4.4 数学归纳法-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019)

4.4 数学归纳法 白题 基础过关 限时：30min 题组1用数学归纳法证明恒等式 5.(2024·浙江杭州高二期末)用数学归纳法证 1.(2024·江西上饶高二月考)利用数学归纳法 1,1,.1、n+ (neN·)的 证明f代n)=1+2+3+4+…+(4n-1)(neN°) 明n)=1+23++2 2 2 时，第一步应证明 ( 过程中，从n=k到n=k+1时f(k+1)比f(k) A.f1)=1 B.f(1)=1+2+3 共增加了 ( ) C.f(2)=1+2 D.f(1)=1+2+3+4 A.1项 B.2-1项 1,11 C.21项 D.2项 2.用数学归纳法证明1- 234 +…+ 2n-1 6.用数学归纳法证明乙”对任意>(m, 11,1 2"+1n+1 2nn+1n+2 +t2n(neN),则从k到k+1 keN)的自然数都成立，则k的最小值为 时左边添加的项是 ( ( 1 1 B. A.1 B.2 C.3 D.4 A.2k+1 2k+22k+4 题组3归纳、猜想与证明 1 1 C.2k+2 D.2k+12k+2 7.(多选)某个命题与正整数n有关，若当n= (keN·)时命题成立，则可得当n=k+1时命 3.有下列命题：1+3+5+…+(2n-1)=n2 题也成立.若已知当n=5时命题不成立，则下 (n∈N·),使用数学归纳法证明. 列说法正确的是 ) A.当n=4时，命题不成立 B.当n=1时，命题可能成立 C.当n=6时，命题不成立 D.当n=6时，命题可能成立也可能不成立，若 当n=6时命题成立，则对任意n≥6，命题 都成立 8.已知数列{an}满足a1=1,a+1+ana1-a。= 0(n∈N) 题组2用数学归纳法证明不等式 (1)求a2,a3,a4 4.用数学归纳法证明1+2十3 11 +…+ 2n-1<n (2)试猜想数列1an}的通项公式，并用数学归 (neN”,n>I)时，第一步应验证的不等式是 纳法证明. ( A.1 11 22 B.1+232 1.1 111 C.1+2t3<3 2+3+43 D.1 第四章黑白题27 黑题 应用提优 限时：35mim 1-a"+26.用数学归纳法证明：对任意正整数n,4"+15n- 1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a”1 1-a 1能被9整除 (a≠1，n∈N")”,在验证n=1是否成立时，左 边应该是 A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a 2.若命题P(n)对n=k成立，则它对n=k+1也成 立，现已知P(n)对n=4不成立，那么下列结 论中正确的是 A.P(n)对neN'成立 7.(2024·辽宁大连高二月考)(1)若数列b B.P(n)对n>4且neN成立 满足bn+bn-1= 1= C.P(n)对n<4且neN'成立 n+1-n'b·b,n D.P(n)对n≤4且n∈N不成立 1 3.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x) n+1求6： 满足：当f(k)≥2成立时，总可推出fk+1)≥ (2)若n为大于1的自然数，且a.=b2,用数学 (k+1)2成立.则下列命题总成立的是( 归纳法证明：1+1++1>3 n+a n+a: n+a24 A.若f(3)≥9成立，则当k≥1，均有f(k)≥2 成立 B.若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有 f代k)≥2成立 C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有 f(k)<k2成立 D.若f(4)=25成立，则当k≥4时，均有 f代)≥成立 4.利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…· (n+n)=2”·1·3·…·(2n-1)”时，由k 到k+1时，左边应添加因式 5.用数学归纳法证明1+2+2+…+20-(neN”) 能被31整除时，从k到k+1添加的项数共有 项. 进阶突破拔高练PO7 选择性必修第二册：RJA黑白题28大r4=16×(分)）=2×(）=2，当=16x 故从n=到n=+1,左边所要添加的项是】，1 2+12+2故选D. (号）广时，=7>0,7，=-0，所以元的最大值为 3.证明：当n=1时，左边=1，右边=12=1，等式成立：假设当n=k (keN)时，1+3+5+…+(2k-1)=2成立，那么当m=k+1时，1+3+ T4=20=1024,故答案为1024. 5+42k-1)+(2头+1)=2+2张+1=(k+1)2成立综上所述，1+3+5+…+ 11.