5.1 导数的概念及其意义-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 1.c解折与aD-f=2放C Ax 白题 基础过关 八x+△x)-八x 12.D解析：f'（)=m。a 长表示从时间1到+4山时物体的平均速度，四~表示在 1.B解析： 22 -2△x x(x+△x) :时刻该物体的解时速度，故选B 2B解折：4(2)=宁242=4(4到宁×444=12，所以平均速度为 -2 2 xx+A）京 4-24(m).放选B 12-4 京2，m2=4,解得m=士2 21 3.A解析：由s(c)=42+,得解时速度为 13.C解析f"(x)的几何意义是曲线y=f代x)在点(0，f()处切 m4(1+)2+(1+)-(4×12+1)=9(米/秒).故选 线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线。 △ 4.C解桥：根据平均变化率的定义可知2)1.2+1-(3+」 14.C解折：令e=子-21"1)=1-1，所以 △x 2-1 7,所以函数f代x)=x3+1在区间[1,2]上的平均变化率为7.故选C 线y=-2-2在点(1，-子)处切线的斜率为-1，：斜角为 5.B解桥：由题得兰八m)2- △xm-1m-1 =m+1=3,,m=2故选B. 故裤C 6.C解析：如图，分别令t=5,t=10,t=15,t=20,t=35所对应的点 15.C解析：由切线方程x+y-1=0,得f'(-1)=k=-1,将x=-1代人切 为A,BC,D,E 线方程x+y-1=0,得y=2,所以f-1)=2,则f(-1)+(-1)= ↑cmgm） -1+2=1.故选C. B 16.B解析：，点(1.f八1))位于函数f代x)=x3+2x上，，将x=1代入 C 原函数得到八1)=3，切线过点(1,3)函数八)=x3+2x的图象在 点)处线的斜*为=与1“a山：5切装方程 、E 为y3=5(x-1),即5x-y2=0,放选B. 05101520253035hmm 四重难点拔 由图可知0>k>k4>kAx>k,所以时间段[5,20]内空气中微生物密 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个 度变化的平均速度最快故选C 方面： 7.A解折：k-2)0)=4-1=3,与3）2=9-4=5，k ①已知切点A(和，f八0)求斜事k,廊求该点处的学数值= 2-1 3-2 f'(o) f4)-3》=16-9=7,kk<k:故选九 ②若求过点P(x0,%)的初线方程，可设切点为(1,1)，由 4-3 y1=f1), 8.541解析：当4x=1时，割线AB的斜率 求解即可 60-2a9221.21-2- 01=f'(x)(01) Ax 1 ③函数图象在每一点处的切线斜率反映函数图象在相应点处的变 当△x=0.1时，割线AB的斜率 化情况 6=Ag.2*0121-21.41 17.C解析：根据题意f‘(4)的几何意义为y=八x)在点B处切线的斜 0.1 率，f"(5)的几何意义为y=f(x)在点A处切线的斜率，f(5)- 9.解：(1)由题意得，制线AB的斜率为，2+4)2)。 Ax Ax 4)-5)4),其几何查义为割线B的斜率，则有0<"(5)< 5-4 -(2+A)2+(2+a）-(-4+22.-4A+Ar-(a2.-3-4 f5)-爪4)<f'(4).故选C. △ 18.x2+2x+1(满是x2+2x+1(a≠0)均可)解析：设二次函数g(x)= 由-3-Ax≤-1，得△x≥-2 又因为△x>0,所以△r的取值范围是(0，+). asbesd(a40),则g(o)=二0a-0.6,由题意可得 Ax (2)由(1)知函数f代x)■-x2+x的图象在点A(2,代2))处切线的斜率 g(0)=e=l, 为=是(-34)=-3，又2)=-242=-2， 例如取a=1,则g(x)=x2+2x+1.故答案为x2+2x+1 g'(0)=b=2. (满足ax2+2x+1(a0)均可) 所以切线的方程为y-(-2)=-3(x-2),即3x+y4=0 Fxo+Ax)-f(xo) 10.C解桥：f'()=。a 442 n+4)-=32,由于1)=1+1=2，从而 19.解：(1)f"（(x)=im。Ax Ax 点P(1,2)是切点，所以f'(1)=3,从而曲线在点P(1,2)处的切线 lim (a+bAx)=af()=a. 方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1. 