第四章 数列 真题演练-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

4n≤6时.5>5-因为=200x7+40-200<0,。=200× 1-220 1-2 =2204-1:当2000<i<2024时，S2=1+2+22++ (仔）广0x6-20m=-5x750.所以1≤a6时.S<0.即前 242+2r5++23.1-2,21（1-20)=2-1+ 1-2 1-2 6年未盈利.当m≥7时，5。=-528.75+(440-20)(m-6).令8，>0.解 1224-1,≥2024. 2l-22,所以5m2-1+21-22m,200<i<2024 对于 得n≥8，所以该公司从第8年开始盈利. 18,(1)证明：由a1= -,可得1-2.3，-4， 3a.-4 2,当i≥2024时，32m4=21+22+…+22m4= 。所以 2-20(1-224 2=2-224;当2000<i<2024时，52@=2 012-21义由4 2,何得1 1-2 12 +2r2++2+2+1+2+2+…+22@.2,21-2@.2 1-2 1-2 2所以{}是以2为首项1为公差的等差数列，所以 5 1-2+224+=24-3+220心- 所以S:= 2-2204.i≥2024. 4+即数列a,的 22+(）:1a+1则，723 2-3+22-,2000<i<2024 通项公式为am=n+川 2n+3 第四章 真题演练 黑题 真题体幽 (2)解：①由(1)知4.= 2n+3 ,可得6， (a,-2)×10(4。-2 1.B解析：设等差数列1a。|的首项为a1,公差为d.则通项a。=a1+ （m-1)d,前n项和S。=m0),所以a+a,=2(a4+4d),、= 2 不是最大项，设第a项(n≥2)最大.则 9+4),从而aga,-弓再由已知条件=1得+0，=号故 ax(品广（品）厂 选B 9 可得 解得8≤ 2.B解析：由Sm-5,=a6++ag+ag+n1o=5=0,则g=0,则等差数 10n+2 9m+1 列a的公差”寸故a4d=1-4(）子 3 n≤9，所以数列1b的项取得最大值时n的值为8或9. 故选B 2s=2x+3x(品)++(a+x(品) ①，可得 3.C解析：由题知1+g+g2+g+g=5(1+g+g2)-4,即3+g=4g+42, 即g2+2-494=0,即(g-2)(9+1)(g+2)=0.由题知g>0,所以9=2 =2x(品)广+3x(0++(a1)x(品)月 ②，由 所以5，=1+2+4+8=15.故选C 4.C解析：设等比数列an的公比为g,因为54=-5，S6=21S2,所以 ①-2得=2x品（品）广+（侣广'++（品）广-a+× 9-L,否则5=0，从面S2,S-52,S6-5,5-S成等比数列，所以有 (品)"[品（品）广（品）'…（品）门a (5-8户=(21，+5)，解得号=-1攻5=？当8=-1时。 S,-S2S%-54,S-56,即为-1，-4，-16，Sg+21,易知.Sw+21=-64. (）广（门 (信 9 即=-85：当5=子时，3=a,+:+a,+a,=(a,+a,)(1+)=(1+ g2)5>0,与5=-5矛盾，舍去放选C 5.C解析：甲：ian为等差数列，设其首项为41，公差为d,烟S。=m,+ -()广门+)x(品）”，所以=9+0[ 2 d ()门-oa+wx()】 =99 9+ 9*1 10-1 -(n+1) =99 10 为等差数列则甲是乙的充分条作：反之，乙：（倍} 为等差数列，即 (a+11) 9+1 10 181-nt1)8.m1三为常数，设为1，即0 程+1n(+1)#(n+1) n(n+1) 19.解：(1)设|b.的公差为d,则6=6+3d=2+3d=11,解得d=3,所 则S。=m1-t…n(n+1),有S-1=(n-1)a。-1·n(m-1),n≥2，两式 以数列1b.1为2,5,8,11.8.5,2 相减得a=na+1-(n-1)an-2n,即a+1-a=2,对n=1也成立，因 (2)因为41，…，2-1构成首项为50，公差为-4的等差数列，所 此，为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件， 以6+e4=504-》x-=-2g+52%,所以5 C正确.