第四章 专题探究1-3-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

专题探究1数列通项公式的求解 黑题 专题强化 限时：45min 题组1累加法 a10= ( 1.(2024·安徽蚌埠高二月考)数列 A.80 B.100 C.120 D.143 {an}的首项为8，{bn}为等差数列， 权频讲解 8.(2024·河南驻马店高二期中)已知数列a1= 且bn=a1-an(n∈N),若b3=-2,bo=12,则 ag等于 1,a41= ( 。+则数列a}的通项公式 A.0 B.3 C.8 D.11 d= 2.(2024·安徽毫州高二期中)若数列1a,}满足9.已知数列{a,}满足a1=2an+4· an=an-1+ （n≥2且neN,),a,=),则 3-1,41=-1,则数列{a,}的通项公 2+n 式为 a2024= ( 10.已知数列{an}满足：a1=1,a2=4,4a+1-3am 人8昭 2023 2024 2025 B.2024 C.2025 D. a+2=0,则an= 2026 题组4利用a,与S.关系求解 题组2累乘法 11.(2024·广东惠州高二月考)设数列{a,}的 3.(2024·山东青岛高二月考)若数 前n项和为S。,若Sn+n=2a。,则a,=() 列{a.}满足(n-1)an=(n+1)a- A.65 B.127C.129 D.255 (n≥2)，a1=2,则满足不等式a.<930的最 12.(2024·安徽合肥高二月考)记数列{an}的 大正整数n为 ( 前n项和为Sn,已知a1=3,Sn1=3Sn+2n+3, A.28 B.29 C.30 D.31 则色*0+2 4.已知数列1a,}满足a=1,a32'aa 1aa+24aa+1 a1+a2+2 13.已知数列{a.}的首项为1，记其前n项和 则a5= 为Sn,Sn= .(n+1 A.2-2 B.2-10 C.29 D.28 .求an 题组3构造辅助数列求解 5.(2024·山东聊城高二期末)已知数列{a,}满 足a+1=2(an+1),若a5=78,则a1=( A.4 B.3 C.2 D.2 6.（2024·广东佛山高二月考)已知数列{an}满 足an1=4an-12n+4,且a1=4,若a4=2024, 则k= ( A.253B.506 C.1012D.2024 7.(2024·江苏南京师大附中高二月考)已知数 列{an}满足a1=3,a1=an+2√an+1+1,则 第四章黑白题29 专题探究2数列求和 黑题 专题强化 限时：50min 题组1公式法 题组3裂项相消法 1.(2024·河南南阳高二月考)设等差数列的前 5.(2024·四川南充高二期末)已知数列{an}是 n项和为Sn,已知S5=92,Sn-5=200,S.=288, 等差数列，且a1=1,a3=a2+2a1,S。是数列 则n的值为 ( {a,}的前n项和. A.16 B.18 C.24 D.36 (1)求数列1a,}的通项公式； 2已知数列1a满足号+ 1 +…+ 3 (2)设bn= （n∈N),数列{bn}的前 3 √S.Sa (nEN'). n项和T.,求证：Tn<1. (1)求{a}的通项公式； (2)在{a,}相邻两项中间插人这两项的等差 中项，求所得新数列{b.}的前2n项和T 6.(2024·四川成都高二期中)记S.为数列{an} 的前n项和，且2Sn=3an-2n,neN'. (1)求a1及数列{a}的通项公式； (2)若6=2x3 ,{b.}的前n项和为T.,求T anant 的取值范围。 题组2倒序相加法 3已知函数)=安则f(兮)（侵）+… f（2)1+2)+…8)9)= 4.(2024·江苏盐城高二月考)设函 数)=2名利用课本中推号等 差数列前n项和的方法，求得f(-5)+f(-4)+ …+f0)+…+f4)+(5)的值为 选择性必修第二册·RUA黑白题30 题组4错位相减法 题组5分组（并项）求和法 7.(2024·陕西渭南高二期末)已知各项均为正9.(2024·江苏南京高二月考)在数列{a.}中， 数的等差数列{an}的前n项和为S.,a2·a4= 已知a,=1且a1+an=2n,则其前27项和Sn 8,S3=15. 