(1)证明：由a,-3-2a ,两边取铜数，并整理得子，测 (2n-1)=n2对于任意neN”成立 a13a 之（）小因为号所以数列{是等比 4B解析：第一步，当a=2时，验证不等式为1宁号2放选B 数列， 5D解折：调为a小1子号分所以1宁… ②期：由a)得士-1（合1）小（兮）”=品，则 共2项则+1D=1+子++ 23+…+ 共 1,1 21项，所以f+1)比k)共增加了21-2=2（项），故选D. 1 () n+1- <10,显然{a+1}为 6日样折：当=1时左边行右边高分，了号不成 单调递增数列，则满足条件的最大整数：为99 立当2时边品右动品子号不成立当 12.(1)证明：01-3 0.3=.+4x3”-31 -0m+4×3-3×3n 4.-3 4n-3m 时，左边品号右边品子号成立，即左边大于 -a。+3" 。.-3-1,所以1a,-3”是以a-3=-1为首项，-1为公比的等 右边，不等式成立，则对任意n>(m,keN)的自然数都成立，则k的 最小值为2，故选B. 比数列，所以a,-3”=(-1),所以4。=3+(-1) 7,AD解析：若当n=4时命题成立，则当n=5时命题也成立，与题设 (2)解：因为6。=an-(-1)”=3”,所以nb,=n·3”,5n=1×3'+2× 矛盾，即当n=4时，命题不成立，A正确：若当n=1时命题成立，则当 32+3×33+4x3+…+n·3”,38n=1×32+2×33+3×3++(n-1)3”+ n=2时命题成立，继续推导可得当n=5时命题成立，与题设矛盾， nx31,作差可得-2S.=3+32+343++3-nX3m13x1-3） B不正确：当n=6时，该命题可能成立也可能不成立，若当n=6时命 1-3 题成立，则当n=7时命题也成立，继续推导可得对任意n≥6，命题都 g所以82g2 成立，C不正确，D正确放选AD. 压轴桃战 8.解：（由a1a,1-a,=0可知a11ta,当n=1时，代人a (1)证明：由a1=2a,-n+1,得aa+1-(n+1)=2(an-n),而a1=2,则 a1-1=1.又6。=a、-n,因此b+1=2b。,61=1,所以数列{b,1是以1为 1解得当=2时，代人号解得a,写当3时，代 首项，2为公比的等比数列 ②相：海=2，测会-六，令最别{六}的 人a,=了解得a=4 (2)猜想数列。.的通项公式为。，一片当a=1时，左边=a,-1,右 项人人宁子宫品六人宁宁… 12 边=1,0，=成立假设当a=keN~)时，a=成立，则当 品两式相减得宁人(：宁) 11 1.1 会2尝则4兴 42所以及=nM,=n+43 2- n=k1时，有a11+a1 ak1 11+k 1也成 即当n=k+1时，a,= k n+2 -(n+1)·21-n·2n (3)证明：由(2)知c.“an+·2a·2°：(a*1)·2n2 立综上，4=上对任何neN都成立 1111 1 (a*m2772x22x23网t…2a*1·2m 黑题 应用提优 之(a+1)2m,而a+):2m>0,所以T< 1 1 1 1.C解析：用数学归纳法证明1+a+a2+…+a1_1- 1-g(a1, neN·),在验证n=1时，把n=1代入，左边=1+a+a2,故选C. 4.4”数学归纳法 2.D解析：由题意可知P()对n=3不成立（否则m=4也成立），同理 白题基础过关 可推得P(n)对n=2,n=1也不成立，故选D. 1.B解析：由题意八n)=1+2+3+…+(4n-1),(neN·),即从1起连 3D解析：由题意对于定义域内任意的k,若八)≥2成立，则f(k+ 续(4n-1)项正整数之和则f代1)为从1起连续3个正整数之和，故第 1)≥(k+1)2成立的含义是对前一个数成立，则能推出后一个数成 一步应证明(1)=1+2+3.故选B 立，反之不成立对于A,当k=1或2时，不一定有f八)≥2成立：对 11 于B,只能得出对于任意的k≥5，均有f()≥成立，不能得出对于 2D解析：当n=k时，等式的左边为12了}…-12邓，当 任意的k≤5，均有f)≥2成立：对于C,(7)<49成立不能推出任 111 1111 何结论；对于D,八4)=25≥16，对于任意的≥4，均有fk)≥ n=k41时，等式的左边为12+34+…2k-12张2k+12k+2 成立故选D, 选择性必修第二册·RJA黑白题16 四思路点拨 3.B解析：依题意，数列1a,满足(n-1)an=(n+1)a1(n2), 本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P()对 n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类指，对n>k的任意整数均 da-l 成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P(n)对n=k不成立时，则 nn+1 x子义×n(at),a也符合，所以a,=n(a+,a 它对n=-1也不成立，由此类推，对n<k的任意正整数均不成立， 由此不难得到答案 是单调递增数列，由a.=n(n+1)<930,(n+31)(n-30)<0,解得-31< n<30,所以n的最大正整数值为29.