第四章 数列 章末检测-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

11.解：(1)设等差数列1a,的公差为d,等比数列{6.}的公比为g(g≠ a2-2a-6≥2，解得a≤-2或a≥4，即实数a的取值范围为 、0),由a=3,6=1,4+=10,-24=0,得{3321024，解 (-0,-2]U[4,+).故答案为a,=2n-1:(-,-2]U[4,+). 6.(1)解：a.+2S。=1,∴a1+2S1=1(n≥2)，两式相减，得a.- 得2所以a162 01t2a,=0a,=了(n≥2).又当a=1时，4=子a,为 (2)由(1)知，3=n(3+2m+ =n(n+2),因此当n为奇数时，e。= 2 等北数别，公比为g时4a子（行）尸-（传）月 n(+2)看n+2当n为偶数时，6=2，所以T.=6+6+ 21-1 （a证開设么=(2-，-a-x(传）广…五寸 111 11 eyteates*…+e-1t+ea=（1-3+3亏+…+2n2n) 3 （242+2=122412号4-w 2 专题探究3数列的综合应用 黑题专题强化 化商得=1eN1=1 3+ 1,B解析：设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为a1,2,,a4,由题意 2(a+a2)=a+aar 7无=+1n+23〔n+1）-n-2=2是>0刀。关于单湖递 33+1 3*1 a1+a2+a,+a=12. 211 得 a1+a3 增(T)m=7=13了心3≤7.<1 a2= 2 通过等差中项可判断a1,41,a,a4成等差数 第四章章末检测 2+a4 2 1.B解析：数列1,3,5，…，√2n-1,…,通项公式为an=√2n-1,令 列，设该数列为a,上，公差为d,由题意得2(a+m)-a即 (a1+a2+a3+a4=12, =√2m-I,解得n=6,枚选B. 2(2a1+d)=2a1+5d 3 解得乞'故选R 2.B解折：a,=-1,由a(a.-)+1=0(aeN)可推得a11-a 4a1+6d=12, d=1. 11 2.C解析：由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为2×(1+ 则分高2a-1,做数列1a是周 0.02)0万元，2024年存的2万元共存了9年.本息和为2×(1+0.02)9万 期为3的数列，从而数列{a,}的前9项和为S,=3(a1+%2+a)=3× 元.·，2032年存的2万元共存了1年，本息和为2×(1+0.02)万元. 所以到2033年1月1日将之前所有存款及利总全部取回，他可取回 (1+之2)小-号做选B 的钱数约为2×(1+0.02)0+2×(1+0.02)”+…+2×(1+0.02)= 3.A解析：an}为递增的等差数列，则au<a由a3+a6=8,得a+a5= 2×1.02x(1.02°-1204×(1219-业-23（万元），放选C 8,a44=15,联立方程组，解得a4=3,a5=5.故选A 1.02-1 0.02 3.390解析：数列1an满足an=5n+15,a1=20,a2=25,4=30, 4.A解析：当n≥2时，a,=S。-S-1=a+2b-(a+2b)=2-6,当n=1 a4=35,45=40,a6=45.:在任意相邻两项a4与a1(k=1,2,…)之 时，a=S=a+26因为数列{a,为等比数列，所以.，即 间插人2个3，其中a1,a2之间插入2个3,42,4之间插人4个 6 3,4,a4之间插人8个3，a4,45之间插人16个3，a5,6之间插人 2b 32个3，a6,41之间插人64个3，….又6+2+4+8+16+32=68<70， a+2,解得6=a+2b且6≠0，即@+6=0且b≠0因此充分性成立：若 6+2+4+8+16+32+64>70,.数列{b,的前71项含有{a。1的前6项 a+b=0,当a=0且b=0时，41=0，甲不成立，故必要性不成立.故选A 和65个3，故Sm1=20+25+30+35+40+45+65×3=390.故答案为390. 5.B解析：由题意，a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,44=10=1+2+3+ 4.D解析：等比数列{a。首项a1>0,又因为数列|a,|为“超级数列”， 则有4=8<4=419，所以g>1,又8-1Y) 4,,则au=1+2+3++64=1+64 ×64=2080,故选B. 2 1-g ，a1=41,由S< 6.B解析：由等差数列的性质知，a1+ag=2a5,a1+a=a5+a。