,b=2.c=-1. =21在点（号，？）处的切线与曲线有另外一个交点(1,2 (2)如图，婴使抛物线g(x)=x2+2x-1上的点M到直线y=3x-2的 故A错误：对于B,过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切 距离最短，则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线y=3x-2相同， 点，如经过曲线上一点，但不是在该点与曲线相切而是在其他地方相 切，比如曲线y=x3与直线y=3x-2相切于点(1,1)，同时经过另外 则g()=2x+2=3,解得x=子又因为点M在抛物线上，解得 点(-2.-8).我们就可以说过点(-2，-8)的直线y=3x-2与曲线y ( x3相切，但切点是(1.1)而不是(-2.-8)，故B错误：对于C,若 ,所以最短距离即d的最小值为点M到直线y=3x-2 f"(。)不存在，则曲线y=八x)在点(x,f八0))处无切线是错误的. 3 1 如曲线在某点处的切线垂直于x轴，此时∫'（和）不存在，但曲线y= 22-430 的距离，代人点到直线的距离公式得d= 即最 八x)在点(xo,f(x,))处有切线，故C错误：对于D.由曲线在一点有 32+(-1)2 40 平行于y轴的切线，且函数在该点不连续，则∫'()不一定存在，故 短距离为31而 D正确.故选ABC 40 8CD解折：对于A项，)=的定义城为1x0,且/() 3x-3 0.此时f)=无解，放A错误：对于B项，=n的定 义城为0，+).则/)=>0，是然了'（在(0ts 上有解，故B正确：对于C项，f(x)=snx的定义城为R,且 厂”=m.因为-1≤m长1，所以'()=m=在R上有解， 故C正确：对于D项，f(x)=e的定义域为R,∫'(x)=e>0,显然 5.2导数的运算 了()心=。在R上有解，放D正确故选CD 5.2.1基本初等函数的导数 9.八x)=x(答案不唯一)解析：两条切线互相平行应先满足在切点 处的导数值相等， 白题 基础过关 例如x)=3,f"(x)=3x2,1)=1,-1)=-1, 1.CD解析：对于A,因为()'= )x一士=x,所以A不正确：对于B 此时f"(1)=3,'(-1)=3, 函数在(1,1)处的切线方程为y=3x-2: 因为（一）广-（停）广=0，所以B不正确：对于c.因为(3) 函数在(-1，-1)处的切线方程为y=3x+2:符合题意.故答案可以为 f八x)=x(答案不唯一). 3m3,所以C正确：对于D,因为(gx)'= h10所以D正确故 10.解：：AB为定值，∴，要使三角形面积最大，只需点P到直线AB的距 离最大，∴点P是与直线AB平行且与抛物线相切的切线的切点 选CD, 设点P(yo),由题意知点P在x抽上方的图象上，即点P在y= 2.C解析：f'(x)=m,所以' 6 5故选C 正2如日六号得店 2 3r2,x<0. 得y%=1.P(1.1), 31或 解析：由题意知f'(x)= ,0<r<1 5.2.2导数的四则运算法则 当a<0时，3a2=3,解得a=-1或a=1(合去)： 白题 基础过关 当0<a<1时， 1=3.解得= 1 1.D解析：由题意可得f'(x=s计子故选D 所以a1或a=宁故答案为-1攻兮 2.BC 解折：因为(）广=子故A不正确：因为（广 4x(答案不唯一）解析：取f(x)=x4,则f八x1)=(x）4= xx=1)八x).满是性质①厂'(x)=-4x5.当>0时，有'(x)< ,故B正确：因为(=2故C正确：因为 x2 0,满足性质②，f'(x)=-4x5的定义城为xlx0,关于原点对称 (x2sx)'=2x%x+x2(-inx),枚D不正确.故选BC 又了'(-x)=-4(-x)5=4x5='"(x),故∫'(x)是奇函数，满足性质 ③.故答案为x)=x(答紫不唯一）. 3.B解析：∫(x)=o+4,i +A八)= 24x 2f'() 5D解折：由y=可得=一子则y-1,即角线y= 在 20wm+2=、1 参考答案黑白题25 为直线1：2x-y+5=0的斜率k=2,由切线与直线1垂直可知k,= 4.解析：因为”代( e(na】 所以了(1)= -1,即21o)加-1，解得a号故法 (十1上放答案为 3A解折：对1)求导可得了广)=2x+2(行）小，则 (行）Ig(分）小2.解得（行）=-3）=2-+ 5.