的值为 () (1)求数列{a.}的通项公式； A.56 B.365 C.481 D.666 (2)设b=2-1,求数列{a,·bn}的前n项 10.(2024·山东潍坊高二期中)记数列{a.}的 和Tn 前n项和为Sn,若an=(-1)"(2n-1), 则S1o1三 A.301B.101 C.-101 D.-301 11.(2024·辽宁沈阳高二期中)已知等差数列 {an}的前n项和为Sn(n∈N.),数列{bn}是 等比数列，a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5 2b2=a3 (1)求数列{a,和{b,}的通项公式； (2)若c.= n为奇数， 2 设数列{cn}的前 b.,n为偶数， 8.(2024·山东日照高二月考)在“①S4= n项和为T,求T 15,S2=3:②a1+a2=3,a3=4”两个条件中任选 一个，补充到下面问题中，并解答 已知正项等比数列{an}的前n项和为S.,满 足 .(填序号)》 (1)求数列{a.}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和7 第四章黑白题31 专题探究3 数列的综合应用 黑题 专题强化 限时：35min 题组1数列中的新定义、新情境问题 遣支教学生.记S。为派遣70批学生后支教学 1.《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载 生的总数，则S,的值为 了关于家畜偷吃禾苗的问题假设有羊、骡子、 题组2数列与函数、不等式的综合问题 马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的 4.(2024·重庆八中高二月考)设数列{a。}的前 主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔 n项和为S.,若对任意的n∈N”,都有Sn< 偿12斗粟羊的主人说：“羊吃的最少，羊和骡 a1,则称数列{a.为“超级数列”.已知{an} 子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的 是首项为正数、公比为g的等比数列，若{a} 一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊 为“超级数列”，则公比g的取值范围为()》 和马吃的禾苗总数的一半”马的主人说：“马 吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一 A[竖1)u1,*a)B1,*) 半.”若按照此比率赔偿，则羊的主人应赔偿的 C.[2,+o) D.[2,+o) 粟的斗数为 ( 5.(2024·安徽毫州高二月考)已知等差数列 A.1 C.2 0. {an}满足a1+a3+a4=13,a2+a4+a6=21,则数 列{an}的通项公式为 ;记数列 2.(2024·江西南昌高二月考)某人从2023年 起，每年1月1日到银行新存人2万元（一年 在}的前a项和为无若工<-2a 定期)，若年利率为2%保持不变，且每年到期 6(neN)恒成立，则实数a的取值范 存款均自动转为新的一年定期，到2033年 围为 1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他 6.(2024·江西吉安高二期末)已知S,为数列 可取回的钱数约为（单位：万元） ( {an}的前n项和，且an+2Sn=1. 参考数据：1.02°≈1.195；1.020≈1.219； (1)求数列{an}的通项公式； 1.02"≈1.243. (2)设Tn为数列{(2n-1)an}的前n项和，求 A.2.438B.19.9 C.22.3 D.24.3 3.