参考答案黑白题23 (2)由f(2)=23+1=9≠1，得点Q(2,1)不是切点，设切点为R(a,!9.2xy+4=0解析：由题意知，△y=3(1+△x)2-4(1+4x)+2-3+4-2= 创，显搭a2周eo加1，且/o=-联立以上两 3(△)+2山二之-2六所求直线的斜率=2，则直线方程 式可得32品2所以0成号23.即a-0度a=3又0)-1， 为y2=2(x+1),即2x-y+4=0. 1®【1，】解：可设点P的坐标为则 Ay= f八3)=28，f"(0)=0,f"(3)=27,所以曲线过点Q(2,1)的切线方 程为y-1=0或y-28=27(x-3),也就是y=1或y=27x-53. (0+Ax)2+2(知+△x)+3-号-2-3 黑丽 应用擅优 △x 1.BC解析：函数八x)从x1到2的平均变化率就是割线AB的斜率， (4x)2+2x0·4xt2△r lim =im(4r+2xo+2)=2,+2, 所以k=3,所以C正确，制线AB的倾斜角为牙，所以B正确故 ÷曲线C在点P处的切线斜率为2+2.由题意，得0≤20+2≤ 选BC 1以-1≤≤子六点P的横坐标的取值范隅是[1，令] 2B解折：根据导氨的概念，一“21与1以巴，可 △x 11.f'(-2)<a<f"(6)解析：函数f代x)为奇函数，f"(-2)为曲线在 知与如2表示7子在1处的导数，由学爱的儿有 点(-2，f代-2))处切线的斜率，f"(2)为曲线在点(2，f代2))处切线 Ax 的斜率，了"(6)为曲线在点(6，八6))处切线的斜率， 意义可知，其表示曲线y=x2在点(1,1)处的切线的斜率故选B. ∴f"(2)=f'(-2). 3.C解析：由题意可得(2)-(=3+5=-10，解得a=-5,则 根据题意，函数f(x)在[0,6]上增长越来越快， 2-1 ∴.f'(-2)=f"(2)<f'(6) h(e)=-52+5+11,从面'(e)= h(+△)-h(D=-10e+5,故 又4=6)-2.62为(2,2)，(6，八6)两点连线 6-2 6-2 h'(3)=-10×3+5=-25(米/秒).故选C 的斜率，∫'(-2)=∫'(2)<a<f'(6),即f'(-2)<a<f'(6). 4.A解析：由容磐的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越 米越小，所以爪)在区间[6-d,],[o,0+△]（△>0）上的平均变 12.1-7或7 3 3 解析：由导数的定义知， 化率越来越小，即1>k2故选A (6+△x)2- f八和+2△x)f和) f'()=。A =20, 5.B解析：f'(6)=m 6+2△)f)3 24 34x （a3-3d 3 g'()产im。△ 因为∫'(0)+2=g'(0）,所以20+2=36，即3x6-2。-2=0, 6.A解析：：函数f八x)=ax3+2bx+1的图象在点(1，f(1))处的切线 1+√7 方程为y-10.y-山，()二回。 得与安 Ax 13.解：4y=f1+Ax)-1)=√(1+4x)2+1-√2=√（△x)2+2Ax+2- 3ar2+26,由题可知1)=3， (a+2b+1=3, fa=1, 1)=4,六{3a+26=4, 1fx)= b= 2Ag-a+24r2-2 2 r Ax x2+x+1,∴f"(x)=3x2+1,∴∫"(2)=13.放选A V(△x)+2Ax+2-2 =lim (△x)2+2Ax (1) 7A8解折：fe=a包=-1，令fe国=2，放2- Ax 0Ax√/（△x)+2Ax+2+W2] 4x+2 √2 1=2,解得x=1或-1，所以点P的坐标为(1,3)或(-1,3)，经检验， “A+2Ar*2+W22 点(1,3)，(-1,3)均不在直线y=2x-1上，故选AB. c解折-(2-r马兰 由代1)=2可知函数在x=1处的切线方程为y一2= 2(1), 421- 即x-√2y+1=0 x 14.解：存在 a2a2-2 自导数的定义知，是马2么 六y1%=2x0 设切点为(t,2+1),因为y=2x,所以切线的斜率为y八，=24， 可得切线方程为y(2+1)=2(x-t). △y 1-(x+△x)3-1+x3 叉y=(1-'= 将(1，a)代人，得a-(2+1)=2(1-t),即2-2+(a-1)=0. -3x2△x-3x(△x)2-(△x)3 因为切线有两条。 Ax 所以62-4ac=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经 =im[-32-3x4x-(4x)2]=-3x2 过点(1,4)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(-0,2). y14=-3xd 压轴挑战 ,函数y=x2-1与y=1-x3在x=0处有相同的导数， 1,D解析：当直线转动时，若某时刻直线被圆所截得的弦较长，S的瞬 2 时变化率就较大，此处的导数也较大，图象中这里的切线较陡销，曲 20-36解得0=0或0=了故选C 线就较陡蜡，所以曲线开始由平缓变陡；到过程进行到一半时，截得 选择性必修第二册·RUA黑白题24 的弦最大，曲线最徒峭：以后弦又渐渐变短，曲线由陡变平缓，4个图！ 