4,因 a1,即1g) 为3，=9a.9a,=18,放4=2又8=na 1-g a19g1-24+1>02-9<,依题意，任意的】 2 2 aN,2-9行函数=（行）广（≥）在1，+)止单测造减，值 a(+a=240,赦（2430=240，所以n=15.放选B 2 2 城是(0，号]因此29≤0，解得9≥2，所以9=2，+)放选D 7.C解析：等比数列{a。}的前n项和为S,S-1■5，S。=-11, Sa1=21,则am=Sn-Sa-1=-11-5=-16,aa*1=Sa1-Sm=21- 5.n=2n-1(-g,-2]U[4,+0)解析：a1+a+a4=13,a2+a,+ 06=21,两式相减，得公差d21-5=2,则a1+0,n,=34+5d=3如，十 （-1)=2,图此公比g==沿=-2，曲又-1山，得 a。 4 a1[1-(-2)] 10=13,所以a1=1,故a,=2n-1:则有，4= 4 =-11,面a1=01(-2)"=32,解得m=5,a1=-1,所 a.“a+(2n-1)(2n+1) 1+2 以m等于5.故选C (品1)则-2[（号）（号）+( 8.C解析：由a,41=2”,得a1a2=2,两式相除得=2，所以 2)]小-2(2)k2,又1<-2a-6(aeN)恒成立，则 数列1a.的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列.又a3=2, 参考答案黑白题9 则0=2，所以4=2因为=1≠2，所以数列a,不为等比数 以满足T,+T2+…+T,>50的最小正整数n的值为12故答案为12 列，故A错误：由a=2,ana1=2”,得2=2，a1=1,则S2=a1+2=3, 14.5或7解折：由1=2，可得，2.2，即1+1 dndw2 Onel'dasi dn 故S2-3=0,而等比数列中不能出现为0的项，所以数列S。-3引不为 2 ,所以数列{1}为等差数列设公差为d,所以6d=11 等比数列，故B错误：由A,B选项可得，当n为奇数时，a。=1× 0a+ 。 ag a3 2兴=2号，当n为偶数时，4=2×21=2京，则a2=2宁 2024 12,则d=2,由1+2d=,解得1=-13，所以1=-13+2(n 202,故D错误；S1om=(a1+a3ta5+…+ag）+(a2+a4+a6+…+a1m) （1+2444+2)+(2+4+8+…+29)=1上-2,2x1-22.20-1+ 1)=2n-15,则a,2-5当1≤n≤7时，a,<0,当n≥8时，a,>0, 1-21-2 故当1≤n≤5时，bn<0,b6=a6a7ag>0,b,=aa3ag<0,bs+b= 2×(20-1)=3×(20-1),故C正确.故选C a7a(a。+ag)=0,当n8时，bn>0,所以数列bn的前n项和最小 时，n=5或7. 9.CD解析：由a+1= (neN)可得，=+1(n∈N”),所以目 datl an 15.解：(1)因为等比数列|a,1的公比g=3,所以a1+a2=a1+3a1=4a1= {}是公差为1的等差数列，故C,D正确，=1+(a-)x1= 号可得4=号质以e号3=2x3,所以5 1-g a=斤，故@，不是等差数列，且a,为单调递诚数列，故A,B领 号1-3 误，故选CD. 1-3 3m21 9 10.ACD解析：由a1=2a,+3,所以a1+3=2(0+3).因为a1=1,可 2 1 得a1+3=4,所以数列1an+3引是等比数列，所以B不正确：可得a+ (2)由(1)得6==子4=24=1，所以6，}的公差d=1- 31 3=4×21,所以a.=21-3,所以C正确；又由a3=24-3=13,所 子所以元.d子e 2 6 6 以A正确：由S。=22-3+23-3+2-3+…+21-3=22+23+24+…+21- （3+3+3++3)=41-2）-3n=22-3n-4,所以5，=22-3n-4. 1搬调为，瓜后空当1时以 1-2 所以D正确，故选ACD. 1,所以a=1:当n≥2时，+回++a1-a-)2n 2 11.BD解析：若{a.}是等差数列，a1s+a16>0,a5+an<0,所以a1+a0> 0,a1+1<0,则S0>0,S1<0,所以使S,>0的最大正整数n的值为 所以石na-n1n,所以a.=,经检验当=1时。 2 2 30,故A错误：若{a是等比数列，S,=5”+e,则a.=S,-Sn1=5+e- an=n2也成立，所以a,=n2 5-1-c=4x5-1,所以{a.是首项为a1=4,公比为5的等比数列，所 以S,-41-5=5-1=5+e,所以c=-1,故B正确：若a,1是等 a运用由)可得宁所 1-5 111 a(1-g) 以S=14+49+…+ 2a+01 (a+01,当n=1 比数列，则S。