故选B. 4.2(2h+1)解析：当n=k时，左边=(k+1)(k+2)·…·(k+),当 n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1)= (k+2)(k+3)···(2k+1)(2k+2),所以左边应添加的因式为 2(2k+1).故答案为2(2k+1). 32×42=4=2, 片7公比为4的等比数列× 2 5.5解析：当m=k时，原式为1+2+22++24-1，当n=k+1时，原式为 a4-14-1 1+2+22+…+21+2“+21+2+2+23+2,比较后可知多 02'8a=2放选D. 了2+241+202+24+3+250+4，共5项 6.证明：①当n■1时，4"+15n-1■18，能被9整除，故当n■1时，4"+ 5B解折：由a1=2(a,+1)可得a1+2=2(a.+2),所以1+ 《*22 15m-1能被9整除 则|a,+2|是公比为2的等比数列.所以a5+2=(a1+2)·2=78+2, ②假设当n=k时，命题成立，即44+15k-1能被9整除，则当n=k+1 所以a1=3.故选B. 时.41+15(k+1)-1■4(4+15k-1)-9(5k-2)也能被9整除 6.B解析：因为a1=4an-12n+4,所以a1-4(n+1)=4(a。-4n).因 综合①②可得，对任意正整数n,4“+15n-1能被9整除 为a1=4,所以a1-4x1=0,故an-4n为常数列，所以an=4n.由a4= 1 4k=2024,解得k=506.故选B. 1.()解：由5,6-后可T标0又有：斤 1.C解析：因为a1=a+2√a,+灯+l,所以a1+1=(a,+T)2+ n中n(a+D所以易知6，>0，且6，·61=瓜。V②，联立 2√a,+可+1，即a1+1=(√an++1)2,等式两边开方可得 √a1+=√a,+打+1，即√a+打-a,+I=1,所以数列 解得b=√n. {√a,+打引是以首项为√@+可=2，公差为1的等差数列，所以 (2)证明：由题意知a,=好=%，所以令久n)1+1++ 1 ntanta nta. √an+万=2+(n-1)×1=n+1,所以4.=n2+2n,所以ao=102+20= 120.故选C. .2 "n+1m+2 是首项为1，公差 只因为。为大干1的自然数，当=2时，左边2站号 1 11 解析：由题意得11+，放1 a。 子日右边只左边>右边，所以=2时，不等式成立服设当 17 为1的等差数列，得，即4，故答案为行 9.a.=4×31-5×21解析：设a1+A·3”=2(0,+A·3),整理得 11 .113 =k时原不等式他成立，即八)中2+2正>24成立，则当 a41=2a。-A·3-1,可得A=-4,即a1-4×3"=2(a。-4×3-1),且 1 1 111 a1-4×3-1=-5≠0，则数列1a,-4·3-1引是首项为-5，公比为2的等 1时.)1可i+立x可即f 比数列，所以a。-4×31■-5×21，即an=4×31-5×21 11 26+12k+2),所以+1)> 11 1)-)+222k 0.31 2 解析：依题意a1=1,2=4,4e1-3a。-an2=0,am2-n1= 2依然成立，即A=+1时，原不等式仍成立，所以a∈N'且心>1时 3(a1-0,),所以数列{a1-a.是首项a2-a1=3,公比为3的等比 数列，所以a1g=3°，所以a=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a. 原不等式总成立故 11 113 n+a。24 。4344+高==1他满足，所以 专题探究1数列通项公式的求解 宁澈答案为 黑题 专题强化 11.B解析：n=1时，41+1=2a1,则a=1.n2时，an=5-S-1=2an 1.C解析：设等差数列16}的公差为d,因为b3=-2,bo=12,可得 n-[2a1-(n-1)]=2a,-2an1-1,an=2an-1+1,a,+1= 位+21-2可得-6”可得6=2-8，又因为6.=a1-a即 2(a.1+1),a1+1=2≠0，{a.+11是2为首项，2为公比的等比数 lb1+9d=12, (d=2. 列，4+1=2×25=27=128，a,=127,故选B. a1-a,=2n-8,所以aa=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(ag-7)=8- 12.9解析：由Sn1=3S,+2n+3,可知当n≥2时，Sn=35.-1+2n+1,所 6-4-2+0+2+4+6=8.故选C 以S1-S=3(S。-S1）+2,即a1=3a,+2,从而a1+1=3(a.+ 111 1),当n=1时，S2=3S1+5,所以a1+a2=3a1+5.又a1=3,所以a2= 2C解析：由a,=am-lt2+n 可得a。a-1n2+mn+i则有a=】 11,从面a2+1=3(a1+1).故|a,+1是以a1+1=4为首项，3为公比 (o0)+()++(2-)ta=nn-1 1111 的等比数列，所以a,+1=4,3r,所以a,+2_+1+a+1 a+a+2a+1+n2+79 }}子1后放号8器故选C 111 4×32+4×33 4x30+4X3=9枚答案为9 参考答案黑白题17