(2024·安徽淮北高二月考)某师范大学学生 证：3≤7<1 会成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批 派遣大四学生赴乡村支教原计划第一批派 遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人 由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变 派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各 批人数依次构成的数列记为{a,},在数列 {an}的任意相邻两项a4与a+1(k=1,2,…） 之间插入2个3，使它们和原数列的项构成一 个新的数列{b.按新数列{b}的各项依次派 选择性必修第二册·RJA黑白题32四思路点拨 ;3.B解析：依题意，数列an1满足(n-1)a。=(+1)a(n≥2)， 本箱考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P()对 n=成立，则它对=k+1地成文，由此类推，对>最的任意整数均 、4，t(m≥2.所以=a‘‘…2x了× 成立，结合逆否今愿可真同假的原理，当P(n)对1=不成立时，则 nn+ =n(n+1),a1也符合，所以a,=m(n+1),a. 它对n=-1也不戒立，由北类推，对<居的任意正整数均不成立， 由此不难得到答案， 是单测递增数列，由8。=(n+1)<930,(n+31)(m-30)<0,解得-31< n<30,所以n的最大正整数值为29.故选B. 4.2(2k+1)解析：当n=k时，左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k),当 n=k+1时.左边=(+1+1)(k+1+2)·…,(k+1+)(+1+k+1)= 4.D解析：a=132·a=0, (+2)(+3)·…·(2站+1)(2张+2)，所以左边应添加的因式为 2(2k+1).故答案为2(2k+1). 2=汉，公比为4的等比数列“ 42 2 5.5解析：当m=k时，原式为1+2+22+…+2-，当n=+1时，原式为 a41a1 1+2+22+…+21+2+2+1+2+1+23+2+4.比较后可知多 2‘a8心=2故选D 了24+2+1+24+2+2+3+2+4，共5项. 6.证明：①当n=1时，4+15n-1=18.能被9整除，故当t=1时，4"+ 5.B解桥：由a1=2(a,+1)可得a+2=2a,+2,所以”-1t2 《22 15a-1能被9整除 则|a,+2是公比为2的等比数列.所以a,+2=(a,+2)·2=78+2. 2假设当n=k时，命题成立，即4+15k-1能被9整除，则当n=k+1 所以a1=3.故选B. 时.4+1+15(4+1)-1=4(4+15k-1)-9(5-2)也能被9整除 6.B解析：因为a+1=4a,-12n+4,所以a+1-4(n+1)=4(a。-4n).因 综合①2可得，对任意正整数n.4"+15m-1能被9整除 为a1=4,所以a1-4×1=0,敌14。-4n为常数列，所以4n=4m.由a1= 4h=2024,解得k=506.故选B. 7.(1)解：由b.+b+i= a后T+D又有 7.C解析：因为1=a.+2a+T+1,所以a1+1=(a,+T)2+ n(a+们所以易知6，>0，且6.·61=后·可②，联立 2√a,+订+1，即1+1=(an++1)2,等式两边开方可得 √ai+灯=√瓜，+可+1，即a++可-aT=1,所以数列 解得6=√n |,+可1是以首项为√m,+可=2，公差为1的等差数列，所以 (2)证明：由题意知a,=尿=n,所以令m)=1+ 1 n+a1i+dym+a。 √an+可=2+(n-1)×1=n+1,所以a=n2+2n,所以a1n=102+20= 120,故选C +…+ n+l n+2 2n 8. 解析：由题意得1+ 是首项为1，公差 是因为n为大于1的自然数，当=2时，左边22号 11 。 a。 17 13 为1的等龙数列，得。，甲心。放答案为日 4立右边=24左边>右边，所以m=2时，不等式成立：假设当 9.。=4×3-1-5×2解析：设41+A·3”=2(2,+A·3-1).整理得 .113 k时原不等式也成立.即八)=中十+2+2之4成立.则当 81=20。-A·3-1,可得A=-4,即a1-4×3”=2(a。