点(1,1)处的切线的斜率为-1.赦曲线y=】在点(1,1)处的切线的 中只有D具有上述特点，故选D 2.解：(1)根据题意可知，将P(1,2)分别代入两曲线方程得到2=1+ 倾斜角为产故选D a,2=1+be两个函数的导函数分别是f'()=x+4)- Ax 6.B解析：∫(x)=3x2=3,∴x=±1，切点有两个，即切线有2条。 3+a,g(=ims+a-s园=2xh.又'1)=3*a.g0)=2+ 7.ABC解析：对于A,曲线的切线和曲线的交点不一定唯一，如曲线 d0.△x b.则3+a=2+b.解得a=1.b=2.c=-1. =1在点（子子）处的切线与曲线有另外一个交点(1,2 (2)如图，要使抛物线g(x)=2+2x-1上的点M到直线y=3x-2的 故A错误；对于B,过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切 距离最短，则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线y=3x-2相同， 点，如经过曲线上一点，但不是在该点与曲线相切而是在其他地方相 则g()=2+2=3,解得=子又因为点M在抛物线上，解得 切，比如曲线y=x与直线y=3x-2相切于点(1,1)，同时经过另外一 点(-2，-8)，我们就可以说过点(-2，-8)的直线y=3x-2与曲线y= 11 x3相切，但切点是(1,1)而不是(-2，-8)，故B错误：对于C,若 24 ,所以最短距离即d的最小值为点M到直线y=3x-2 ∫'(xo)不存在，则曲线y=八x)在点(0，f())处无切线是错误的. 3 1 如曲线在某点处的切线垂直于x轴，此时∫'（和）不存在，但曲线y= 的距离，代人点到直线的距离公式得d= 2243 ,即最 八x)在点(，八0)处有切线，故C错误：对于D,由曲线在一点有 V3+(-1)40 平行于y轴的切线，且函数在该点不连续，则∫（和）不一定存在，故 短距离为310 D正确.故选ABC 40 8.CD解折：对于A项，)=士的定义城为1：≠0，且/"() -2 子0，此时f'()无解，放A销误对于B项，=h:的定 义城为0，+m)则/"e国子>0，显然r()号在(0，+) e 上有解，故B正确：对于C项，∫(x)=i加x的定义域为R,且 f=0s,因为-1≤s1,所以'(=o=在R上有解， 故C正确；对于D项，f八x)=的定义域为R厂'(x)=c>0,显然 5.2导数的运算 ∫'()=心=上在R上有解，故D正确故选BCD. e 5.2.1基本初等函数的导数 9.八x)=x(答案不唯一)解析：两条切线互相平行应先满足在切点 处的导数值相等， 白题 基础过关 例如f(x)=x3,f'(x)=3x2,1)=1,-1)=-1, 1.0①解指：对于A因为(=子-会质以A不正确对于B 此时f(1)=3,f'(-1)=3, 函数在(1,1)处的切线方程为y=3x-2: 因为（一）广=（停）广=0，所以B不正确：对于c,因为(3) 函数在(-1，-1)处的切线方程为y=3x+2:符合题意故答案可以为 f代x)=x(答案不唯一) 3n3,所以C正确：对于D,因为(gx)'= h10所以D正确故 10.解：：AB为定值，∴要使三角形而积最大，只需点P到直线AB的距 离最大，∴，点P是与直线AB平行且与地物线相切的切线的切点. 选CD. 设点P(x,0),由题意知点P在x轴上方的图象上，即点P在y= 2.C解析：f"(x)=cosx,所以f (侣）选c 上，…y=1 1 1 分得61曲0区 3x2,x<0, 得0=1，P(1,1). 3.-1或写 解析：由题意知f'(x)= 1 .0<x<l. 5.2.2导数的四则运算法则 当a<0时，3a2=3,解得a=-1或a=1(舍去)： 白题 甚础过关 当0<a<1时，=3，解得a=了 1 1.D解析：由题意可得f”(x)cos+子放选D 所以a=1或a=了故答案为-1或 2C解折：因为(e)广=2-宁故A不正瑞：因为（信） 4.x(答案不唯一）解析：取f八x)=x4,则f(x名)=(12)4= =f1)(2),满足性质①'(x)=-4x’,当x>0时，有'(x)< ,故B正确：因为(2故C正确：因为 x2 0,满足性质②，∫'(x)=-4:3的定义域为xx≠0，关于原点对称， (x2c0sx)‘=2xc0%x+x2(-inx),故D不正确故选BC 又f'(-x)=-4(-x)5=4x=∫'(x),故f“(x)是奇函数，满足性质 ③故答案为(x)=x(答案不唯一). B解折：fr()m+4,马知.