= 1-9,91故C错误：若a,+4813=0 na1,9=1, 时=1子且581on] (a≥2)4=号则5-51+451=0(a>2),所以5-51 (a+1)产a+20,所以18单调递增，所以子≤S<1 -45及所以。-4，即{ S-Sn =4，所以 S-1a 4,所以11 Sa S1 17.格：()由题知a=10mx(行）广，当10m(号）”≥20eN {}是以人=上=4为首项，4为公差的递增等差数列，故D卫 S a 时，解得1≤n≤6，所以4n n∈N·,所以 确：故选BD. 20,n≥7. 122解析：由题意可得+0，=2a+4d=6 解得-1故答案 当1≤n≤6，neN'时，b。=80n-40,当n≥7，neN'时，bn=b6= (S=9a1+36d=63, ld=2, 180n-40,1≤m≤6 440,所以b.= nEN'. 为2. (440,n≥7， 1312解折：当1时，有宁72，所以万=之：当>2时，由 (2)当1≤n≤6时，总利润8=n(40+80a-40) 2 +7=2,得2+1 Ta T =2,即2T.=2T1+1(n≥2)，所以数列 1-(2）广] T +40m2-2000.因为S。 |2T,|是等差数列，其中公差为1.首项为2T1=3,可得2T=3+(n 1)x1=n+2,即T.=分+1，所以7++…+T.=2(1+2++n)+ s-20o0x(分）广+80n-40(a≥2，到=-20x(}）广 g者7++…+7>0则 n=2× >50,即 2 4 0-0≥2)为增函数，且/3)=-20x(号）广+240-40<0， n2+5n>200.因为数列|n2+5n是单调递增数列，且当n=11时，n2+ 5n=121+55=176<200:当n=12时，n2+5n=144+60=204>200,所： 4)=-200x(） +320-40>0,所以当2≤n≤3时S。<5-1,当 选择性必修第二册·RUA黑白题20 4≤a≤6时，5>8因为s=20x740-2000,=20x 1-22024 1-2 =2204-1:当2000<i<2024时，52m=1+2+22+…+ (仔）广06-200-5然75<0，所以1≤a6时及<0.即前 21+2+21+…+220.1-2,2421-20).24-1+ 1-2 1-2 6年未盈利.当≥7时，Sn=-528.75+(440-20)(n-6),令5n>0,解 （2204-1,i≥2024， 21-23,所以51m{2-1+21-2-2m,2000<ic2024: 对于 得n≥8，所以该公司从第8年开始盈利. ②，当1≥2024时，S24=21+22+…+2204= 18.(1)证明：由a= 3a。-4 0所以 7可得之=02=么之2 22004(1-220 12-21,即1.1 1 1-2 2=2-22@,当2000<i<2024时，S204=24 2-21又由a=, a1-2 +22+…+2+2+1+2+2+…+22@44.1-221-20-2- 1-2 1-2 气=2所以{}是以2为首项，1为公差的等差数列，所边 1-2+22025+=2-3+220脑】 所以52m4 2-2-204,i≥2024， n+,即数列1a,1的 224(-01n+1,则62e 12-3+224,2000<ic2024 通项公式为a,=n 2n+3 第四章 真题演练 黑题 真题体验 (2)解：①由(1)知4。= ,可得6.= 2n+3 9 a-2)x10(a,-2)× 1.B解析：设等差数列la,的首项为a1,公差为d,则通项a。=a1+ (品广=a1x(广，当=1时=号 ,所以b1 （a-1)d,前n项和S,=4a)n4,所以a+a=2a+4d), 2 不是最大项，设第n项(n≥2)最大，则 9a+4),从面a0-子形由已知条件=1得a+a子放 a(品广>x(名)尸 +110 选B n9 可得 解得8≤ 2.B解析：由So-S,=a6+a,+ag+ay+a0=5ag=0,则a4=0,则等差数 a1)x(品)广≥(a+2x() 10。n+2 9n+l' 列a的公差4子故a44=1-4x(号）子 3 n≤9，所以数列1b,}的项取得最大值时m的值为8或9. 故选B. 23（ ++a+x(品)月 ①，可得 3.C解析：由题知1+g+g2+g3+g=5(1+g+g2)-4,即g3+g=4g+4g2. 即q3+g2-4g4=0,即(g-2)(g+1)(q+2)=0.由题知g>0,所以g=2, 0-2x(0)°+sx(品）广+a+1x(品) ②，由 所以S,=1+2+4+8=15.故选C. 4.C解析：设等比数列an的公比为9，因为S,=-5,S6=21S2,所以 ①-@六=2x品（倍）广（侣广+（侣）广-ax 9≠-1，否则S=0,从面S2,S,-SS6-54,S-S。