-4×31),且 a1-4×3-=-5≠0，则数列1a,-4·3=是首项为-5，公比为2的等 n=1时，k+1)严+1中1+2… 24'2+12+2即/八+ 比数列，所以，-4×31=-5×21，即a=4×3-1-5×2. )到+22+2中+242+2).所以+1)> 11 11 1031 2 解析：依题意a1=1,2=4,4和1-3an-am2=0,0+2-a+三 二牛1时，原不等式仍成立，所以 3(a1a,),所以数列a1口。是首项a2-a1=3,公比为3的等比 数列，所以a1a=3”.所以，=1+(a2-01)+(-a2)+…+(a. 原不等式总成立故1+」十 113 n+1n+ n+a220 a-1)=1+3+32+…+3m-4=1-3”.3”-1 1-32,=1也满足，所以4= 专题探究1数列通项公式的求解 放答案为" 3°-1 黑 专睡蹈化 11.B解析：n=1时，1+1=2a1,则a1=1.n≥2时，an=S.-Sn-1=2an 1.C解析：设等差数列1b。1的公差为d,因为b3=-2,b响=12，可得 n-[2a-(n-1)]=2a,-2a1-1,六an=2a。1+1,.a,+1= +2-2可-6 2(。+1),a1+1=2≠0,1a,+11是2为首项，2为公比的等比数 (b,+9=12, 得6，=2n-8,又因为b,=a1-a。,即 (d=2 列，1+1=2×28=27=128，.1=127，故选B. “1-an=2-8,所以ag=a1+(a2-a1）+(a-2)+…+(ag-a,)=8- 12.9解析：由S1=3$.+2n+3,可知当n≥2时，5。=35。-1+2n+1,所 6-4-2+0+2+4+6=8.故选C 以51-5n=3(5-5-1)+2.即a1=3m,+2,从而a1+1=3(a.+ 1).当n=1时.52=3S,+5,所以41+a2=31+5.又a1=3,所以2= 2.C解析：由a,=am1+ 1可得。- n+ 2nnn中则有a,= 11.从而2+1=3(a1+1).故|a,+1|是以41+1=4为首项，3为公比 (o)+(d)()tnn 1111 的等比数列，所以a,+1=4,3,所以5：+2.+l+a:1 a+a2+2a,+1+a,+1 }}1山故器故选c 11,1 4x3°+4x3=9放答案为9 4×32+4×3 参考答案黑白题17 13.解：由已知得28.=(n+1)a,所以2S1=(n+2)1,两式相减 得2na+2a1-(a+1a所以2号，放数列（色-}为常 (}号+（日）=1于aeN,期>0，故 n+l n T<1成立. 数列，则兰：=1，所以a,=m 6.解：(1)由25。=3a。-2n可得2S,=3a1-2.解得a1=2,当n≥2时， n I 由25，=3，-2m可得25。-1=3a。-1-2(m-1).两式相减可得2a.= 专题探究2数列求和 3a。-30-1-2,即a。=30-1+2.可化为a.+1=3(4-4+1).故数列 an+1是首项为3.公比为3的等比数列，则8，+1=3”，可得an= 黑题 专题强化 3-1 1.A解析：由题意可得S,-5-5=n+a-1+a.2+和3+aa-4=288-200= (2)由b.= 2×3 2×3" 11 88,即an*0。-1te-2*an-3tan=88①，S5=a1+3*a3+a4ta5= ,a(3-1)(3-313所以7=2 111 92②，且等差数列满足anta,=2+a-1=a3+an2=a4+a3=a+ 1111 am4.①2两式相加得5(an+a1)=88+92=180,六a。+a,=36, 8826“可3之3一由7引为递增数列可 3 则8(a,* -■18a=288.解得#=16.故选A 知，1≥7，-分又>0，所以元<子所以7的取值范围为 2 2解：)因为宁兰…学宁meN),所以≥2时学 [） 7.解：(1)设等差数列1a。的公差为d(>0),因为·4=8,3=15， (a1+d)(a1+3d)=8, 3-1 (a1+d)(a1+3d)=8, 所以 即 所以(3-2d+ 3a≥2.又a=1时，号分所以4=1电清足上式.故一的 (a1+2d=3, d)(3-2+3d)=8.化简得d2=1.解得d=1或d=-1(舍去).所以 通项公式为a,=3-(neN). a1=3-2l=1.所以an=a1+(n-1)d=1+n-1= （2)设数列16，满足6，=2x3,记a,的前n项和为S, (2)由(1)得0。