子”() 5.D解折：由y=可得=-子，则y儿1-1，即商线y 在 令m2=宁2号放选B 参考答案黑白题25第五章一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 白题 基础过关 限时：45min 题组1平均速度与瞬时速度 微生物密度变化的平均速度最快的是( 1.已知一直线运动的物体，当时间从t变到t+△ ci(mg/m) 时，物体的位移为山那么一之为 ( A.时间从t变到+△1时物体的速度 B.在t时刻该物体的瞬时速度 05101520253035 t/min C.当时间为△：时物体的速度 A.[5,10]B.[5,15]C.[5,20]D.[5,35] D.时间从t变到t+△：时物体的平均速度 题组3割线、切线的斜率 2.(2024·四川成都高二月考)某物体沿直线运 7.已知函数fx)=x2的图象上四点A(1,f(1)), 动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间 B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),割 的关系为0)=+，则在2≤1≤4这段时间 线AB,BC,CD的斜率分别为k1,k2,k,则 内，该物体位移的平均速度为 A.h <k2<hg B.k<k <ka A.2 m/s B.4 m/s C.5 m/s D.6 m/s C.ka<k<k D.k <ka<k2 3.(2024·湖北十堰高二期末)某运动物体的位 8.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+△x, 移s(单位：米)关于时间（单位：秒）的函数关 3+△y),当△x=1时，割线AB的斜率 系式为s=42+t,则该物体在t=1秒时的瞬时 是 :当△x=O.1时，割线AB的斜 速度为 ( 率是 A.9米/秒 B.8米/秒 9.已知函数f八x)=-x2+x的图象上两点A(2, C.7米/秒 D.6米/秒 f(2),B(2+△xf2+△x))(△x>0). 题组2平均变化率的计算 (1)若割线AB的斜率不大于-1，求△x的取值 4.(2024·江苏无锡高二期中)函数f八x)=x3+1 范围： 在区间[1,2]上的平均变化率为 ( (2)求函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2, A.1 B.2 C.7 D.9 f(2))处切线的方程 5.若函数f(x)=x2-t,当1≤x≤m时，平均变化 率为3，则m等于 ( A.5 B.2 C.3 D.1 6.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室 内注入新鲜空气，即开窗通风换气在某室内， 空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间 (1)的关系如图所示.则所给时间段内，空气中 选择性必修第二册：RUA黑白题38 题组4导数的定义 16.(2024·山东菏泽高二月考)已知函数f(x)= 10.设函数f代x)在点x附近有定义，且有f(x+ x+2x,x∈R,则曲线y=f(x)在点(1，f(1)) x)-f八x)=aAx+b(△x)2(a,b为常数)，则 处的切线方程为 ( ( A.5x-y+2=0 B.5x-y-2=0 A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.x-5y+2=0 D.x-5y-2=0 C.f'(xp)=a D.f'(xo)=b 17.(2024·河南南阳高二期中)函数y=f(x)的 11.(2024·云南昆明高二期中)设f(x)是可导 图象如图所示，下列关系正确的是() 函数，且lim 1+A)-f)=2,则f'(1)= 1r-0 △x B ( 045x A.1 B.-1 C.2 D.-2 A.0<f'(4)<f'(5)<f(5)-f4) 12,已知x)=2,且f'(m)=2则m的值为 B.0<f'(4)<f(5)-f(4)<f'(5) C.0<f'(5)<f(5)-f4)<f'(4) ( D.0<f5)-f4)<f'(5)<f'(4) A.-4 B.2 C.-2 D.±2 18.（2024·广东梅州高二期末)写出在x=0处 题组5导数的几何意义 的切线方程为y=2x+】的一个二次函数 13.下面说法正确的是 ( g(x)= A.若f'(x)不存在，则曲线y=f八x)在 19.