成等比数列，所以有 (品)品[品（品）(0)广+（品）]-a+ (5-8号)2=8(28+5)，解得号=-1或=当$=-1时， S2,S,-S2,S6-S4,S-86,即为-1，-4，-16，Sg+21,易知，Sg+21=-64, 即5=-85，当S,=时，=a+a+a+e,=(a+a)(1+)=(1t g2)32>0,与S4=-5矛盾，舍去故选C 5.C解析：甲：{an)为等差数列，设其首项为a1,公差为d,则S,=na1+ 9-(品)广门(a+)×(品)）”，所以3=9+0[ 2 2d= (品)]-oax(0) 10-(n+1). 9*1 =99 为等然数列，则甲是乙的充分条件：反之，乙：(} 为等差致列，即 9+1 10 5a5-a18为常数，设为，即8 +1n(n+1)n(n+1) n(n+1) 19.解：(1)设6n的公差为d,则6=61+3d=2+3d=11,解得d=3,所 则Sn=a1-t,n(n+1),有Sn-1=(n-1)a。t·n(n-1),n≥2，两式 以数列1b。}为2,5,8,11.85,2 相诚得a.=na1-(n-1)a,-2n,即a1-=2,对n=1也成立，因 (2)因为©4,1，，c21构成首项为50，公差为-4的等差数列，所 此{a,为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件， 以01+…t1=50-》X-》=-2+52k,所以5Sa1= C正确.故选C 2 2(c+c*1+…+e2-1）-c=-42+104k-50=-4(k-13)2+4×132- 6B解折：依感宣，等差数列1a中，6=4+(a-),号号 50=-4(k-13)2+626,所以当k=13时，S2-1取得最大值，且 (524-1)mm=626. (a罗)，显然函数y=一[学a+(号)门的周期为3，面 (3)因为1,2,22，…，21成为数列中的连续项，且该对称数列的项 neN”,即cosa,最多有3个不同取值又cosa,n∈N1=a,b1, 数为2-1，所以这样的对称数列有：①1,2,22，…，22,2， 则在csa1,cos2,c0sa3中，当cowa1=csa2≠c%a3或co%a1≠ 22,…,22,2,1:②21,22，，2,2,1,2,22，…，22,21因为i> 2000,对于①，当i≥2024时，S24=1+2+2+…+22咖= m=m4时，有m0=m（+号），即有+(0+号）月 参考答案黑白题21第四章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. A.2016 B.2080 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 C.4032 D.4160 目要求的， 6.(2024·吉林通化高二月考)等差数列{an中， 1.(2024·河南南阳一中高二月考)已知数列1， 若S,=18,Sn=240,am4=30,则n的值为() 3,5,…,2n-1,…,则11是这个数列的 A.14 B.15 A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项 C.16 D.17 2.(2024·安徽毫州高二期中)已知数列{an}满 7.(2024·黑龙江哈尔滨高二月考)设等比数列 足a,=-1,a(an-1)+1=0(neN),则数列 {an}的前n项和为Sn,若Sm-1=5,Sn= {an}的前9项和为 ( -11,Sm1=21,则m等于 A.6 C.3 D A.7 B.6 3.(2024·福建福州高二期中)已知{an}为递增 C.5 D.4 的等差数列，a4a5=15,a3+a6=8,则a4= 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a3=2, ( a.a+1=2”,则下列结论正确的是()》 A.3 c3或5u安号 A.数列{an}为等比数列 B.数列{S,-3}为等比数列 4.(2024·四川成都高二月考)数列{an}的前 n项和S。满足Sn=a+2b,设甲：数列{a。}为 C.S1wm=3×(20-1) 等比数列；乙：a+b=0,则甲是乙的 D.a20m4=20u A.充分不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共 B.必要不充分条件 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 C.充要条件 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， D.