·b。=n·2-1,所以T.=1×2"+2×2+3×22+…+(n 2 1)·2m-2+n·2-1,所以2T■1×2+2×22+3×23+…+(n-1)·2m-1+ c,的前n项和为R,则T=R。+S由等比数列的求和公式得5.= 3-2831.所风83 n2”,所以-T,=+2+2+2+…+2-a21-2 120·2”=2”- 1-4·2",所以T。=(n-1)·2+1. 即新数列6，的前2m项和T。=(3”-) 8.解：(1)若选①54=15，S2=3:设a,的公比为9(g>0),显然q≠1.因 为5，=41=15.5-412 1-g 1-g =3,因为1≠0，两式作商可得 =5,整理可得(=4，解得q=2或9=-2（合去），将9=2代 1-g 1,设/（号）(g小…（号）)2*…8到 人s1 1-g =3可得41=1，所以a。=19=2:若选2a1+ 9)=m①.则9))+…2)（位）…餐） 2=3.a1=4:设{a。|的公比为g(9>0),显然g≠1.由已知可得1+ (兮）m.0*2(兮)o]小g)s]小 44=34两为0两式作有可得-号量 (分)2]+*1*[2+（号）门小… 理可得3对-4女-4=0，解得g=2成g=-号（合去）.将9=2代人4， a12=4可得a1=1,所以8，=a19-1=2 [8(g)门[r9)(号)]小-2m2m=7m=号故 123 (2)（1)知，a=2则六所以=子子 21 答案为号 123 2022++ 4.11 解桥：由题意可知，(x)+f(-)=2+1*2 2 -(] 22产+242=2，设3=-5)+-4)+…+0)++4)+/5). 2n-12 ,所以T。=4 2+23+2 12 则2S=f-5)+f5)+/代-4)+f(4)+…+20)+…+f(4)+f八-4)+ 5)+八-5)=22.放S=11.故答案为11. 5.(1)解：由于a1=1,a1=1+2a1,则a1+2d=a1+d+2a1,则d=2a1=2, 9.B解析：依题意得S2=a1+(a2+a)+(4+a5)+…+(an+g)= 因此a.=a1+(n-1)d=2n-1,放数列{a。1的通项公式为a。=2n-1. (2)证明：由(1)知a=2-1.则8“”。=2，则 1+2×2+2x4+…+2×26=1+2x(2+4+…+26)=1+2x13x(2+26） 2 √SnSa+ 365.故选B. 111 10.C解析：数列1a.1中，a=(-1)"(2n-1),则a2m-+a2=-(4n-3)+ (4n-1)=2,所以S1o1=50x2+41o=100-201=-101,放选C 选择性必修第二册，RJA黑白题18 11.解：(1)设等差数列a,的公差为d,等比数列：b,的公比为g(g≠！ a2-2a-6≥2，解得a≤-2或a≥4.即实数a的取值范用为 0).由a3.6=1,6a+s=10.as-26=a,得{g2024解 (-0,-2]U[4,+).故答案为=2n-1:(-%,-2]U[4,+x). 6.(1)解：，+25。=1，a-1+25-1=1(n≥2).两式相减.得a,- 得=2所以，=2n+1.6,=2。 l=2, a-+2,=04,=了-4(a≥2).又当a=1时，4=}心a,为 (2)由(1)知，3=a(3+2+) =(n+2),因此当n为奇数时，。= 2 等比数列，公比为g=号a4×(兮）广=（付）月 n(+2)后n中2当n为偶数时6，=2，所以7.=0，++ 211 （2)证期：设6=(2-1a2=(2-)×(兮）广=号 111 1 03et+es*+1+e.=（13+3行+…+2-12a+1) 3 22212212 专题探究3数列的综合应用 37 3+20 黑题专题强化 ,化简得元1eN不<11- 3+ 1.B解析：设羊.骡子.马.牛吃的禾苗数依次为m1,42,,,由题意 2(a1+a3）=a3+0a 3>0了关于n单湖递 、723）--22>0 3+ a1+a3+a3+au=12, 21.1 a1+a3 增，(T）=T,=1- 得 通过等差中项可判断a1,西，a3,:成等差数 333≤7<1. 2 第四章章末检测 +a4 2 1.B解析：数列1.万.5，·，√2n-1.