号P+(答案不-）解折：因为()是偶函数，设)=a2 bx,则f"(x)=32+b,由题意可知f'(0)=b=1f'(1)=3a+6=0,解 h1)=-5f(国)=2x-6+了'(1)=-3.切线方程为 5=-3(x-1),整理得3x+y+2=0.故选A 得a=-子，6=1，故()三一子之+x故满足条件的函数可以为 4.C解析：八1)=1，八1)+g(1)=0,(1)=-1.(x)+g(x)= )(答案不-) x2-1,f‘(x)+g(x)+g(x)=2x,f'(1)+g(1)+g'(1)=2, '(1)+g'(1)=2-(-1)=3故选C. 6.子解折：因为)=f"(1)2+x+5,则/"(x)=3x2-2(1)x+1, 5.C解析：依题意，f"(x)=(x+1)2+msx,∫(x)=(x+2)e-in, f()=(x+3)e-cox.f(()=(x+4)e+sin x.f(5(x)=(x+ 令1.有)=3-20)+1.解得1)=手放答案为子 5)e'+com x.(6(x)=(x+6)e'-sin x.f(()=(x+7)e'-comx, f(x)=(x+8)e+imx,…,依此类推，了2(x)= 7.解：(1)'(x)）=Yn=cos.simx+es三 (x+2024)+inx.所以(2@4》(0)=2024.故选C (e')2 e心2 (2)y'=4x·(3x+1)+3(2x2-1)=18x2+4r-3. 6(0,子]解轿y=c 4 (1+e)2 +20+1c+2 ,因 (3)y'=sin gsin s-cos(ltcosx)-1-cosx sin x)2 sin'x 8D解析：因为y=2+。,则y22,所以=2x13 为e0,所以e≥2.所以了e(0,.所以mae0.,又因为 -=-1= m135,所以曲线y=2+3在点(1,4)处的切线的颜斜角为135，故 e0,).所以ae(0,子]所以。的取值范偶是(0，：]故答 选D 案为(0.] 9.+y-行=0解析：因为fx)=血，则广'(x)=n,可得 7解：1)油题意知/()了，且2=h2-1,测/2=0.所烈 '(π)=-1 切线斜率=一日，所以点P处的切线方程为y 在点(2，八2)处的切线方程为y-(1m2-1)=0x(-2).即y=n2-1, (②)电e=hx子+m,所以g()=(h(分 云（一）.整理可得x+y一=0故答案为x+y-=0 10.解：(1)由可得f‘(x)=alnx+,由y=x-1的斜率为1，得了'(1)= ( x2s2全 L.即a=1. 压轴挑战 (2)由(1)知，f'(x)=nx+1,设切点为(0)，则f(和)=血+ ①2解析：对于①：fx)=x-im￥，则f'(x)=3x2-imx-xcsx,可 1%a,又直线1过点4(0.-心)心n+1=血把 整 得0)=0/'(0)=0,0为八x)的双重不动点，故①正确：对于②： 0 理得和=e,f'(e)=2,直线1的方程为y+e=2(x-0).即2x f代x)aet 2 二-1.测(e)-,可得0)=0(0)=00为 -e=0. )的双重不动点，故2正确：对于③：儿=。-↓-1的定义域为 黑 应用握优 xx≠0，故该函数不连续，故③错误故答案为①2. 1.AB解析：对A,(2inx-3)'=20%,故A正确：对B,(xsx)'= m+(m=mm故B正确对C.(（公点) 5.2.3简单复合函数的导数 x'(2x+1)-x(2x+1)2x+1-2x 白题基础过关 (2x+1)2 (2+)3°(2x+1,故C错误：对D, 1.C解析：由x)=e1.得了“(x)=3e-l,所以∫'(1)=3e2故选C (任)广红一收D特民能运根 1 2,B解析：f"(x)= =x2=1 x2 22x+12x+ 行由/（出）=1得1 √20t1 四方法总结 1,解得0=0.故选B 求函数的导数要准确地把函数分割成恭本初等函数的和，差，积」 四方法总结 高，再利用运算法则求导 (1)求导之前，应利用代数运算，三角恒等式等对函数进行化简，槛 后求学，尽量避免不必要的膏的求导，这样可以城少运算量，提高运 28将折：调为y一房以中则1 算速度，减少差进， (2)①若语数为根式形式，可先化为分数指登解，再求导： a,所以曲线y=血=在，点(1，-a)处的切线的斜率为1=1+a又因 ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元， 选择性必修第二册，RJA黑白题26