故选C 2 2(0+01+…+e#-1)-04=-42+104k-50=-4(k-13)2+4×132- 6B解折：依题意，等差数列1，中，。+(a-）·否号 3 50=-4(k-13)2+626,所以当=13时，52-1取得最大值，且 (S4-1）mm=626. (a,)是然函数y=一[行+(，号)门的周别为3，面 (3)因为1,2.22，…，2成为数列中的连续项.且该对称数列的项 eN°，即csa.最多有3个不同取值又ea.lneN°1=a,b, 数为2i-1,所以这样的对称数列有：①1,2,22，…，22,2 则在cea,tsa2,co4中，当cosa1=csa2≠sa,或c0sa1≠ 252,…,22,2,1:②21,22.….22,2,1,2,22.，22.21因为> 2000,对于①，当i≥2024时，S2m4=1+2+22+…+22四= m=m时，有m=m(+行）即有+(，行)月 参考答案黑白题21 2km,4eZ,解得0=m-于，keZ,所以b=m气km-于) 2+b+…+6。=4×3+8×31+12×32+…+4m·3n-1.故3T,=4×3+8× 32+12×33+…+4n·3”.所以-27=4+4×3+4×32+…+4·31- m[(a号）g]-m(a-晋)）mkms-号 4n…3"=4+4x31-3- -4n·3=4+2×3·(3-1-1)-4n·30= 1-3 子：当os三os≠cs时，同理可得子故选R (2-4)·3”-2,.T.=(2n-1）·3+1. 12.解：(1)32=31+a,3d=41+2d,解得a1=d,S=31= 7.95解析：因为数列14.1为等差数列，则由题意得 26.129 0+23d=1,解得，则8o=10u,+10d=10 3(a+0=6d义乃=6++h+237石心8+7=6d4 (3(a+d)+a1+4d=5, d=3, (-4)+45×3=95.故答案为95. 云21，即2-7u+3=0,解得d=3或4=号（合去)0，=3 9 8.-2解析：设1an的公比为g(g≠0)，则a2aua5=a3a6=a2g·a59,显 a.=a1+(n-1)·d=3n. 然an≠0，则a=2,即a193=g2,则a19=1.因为mgao=-8,则a19”· 2低为等表数列西6即出名吕6（日 41g=-8.则g5=(g)3=-8=(-2)3,则g=-2.则=19·9= g3=-2,做答案为-2 ）-即-20期得d孩a=以 9.解：(1)因为2S。=301-3,故2S-1=3n。-3,所以2n,=301-3a。 1.∴4n>0,又Sm-Tm=99,由等差数列性质知，990-99%0=99，即 5 (n≥2).即50，=301，故等比数列的公比为93故2a,=3-3 w-如120-1，即-a-2500部得-51政 5 “知=-50（舍去）.当a1=24时.as0=a1+49d=51d=51,解得d▣1，与 b1子，合去：当a,=时0a+=50:51,解得奶综 (2)由等比数列求和公式得S。 上，de 50 ,所以数列S。的前n项和T=5+品+S+ 13.()解：设等差数列a的公差为d,而6=，-6，"数，则 61=a1-6,62=2a2=2a1+2d,b3=4-6=a1+2d-6,于是 [((3)）+(3)广+()门-= 5=4如，+6d=32.餐得05。 所以a,=a,+(n-1)d=2n+3,所 (7T3=4a1+4d-12=16, (d=2, -门÷-传÷÷ 以数列|a,的通项公式是.=2n+3 2 (2)证明：方法一：由(1)知，8=(5+2n3》=n2+n,6, 2 10.解：(1)因为2S,=nm.,当n=1时.2a1=e1,即a1=0:当m=3时， (2m-3.n为奇数当n为偶数时.61b,=2(n-)-3+4+6=6+ 2(1+)=3a3.即a3=2:当n≥2时，25.4=(n-1)a。-4,所以 14n+6,m为偶数. 2(S-S-1)=m.-(-1)a1=2n。.得(n-2)4n=(n-1)0-t:当n 1,=13+(6+).43 2 子当5时，不-8-( 3时合高宁1，即a,a1.当a1,23时都病足上 7(244)归4(-1)>0，因此7>8：当a为奇数时，7 式，所以a。=n-1(neN)。 2)因为=分.