…通项公式为4=√2n-I,令 列，设该数列为1a,,公差为d,由圆意得2an)=a"即 (a:tazto+aa=12, T=√2m-可，解得n=6,故选B. 2(2a1+d)=2a1+5d, 3 解得 (4a1+6l=12, =2故选B 2.B解折0=-1，由a(a,-)+1=0(neN)可推得a1- d=1 1 2.C解析：由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为2×(1+ 则1-021-02.1-4-1，…，故数列1a.是周 0.02)0万元，224年存的2万元共存了9年，本息和为2×(1+0.02)9万 断为3的数列，从而数列|a。的前9项和为S,=3(a++@,)=3× 元，…，2032年存的2万元共存了1年，本息和为2×(1+0.02)万元， 所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回 (1+2）=?放选B 的线数约为2×(1+0.02)0+2×(1+0.02)”+…+2×(1+0.02)= 3.A解析：a.1为递增的等差数列，则a,<s由m3+a6=8.得a+a= 2×1.02x(1.020-1)204×(1.219-D-22.3(万元)，故选C 8,aga5=15,联立方程组，解得a4=3,a5=5.故选A 1.02-1 0.02 3.390解析：数列an满足a.=5m+15,a1=20,m2=25,a1=30 4.A解析：当n≥2时，4.=5n-5-1=+2*b-(a+2-6)=2-6,当n=1 4=35,a5=40,a6=45.在任意相邻两项a4与a+1(=1,2,…)之 时，4，=S=a+2弘因为数列1a,为等比数列，所以=，即 间插人2个3其中a1,,之间插入2个3,141之间插人4个 26 3,1a:之间插人8个3，a4a5之间插人16个3，出5+%之间插人 25解得6=a+2弘且6≠0，即a+b=0且6≠Q.因此充分性成立：者 2b 32个3.6，a2之间插人64个3，…，又6+2+4+8+16+32=68<70. 6+2+4+8+16+32+64>70.,数列b,的前71项含有a。1的前6项 +b=0,当a=0且b=0时，41=0，甲不成立，故必要性不成立.故选A 和65个3.故S71=20+25+30+35+40+45+65×3=390,放答案为390. 5.B解析：由题意，01=1,2=3=1+2,4=6=1+2+3，，=10=1+2+3+ 4.D解析：等比数列1a.首项a>0,又因为数列1a.1为“超级数列“， 4,,则a64=1+243+…+64=1+6 ×64=2080.故选B 则有a,=S<4,=a19,所以g>1,又S.=1- 1-g ，a1=1,由8.<6.B解析：由等差数列的性质知，41+a,=2a,4,+a,=5+a,因 1,即1g <0,台1-2对+1>02-q<,依题意，任意的 为、=9a+ 1-g 2 =9%,=18,故4，=2又8=an） 2 N2-寸数y=()广)在1，+)上单调递减， a(-=240,故(2430=240，所以n=15故选R. 城是0，]，因此2-g≤0.解得g≥2.所以e[2.+x).故选n 1.C解析：等比数列1an}的前n项和为S。,S-1=5,S。=-11, S4=21,则am=Sn-5-1=-11-5=-16,0n+4=S+1-5=21- 5.an=2n-1(-x,-2]U[4,+)解析：a1+@+a:=13,a+a4+ ,=21,两式相减，得公差d=2-5=2.则，0，=30，+5=3如， -=2,因此公比1=名=-2曲5，初 d。 4 a1[1-(-2)"] 10=3,所以a1=1,故0，=2n-1:则有4= 1+2 =-1,而a1=a1(-2)”=32,解得m=5,a1=-1,所 a4+1(2n-1)(2a+1) 以m等于5.故选C. ()则=2[(（号+( 8.C解析：由0，a1=2”,得4102=2…，两式相除得2=2，所以 2)]小-2(2)小k2.又<a2-2h-6(aeN)成立，则 数列。的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列又3=2， 参考答案黑白题19