既不充分又不必要条件 有选错的得0分 5.(2024·福建龙岩高二月考)“杨辉三角”是中 9.(2024·山东菏泽一中高二月考)已知在数列 国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡 三角形”早了300多年.如图所示的是由“杨 1a}中，a,=1,a1= (neN·),则下列结 辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上 a,+1 的数1,3,6,10…构成数列{an},记an为该 论正确的是 数列的第n项，则a4= ( A.{a.}是等差数列 B.{an}是递增数列 C是等差数 10,10 D.{} 递增数列 a 第四章黑白题33 10.(2024·福建莆田高二月考)已知数列{a,}四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 是首项为1的正项数列，a1=2an+3,S。是 文字说明、证明过程或演算步骤 数列{a,}的前n项和，则下列选项正确的是 15.(13分)已知等比数列{an}的公比q=3,且 A.a3=13 axtaz=g B.数列{an+3}是等差数列 (1)求{an}的前n项和Sn; C.an=21-3 (2)若等差数列{bn}的前2项分别为a2 D.Sn=2a+2-3n-4 2,求6.}的前n项和7 11.(2024·辽宁沈阳高二月考)已知数列{a.} 的前n项和为S,(n∈N·),下列说法正确 的是 ( A.若{an}是等差数列，as+a16>0,a1s+an< 0,则使S>0的最大正整数n的值为15 B.若{a,}是等比数列，Sn=5+c(c为常数)， 则必有c=-1 C.若a,是等比数列，则9.=1-g） 1-g D.若a+45=0(n≥2).4=子则数列 16.(15分)(2024·河南南阳高二月考)已知数 (侵}为递增等差数列 列a满是，瓜+瓜+6= (1)求{a,}的通项公式； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2024·江苏南京师大附中高二月考)已知 (2)设6，=2n+1 ,记数列{b,}的前n项和 anQn+ 等差数列{a,}的前n项和为Sn,公差为d.若 a2+a4=6,S,=63,则d= 为9，证明2≤8<1 13.(2024·河南洛阳高二期末)已知数列{a.} 的前n项积为T,且2+=2，则满足T+ a。T T2+…+Tn>50的最小正整数n的 值为 14,(2024·河南焦作高二期末)已知数列{a.} 满足1= 2 anan+2 aa+ant2 ,且a= 943若 b,=a,aa+1a+2,则数列bn}的前n项和最小 时，n= 选择性必修第二册·RUA黑白题34 17.(15分)(2024·福建厦门高二月考)某公司19.(17分)(2024·浙江杭州高二期中)若有穷 生产一种产品，第一年投人资金1000万元， 数列a1,a2,…,a(n是正整数)，满足a1= 出售产品后收入40万元，预计以后每年的投 a,a2=a-1,…,a,=a1,即a,=a-1(i是正整 入资金是上一年的一半，出售产品所得收入 数，且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”. 比上一年多80万元.同时，当预计投入资金 (1)已知数列{b.}是项数为7的对称数列， 低于20万元时，就按20万元投人，且当年出 且b1,b2,b3,b4成等差数列，b,=2,b= 售产品的收入与上一年相同 11,试写出{bn}的每一项， (1)设第n年的投入资金和收入金额分别为 (2)已知{c.}是项数为2k-1(k≥1)的对称 an万元，bn万元，请求出{an},{bn}的 数列，且c,c41,…,c2-1构成首项为50， 通项公式 公差为-4的等差数列，数列{c.}的 (2)预计从第几年起该公司开始并持续盈 前2k-1项和为S24-1,则当k为何值 利？请说明理由.（盈利是指总收入大于 时，S取到最大值？最大值为多少？ 总投入) (3)对于给定的正整数>1，试写出所有项数 为2i-1的对称数列，使得1,2,2， …,2成为数列中的连续项：当i>2000 时，分别求出所有对称数列的前2024项 和S224 18.(17分)(2024·广东广州高二期末)数列 3a.-4 {an的首项a=,a1= an-1 ①)证明(}是等差数列，并求1。的 通项公式 9 (2)设b.(a,.-2)×10 ①当数列{bn}的项取得最大值时，求n 的值； ②求数列{bn}的前n项和Sn 第四章黑白题35