(2024·黑龙江哈尔滨高二月考)已知曲线 点(o,八xo)处没有切线 f八x)=x3+1,求： B.若曲线y=f八x)在点(xo,f(x))处有切 (1)曲线在点P(1,2)处的切线方程： 线，则∫'(x)必存在 (2)曲线过点Q(2,1)的切线方程. C.若∫'(x)不存在，则曲线y=(x)在 点(x,f(x)处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f八x)在点(xo,f八x)处没有切 线，则∫'(x)有可能存在 14.(2024·河北石家庄高二月考)曲线y= 之-2在点1，)处切线的倾斜角为 ( A.3 B. C. 15,(2024·福建宁德高二期末)已知函数f(x) 在点x=-1处的切线方程为x+y-1=0,则 f'(-1)+f(-1)= ( A.-1B.0 C.1 D.2 第五章黑白题39 黑题 应用提优 限时：45mim 1.（多选)已知点A(x1,,),B(x,y2)在函数y=5.(2024·江苏南通高二月考)设函数y=fx)在 f(x)的图象上，若函数f(x)从x,到x2的平均 f(x。+2△x)-f(x) x=x。处可导，且1im =1,则 变化率为3，则下面叙述正确的是 ( 3Ax f'(xo)= A曲线y=)的制线B的颜斜角为君 2 b. C.1 D.-1 B.曲线)=)的制线AB的顿斜角为写 6.(2024·安微蚌埠高二月考)若函数f(x)= ax3+2bx+1的图象在点(1，f(1))处的切线方 C.曲线y=(x)的割线AB的斜率为3 程为4x-y-1=0,则f'(2)= D.曲线y=)的相线A的斜率为 A.13 B.7 C.4 D.1 (1+△)-l表示 7(多选)曲线(x)=x3-x+3在点P处的切线平 2画 △x 行于y=2x-1,则点P的坐标为 () A.曲线y=x2切线的斜率 A.(1,3) B.(-1,3) B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率 C.(-1,-3) D.(1,-3 C.曲线y=-x2切线的斜率 8.已知函数y=x2-1与y=1-x2在x=x。处有相 同的导数，则。的值为 D.曲线y=-x2在点(1，-1)处切线的斜率 3.(2024·河北那台高二月考)在高台跳水运动 A.0 中，某运动员在（单位：秒）时的重心相对于水 c0或号 D.0或1 面的高度h(单位：米)满足关系式h(t)=a+ 51+11,当1≤1≤2时，h的平均变化率是9.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在 -10米/秒，则当1=3时，h的瞬时变化率是 点M(1,1)处的切线平行的直线方 程是 A.-15米/秒 B.15米/秒 10,设点P为曲线C:y=x2+2x+3上的点，且曲线 C.-25米/秒 D.25米/秒 C在点P处切线倾斜角的取值范围是0， 4.如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相 等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水 平]，则点P横坐标的取值范围是 面的高度h随时间t变化的函数为h=f(),定 11.已知奇函数f八x)在R上可导，其部分图象如 义域为D,设tn∈D,k1,k2分别表示f(t)在区 图所示，设a=6)+-2 ,则f'(-2), 间[o-△1，o],[o,l。+△]（△>0）上的平均变 6-2 化率，则 f'(6),a之间的大小关系为 .(用 “<”连接) A.k>k2 B.k<k2 C.k=k2 D.无法确定 选择性必修第二册：RJA]黑白题4O 12.已知fx)=x2,g(x)=x3,若f'(o）+2= 压轴挑战 g'(),则x可能的取值为 1.(2024·江苏苏州高二期中)如图，圆C与直 13,用导数的定义，求函数f(x)=x2+1在x=1 角三角形AOB的两直角边相切，射线OP绕 处的切线方程。 点O由OA逆时针匀速旋转到OB的过程 中，所扫过的圆内阴影部分面积S关于时间 t的函数的大致图象为 1☑正 2.(2024·山西太原高二月考)已知两曲线 f(x)=x3+ar和g(x)=x2+bx+e都经过点 14.已知曲线y=x2+1,问：是否存在实数a,使得 P(1,2),且在点P处有公切线 经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？ (1)求a,b,c的值： 若存在，求出实数a的取值范围：若不存在， (2)设抛物线g(x)=x2+bx+e上一动点M到 请说明理由。 直线y=3x-2的距离为d,求d的最 小值 进阶突破拔高练PO6 第五章黑白题41