所以元=1x(分）广+2x(分广+3 2-5,当 (）广x(3）广ax(仔）广2x(3a 5时，r-8-(-5）(4n)=a*2a-5列>0， 因此T>5综上所述，当4>5时，T,>S 0x(行广+a×(兮)“，两式相诚得宁x=(行)广 方法三：由(1)知，S,=(5+2n+3》=2+4n.6 2 后广·（号广++（行）×(3）” (2a-3.n为奇数当n为偶数时，T.=(6+6,(6,6,++ (4n+6,n为偶数. 1传传 6,)=1+2(n-)-3.月，4+4n+6.1.3 2 2 2 222 2n,当n>5时， T-5=(子）(4n宁a-00,因此，>8肖 =2-2m(）广aeN 为奇数时，若n≥3，则T.=(b,+b3+…+b.)+(b2+6+…+b-4) 11.解：(1)当n=1时，4S,=4,=3a1+4,解得a,=4.当n≥2时，4S-1= 23.,4g6.号+宫5显鉴 2 2 30-1+4,所以48。-45-1=4n。=3n。-30-1,即a,=-3知-，而a1= 么一1满足上试.因此当为奇数时，不= 3 21-5,当m>5 4≠0，故a,≠0，放2=-3，所以数列a,是以4为首项。-3为公 da-1 比的等比数列，所以a,=4·(-3)一 时，-s=(2+-5(4na+2a-5>0.因t (2)由(1)得b.=(-1)1n·4×(-3)-1=4m·3-1,所以T=b1+ T>S.综上所述，当n>5时，T>S。 选择性必修第二册，RJA黑白题2第四章 真题演练 黑题 真题体验 限时：55min 考点1数列的概念、性质和运算 6.(2023·全国乙理)已知等差数列{a,}的公差 1.(2024·全国甲文)记S。为等差数列{a.}的 前n项和.已知S,=1,则a3+a,= ( 为集合S=csa,lneN,若S=a,b, 1 则ab= () A.9 A.-1 C.0 2.(2024·全国甲理)记S.为等差数 0.2 列{a,}的前n项和，已知S,=So, 7.(2024·新课标全国Ⅱ)记S。为等差数列 a5=1,则a1= {an}的前n项和，若a3+a4=7,3a2+a5=5, B.3 则S1o= 8.(2023·全国乙理)已知{an}为等比数列， a2a4a5=a3a6,aga10=-8,则a7= 考点2数列的综合应用 3.（2023·全国甲理)设等比数列 9.(2024·全国甲文)记Sn为等比数列{a.}的 {an}的各项均为正数，前n项和 为S.,若a1=1,S,=5S,-4,则S= 前n项和，已知2Sn=3a.+1-3. A 哈 (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和. C.15 D.40 4.(2023·新课标全国Ⅱ)记S。为等比数列 a}的前n项和，若S4=-5,S。=21S2,则S。= A.120 B.85 C.-85 D.-120 5.(2023·新课标全国I)记S。为数列{a,}的 前n项和，设甲：a,为等差数列：乙：倍 为等差数列，则 ( A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 选择性必修第二册·RUA黑白题36 10.(2023·全国甲理)设S。为数列{a,}的前12.(2023·新课标全国I)设等差数列{an}的 n项和，已知a2=1,2Sn=nan 公差为d,且b1.令b.=+”,记S,工，分别 (1)求{an}的通项公式： 为数列{an},{bn}的前n项和. (2)求数列2}的前n项和工 (1)若3a2=3a1+a,S3+T3=21,求{an}的 通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S-Tg=99,求d 11.(2024·全国甲理)记S。为数列{a,}的前13.(2023·新课标全国Ⅱ)已知{an}为等差数 n项和，已知4Sn=3an+4. an-6,n为奇数， (1)求{a,}的通项公式： 列，bn= 记S,Tn分别为数 2a.,n为偶数， (2)设bn=(-1)-na。,求数列{bn}的前n项 列{a,},{b。}的前n项和，S4=32,T=16. 和T. (1)求{an}的通项公式 (2)求证：当n>5时，Tn>Sn 第四章黑白题37